№ 1.005

Підйомний кран потрібно перемістити у найкоротший термін на відстань L. Кран можна розганяти або уповільнювати його рух лише з однаковим сталим прискоренням а, підтримуючи потім рівномірний рух або стан спокою. Половину відстані кран рухається рівномірно. Якої максимальної швидкості може набути підйомний кран, щоб виконати таку вимогу?
Рішення

L                          Записуємо формулу зв’язку шляху і початкової та

а                           кінцевої швидкості руху:

L2 = 1/2 L                     




Sтах - ?                          В першому випадку : V0 = 0 ; V = V тах; S =1  тоді:
Весь шлях можна розділити на три частини:
 - рівноприскорений з прискоренням а;

 - рівномірний ( або стан спокою);

 - рівносповільнений з прискоренням а.
Тоді:
L = L₁ + L₂ + L₃

 
Звідси
; ;
Відповідь: Максимальна швидкість яку може набрати підйомний кран за даних умов дорівнює




№ 1.050

На рисунку наведено спрощену схему кривошипно-шатунного механізму двигуна внутрішнього згоряння. Розрахувати силу тяги у момент, коли точка А лежить на одній вертикалі з віссю ведучого колеса. Тиск газів у циліндрі Р, площа поршня S, радіус ведучого колеса R, а відстань ОА = r. Масою кривошипно-шатунного механізму знехтувати.



S

Р

ОА = r

ОВ



F -?
Сила тяги у момент коли точка А лежить на одній вертикалі з віссю ведучого колеса позначена на малюнку; - F₁. Вона є проекцією сили F
F₁ = F ·соs α
і утворює обертальний момент μ = F₁ ·r.

Сила F₂ не утворює обертального моменту, тому що її плече відносно точки О дорівнює нулю.

Сила F заходиться, з умови, що тиск у циліндрі Р,
Р_ст = 1.25 ·8.3/333 = 124 · 10³Па ≈ 1.2· 10⁵Па

            28· 10^-3




№ 1.125

Прямокутний вертикальний щит шлюзової камери, що перегороджує канал шириною а = 4 м, знаходиться у пазах. Вага щита Р = 4,9 кН, коефіцієнт тертя в пазах μ = 0.5. Визначити зусилля, потрібне для підняття щита, якщо глибина води з одного боку щита h₁= 3м, а з другого h₂= 1м.




а = 4м

Р = тg=4.9· 10³Н

μ = 0.5

h₁= 3м

h₂= 1м
F -?
Зусилля, яке потрібно прикласти щоб підняти щит по пазах шлюзової камери:
F = тg +2 F_тр
Де тg - сила тяжіння, прикладена до щита;

F_тр - сила тертя, яка виникає при русі щита вгору.
F_тр = μ · N,
де N - сила тиску;

Сила тиску пов’язана з тиском води з одного боку Р₁ стовпчика води h₁, та з другого Р₂ відповідно h₂ :

Тобто,


Р₁=F₁ / S_1; Р₂=F₂ / S₂

Р₁= ρg h_1; Р₂= ρg h₂

N = F₁ - F₂ = Р₁ S₁ – Р₂ S₂

N = ρg h₁ S₁ –ρg h₂S₂ = ρg ch₁ · h₁ · a - ch₂h₁ · - h₂

N = ρg ch₁² a – h₁h₂ a + h₂²a = ρgac h₁²+ h₂² - h₁ h₂
Тоді сила:
F = тg +2 μρgа (h₁²+ h₂² - h₁ h₂)

F = 4.9 ·10³ + 2 · 0.5 · 10⁴ (9+1-3) ≈ 285 · 10³ Н
Відповідь: необхідне зусилля для підіймання щита ≈ 285 · 10³ Н




№ 1.145

Каналом зрошувальної системи з радіусом закруглення R - 30 м і шириною L - 3 м тече вода. Два манометри, що містяться в одній горизонтальній площині біля зовнішньої і внутрішньої стінок каналу, дають покази, що відрізняються на р = 400 Па. Чому дорівнює швидкість води у каналі?
R = 30м

L - 3 м

Р = 400Па

S = 10³кг/м³





V - ?
Різниця у показах манометрів дає значення додаткового тиску який створюється на повороті каналу за рахунок додаткової сили:
Р = F_дод / S_в = т V²/ R S_в                                                                                                                            (1)
де F_дод = т V²/ R - додаткова сила;

V - швидкість води у каналі;

S_в – площа внутрішньої поверхні бічної стінки каналу;
т = ρ · V                                                                                          (2)
- маса води яка протікає через поворот;

де V – об’єм води;

ρ - густина води.

Підставляємо (2) в (1).


Р = т V²/ R S_в= ρ · V · V²/ R S_в                                                       (3)
Об’єм води на повороті каналу:
V = S_в · L
Тоді формула (3) матиме вигляд:
Р = ρ V²· V / R S_в = ρ V²· S_в · L / R S_в = ρ V² · L / R
Звідки:
S =  =  =  =2м/с
Відповідь: швидкість води у каналі дорівнює 2м/с.




№ 2.030

Яка кількість теплоти потрібна для нагрівання повітря в кімнаті розмірами 2,5x5x3 м³ при початковому тиску 760 мм рт. ст.;а) від 0 °С до 1 °С; б) від 17 °С до 18 °С? Теплоємність при сталому тиску 1005,6 Дж/(кг · К)і показник адіабати 1,4.
 V= 2,5 · 5 · 3= 37,5м³                                     Кількість теплоти, яка потрібна для

а) t₁ = 0 °С = 273К                           прогрівання повітря знаходиться:

t₂ = 1 °С = 274К                               Δ Q - С_ν т Δ t

б) t₁ = 17 °С = 290К                         де С_ν - молярна теплоємність при

t₂ = 18 °С = 291К                             сталому об’ємі;

Р= 10⁵ Па                                         тоді Q = С_V /μ · т Δ t_,

 Ср = 1005,6 Дж/(кг · К)                  де С_V - теплоємність яка пов’язана

γ = 1.4                                              з теплоємністю при сталому тиску

                                                        співвідношенням:

Q₁; Δ Q₂ - ?                                       γ = Ср / С_V  С_ν = Ср / γ
Отже
Δ Q = Ср / γ · т /μ · Δ t
Для знаходження відношення т /μ скористаємось рівнянням Менделєєва-Клапейрона
р V = т /μ · R Т; т /μ = RV /RТ
підставляємо у Δ Q



Δ Q = RV /RТ · Ср / γ · Δ t


а) Δ Q₁ =  Δ Q₁ = 1.18 мДж

б) Δ Q₂ =  Δ Q₁ = 1.1 мДж
Відповідь: Для прогрівання повітря в кімнаті необхідно використати таку кількість тепла а) Δ Q₁ = 1.18 мДж

б) Δ Q₁ = 1.1 мДж
№ 2.045

За допомогою тягоміра з похилою трубкою визначити абсолютний тиск у газоході котельного агрегату. Рідина, що використовується у тягомірі являє собою спирт з густиною 800 кг/м³. Відлік по похилій шкалі АВ дорівнює 200 мм, кут нахилу трубки до горизонту 30°. Барометричний тиск становить 99085Па, температура 0 °С.
ρ = 800 кг/м³

АВ = 200 мм = 0.2м

α = 30°

Р_а = 99085Па

t = 0 °С
Δ Р - ?
Абсолютний тиск у газоході (Δ Р) дорівнює різниці атмосферного тиску (Р_а ) і тиску у газоході (Р):
Δ Р = Р_а - Р                                                                                              (1)


Внаслідок цієї різниці спирт піднімається по похилій трубці тягоміра на висоту, тобто:
Δ Р = Р_а - Р = ρg h                                                                          (2)
Висота h дорівнює:
h = АВ · sіп α  

Δ Р = ρg h = ρg · АВ · sіп α

Δ Р = ρg · АВ · sіп 30^о = 800 ·10 · 0.2 ·0.5 = 800Па.
Відповідь: Абсолютний тиск у газоході буде дорівнювати ΔР = 800Па.
№ 2.103

Стан вологого повітря, що засмоктується двигуном, характеризується температурою 25 °С і відносною вологістю 80%. Барометричний тиск становить 9,908·10³Па. Знайти парціальний тиск пари у повітрі і вміст вологи в ній.




t = 25 °С = 298К                     1) Відносна вологість повітря це

В = 80%                                  відношення порціонального тиску парів

μ = 18 · 10^{-3 кг}/_моль                    води при температурі t до тиску насичених парів води при тій самій температурі.

Р - ? В = Рt / Р_п(t) · 100%
Тиск насичених парів води при t = 25 °С беремо з таблиці:
Р_п (25 °С) = 3165Па




Тоді порціональний тиск при t = 25 °С буде:
Р(25 °С) = В · Р(25 °С) / 100%

Р = 80 · 3165 / 100 = 2532 (Па)
2) Вміст вологи – це густина води на t парів при температурі 25 °С. До парів води можна застосовувати рівняння Менделєєва-Клапейрона:
РV = т /μ · R Т;
якщо т = ρV, то
РV = ρV /μ · R Т;
тоді;
ρ= РМ / R Т

ρ =  = 18.4 · 10^-3 кг/м³
Відповідь: Порціональний тиск пари у повітрі дорівнює 2532Па. Вміст вологи - 18.4 · 10^-3 кг/м³




№ 2.135

Визначити довжину екранної сталевої труби в топці сучасного котла, якщо нижній край колектора, до якого підключено екранні труби, опустився на 9 см. Різниця температур металу труби у холодному й гарячому станах становить 340 °С.



α = 1.06 · 10^-5 К^-1                              Позначимо довжину екранної стале

l = 9см = 9· 10^-2м                                       вої трубки в точці котла через l.

t = 340 °С                                         Нижній край колектора опустився

на Δ l за рахунок видовження сталевої трубки під час нагрівання
l =?
Запишемо формулу для відносного видовження трубки:
Δ l / l = α Δt                                                                                     (1)
де

α – температурний коефіцієнт розширення сталі;

Δt – різниця температур металу труби у холодному і гарячому станах.

З формули (1) знаходимо:
l = Δ l / α Δt =  = 25см
Відповідь: Довжина екранної сталевої трубки дорівнює 25см.