ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

ФИЛИАЛ В Г. ЛИПЕЦКЕ
Контрольная работа

по эконометрике
Липецк, 2009 г.




Задача
По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн.руб.) от объема капиталовложений (Х, млн.руб.)

Y	31	23	38	47	46	49	20	32	46	24
Х	38	26	40	45	51	49	34	35	42	24

Требуется:

1.                 Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

2.                 Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

3.                 Проверить выполнение предпосылок МНК.

4.                 Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05).

5.                 Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве.

6.                 Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α=0,01 при Х=80% от его максимального значения.

7.                 Представить графически фактических и модельных значений Y, точки прогноза.

8.                 Составить уравнения нелинейной регрессии:

·                   Гиперболической;

·                   Степенной;

·                   Показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

Решение

1.                Уравнение линейной регрессии имеет вид:
= а₀ + а₁x.
Построим линейную модель.

Для удобства выполнения расчетов предварительно упорядочим всю таблицу исходных данных по возрастанию факторной переменной Х (Данные => Сортировка). ( рис. 1).


Рис.1
Используем программу РЕГРЕССИЯ и найдем коэффициенты модели (рис.2)


Рис.2




Коэффициенты модели содержатся в таблице 3 (столбец Коэффициенты).

Таким образом, модель построена и ее уравнение имеет вид

Yт = 12,70755+0,721698Х.

Коэффициент регрессии b=0,721698, следовательно, при увеличении объема капиталовложений (Х) на 1 млн руб. объем выпуска продукции (Y) увеличивается в среднем на 0,721698 млн руб.

2.                Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков SІ_e; построить график остатков.

Остатки содержатся в столбце Остатки итогов программы РЕГРЕССИЯ (таблица 4).

Программой РЕГРЕССИЯ найдены также остаточная сумма квадратов SSост=148,217 и дисперсия остатков MS=18,52712 (таблица 2).

Для построения графика остатков нужно выполнить следующие действия:

·                   Вызвать Матер Диаграмм, выбрать тип диаграммы Точечная (с соединенными точками).

·                   Для указания данных для построения диаграммы зайти во вкладку Ряд, нажать кнопку Добавить; в качестве значений Х указать исходные данные Х (таблица 1);значения Y - остатки (таблица 4).


Рис.3 График остатков
3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

Предпосылками построения классической линейной регрессионной модели являются четыре условия, известные как условия Гаусса-Маркова.

·                   В уравнении линейной модели Y=a+b*X+ε слагаемое ε - случайная величина, которая выражает случайный характер результирующей переменной Y.

·                   Математическое ожидание случайного члена в любом наблюдении равно нулю, а дисперсия постоянна.

·                   Случайные члены для любых двух разных наблюдений независимы (некоррелированы).

·                   Распределение случайного члена является нормальными.

1) Проведем проверку случайности остаточной компоненты по критерию повторных точек.

Количество повторных точек определим по графику остатков: p=5

Вычислим критическое значение по формуле:
.
При  найдем

Схема критерия:

Сравним , следовательно, свойство случайности для ряда остатков выполняется.

1.                 Равенство нулю математического ожидания остаточной компоненты для линейной модели, коэффициенты которой определены по МНК, выполняется автоматически. С помощью функции СРЗНАЧ для ряда остатков можно проверить: .

Свойство постоянства дисперсии остаточной компоненты проверим по критерию Гольдфельда–Квандта.

В упорядоченных по возрастанию переменной X исходных данных () выделим первые 4 и последние 4 уровня, средние 2 уровня не рассматриваем.

С помощью программы РЕГРЕССИЯ построим модель по первым четырем наблюдениям (регрессия-1), для этой модели остаточная сумма квадратов .

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	107,7894737	107,7894737	15,67347	0,15751
Остаток	1	6,877192982	6,877192982
Итого	2	114,6666667

С помощью программы РЕГРЕССИЯ построим модель по последним четырем наблюдениям (регрессия-2), для этой модели остаточная сумма квадратов .

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	4,166666667	4,166666667	0,186916	0,707647
Остаток	2	44,58333333	22,29166667
Итого	3	48,75

Рассчитаем статистику критерия:
.
Критическое значение при уровне значимости и числах степеней свободы  составляет .

Схема критерия:

Сравним , следовательно, свойство постоянства дисперсии остатков выполняется, модель гомоскедастичная.

2.                 Для проверки независимости уровней ряда остатков используем критерий Дарбина–Уотсона
.
Предварительно по столбцу остатков с помощью функции СУММКВРАЗН определим ; используем найденную программой РЕГРЕССИЯ сумму квадратов остаточной компоненты .

Таким образом,



Схема критерия:

Полученное значение d=2,375, что свидетельствует об отрицательной корреляции. Перейдем к d’=4-d=1,62 и сравним ее с двумя критическими уровнями d1=0,88 и d2=1,32.

D’=1,62 лежит в интервале от d2=1,32 до 2, следовательно, свойство независимости остаточной компоненты выполняются.

С помощью функции СУММПРОИЗВ найдем для остатков , следовательно r(1)=2,4869Е-14/148,217=1,67788Е-16.

Критическое значение для коэффициента автокорреляции определяется как отношение Ön и составляет для данной задачи

Сравнения показывает, что çr(1)= 1,67788Е-16<0,62, следовательно, ряд остатков некоррелирован.

4) Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения проверим с помощью критерия:
.
С помощью функций МАКС и МИН для ряда остатков определим , . Стандартная ошибка модели найдена программой РЕГРЕССИЯ и составляет . Тогда:



Критический интервал определяется по таблице критических границ отношения  и при  составляет (2,67; 3,57).

Схема критерия:





2,995  (2,67; 3,57), значит, для построенной модели свойство нормального распределения остаточной компоненты выполняется.

Проведенная проверка предпосылок регрессионного анализа показала, что для модели выполняются все условия Гаусса–Маркова.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t–критерия Стьюдента ().

t–статистика для коэффициентов уравнения приведены в таблице 4.

Для свободного коэффициента  определена статистика .

Для коэффициента регрессии  определена статистика .

Критическое значение  найдено для уравнения значимости  и числа степеней свободы  с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР.

Схема критерия:

Сравнение показывает:

, следовательно, свободный коэффициент a является значимым.

, значит, коэффициент регрессии b является значимым.

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F–критерия Фишера (), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Коэффициент детерминации R–квадрат определен программой РЕГРЕССИЯ и составляет .

Таким образом, вариация объема выпуска продукции Y на 79,5% объясняется по полученному уравнению вариацией объема капиталовложений X.

Проверим значимость полученного уравнения с помощью F–критерия Фишера.

F–статистика определена программой РЕГРЕССИЯ (таблица 2) и составляет .

Критическое значение  найдено для уровня значимости  и чисел степеней свободы , .

Схема критерия:

Сравнение показывает: ; следовательно, уравнение модели является значимым, его использование целесообразно, зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включенной в модель факторной переменной Х.

Для вычисления средней относительной ошибки аппроксимации рассчитаем дополнительный столбец относительных погрешностей, которые вычислим по формуле
 
с помощью функции ABS (таблица 5).

ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки	Отн. Погр-ти
1	27,14150943	6,858490566	20,17%
2	29,30660377	-3,306603774	12,72%
3	30,02830189	-6,028301887	25,12%
4	35,08018868	2,919811321	7,68%
5	35,80188679	-0,801886792	2,29%
6	40,13207547	-0,132075472	0,33%
7	45,90566038	-3,905660377	9,30%
8	45,90566038	5,094339623	9,99%
9	46,62735849	-1,627358491	3,62%
10	48,07075472	0,929245283	1,90%

По столбцу относительных погрешностей найдем среднее значение  (функция СРЗНАЧ).

Схема проверки:

Сравним: 9,31% < 15%, следовательно, модель является точной.

Вывод: на основании проверки предпосылок МНК, критериев Стьюдента и Фишера и величины коэффициента детерминации модель можно считать полностью адекватной. Дальнейшее использование такой модели для прогнозирования в реальных условиях целесообразно.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости , если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения.

Согласно условию задачи прогнозное значение факторной переменной Х составит 80% от 49, следовательно, . Рассчитаем по уравнению модели прогнозное значение показателя У:

.

Таким образом, если объем капиталовложений составит 39,2 млн. руб., то ожидаемый объем выпуска продукции составит около 48 млн. руб.

Зададим доверительную вероятность  и построим доверительный прогнозный интервал для среднего значения Y.

Для этого нужно рассчитать стандартную ошибку прогнозирования:

Предварительно подготовим:

- стандартную ошибку модели  (Таблица 2);

- по столбцу исходных данных Х найдем среднее значение  (функция СРЗНАЧ) и определим  (функция КВАДРОТКЛ).

Следовательно, стандартная ошибка прогнозирования для среднего значения составляет:



При  размах доверительного интервала для среднего значения

Границами прогнозного интервала будут



Таким образом, с надежностью 90% можно утверждать, что если объем капиталовложений составит 39,2 млн. руб., то ожидаемый объем выпуска продукции будет от 45,3 млн. руб. до 50,67 млн. руб.

7. Представить графически фактические и модальные значения Y точки прогноза.

Для построения чертежа используем Мастер диаграмм (точечная) – покажем исходные данные (поле корреляции).

Затем с помощью опции Добавить линию тренда… построим линию модели:
тип → линейная; параметры → показывать уравнение на диаграмме.
Покажем на графике результаты прогнозирования. Для этого в опции Исходные данные добавим ряды:
Имя → прогноз; значения ; значения ;

Имя → нижняя граница; значения ; значения ;

Имя → верхняя граница; значения ; значения

8. Составить уравнения нелинейной регрессии: гиперболической; степенной; показательной.

8.1 Гиперболическая модель

Уравнение гиперболической функции:


= a + b/x.
Произведем линеаризацию модели путем замены X = 1/x. В результате получим линейное уравнение
= a + bX.
Рассчитаем параметры уравнения по данным таблицы 2.
b = =
а =  =38,4+704,48*0,03=60,25.

Получим следующее уравнение гиперболической модели:

 = 60,25-704,48/х.

8.2 Степенная модель

Уравнение степенной модели имеет вид: =аx^b

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:
lg = lg a + b lg x.
Обозначим через
Y=lg , X=lg x, A=lg a.
Тогда уравнение примет вид: Y = A + bX – линейное уравнение регрессии. Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 3.


b =  =

A =  = 1,57-0,64*1,53=0,59
Уравнение регрессии будет иметь вид: Y = 0,59+0,64* Х.

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения.

= 10^0,59* х^0,64.

Получим уравнение степенной модели регрессии:

= 3,87* х^0,64.

8.3 Показательная модель

Уравнение показательной кривой: =ab^x.

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения:
lg  = lg a + x lg b.
Обозначим: Y = lg , B = lg b, A = lg a. Получим линейное уравнение регрессии: Y = A + B x. Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 4.
В = =
А = = 1,57-0,01*35,6=1,27

Уравнение будет иметь вид: Y = 1,27+0,01х.

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:

=10^1,27* ( 10^0,01)^х = 18,55*1,02^х.


Графики построенных моделей:



Рис.3. Гиперболическая


Рис.4. Степенная


Рис.5. Показательная
9. Сравнение моделей по характеристикам: коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Вывод.

9.1 Гиперболическая модель

Коэффициент детерминации:




=
Вариация результата Y на 70,9% объясняется вариацией фактора Х.

Коэффициент эластичности:
 = = 0,05.

Это означает, что при увеличении фактора Х на 1 % результирующий показатель изменится на 0,05 %.

Бета-коэффициент:
S_x==0,01 S_y==8,5 60,25*0,01/8,5=0,07.
Т.е. увеличение объема капиталовложений на величину среднеквадратического отклонения этого показателя приведет к увеличению среднего значения объема выпуска продукции на 0,07 среднеквадратического отклонения этого показателя.

Средняя относительная ошибка аппроксимации:

_отн = 109,7/ 10= 10,97 %.

В среднем расчетные значения  для гиперболической модели отличаются от фактических значений на 10,97%.

9.2 Степенная модель

Коэффициент детерминации:




=
Вариация результата Y на 73,6% объясняется вариацией фактора Х. Коэффициент эластичности:
 = = 0,57.
Это означает, что при увеличении факторного признака на 1 % результирующий показатель увеличится на 0,57%.

Бета-коэффициент:
, S_y= и S_x=.
S_x==0,14 S_y==0,10 0,59*0,14/0,1=0,78.

Т.е. увеличение объема капиталовложений на величину среднеквадратического отклонения этого показателя приведет к увеличению среднего значения объема выпуска продукции на 0,78 среднеквадратического отклонения этого показателя.
_отн=  = 93,77/10 = 9,34%.
В среднем расчетные значения  для степенной модели отличаются от фактических значений на 9,34%.

9.3 Показательная модель

Коэффициент детерминации:


=
Вариация результата Y на 75,7% объясняется вариацией фактора Х. Коэффициент эластичности:
  = 28,71.
Это означает, что при росте фактора Х на 1 % результирующий показатель Y изменится на 28,71 %.

Бета-коэффициент:

S_x==10,5 S_y==0,10 1,27*10,5/0,10=129,10.

Т.е. увеличение объема капиталовложений на величину среднеквадратического отклонения этого показателя приведет к увеличению среднего значения объема выпуска продукции на 129,1 среднеквадратического отклонения этого показателя.

_отн= 91,9/ 10 = 9,19%.

В среднем расчетные значения  для показательной модели отличаются от фактических значений на 9,19%.




Вывод
Лучшей из уравнений нелинейной регрессии является показательная: выше коэффициент детерминации, наименьшая относительная ошибка. Модель можно использовать для прогнозирования.