Контрольная работа Вычисление вероятности
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-25Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего
от 25%

Подписываем
договор
1. Задача 1. В урне четыре белых и пять черных шаров. Из урны наугад вынимают два шара. Найти вероятность того, что один из этих шаров - белый, а другой - черный.
Решение.
Обозначим через А событие, состоящее в том, что один из этих шаров - белый, а другой - черный.
Вероятность события А найдем используя условную вероятность.
Ответ: 0,278.
2. Задача 2. Приведена схема соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны q1=0,1; q2=0,2; q3=0,3; q4=0,4; q5=0,5. Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход.
Решение.
Пусть событие
где
Т.к. события
Ответ: 0,994.
3. Задача 3. На трех автоматических станках изготавливаются одинаковые детали. Известно, что 30% продукции производится первым станком, 25% - вторым и 45% - третьим. Вероятность изготовления детали, отвечающей стандарту, на первом станке равна 0,99 , на втором - 0,988 и на третьем - 0,98. Изготовленные в течение дня на трех станках нерассортированные детали находятся на складе. Определить вероятность того, что взятая наугад деталь не соответствует стандарту.
Решение. Событие А состоит в том, что что взятая наугад деталь не соответствует стандарту.
Гипотезы Н1, Н2, Н3.
Гипотезы Нi образуют полную группу событий.
Воспользуемся формулой полной вероятности:
Тогда
Ответ: 0,0,015.
4. Задача 4. Игральную кость подбрасывают 12 раз. Чему равно наивероятнейшее число выпадений 6?
Решение.
Найдем
Наивероятнейшее число
Так как
Ответ: 2.
5. Задача 5. Дискретная случайная величина
Решение.
Таблица 1.
| 1 | 4 | 5 | 7 | 8 |
| 0,3 | 0,3 | 0,1 | 0,15 | 0,15 |
Найдем числовые характеристики данного распределения.
Математическое ожидание
Дисперсию определим по формуле:
Тогда
Найдем функцию распределения случайной величины.
Построим график этой функции
6. Задача 6. Случайная величина
Определить константу
Решение.
Коэффициент
Вычислим определенный интеграл:
Следовательно,
Математическое ожидание
Т.к. плотность распределения принимает отличное от нуля значения только на отрезке [0,
=
Вычислили интеграл, используя формулу интегрирования по частям.
Найдем дисперсию
[0,
Найдем
Воспользуемся формулой
Найдем функцию распределения СВ Х.
При
При
При
7. Задача 7. Случайная величина
Решение.
Найдем плотность распределения случайной величины
Построим график функции
Так как на интервалах
На интервале
На интервале
Найдем производные обратных функций
Учитывая, что
В результате получим:
Таким образом, плотность вероятности величины
8. Задача 8. Двумерный случайный вектор
Вычислить коэффициент корреляции между величинами
Решение.
Построим область
Найдем значение константы
Поскольку
Следовательно,
Значение коэффициента корреляции вычислим по формуле
Корреляционный момент вычислим по формуле
Определим корреляционный момент
Ответ:
9. Задача 9. По выборке одномерной случайной величины
1. Получить вариационный ряд;
2. Построить гистограмму равноинтервальным способом;
3. Построить гистограмму равновероятностным способом;
4. Вычислить оценки математического ожидания и дисперсии;
5. Выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощи критерия согласия
0,22 | 0,42 | 0,07 | 1,69 | 0,42 | 0,94 | 1,81 | 2,24 | 0,74 | 0,75 |
0,80 | 2,59 | 0,55 | 0,43 | 0,51 | 0,38 | 1,41 | 0,73 | 0,03 | 0,96 |
0,63 | 0,17 | 0,10 | 0,09 | 1,09 | 1,52 | 2,97 | 0,91 | 1,53 | 0,55 |
1,23 | 1,27 | 0,75 | 1,55 | 0,88 | 0,57 | 0,31 | 1,04 | 1,71 | 1,39 |
1,16 | 0,86 | 1,13 | 0,82 | 2,02 | 1,17 | 0,25 | 0,64 | 0,07 | 0,11 |
1,99 | 0,71 | 2,17 | 0,23 | 2,68 | 1,82 | 1,19 | 0,05 | 1,23 | 4,70 |
0,37 | 0,40 | 1,31 | 0,20 | 0,50 | 2,48 | 0,32 | 1,41 | 0,23 | 1,27 |
0,33 | 1,48 | 0,52 | 0,68 | 0,30 | 0,40 | 0,24 | 1,52 | 0,17 | 0,17 |
0,83 | 1,20 | 0,65 | 0,05 | 1,45 | 0,23 | 0,37 | 0,09 | 3,66 | 0,28 |
0,77 | 0,11 | 1,95 | 0,10 | 0,95 | 0,65 | 4,06 | 3,16 | 0,51 | 2,02 |
Решение.
Найдем размах вариации
Вариационный ряд распределения имеет вид:
| | | |
0,03 | 1 | 0,86 | 1 |
0,05 | 2 | 0,88 | 1 |
0,07 | 2 | 0,91 | 1 |
0,09 | 2 | 0,94 | 1 |
0,1 | 2 | 0,95 | 1 |
0,11 | 2 | 0,96 | 1 |
0,17 | 3 | 1,04 | 1 |
0,2 | 1 | 1,09 | 1 |
0,22 | 1 | 1,13 | 1 |
0,23 | 3 | 1,16 | 1 |
0,24 | 1 | 1,17 | 1 |
0,25 | 1 | 1,19 | 1 |
0,28 | 1 | 1,2 | 1 |
0,3 | 1 | 1,23 | 2 |
0,31 | 1 | 1,27 | 2 |
0,32 | 1 | 1,31 | 1 |
0,33 | 1 | 1,39 | 1 |
0,37 | 2 | 1,41 | 2 |
0,38 | 1 | 1,45 | 1 |
0,4 | 2 | 1,48 | 1 |
0,42 | 2 | 1,52 | 2 |
0,43 | 1 | 1,53 | 1 |
0,5 | 1 | 1,55 | 1 |
0,51 | 2 | 1,69 | 1 |
0,52 | 1 | 1,71 | 1 |
0,55 | 2 | 1,81 | 1 |
0,57 | 1 | 1,82 | 1 |
0,63 | 1 | 1,95 | 1 |
0,64 | 1 | 1,99 | 1 |
0,65 | 2 | 2,02 | 2 |
0,68 | 1 | 2,17 | 1 |
0,71 | 1 | 2,24 | 1 |
0,73 | 1 | 2,48 | 1 |
0,74 | 1 | 2,59 | 1 |
0,75 | 2 | 2,68 | 1 |
0,77 | 1 | 2,97 | 1 |
0,8 | 1 | 3,16 | 1 |
0,82 | 1 | 3,66 | 1 |
0,83 | 1 | 4,06 | 1 |
| | 4,7 | 1 |
Построим гистограмму равноинтервальным способом. Число интервалов рассчитаем по формуле
Полученные значения запишем в таблицу
№ | | | | | | |
1 | 0,03 | 0,497 | 0,467 | 34 | 0,34 | 0,73 |
2 | 0,497 | 0,964 | 0,467 | 27 | 0,27 | 0,58 |
3 | 0,964 | 1,431 | 0,467 | 15 | 0,15 | 0,32 |
4 | 1,431 | 1,898 | 0,467 | 10 | 0,1 | 0,21 |
5 | 1,898 | 2,365 | 0,467 | 6 | 0,06 | 0,13 |
6 | 2,365 | 2,832 | 0,467 | 3 | 0,03 | 0,06 |
7 | 2,832 | 3,299 | 0,467 | 2 | 0,02 | 0,04 |
8 | 3,299 | 3,766 | 0,467 | 1 | 0,01 | 0,02 |
9 | 3,766 | 4,233 | 0,467 | 1 | 0,01 | 0,02 |
10 | 4,233 | 4,7 | 0,467 | 1 | 0,01 | 0,02 |
Равноинтервальная гистограмма имеет вид:
Построим гистограмму равновероятностным способом.
№ | | | | | | |
1 | 0,03 | 0,17 | 0,14 | 10 | 0,1 | 0,7143 |
2 | 0,17 | 0,25 | 0,08 | 10 | 0,1 | 1,2500 |
3 | 0,25 | 0,42 | 0,17 | 10 | 0,1 | 0,5882 |
4 | 0,42 | 0,57 | 0,15 | 10 | 0,1 | 0,6667 |
5 | 0,57 | 0,77 | 0,2 | 10 | 0,1 | 0,5000 |
6 | 0,77 | 0,96 | 0,19 | 10 | 0,1 | 0,5263 |
7 | 0,96 | 1,27 | 0,31 | 10 | 0,1 | 0,3226 |
8 | 1,27 | 1,53 | 0,26 | 10 | 0,1 | 0,3846 |
9 | 1,53 | 2,17 | 0,64 | 10 | 0,1 | 0,1563 |
10 | 2,17 | 4,7 | 2,53 | 10 | 0,1 | 0,0395 |
Равновероятностная гистограмма имеет вид:
Оценку математического ожидания вычислим по формуле
Оценку дисперсии вычислим по формуле:
Построим доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии:
В нашем случае
Доверительный интервал для математического ожидания
Доверительный интервал для дисперсии
По виду равноинтервальной гистограммы выдвигаем гипотезу о том, что случайная величина X распределена по показательному закону:
H0 :
H1 :
Определим оценку неизвестного параметра
Предполагаемый закон распределения
Теоретические частоты найдем по формуле
№ | Интервалы [xi; xi+1) | | | | | | |
1 | 0,03 | 0,497 | 0,36 | 36,00 | -2,00 | 4,00 | 0,1111 |
2 | 0,497 | 0,964 | 0,23 | 23,00 | 4,00 | 16,00 | 0,6957 |
3 | 0,964 | 1,431 | 0,14 | 14,00 | 1,00 | 1,00 | 0,0714 |
4 | 1,431 | 1,898 | 0,09 | 9,00 | 1,00 | 1,00 | 0,1111 |
5 | 1,898 | 2,365 | 0,06 | 6,00 | 0,00 | 0,00 | 0,0000 |
6 | 2,365 | 2,832 | 0,04 | 4,00 | -1,00 | 1,00 | 0,2500 |
7 | 2,832 | 3,299 | 0,02 | 2,00 | 0,00 | 0,00 | 0,0000 |
8 | 3,299 | 3,766 | 0,01 | 1,00 | 0,00 | 0,00 | 0,0000 |
9 | 3,766 | 4,233 | 0,01 | 1,00 | 0,00 | 0,00 | 0,0000 |
10 | 4,233 | 4,7 | 0,01 | 1,00 | 0,00 | 0,00 | 0,0000 |
| | | | | | | 1,24 |
Число степеней свободы
Проверим гипотезу о нормальном распределении с помощью
№ | Интервалы [xi; xi+1) | частота в интервале | | | | |
1 | -2,951 | 7 | 34 | 0,34 | 0,36 | 0,02 |
2 | -2,513 | 10 | 27 | 0,61 | 0,59 | 0,02 |
3 | -2,075 | 8 | 15 | 0,76 | 0,73 | 0,03 |
4 | -1,637 | 12 | 10 | 0,86 | 0,82 | 0,04 |
5 | -1,199 | 14 | 6 | 0,92 | 0,88 | 0,04 |
6 | -0,761 | 11 | 3 | 0,95 | 0,91 | 0,04 |
7 | -0,323 | 9 | 2 | 0,97 | 0,93 | 0,04 |
8 | 0,115 | 4 | 1 | 0,98 | 0,95 | 0,03 |
9 | 0,553 | 16 | 1 | 0,99 | 0,96 | 0,03 |
10 | 0,991 | 9 | 1 | 1,00 | 0,97 | 0,03 |
То таблице квантилей распределения Колмогорова по уровню значимости
Так как
10. Задача 10. По выборке двумерной случайной величины
1. Вычислить оценку коэффициента корреляции;
2. Вычислить параметры линии регрессии
3. Построить диаграмму рассеивания и линию регрессии;
Решение
Найдем числовые характеристики величин
Корреляционный момент равен:
Найдем уравнения регрессии
где
Уравнение регрессии имеет вид:
Коэффициент корреляции равен:
Найдем интервальную оценку.
Проверим гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости
Проверим нулевую гипотезу
По таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню
Так как