1) Выберем переменными задачи x₁ – изделий вида А1; x₂ – изделий вида А2.

Составим систему ограничений в виде неравенств

Составим целевую функцию z(x) = 25·x₁ + 17·x₂ → max, т.е. обеспечить максимальную выручку от реализации готовой продукции.

2) Найдем решение сформулированной задачи, используя ее геометрическую интерпретацию. Сначала определим многоугольник решений. Для этого в неравенствах системы ограничений и условиях неотрицательности переменных знаки неравенств заменим на знаки точных равенств и найдем соответствующие прямые

Эти прямые изображены на рис. 1. Пересечение полученных полуплоскостей и определяет многоугольник решений данной задачи.




Рис. 1. Графическое представление математической модели
Как видно из рис. 1, многоугольником решений является пятиугольник ОАВС
D. Координаты любой точки, принадлежащей данному пятиугольнику, удовлетворяют данной системе неравенств и условию неотрицательности переменных. Поэтому сформулированная задача будет решена, если мы сможем найти точку, принадлежащую пятиугольнику ОАВС
D, в которой функция z принимает максимальное значение. Чтобы найти указанную точку, построим вектор , перпендикулярный прямой 25·x₁ + 17·x₂ = h, где h – некоторая постоянная такая, что данная прямая имеет общие точки с многоугольником решений.

Перемещая, данную прямую в направлении вектора , видим, что последней общей точкой ее с многоугольником решений задачи служит точка B. Координаты этой точки и определяют план производства продукции, при котором выручка от их реализации будет максимальной.

Находим координаты точки C как координаты точки пересечения прямых 8·x₁ + 6·x₂ = 848 и 5·x₁ + 2·x₂ = 432.

Решив эту систему уравнений, получим , . Итак, выручка от реализации будет наибольшей, если в плане по производству содержится выпуск 64 изделий А1 и 56 изделий А2, и, составляет 25·64 + 17·56 = 2552 ден. ед.

3) Запишем данную задачу в форме основной задачи линейного программирования. Для этого от ограничений-неравенств перейдем к ограничениям-равенствам. Введем три дополнительные переменные, в результате чего ограничения запишутся в виде системы уравнений

Составляем таблицу первой итерации:





В 4-й строке табл. в столбцах переменных , , имеются отрицательные числа. Наличие этих чисел говорит о том, что данный план не является оптимальным. Переходим к новому плану задачи: разрешающий элемент выделен (здесь и далее) подчеркиванием.


Вторая итерация



Третья итерация



Из табл. видно, что найденный новый опорный план исходной задачи X* = (64;56; 0; 60; 0) является оптимальным. При этом max z = 2552.

Итак, выручка от реализации будет наибольшей, если в плане по производству содержится выпуск 64 изделий А1 и 56 изделий А2, и, составляет 2552 ден. ед.

4)Для данной задачи , тогда . Число переменных в двойственной задаче равно числу уравнений в исходной задаче, т.е. 3. Коэффициенты в целевой функции двойственной задачи являются свободными членами неравенств-ограничений, т.е. числами 848, 532, 432. Т.к., в исходной системе ограничения представлены неравенствами, то в двойственной задаче переменные  являются неотрицательными.

Следовательно, двойственная задача такова: найти минимум функции z
^*(x) = 848·y₁ + 532·y₂ + 432·y₃ при условиях



Из последней симплекс-таблицы (итерация 3) видно, что двойственная задача имеет решение , , .

1) Распределительный метод

Примем некоторые обозначения: i - индекс строки j - индекс столбца m - количество поставщиков n - количество потребителей X_i,j - перевозка между поставщиком A_i и потребителем B_j.

Поставщик	Потребитель					Запасы груза
	B1	B2	B3	B4	B5
A1	14 0	8 0	17 0	5 0	3 0	370
A2	21 0	10 0	7 0	11 0	6 0	450
A3	3 0	5 0	8 0	4 0	9 0	480
Потребность	300	280	330	290	100