ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ КОНСОРЦИУМ

СРЕДНЕРУССКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

НОУ ВПО ТУЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ И БИЗНЕСА
Контрольная работа

по курсу «Математика»
Выполнил студент В.В.Тюрин
Тула 2010


1. Задача 1
Для заданных двух множеств найти произведения  и , изобразить их графически и найти пересечение

,

Решение

1.Определяем мощность декартового произведения:

2.Записываем декартовы произведения в виде явного перечисления:



3.Определяем пересечение множеств:
{Ø}
4.Изображаем элементы декартовых произведений АхВ и ВхА в виде точек декартовой плоскости (рис.1). Произведениями множеств являются

совокупности точек, обозначенные разными символами.


Рис. 1. Прямое A x B и обратного B x A произведения двух точечных множеств


Очевидно, что их пересечение пусто, что и соответствует аналитическому решению.
2. Задача 2
Вычислить предел функции с использованием основных теорем

Решение


3. Задача 3
Раскрытие неопределенности вида  и  с использованием правила Лопиталя

Решение

Неопределенность





4. Задача 4
Найти производную простой функции

Решение


Итак,
5. Задача 5
Найти наибольшее и наименьшее значение функции на интервале



Решение

1. Находим первую производную заданной функции

2. Определяем критические точки первого рода:




 или ,

Отсюда ,
3. Подвергаем эти точки дополнительному исследованию в табличной форме (таблица 1), учитывая, что заданная функция определена на участке  числовой оси:


Таблица 1



Итак,

В данном случае один из глобальных экстремумов совпадает с одним из локальных экстремумов.
6. Задача 6
Вычислить неопределенный интеграл методом подстановки

Решение

Выполним подстановку:

Продифференцируем обе части уравнения:




=


7. Задача 7
Вычислить неопределенный интеграл от рациональной дроби

Решение

1. Найдем производную знаменателя:

2. Выделим в числителе выражение , для этого умножим знаменатель на 2 и умножим дробь на , чтобы значение дроби не изменилось, и вынесем  за знак интеграла.

3. Запишем число , как , получим:

4. Разлагаем подынтегральное выражение на сумму элементарных дробей:



5. Вычислим интеграл , для этого выражение внесем под знак дифференциала. Интеграл принимает табличный вид:

6. Вычислим интеграл , для этого выделим в знаменателе полный квадрат.

Интеграл принимает табличный вид:

7. Записываем решение:

8. Задача 8
Вычислить определенный интеграл методом интегрирования по частям



Решение



9. Задача 9
По заданным координатам вершинам А, В, С треугольника определить его длины сторон, углы и площадь

А(-5; -5; 3);В(-4; 1; 1);С(1; 4; 0)

Решение

1. Записываем стороны треугольника в форме линейных разложений векторов и строим векторную схему треугольника (рис.1):


Рис. 2 Схема треугольника










2 Вычисляем длины сторон:





3. Определяем углы треугольника,


следовательно, =23.3^o



следовательно, 25,4^о

Угол  по формуле .



Следовательно, ,
4. Проверяем достоверность вычисления углов треугольника

следовательно, все расчеты выполнены правильно.

5. Вычисляем площадь треугольника:





10. Задача 10
Найти для заданной матрицы  присоединенную  и обратную  матрицы

Решение

1. Вычисляем определитель матрицы

Итак, матрица неособенная и для нее существует обратная матрица .

2. Вычисляем для всех элементов матрицы  алгебраические дополнения:


















3. Записываем присоединенную матрицу:

4. Вычисляем обратную матрицу

5. Проверяем достоверность вычисления обратной матрицы, умножая ее на исходную матрицу
=




Получили единичную матрицу, следовательно, задача решена верно.
11. Задача 11
Найти произведения  и  квадратных матриц  и

Решение

Обе перемножаемые матрицы третьего порядка, поэтому умножение их всегда возможно по обычному правилу:

1.      Находим прямое произведение матриц (умножение слева направо)



2. Находим обратное произведение матриц (умножение справа налево)







12. Задача 12
Найти произведение  прямоугольных матриц

Решение

1. Сопоставляя размеры заданных матриц
,
устанавливаем, что эти прямоугольные матрицы можно перемножать, при этом результирующая матрица будет иметь размеры 3х1:

2. Находим прямое произведение матриц (умножение слева направо)





13. Задача 13
Решить систему линейных уравнений методами Гаусса, Крамера и в матричной форме

Решение

1. Решаем систему методом Крамера, учитывая, что в общем случае, решение методом Крамера имеет вид:
    
то есть решение сводится к вычислению четырех определителей третьего порядка.

2. Вычисляем определитель системы:

так как определитель системы , следовательно, система имеет решение и при этом одно.




3. Вычисляем остальные определители:



4. Вычисляем значения неизвестных:

Итак, решение системы имеет вид: (1, 2, 1).

2. Решение в матричной форме.

В общем случае решение СЛАУ в матричной форме имеет вид:
.
1. Записываем компоненты заданной СЛАУ в явном виде:

	0	6	10	12	14	18	20	28	36	42	54	90
	0.1	0.06	0.04	0.09	0.04	0.18	0.06	0.06	0.09	0.08	0.12	0.08