Задача 1
По промышленным предприятиям города имеются следующие данные за отчётный год:

№ предприятия	Объем продукции, млн. руб.	Среднегодовая стоимость основных средств, млн. руб.	Средне-списочное число работников, чел.	Прибыль, млн. руб.
1	197,7	10,0	900	13,5
2	592,0	22,8	1500	136,2
3	465,5	18,4	1412	97,6
4	296,2	12,6	1200	44,4
5	584,1	22,0	1485	146,0
6	480,0	19,0	1420	110,4
7	578,5	21,6	1390	138,7
8	204,7	9,4	817	30,6
9	466,8	19,4	1375	111,8
10	292,2	13,6	1200	49,6
11	423,1	17,6	1365	105,8
12	192,6	8,8	850	30,7
13	360,5	14,0	1290	64,8
14	208,3	10,2	900	33,3

Требуется выполнить группировку предприятий по численности работников, приняв следующие интервалы:

1.                 не более 900 чел.

2.                 от 900 до 1400 чел.

3.                 более 1400 чел.

По каждой группе и в целом по всем предприятиям определить: число предприятий, объем продукции, среднесписочное число работников, среднегодовую стоимость основных средств, а также среднюю выработку продукции на одного работника.

Для удобства вычислений заполняем сначала вспомогательную таблицу:

Группы предприятий по численности работников, чел.	Объем продукции, млн. руб.	Среднегодовая стоимость основных средств, млн. руб.	Средне-списочное число работников, чел.	Прибыль, млн. руб.
не более 900	204,7; 192,6	9,4; 8,8	817; 850	30,6; 30,7
от 900 до 1400	197,7; 296,2; 578,5; 466,8; 292,2; 423,1; 360,5; 208,3	10,0; 12,6; 21,6; 19,4; 13,6; 17,6; 14,0; 10,2	900; 1200; 1390; 1375; 1200; 1365; 1290; 900	13,5; 44,4; 138,7; 111,8; 49,6; 105,8; 64,8; 33,3
более 1400	592,0; 465,5; 584,1; 480,0	22,8; 18,4; 22,0; 19,0	1500; 1412; 1485; 1420	136,2; 97,6; 146,0; 110,4

Результаты группировки приведены в виде статистической таблицы:

Группы предприятий по численности работников, чел.	Число предприятий	Среднегодовая стоимость основных средств, млн. руб.	Средне-списочное число работников, чел.	Объем продукции
				Всего млн. руб.	В среднем на одного работника, тыс. руб.
не более 900	2	18,2	1667	397,3	238,33
от 900 до 1400	8	119	9620	2823,3	293,48
более 1400	4	82,2	5817	2121,6	364,72
Итого по всем группам	14	219,4	17104	5342,2	312,33

По результатам группировки, приведенной в аналитической таблице, можно сделать следующие выводы:

По объему продукции предприятия разделены на мелкие, средние и крупные. Доля мелких предприятий значительно ниже, чем доля средних и крупных.

Значение объема продукции в среднем на одного работника возрастает от мелких предприятий к крупным (I гр. – 238,33 тыс. руб., II гр. – 293,48 тыс. руб., III гр. – 364,72 тыс. руб.).

Эти данные свидетельствуют о наибольшей эффективности предприятий третьей группы.


Задача 2
По каждому из трёх предприятий фирмы (i – порядковый номер предприятия) имеются соответствующие данные о фактическом объеме реализованной в 2000г. продукции (y0, млн. руб.), о плановом задании по росту реализованной продукции на 2001г. (, %), а также о фактическом объеме реализованной в 2001г. продукции (y1, млн. руб.). Статистические данные приведены в таблице (2.8.):

i	y0i	i %	y1i
1	33,0	104,0	35,6
2	51,5	106,0	55,7
3	63,0	102,5	66,0

Требуется определить в целом по фирме:

1.                 Размер планового задания по росту объема реализованной продукции в 2001г.

2.                 Процент выполнения плана по объему реализованной продукции в 2001г.

3.                 Показатель динамики реализованной продукции.

При решении задачи используются следующие понятия:

Относительный показатель динамики (ОПД) характеризует изменение явления во времени
 или в процентах
где у₀ – базовый уровень исследуемого явления. В нашей задаче это объем реализованной продукции в 2000г; у_i (i= 0,1,2,3,…) – уровень яавления за одинаковые последовательные периоды времени (например, выпуск продукции по годам). ОПД иначе называются темпами роста. Они могут быть базовыми  или цепными

Относительный показатель плана (ОПП) – отношение величины показателя по плану (у_пл) к его фактической величине в базисном (или предшествующем) периоде

Относительный показатель выполнения плана (ОПВП) – отношение фактической (отчетной) величины показателя у₁ к запланированной на тот же период времени его величине (у_пл)

 ОПД, ОПП И ОПВП связаны соотношением  или ОПП*ОПВП=ОПД

Решение:

1. Найдем размер планового задания в целом по фирме по росту объема реализованной продукции в 2001г., т.е. ОППф – относительный показатель плана фирмы.

Для этого найдем сначала плановое задание на 2001г. По каждому предприятию (у_{пл i} ) и в целом по фирме (у_{пл ф})

Достигнутый в базисном периоде (2000г.) уровень в целом по фирме (у_0ф) составляет



Теперь можно найти относительный показатель плана в целом по фирме на 2001г.
 или в процентах 104,06%
2. Найдем процент выполнения плана по объему реализованной продукции в 2001г. В целом по фирме (ОПВПф). Для этого найдем фактический уровень, достигнутый в 2001г. (у_1ф)
, тогда

или 102,48%
т.е. план перевыполнен на 2,48%

3. Найдем относительный показатель динамики реализованной продукции в целом по фирме (ОПДф)
 или 106,64%,
т.е. фактический рост составил 6,64%
Проверка:


Задача 3
По каждой из трёх основных рабочих профессий цеха (i – порядковый номер профессии: 1-токари, 2-фрезеровщики, 3-слесари) имеются соответствующие данные о числе рабочих профессии (n_i , чел.), о средней заработной плате  а также о внутригрупповой дисперсии заработной платы.

Статистические данные за месяц приведены в таблице(3.8.):

i	ni	_xi	
1	50	2550	2500
2	25	2700	3025
3	40	2400	900

Требуется:

1.                 Определить общую дисперсию заработной платы рабочих цеха

2.                 Оценить однородность совокупности рабочих цеха по уровню месячной заработной платы

3.                 Определить, на сколько процентов дисперсии в размере заработной платы обусловлена различиями в профессии рабочих и влиянием других причин.

Предварительные сведения.

Для характеристики величины вариации (колеблемости) признака статистической совокупности используются абсолютные и относительные показатели. В качестве абсолютных показателей чаще всего рассматривают дисперсию и среднеквадратическое отклонение (СКО)





где х_i – наблюденные значения признака (варианты), n – общее число вариант (объем выработки). Суммирование в этой формуле производится по всем вариантам; - среднее значение признака,  - среднее значение квадрата признака




Изучая только общую дисперсию интересующего исследователя признака, нельзя оценить влияние отдельных факторов, как качественных, так и количественных, на величину признака. Это можно сделать при помощи метода группировки, когда варианты х_i подразделяются на непересекающиеся группы по признаку – фактору. При этом, кроме общей средней  по всей выборке, рассматриваются средние по отдельным группам и следующие показатели дисперсии:

1.                 Общая дисперсия  

2.                 Межгрупповая дисперсия

3.                 Внутригрупповые дисперсии

4.                 Средняя внутригрупповая дисперсия

Кратко характеризуем эти дисперсии

1.                 Общая дисперсия  учитывает влияние всех факторов, от которых зависит величина изучаемого признака Х

где  - общая средняя по всей выборке.

2.                 Межгрупповая дисперсия (дисперсия групповых средних) отражает систематическую вариацию, т.е. те различия в величине изучаемого признака, которые возникают под влиянием фактора, положенного в основу группировки.

Эта дисперсия определяется по формуле:
 
здесь – внутригрупповые средние, n_i – число вариант в i – ой группе, k – число групп, суммирование производится по различным группам.

3.                 Внутригрупповые дисперсии

отражает рассеяние значений x_j признака, относящихся к одному уровню группировочного фактора, поэтому она определяется не этим фактором, а другими причинами.

4.                 Средняя внутригрупповая дисперсия , а так же как и , характеризует случайную вариацию, возникающую под влиянием других, неучтенных факторов, и не зависит от условия, положенного в основу группировки. Эта дисперсия определяется по формуле:

Можно доказать, что имеет место правило сложения дисперсий





Отношение  показывает, какую долю общей дисперсии составляет дисперсия, возникающая под влиянием группировочного фактора, т.е. позволяет оценить влияние этого фактора на величину изучаемого признака Х. При сравнение колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или при сравнении колеблемости одного и того признака в разных совокупностях используются относительные показатели вариации. Наиболее распространенным среди относительных показателей вариации является коэффициент вариации

Его применяют также и для характеристики однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному).

Решение:

1. Найдем среднюю из внутригрупповых дисперсий
 (руб²)
Определим среднюю зарплат по цеху для основных рабочих профессий (общую среднюю)
 (руб)


Находим межгрупповую дисперсию

Используя правило сложения дисперсий, найдем общую дисперсию заработной платы:
 (руб²)
2. Оценим однородность совокупности рабочих цеха по уровню месячной заработной платы с помощью коэффициента вариации
%
Так как V<33%, то совокупность считается однородной.

3. Общая дисперсия заработной платы рабочих цеха обусловлена различиями в профессии на

Эта же дисперсия обусловлена влиянием других причин на





Задача 4
По 14-ти предприятиям городского хозяйства (i – порядковый номер предприятия) имеются соответствующие данные об объеме продукции (услуг) за месяц (у млн. руб.) и уровне механизации труда (х, %). Статистические данные приведены в таблице(4.8.):

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
yi	64	89	90	109	108	88	97	89	76	89	90	100	104	98
xi	69	84	89	99	97	94	98	94	63	92	63	98	99	95

Для выявления наличия корреляционной связи между объемом продукции и уровнем механизации труда требуется:
Таблица 1 Аналитическая таблица для построения графика линии связи между объемом продукции и механизации труда

i	xi	уi
9	63	76
11	63	90
1	69	64
2	84	89
3	89	90
10	92	89
6	94	88
8	94	89
14	95	98
5	97	108
7	98	97
12	98	100
4	99	109
13	99	104

1.                 Построить аналитическую таблицу и дать графическое изображение линии связи

2.                 Измерить тесноту связи между признаками с помощью коэффициента корреляции рангов; проверить его достоверность.

Решение:

1. Для обеспечения наглядности при построении графического изображения линии связи между объемом продукции и механизации труда необходимо построить аналитическую таблицу данных, в которой изучаемые предприятия расположить в порядке возрастания признака х – уровня механизации труда, % (Таблица 1).

Изобразим связь между признаками графически, расположив по оси х значения уровня механизации труда, а по оси у – сведения об объеме выпущенной продукции по изучаемым предприятиям.

2. Для того, чтобы вычислить коэффициент ранговой корреляции, нужно сначала провести ранжировку объектов и получить две согласованные последовательности рангов. Для определения ранга значений каждого признака построим два ранжированных ряда изучаемой совокупности по каждому из признаков отдельно в порядке их возрастания (Таблицы 2 и 3).

Для повторяющихся индивидуальных значений признака ранг определяется как средняя арифметическая соответствующих номеров. Например, значения признака х по предприятиям №9 и №11 одинаково (= 63) и в ранжированном ряду занимают №№п.п. №1 и №2. Расчет ранга для этих двух значений: (1+2)/2 = 1,5.


Таблица 2 Ранжированный ряд совокупности по признаку х

i	xi	№ п.п.	nx
9	63	1	1,5
11	63	2	1,5
1	69	3	3
2	84	4	4
3	89	5	5
10	92	6	6
6	94	7	7,5
8	94	8	7,5
14	95	9	9
5	97	10	10
7	98	11	11,5
12	98	12	11,5
4	99	13	13,5
13	99	14	13,5

Таблица 3 Ранжированный ряд совокупности по признаку у

i	уi	№ п.п.	nу
1	64	1	1,0
9	76	2	2,0
6	88	3	3,0
2	89	4	5
8	89	5	5
10	89	6	5
3	90	7	7,5
11	90	8	7,5
7	97	9	9,0
14	98	10	10,0
12	100	11	11,0
13	104	12	12,0
5	108	13	13,0

Для расчета коэффициента корреляции рангов Спирмена необходимо сопоставить порядковые номера (ранги) в порядке возрастания признака x () и признака y (), затем найти сумму квадратов разностей рангов и далее по формуле:


,
где  для каждой пары признаков, произвести вычисление коэффициента.

Необходимые расчеты осуществим во вспомогательной таблице 4.
Таблица 4 Вспомогательная таблица

i	xi	уi	nx	ny	d	d2
1	69	64	3	1,0	2,0	4
2	84	89	4	5,0	-1,0	1
3	89	90	5	7,5	-2,5	6,25
4	99	109	13,5	14,0	-0,5	0,25
5	97	108	10	13,0	-3,0	9
6	94	88	7,5	3,0	4,5	20,25
7	98	97	11,5	9,0	2,5	6,25
8	94	89	7,5	5,0	2,5	6,25
9	63	76	1,5	2,0	-0,5	0,25
10	92	89	6	5,0	1,0	1
11	63	90	1,5	7,5	-6,0	36
12	98	100	11,5	11,0	0,5	0,25
13	99	104	13,5	12,0	1,5	2,25
14	95	98	9	10,0	-1,0	1
Сумма						94

=1 – ((6*94)/(14*(14²-1))) = 1 – (564/2730) = 0,7934
Поскольку значение r=0,7934, можно говорить о высокой степени связи между объемом продукции и уровнем механизации труда, а знак (+) говорит о прямой направленности этой связи.

Чтобы оценить достоверность полученного коэффициента корреляции рангов, воспользуемся таблицей критических значений коэффициентов корреляции рангов Спирмена (таблица 5).


Таблица 5 Критические значения коэффициентов корреляции рангов Спирмена

n	p
	0.05	0.025	0.01	0.005
5	0.9
6	0.829	0.886	0.943
7	0.714	0.786	0.893
8	0.643	0.738	0.833	0.881
9	0.6	0.683	0.783	0.833
10	0.564	0.648	0.745	0.794
11	0.523	0.623	0.736	0.818
12	0.497	0.591	0.703	0.78
13	0.475	0.566	0.673	0.745
14	0.457	0.545	0.646	0.716
15	0.441	0.525	0.623	0.689
16	0.425	0.507	0.601	0.666
17	0.412	0.49	0.582	0.645
18	0.399	0.476	0.564	0.625
19	0.388	0.462	0.549	0.608
20	0.377	0.45	0.534	0.591
21	0.368	0.438	0.521	0.576
22	0.359	0.428	0.508	0.562
23	0.351	0.418	0.496	0.549
24	0.343	0.409	0.485	0.537
25	0.336	0.4	0.475	0.526
26	0.329	0.392	0.465	0.515
27	0.323	0.385	0.456	0.505
28	0.317	0.377	0.448	0.496
29	0.311	0.37	0.44	0.487
30	0.305	0.364	0.432	0.478

Для n=14 критическое значение 0,457 при уровне значимости 0,05. Поскольку полученное значение выше табличного, можно говорить о достоверности результата. Иными словами, корреляция статистически значима.




Задача 5
Динамика удельного расхода условного топлива на производство теплоэнергии (y_t, кг/Гкал) на ТЭЦ по городам представлена в таблице(5.8.):

t	1993	1994	1995	1996	1997	1998	1999	2000	2001
yt	165,6	163,8	165,4	166,0	165,5	165,2	164,5	164,5	164,4

Требуется:

1.                 Произвести сглаживание ряда методом трёхлетней скользящей средней

2.                 Выровнять ряд по прямой

3.                 Методом экстраполяции определить прогноз экономического показателя y_t на 2003 и 2003 гг.

4.                 Начертить графики первичного и выровненного рядов.

Решение:

Временным рядом называется последовательность значений (уровней) некоторого экономического показателя y_t, расположенных в порядке возрастания времени. Уровни ряда должны отражать значения экономического показателя за одинаковые или через одинаковые промежутки времени.

Одной из важнейших задач исследования временного ряда является задача выявления основной тенденции развития (тренда) изучаемого процесса.

Решение этой задачи необходимо для прогнозирования. При этом исходят из того, что тенденция развития, установленная в прошлом, может быть распространена (экстраполирована) на будущий период.

Наиболее простыми и часто применяемыми способами выявления основной тенденции развития являются сглаживание временного ряда методом скользящей средней или выравнивание по прямой методом наименьших квадратов.

Тренд – основная тенденция развития ряда, обусловливающая увеличение или снижение его уровней.

Одним из способов проверки ряда динамики на наличие в нем тренда является графический метод, когда на графике по оси абсцисс откладывается время, а по оси ординат – уровни ряда. Соединив полученные точки линиями, в большинстве случаев можно выявить тренд визуально.

Непосредственное выделение тренда можно осуществлять несколькими способами.

Одним из них является метод скользящей средней, когда уровни ряда заменяются средними величинами, получаемыми из данного уровня и нескольких симметрично его окружающих уровней. Такие средние называются интервалом сглаживания. Он может быть нечетным (3, 5, 7 и т.д. уровней) или четным (2, 4, 6 и т.д. уровней). Чаще применяется нечетный интервал, потому что сглаживание идет проще.

1. Сглаживание ряда методом трехлетней скользящей средней производится по формулам


и т.д.
Результаты приведены в таблице 1.
Таблица 1Сглаживание ряда динамики методом трехлетней скользящей средней

t	1993	1994	1995	1996	1997	1998	1999	2000	2001
yt	165,6	163,8	165,4	166	165,5	165,2	164,5	164,5	164,4
		164,9	165,1	165,6	165,6	165,1	164,7	164,5

2. Аналитическое выравнивание ряда по прямой производится с нахождением параметров уравнения тренда. Уравнение  решается с помощью метода наименьших квадратов.

где n – количество уровней (годов) в динамическом ряду,

t – порядковый номер уровня (года).

Произведем необходимые расчеты в таблице 2.
Таблица 2 Вспомогательная таблица

Годы	1993	1994	1995	1996	1997	1998	1999	2000	2001	Сумма
yt	165,6	163,8	165,4	166	165,5	165,2	164,5	164,5	164,4	1484,9
t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	45
t2	1	4	9	16	25	36	49	64	81	285
yt*t	165,6	327,6	496,2	664	827,5	991,2	1151,5	1316	1479,6	7419,2

9a+45b=1484,9

45a+285b=7419,2

Решаем систему уравнений, разделив первое уравнение на 9, а второе – на 45.

а+5b=164,99

a+6,33b=164,87

Вычитаем из второго уравнения первое 1,33b=-0,12 или b=-0,09023

Находим значение параметра а, подставив найденное значение параметра b в одно из уравнений

а+5*(-0,09023)=164,99

а-0,45113=164,99

а=164,4411

Отсюда

Используя это уравнение, подсчитаем выровненные значения ряда динамики за 1993-2001 гг. и занесем их в таблицу 3:

y₁ = 164,4411-0,09023*1 = 164,35

y₂ = 164,4411-0,09023*2 = 164,26

y₃ = 164,4411-0,09023*3 = 164,17 и т.д.
Таблица 3 Выравнивание ряда динамики по прямой

Годы	1993	1994	1995	1996	1997	1998	1999	2000	2001
t	1	2	3	4	5	6	7	8	9
yt факт	165,6	163,8	165,4	166	165,5	165,2	164,5	164,5	164,4
yt выровн	164,35	164,26	164,17	164,08	163,99	163,90	163,81	163,72	163,63

3. Сущность методов прогнозной экстраполяции заключается в изучении динамики изменения экономического явления в предпрогнозном периоде и перенесения найденной закономерности на некоторый период будущего. Обязательным условием применения экстраполяционного подхода в прогнозировании следует считать познание и объективное понимание природы исследуемого процесса, а также наличие устойчивых тенденций в механизме развития.

Используя уравнение , рассчитаем прогнозные показатели удельного расхода условного топлива на производство теплоэнергии (y_t, кг/Гкал) на ТЭЦ на 2002 и 2003 годы.

Для этого 2002 году присвоим значение t=10, а 2003 году – 11.

у₁₀ = 164,4411-0,09023*10 = 166,53

у₁₁ = 164,4411-0,09023*11 = 166,44

4. График первичного (фактического) и выровненных рядов изображен на рисунке 1.




Рисунок 1.