Контрольная работа на тему Примеры решения эконометрических заданий
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2014-11-15Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ФИЛИАЛ В Г. ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОМ
Специальность «Финансы и кредит»
Контрольная работа по эконометрике
Вариант № 14
Железнодорожный 2009
Задание 1.2
Задача 1.
Найти среднее число государственных вузов, если статистические данные таковы:
Найти: х - ?
Решение:
1. Определим кол-во наблюдений: n = 5
2. Запишем формулу:
х = 1 / n Σ ni = 1 * x i
3. x = (1*( 548 + 553 + 569 + 573 + 578)) / 5 = 2821 / 5 = 564,2
Ответ: 564,2
Задача 2.
Рассчитать ковариацию между 2-мя рядами:
Найти: Cov - ?
Решение:
1. Определим кол-во наблюдений: n = 7
2. Определим выборочное среднее для скота:
х = (1 * (57 + 54,7 + 52,2 + 48,9 + 43,3 + 39,7 + 35,1)) / 7 = 330,9 / 7 = 47,271
3. Определим выборочное среднее для молока:
y = (1 *(1,49 +1,38 + 1,29 + 1,1 + 0,99 + 0,9 + 0,88 ))/ 7 = 8,03 / 7 = 1,147
4. Запишем формулу для определения ковариации:
Cov (x;y) = 1/n Σ ni = 1 (xi - x)(yi - y)
5. Вычислим ковариацию:
Cov (x;y) = [1*((57-47,271)*(1,49-1,147)+(54,7-47,271)*(1,38-1,147)+ (52,2-47,271)*(1,29-1,147)+(48,9-47,271)*(1,1-1,147)+(43,3-47,271)*(0,99-1,147) + (39,7-47,271)*(0,9-1,147)+(35,1-47,271)*(0,88-1,147)) ]/7 = 11,439/7 = 1,634
Ответ: 1,634
Задача 3.
Определить выборочную дисперсию для ряда данных о потребление мяса (в кг на душу населения в год).
Найти: Var - ?
Решение:
1. Определим кол-во наблюдений: n = 7
2. Определим выборочное среднее:
х = (1*(69+60+69+57+55+51+50))/7 = 411/7 = 58,714
3. Запишем формулу для определения вариации:
Var (x) = 1/n Σ ni = 1 (xi - x)2
4. Определим вариацию:
Var = (1*(69-58,714)^2+(60-58,714)^2+(69-58,714)^2+(57-58,714)^2+(55-58,714)^2+(51-58,714)^2+(50-58,714)^2)/7 = 365,429/7 = 52,204
Ответ: 52,204
Задача 4.
Оценить параметры предполагаемой линейной зависимости объемов производства мяса по поголовью скота, если:
х (производство мяса) = 6,8
y (поголовье скота) = 47,3
Cov = 11,2
Var = 56,9
Оценить параметры
Решение:
1. b = Cov (x;y)/Var (x)
b = 11,2/56,9
b = 0,196
2. a = y – bx
a = 47,3 – 0,196 * 6,8
a = 45,968
3. y = 45,968 + 0,196x
Задание 5.
Определить остаток в 1-ом наблюдение, если уравнение регрессии имеет вид:
y = 0,20x – 2,24
Найти: g 1 = ?
Решение:
1. Выбор № наблюдений: i = 1
2. х i = 57
3. y i = 8,37
4. Вычислим :
y*= 0,20x – 2,24
y*= 0,20x 1 – 2,24
y*= 0,20*57 – 2,24
y*= 9,16
5. Определим остаток в 1-ом наблюдение:
g i = yi - xi
g 1 = 8,37 – 9,16
g 1 = - 0,79
Ответ: - 0,79
Задача 6.
Для рядов 1,2 уравнения регрессии y = 0,20 – 2,24 (задача 5), найти необъясненную сумму квадратов отклонений.
Найти: RSS = ?
Решение:
1. Определим число наблюдений: n = 7
2. Вычислим: yi = a + bxi , получим
y1*= 0,20*57 – 2,24, y1*= 9,16
y2*= 0,20*54,7 – 2,24, y2*= 8,7
3. Определим остатки:
g 1 = 8,37 – 9,16, g 1 = - 0,79
g 2 = 8,26 – 8,7, g 2 = - 0,44
4. Определим RSS для 1 и 2 ряда:
RSS = Σ ni =1 g i2
RSS = (- 0,79)2 + (-0,44)2
RSS = 775, 2592
Ответ: 0,8177
Задача 7.
Определить объясненную сумму квадратов отклонений для рядов и уравнения регрессии y = 0,20 – 2,24 (задача 5).
Найти: ESS = ?
Решение:
1. Определим число наблюдений: n = 7
2. Вычислим: yi = a + bxi , получим
y1= 0,20*57 – 2,24, y1 = 9,16
y2 = 0,20*54,7 – 2,24, y2 = 8,7
y3 = 0,20*52,2 – 2,24, y3 = 8,2
y4 = 0,20*48,9 – 2,24, y4 = 7,54
y5 = 0,20*43,3 – 2,24, y5 = 6,42
y6 = 0,20*39,7 – 2,24, y6 = 5,7
y7 = 0,20*35,1 – 2,24, y7 = 4,78
3. Определим выборочное среднее y = 1 / n Σ ni = 1 * y i получим:
y = (1 *(9,16+8,7+8,2+7,54+6,42+5,7+4,78))/ 7
y = 7,214
4. Вычислим ESS:
ESS = Σi = 1n ( yi* - yi)2
ESS = (9,16 – 7,214)2+(8,7 – 7,214)2+(8,2 – 7,214)2+(7,54 – 7,214)2+(6,42 – 7,214)2+(5,7 – 7,214)2+(4,78 – 7,214)2
ESS = 15,921
Ответ: 15,921
Задача 8.
В задачах 6 и 7 рассчитаны RSS и ESS. Определить TSS и проверить выполнение соотношения между этими 3-мя характеристиками.
RSS = 0,8177
ESS = 15,921
Решение:
1. Рассчитаем общую сумму квадратов отклонений:
TSS = Σi = 1n ( yi - y)2
TSS = 12,016
2. Проверим:
TSS = ESS + RSS
TSS = 15,921 + 0,8177
TSS = 16,7387
16,7387 ≠ 12,016 – несовпадение значений.
Задача 9.
Для рассчитанного уравнения регрессии определена ESS = 15,37/ Найти коэффициент детерминации, если TSS = 16,21.
Найти: R2 = ?
Решение:
1. Определим коэффициент детерминации:
R2 = ESS/TSS
R2 = 15,37/16,21
R2 = 0,948
Ответ: 0,948
Задача 10
Определить выборочную корреляцию между 2-мя величинами, если ковариация составляет 11,17, вариация первого ряда составляет 59,86 , а второго 2,32.
Cov (x,y) = 11,17
Var (x) = 59,86
Var (y) = 2,32
Найти: Zxy - ?
Решение:
1. Запишем формулу для определения выборочной корреляции:
Zxy = Cov2(x,y)/ √ Var(x) * Var(y)
2. Вычислим выборочную корреляцию:
Zxy = (11,17)2/ √ 59,86*2,32
Zxy = 124,769/11,785
Zxy = 10,588
Ответ: 10,588
Задание 2.2
Задача 1.
Найти: Var = ? и парную Cov = ?
Решение:
1. Определим число наблюдений: n = 9
2. Найдем выборочное среднее для рядов: х = 1 / n Σ ni = 1 * x i
х1 = (1*(30,8 + 34,3 + 38,3 + 37,7 + 33,8 + 39,9 + 38,7 + 37,0 + 31,4)) / 9
х1 = 35,767
х2 = (1*(1,1 + 1,2 + 0,4 + 0,2 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,2 + 0,33)) / 9
х2 = 0,414
у = (1*(15,7 + 16,7 + 17,5 + 18,8 + 18,0 + 18,3 + 18,5 + 19,1 + 18,0)) / 9
у = 17,844
3. Рассчитаем Var для рядов: Var = 1 / n Σ ni = 1 * ( x i – xi )2
4. Вычислим Cov: Cov (x,y) = 1 / n Σ ni = 1 * (xi – x)*(yi – y)
Ответ: Var1 = 9,680 Cov1 = 1,964
Var2 = 0,165 Cov2 = -0,361
Var3 = 1,022 Cov3 = -0,723
Задача 2.
Определить коэффициенты при объясняющих переменных, для линейной регрессии, отражающих зависимость потребления картофеля от его производства и импорта, используя данные из задачи 1.
Найти: b1,2 = ?
Решение:
1. Определим Var рядов объясняющих переменных:
Var(х1) = 9,680
Var(х2) = 0,165
2. Определим Cov:
Cov(x1;у) = 1,964
Cov(х2;у) = -0,361
Cov(х1;х2) = -0,723
3. Вычислим b1 и b2 по формулам:
b1 = Cov(x1;у)* Var(х2) - Cov(х2;у)* Cov(х1;х2)/ Var(х1)* Var(х2) – (Cov(х1;х2))2
b2 = Cov(х2;у)* Var(х1) - Cov(x1;у)* Cov(х1;х2)/ Var(х1)* Var(х2) - (Cov(х1;х2))2
b1 = (1,964*0,165) – (-0,361*-0,723)/ (9,680*0,165) - (-0,723)2
b1 = 0,059
b2 = (-0,361*9,680) – (1,964*-0,723)/ (9,680*0,165) - (-0,723)2
b2 = - 1,931
Ответ: 0,059 ; - 1,931
Задача 3.
Рассчитать коэффициент А для регрессии, отражающий зависимость потребления картофеля от его производства и импорта (исп. Данные из задачи 1 и 2)
Найти: а = ?
Решение:
1. определим средние значения:
х1 = 35,767 х2 = 0,414 у = 17,844
2. Определим коэффициенты b1 и b2:
b1 = 0,059 b2 = -1,931
3. Вычислим значение коэффициента а: а = у – b1x1 – b2x2
a = 17,844 - 0,059*35,767 – (-1,931*0,414)
a = 16,533
Ответ: 16,533
Задача 4.
Рассчитать значение личного потребления картофеля, используя полученные в задаче 2 и 3 коэффициенты регрессии.
Решение:
1. Определим коэффициенты b1 и b2:
b1 = 0,059 b2 = -1,931
2. Определим коэффициент а:
а = 16,533
3. Определим вектор регрессионного значения по формуле:
[Х*]= а + b1[x1]+ b2[x2]
Задача 5.
Рассчитать общую, объясненную и не объясненную сумму квадратов отклонений для рассчитанной ранее регрессии по потреблению картофеля.
Найти: RSS, TSS, ESS - ?
Решение:
1. Определим средненаблюдаемое у и средне расчетное у* независимых переменных:
у = y*
2. Определим общую сумму квадратов отклонений по формуле:
TSS = Σi = 1n ( yi - y)2
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ФИЛИАЛ В Г. ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОМ
Специальность «Финансы и кредит»
Контрольная работа по эконометрике
Вариант № 14
Железнодорожный 2009
Задание 1.2
Задача 1.
Найти среднее число государственных вузов, если статистические данные таковы:
| Годы | 1994 | 1995 | 1996 | 1997 | 1998 |
| Кол-во ВУЗов | 548 | 553 | 569 | 573 | 578 |
Решение:
1. Определим кол-во наблюдений: n = 5
2. Запишем формулу:
х = 1 / n Σ ni = 1 * x i
3. x = (1*( 548 + 553 + 569 + 573 + 578)) / 5 = 2821 / 5 = 564,2
Ответ: 564,2
Задача 2.
Рассчитать ковариацию между 2-мя рядами:
| Поголовье КРС (млн.т) | 57 | 54,7 | 52,2 | 48,9 | 43,3 | 39,7 | 35,1 |
| Пр-во молока (тыс.т) | 1,49 | 1,38 | 1,29 | 1,1 | 0,99 | 0,9 | 0,88 |
Решение:
1. Определим кол-во наблюдений: n = 7
2. Определим выборочное среднее для скота:
х = (1 * (57 + 54,7 + 52,2 + 48,9 + 43,3 + 39,7 + 35,1)) / 7 = 330,9 / 7 = 47,271
3. Определим выборочное среднее для молока:
y = (1 *(1,49 +1,38 + 1,29 + 1,1 + 0,99 + 0,9 + 0,88 ))/ 7 = 8,03 / 7 = 1,147
4. Запишем формулу для определения ковариации:
Cov (x;y) = 1/n Σ ni = 1 (xi - x)(yi - y)
5. Вычислим ковариацию:
Cov (x;y) = [1*((57-47,271)*(1,49-1,147)+(54,7-47,271)*(1,38-1,147)+ (52,2-47,271)*(1,29-1,147)+(48,9-47,271)*(1,1-1,147)+(43,3-47,271)*(0,99-1,147) + (39,7-47,271)*(0,9-1,147)+(35,1-47,271)*(0,88-1,147)) ]/7 = 11,439/7 = 1,634
Ответ: 1,634
Задача 3.
Определить выборочную дисперсию для ряда данных о потребление мяса (в кг на душу населения в год).
| 69 | 60 | 69 | 57 | 55 | 51 | 50 |
Решение:
1. Определим кол-во наблюдений: n = 7
2. Определим выборочное среднее:
х = (1*(69+60+69+57+55+51+50))/7 = 411/7 = 58,714
3. Запишем формулу для определения вариации:
Var (x) = 1/n Σ ni = 1 (xi - x)2
4. Определим вариацию:
Var = (1*(69-58,714)^2+(60-58,714)^2+(69-58,714)^2+(57-58,714)^2+(55-58,714)^2+(51-58,714)^2+(50-58,714)^2)/7 = 365,429/7 = 52,204
Ответ: 52,204
Задача 4.
Оценить параметры предполагаемой линейной зависимости объемов производства мяса по поголовью скота, если:
х (производство мяса) = 6,8
y (поголовье скота) = 47,3
Cov = 11,2
Var = 56,9
Оценить параметры
Решение:
1. b = Cov (x;y)/Var (x)
b = 11,2/56,9
b = 0,196
2. a = y – bx
a = 47,3 – 0,196 * 6,8
a = 45,968
3. y = 45,968 + 0,196x
Задание 5.
Определить остаток в 1-ом наблюдение, если уравнение регрессии имеет вид:
y = 0,20x – 2,24
| 57 | 54,7 | 52,2 | 48,9 | 43,3 | 39,7 | 35,1 |
| 8,37 | 8,26 | 7,51 | 6,8 | 5,79 | 5,33 | 4,85 |
Решение:
1. Выбор № наблюдений: i = 1
2. х i = 57
3. y i = 8,37
4. Вычислим :
y*= 0,20x – 2,24
y*= 0,20x 1 – 2,24
y*= 0,20*57 – 2,24
y*= 9,16
5. Определим остаток в 1-ом наблюдение:
g i = yi - xi
g 1 = 8,37 – 9,16
g 1 = - 0,79
Ответ: - 0,79
Задача 6.
Для рядов 1,2 уравнения регрессии y = 0,20 – 2,24 (задача 5), найти необъясненную сумму квадратов отклонений.
| 57 | 54,7 | 52,2 | 48,9 | 43,3 | 39,7 | 35,1 |
| 8,37 | 8,26 | 7,51 | 6,8 | 5,79 | 5,33 | 4,85 |
Решение:
1. Определим число наблюдений: n = 7
2. Вычислим: yi = a + bxi , получим
y1*= 0,20*57 – 2,24, y1*= 9,16
y2*= 0,20*54,7 – 2,24, y2*= 8,7
3. Определим остатки:
g 1 = 8,37 – 9,16, g 1 = - 0,79
g 2 = 8,26 – 8,7, g 2 = - 0,44
4. Определим RSS для 1 и 2 ряда:
RSS = Σ ni =1 g i2
RSS = (- 0,79)2 + (-0,44)2
RSS = 775, 2592
Ответ: 0,8177
Задача 7.
Определить объясненную сумму квадратов отклонений для рядов и уравнения регрессии y = 0,20 – 2,24 (задача 5).
| 57 | 54,7 | 52,2 | 48,9 | 43,3 | 39,7 | 35,1 |
| 8,37 | 8,26 | 7,51 | 6,8 | 5,79 | 5,33 | 4,85 |
Решение:
1. Определим число наблюдений: n = 7
2. Вычислим: yi = a + bxi , получим
y1= 0,20*57 – 2,24, y1 = 9,16
y2 = 0,20*54,7 – 2,24, y2 = 8,7
y3 = 0,20*52,2 – 2,24, y3 = 8,2
y4 = 0,20*48,9 – 2,24, y4 = 7,54
y5 = 0,20*43,3 – 2,24, y5 = 6,42
y6 = 0,20*39,7 – 2,24, y6 = 5,7
y7 = 0,20*35,1 – 2,24, y7 = 4,78
3. Определим выборочное среднее y = 1 / n Σ ni = 1 * y i получим:
y = (1 *(9,16+8,7+8,2+7,54+6,42+5,7+4,78))/ 7
y = 7,214
4. Вычислим ESS:
ESS = Σi = 1n ( yi* - yi)2
ESS = (9,16 – 7,214)2+(8,7 – 7,214)2+(8,2 – 7,214)2+(7,54 – 7,214)2+(6,42 – 7,214)2+(5,7 – 7,214)2+(4,78 – 7,214)2
ESS = 15,921
Ответ: 15,921
Задача 8.
В задачах 6 и 7 рассчитаны RSS и ESS. Определить TSS и проверить выполнение соотношения между этими 3-мя характеристиками.
RSS = 0,8177
ESS = 15,921
Решение:
1. Рассчитаем общую сумму квадратов отклонений:
TSS = Σi = 1n ( yi - y)2
TSS = 12,016
| уi | 8,37 | 8,26 | 7,51 | 6,8 | 5,79 | 5,33 | 4,85 | Σ = 46,91 | Σ/n = 6,701 |
| ( yi - y)2 | 2,784 | 2,429 | 0,654 | 0,010 | 0,831 | 1,881 | 3,428 | Σ = 12,016 |
TSS = ESS + RSS
TSS = 15,921 + 0,8177
TSS = 16,7387
16,7387 ≠ 12,016 – несовпадение значений.
Задача 9.
Для рассчитанного уравнения регрессии определена ESS = 15,37/ Найти коэффициент детерминации, если TSS = 16,21.
Найти: R2 = ?
Решение:
1. Определим коэффициент детерминации:
R2 = ESS/TSS
R2 = 15,37/16,21
R2 = 0,948
Ответ: 0,948
Задача 10
Определить выборочную корреляцию между 2-мя величинами, если ковариация составляет 11,17, вариация первого ряда составляет 59,86 , а второго 2,32.
Cov (x,y) = 11,17
Var (x) = 59,86
Var (y) = 2,32
Найти: Zxy - ?
Решение:
1. Запишем формулу для определения выборочной корреляции:
Zxy = Cov2(x,y)/ √ Var(x) * Var(y)
2. Вычислим выборочную корреляцию:
Zxy = (11,17)2/ √ 59,86*2,32
Zxy = 124,769/11,785
Zxy = 10,588
Ответ: 10,588
Задание 2.2
Задача 1.
| Производство х1 | 30,8 | 34,3 | 38,3 | 37,7 | 33,8 | 39,9 | 38,7 | 37,0 | 31,4 |
| Импорт х2 | 1,1 | 1,2 | 0,4 | 0,2 | 0,1 | 0,1 | 0,1 | 0,2 | 0,33 |
| Потребление у | 15,7 | 16,7 | 17,5 | 18,8 | 18,0 | 18,3 | 18,5 | 19,1 | 18,0 |
Решение:
1. Определим число наблюдений: n = 9
2. Найдем выборочное среднее для рядов: х = 1 / n Σ ni = 1 * x i
х1 = (1*(30,8 + 34,3 + 38,3 + 37,7 + 33,8 + 39,9 + 38,7 + 37,0 + 31,4)) / 9
х1 = 35,767
х2 = (1*(1,1 + 1,2 + 0,4 + 0,2 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,2 + 0,33)) / 9
х2 = 0,414
у = (1*(15,7 + 16,7 + 17,5 + 18,8 + 18,0 + 18,3 + 18,5 + 19,1 + 18,0)) / 9
у = 17,844
3. Рассчитаем Var для рядов: Var = 1 / n Σ ni = 1 * ( x i – xi )2
| (x1 – x1) | -4,967 | -1,467 | 2,533 | 1,933 | -1,967 | 4,133 | 2,933 | 1,233 | -4,367 | Σ = 87,120 Σ/n = 9,680 |
| (x1– x1)2 | 24,668 | 2,151 | 6,418 | 3,738 | 3,868 | 17,084 | 8,604 | 1,521 | 19,068 | |
| (x2 – x2) | 0,686 | 0,786 | -0,014 | -0,214 | -0,314 | -0,314 | -0,314 | -0,214 | -0,084 | Σ = 1,483 Σ/n = 0,165 |
| (x2– x2)2 | 0,470 | 0,617 | 0,000196 | 0,046 | 0,099 | 0,099 | 0,099 | 0,046 | 0,007 | |
| (y – y) | -2,144 | -1,144 | -0,344 | 0,956 | 0,156 | 0,456 | 0,656 | 1,256 | 0,156 | Σ = 9,202 Σ/n = 1,022 |
| (y– y)2 | 4,599 | 1,310 | 0,119 | 0,913 | 0,024 | 0,208 | 0,430 | 1,576 | 0,024 |
| (x1-x1)(y-y) | 10,651 | 1,679 | -0,873 | 1,847 | 1,923 | 1,549 | -0,679 | Σ = 17,673 | Σ/n = 1,964 |
| (x2 –x2)(y-y) | -1,470 | -0,899 | 0,005 | -0,205 | -0,206 | -0,269 | -0,013 | Σ = -3,250 | Σ/n = -0,361 |
| (x1-x1)(x2 –x2) | -3,405 | -1,152 | -0,037 | -0,415 | -0,922 | -0,264 | 0,369 | Σ = -6,508 | Σ/n = -0,723 |
Var2 = 0,165 Cov2 = -0,361
Var3 = 1,022 Cov3 = -0,723
Задача 2.
Определить коэффициенты при объясняющих переменных, для линейной регрессии, отражающих зависимость потребления картофеля от его производства и импорта, используя данные из задачи 1.
Найти: b1,2 = ?
Решение:
1. Определим Var рядов объясняющих переменных:
Var(х1) = 9,680
Var(х2) = 0,165
2. Определим Cov:
Cov(x1;у) = 1,964
Cov(х2;у) = -0,361
Cov(х1;х2) = -0,723
3. Вычислим b1 и b2 по формулам:
b1 = Cov(x1;у)* Var(х2) - Cov(х2;у)* Cov(х1;х2)/ Var(х1)* Var(х2) – (Cov(х1;х2))2
b2 = Cov(х2;у)* Var(х1) - Cov(x1;у)* Cov(х1;х2)/ Var(х1)* Var(х2) - (Cov(х1;х2))2
b1 = (1,964*0,165) – (-0,361*-0,723)/ (9,680*0,165) - (-0,723)2
b1 = 0,059
b2 = (-0,361*9,680) – (1,964*-0,723)/ (9,680*0,165) - (-0,723)2
b2 = - 1,931
Ответ: 0,059 ; - 1,931
Задача 3.
Рассчитать коэффициент А для регрессии, отражающий зависимость потребления картофеля от его производства и импорта (исп. Данные из задачи 1 и 2)
Найти: а = ?
Решение:
1. определим средние значения:
х1 = 35,767 х2 = 0,414 у = 17,844
2. Определим коэффициенты b1 и b2:
b1 = 0,059 b2 = -1,931
3. Вычислим значение коэффициента а: а = у – b1x1 – b2x2
a = 17,844 - 0,059*35,767 – (-1,931*0,414)
a = 16,533
Ответ: 16,533
Задача 4.
Рассчитать значение личного потребления картофеля, используя полученные в задаче 2 и 3 коэффициенты регрессии.
Решение:
1. Определим коэффициенты b1 и b2:
b1 = 0,059 b2 = -1,931
2. Определим коэффициент а:
а = 16,533
3. Определим вектор регрессионного значения по формуле:
[Х*]= а + b1[x1]+ b2[x2]
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
| [Х*] | 16,226 | 16,240 | 18,020 | 18,371 | 18,334 | 18,694 | 18,623 | 18,33 | 17,748 |
Задача 5.
Рассчитать общую, объясненную и не объясненную сумму квадратов отклонений для рассчитанной ранее регрессии по потреблению картофеля.
Найти: RSS, TSS, ESS - ?
Решение:
1. Определим средненаблюдаемое у и средне расчетное у* независимых переменных:
| Потребление у | 15,7 | 16,7 | 17,5 | 18,8 | 18 | 19,1 | 18 | Σ = 160,6 | Σ/n = 17,84 |
| у* | 16,226 | 16,240 | 18,020 | 18,371 | 18,334 | 18,330 | 17,748 | Σ= 160,6 | Σ/n = 17,84 |
2. Определим общую сумму квадратов отклонений по формуле:
TSS = Σi = 1n ( yi - y)2
TSS = 9,202
3. Определим объясненную сумму квадратов отклонений по формуле:
ESS = Σi = 1n ( yi – y*)2
ESS = 7,316
4. Определим не объясненную сумму квадратов отклонений по формуле:
RSS = Σi = 1n ( yi – y*)2
RSS = 1,882
Ответ: 9,202 ;7,316; 1,882
Задача 6.
Вычислить коэффициент детерминации, используя данные из задачи 5
Найти: R-?
Решение:
1. Вычислим TSS и ESS:
TSS = 9,202
ESS = 7,316
2. Найдем R2 по формуле:
R2 = ESS/TSS
R2 = 7,316/9,202
R2 = 0,795
Ответ: 0,795
Задача 7.
Для оценки возможной мультиколлиниарности, рассчитать коэффиц. корреляции между рядами данных (задача 1).
Решение:
1. Найдем Var:
Var(х1) = 9,680
Var(х2) = 0,165
2. Найдем Cov:
Cov(х1;х2) = -0,723
3. Рассчитаем коэффициент корреляции:
r(x1;х2) = Cov(х1;х2)/√ Var(х1)- Var(х2)
r(x1;х2) = -0,723/3,085
r(x1;х2) = - 0,234
Ответ: - 0,234
Задача 8.
Определить несмещенную оценку дисперсии случайного члена регрессии для потребления картофеля.
Найти: Su2(u) - ?
Решение:
1. Найдем RSS:
RSS = 1,882
2. Найдем число степеней выборки
k = n-m-1
k = 9-2-1
k = 6
3. Найдем несмещенную оценку случайного члена:
Su2(u) = RSS/ n-m-1
Su2(u) = 1,882/9-2-1
Su2(u) = 0,3136
Ответ: 0,3136
Задача 9.
Рассчитать стандартные ошибки оценок коэффициента при объясняющ. переменных для модели множеств. регрессии по потреблению картофеля.
Найти: С.О.(b1), C.O.(b2) - ?
Решение:
1. Найдем дисперсию случайного члена:
Su2(u) = 0,3136
2. Найдем Var:
Var(х1) = 9,680
Var(х2) = 0,165
3. Найдем коэффиц. корреляции:
r(x1;х2) = - 0,234
4. Вычислим стандартные ошибки С.О.(b1), C.O.(b2):
С.О.(b1) = (√(Su2(u)/n * Var(х1)) * (1/1- r2 (x1;х2))
С.О.(b1) = (√(0,3136/9*9,680))* (1/1-(- 0,234))
C.O.(b2) = (√(Su2(u)/n * Var(х2)) * (1/1- r2 (x1;х2))
C.O.(b2) = (√(0,3136/9*0,165))* (1/1-(- 0,234))
С.О.(b1) = 0,0486
C.O.(b2) = 0,3724
Ответ: 0,0486; 0,3724.
Задача 10.
Рассчитать статистику Дарбина-Уотсона.
Найти: DW - ?
Решение:
1. Определим остатки в наблюдениях:
ek = yk – y*k; k = (1:n)
(e k-e k – 1) 2= 4,562
e k2 = 1,882
2. Вычислим статистику Дарбина-Уотсона:
DW = Σ (e k-e k – 1)2/ Σ e k2
DW = 2,424
DW > 2
Ответ: т.к. DW > 2, то автокорреляция отрицательная.
Задание 3.2
Задача 1.
Рассчитать выборочное среднее для ряда данных по личным потребительским расходам на косметику (млрд. руб.):
6.3 6.6 6.8 7.0 7.1 7.4 7.9 7.8 7.4
Найти: а
Решение:
1. Запишем формулу: a=1/N*Σ Nt=1*x (t)
2. Вычислим:
а = 1*(5.9 + 6.3 + 6.6 + 6.8 + 7.0 + 7.1 + 7.4 + 7.9 + 7.8 + 7.4)/10
а = 7,02 (млрд. руб.)
Ответ: 7,02 (млрд. руб.)
Задача 2.
Рассчитать выборочную дисперсию по данным задачи 1.
Найти: σ = ?
Решение:
1. а = 7,02
2. Запишем формулу для вычисления дисперсии: σ2 = 1/N*ΣNt=1 x(t)-a
3. Вычислим:
σ = 3,676
Ответ: 3,676
Задача 3.
Найти оценку ковариации для τ = 0,1,2 (используя данные из задачи 1)
∑ τ (0) = 3,676
∑ τ (1) = 2,552
∑ τ (2) = 1,313
ρ(τ) = 1/(N- τ)∑t=1N- τ (x(t)-в)* (x(t+1)-в)
ρ (0) = 0,367
ρ (1) = 0,283
ρ (2) = 0,164
Ответ: 0,367; 0,283; 0,164.
Задача 4.
Рассчитать выборочную автокорреляцию для τ = 1,2, используя данные из задачи 1
Найти: r= ? для τ = 1,2
Решение:
1. Найдем τ = 0,1,2
ρ(0) = 0,367
ρ(1) = 0,283
ρ(2) = 0,164
2. Рассчитаем выборочную автокорреляцию для τ = 1,2, по формуле:
r(τ) = ρ (τ)/ τ(0)
r(1) = 0,283/0,367
r(1) = 0,771
r(2) = 0,164/0,367
r(2) = 0,446
Ответ: 0,771; 0,446
Задача 5.
Рассчитать выборочную частную автокорреляцию 1-го порядка, используя данные из задачи 1.
Найти: rчастная (2) = ?
Решение:
1. Найдем выборочную автокорреляцию
r(1) = 0,771
r(2) = 0,446
2. Рассчитаем выборочную частную автокорреляцию 1-го порядка:
rчастная (2) = r(2) – r2 (1)/ 1 - r2 (1)
rчастная (2) = 0,446 – (0,771)2 / 1 - (0,771)2
rчастная (2) = - 0,365
Ответ: - 0,365
Задача 6.
С помощью критерия основанного на медиане, проверить гипотезу о неизменности среднего значения временного ряда:
Решение:
1. Определим число наблюдений: n=15
2. Отранжеруем временные ряды в порядке возрастания:
6000 6200 6300 6300 6400 6400 6400 6500 6500 6600 6600 6600 6600 6700 6700
3. Вычислим медиану:
n = 15;
хмед = n+1/2 = 15+1/2
xмед = 8
xмед = 6500
4. Создаем ряд из + и -, в соответствие с правилом:
если х(i) < хмед , то +; если х(i) > хмед , то -.
5. Определим общее число серий:
v(15) = 6
6. Протяженность самой длинной серии:
τ(20) = 3
7. Проверим неравенства:
v(n) > (1/2*(n+2)-1,96*√n-1)
v(n) = (1/2*(15+2) – 1,96*√15-1)
v(n) = 1,166
6 > 1 – выполняется
τ(n) < (1,43*ln(n+1))
τ(n) < (1,43*ln(15+1))
τ(n) = 3,96
3 < 3,96 – выполняется
Так как выполняются оба неравенства, гипотеза о неизменности среднего значения временного ряда принимается.
Ответ: гипотеза принимается.
| ( yi - y)2 | 4,60 | 1,31 | 0,12 | 0,91 | 0,21 | 0,43 | 1,58 | 0,02 | Σ= 9,202 |
ESS = Σi = 1n ( yi – y*)2
ESS = 7,316
| ( yi – y*)2 | 2,614 | 2,571 | 0,031 | 0,279 | 0,241 | 0,724 | 0,609 | 0,237 | 0,009 | Σ= 7,316 |
RSS = Σi = 1n ( yi – y*)2
RSS = 1,882
| ( yi – y*)2 | 0,277 | 0,212 | 0,271 | 0,184 | 0,112 | 0,155 | 0,015 | 0,593 | 0,063 | Σ= 1,882 |
Задача 6.
Вычислить коэффициент детерминации, используя данные из задачи 5
Найти: R-?
Решение:
1. Вычислим TSS и ESS:
TSS = 9,202
ESS = 7,316
2. Найдем R2 по формуле:
R2 = ESS/TSS
R2 = 7,316/9,202
R2 = 0,795
Ответ: 0,795
Задача 7.
Для оценки возможной мультиколлиниарности, рассчитать коэффиц. корреляции между рядами данных (задача 1).
Решение:
1. Найдем Var:
Var(х1) = 9,680
Var(х2) = 0,165
2. Найдем Cov:
Cov(х1;х2) = -0,723
3. Рассчитаем коэффициент корреляции:
r(x1;х2) = Cov(х1;х2)/√ Var(х1)- Var(х2)
r(x1;х2) = -0,723/3,085
r(x1;х2) = - 0,234
Ответ: - 0,234
Задача 8.
Определить несмещенную оценку дисперсии случайного члена регрессии для потребления картофеля.
Найти: Su2(u) - ?
Решение:
1. Найдем RSS:
RSS = 1,882
2. Найдем число степеней выборки
k = n-m-1
k = 9-2-1
k = 6
3. Найдем несмещенную оценку случайного члена:
Su2(u) = RSS/ n-m-1
Su2(u) = 1,882/9-2-1
Su2(u) = 0,3136
Ответ: 0,3136
Задача 9.
Рассчитать стандартные ошибки оценок коэффициента при объясняющ. переменных для модели множеств. регрессии по потреблению картофеля.
Найти: С.О.(b1), C.O.(b2) - ?
Решение:
1. Найдем дисперсию случайного члена:
Su2(u) = 0,3136
2. Найдем Var:
Var(х1) = 9,680
Var(х2) = 0,165
3. Найдем коэффиц. корреляции:
r(x1;х2) = - 0,234
4. Вычислим стандартные ошибки С.О.(b1), C.O.(b2):
С.О.(b1) = (√(Su2(u)/n * Var(х1)) * (1/1- r2 (x1;х2))
С.О.(b1) = (√(0,3136/9*9,680))* (1/1-(- 0,234))
C.O.(b2) = (√(Su2(u)/n * Var(х2)) * (1/1- r2 (x1;х2))
C.O.(b2) = (√(0,3136/9*0,165))* (1/1-(- 0,234))
С.О.(b1) = 0,0486
C.O.(b2) = 0,3724
Ответ: 0,0486; 0,3724.
Задача 10.
Рассчитать статистику Дарбина-Уотсона.
Найти: DW - ?
Решение:
1. Определим остатки в наблюдениях:
ek = yk – y*k; k = (1:n)
| y(k) | 15,7 | 16,7 | 17,5 | 18,8 | 18 | 18,3 | 18,5 | 19,1 |
| y(k)* | 16,226 | 16,240 | 18,020 | 18,371 | 18,334 | 18,694 | 18,623 | 18,330 |
| e(k) | -0,526 | 0,461 | -0,520 | 0,429 | -0,334 | -0,394 | -0,123 | 0,770 |
| ek-e(k-1) | -0,987 | 0,981 | -0,949 | 0,763 | 0,060 | -0,271 | -0,893 | 0,519 |
| ek-e(k-1)^2 | 0,973 | 0,962 | 0,901 | 0,582 | 0,004 | 0,073 | 0,798 | 0,269 |
| e(k)^2 | 0,277 | 0,212 | 0,271 | 0,184 | 0,112 | 0,155 | 0,015 | 0,593 |
e k2 = 1,882
2. Вычислим статистику Дарбина-Уотсона:
DW = Σ (e k-e k – 1)2/ Σ e k2
DW = 2,424
DW > 2
Ответ: т.к. DW > 2, то автокорреляция отрицательная.
Задание 3.2
Задача 1.
Рассчитать выборочное среднее для ряда данных по личным потребительским расходам на косметику (млрд. руб.):
6.3 6.6 6.8 7.0 7.1 7.4 7.9 7.8 7.4
Найти: а
Решение:
1. Запишем формулу: a=1/N*Σ Nt=1*x (t)
2. Вычислим:
а = 1*(5.9 + 6.3 + 6.6 + 6.8 + 7.0 + 7.1 + 7.4 + 7.9 + 7.8 + 7.4)/10
а = 7,02 (млрд. руб.)
Ответ: 7,02 (млрд. руб.)
Задача 2.
Рассчитать выборочную дисперсию по данным задачи 1.
Найти: σ = ?
Решение:
1. а = 7,02
2. Запишем формулу для вычисления дисперсии: σ2 = 1/N*ΣNt=1 x(t)-a
3. Вычислим:
| х(t) | 5,9 | 6,3 | 6,6 | 6,8 | 7 | 7,1 | 7,4 | 7,9 | 7,8 |
| х(t)-a | -1,120 | -0,720 | -0,420 | -0,220 | -0,020 | 0,080 | 0,380 | 0,880 | 0,780 |
| (х(t)-a)2 | 1,254 | 0,518 | 0,176 | 0,048 | 0,0004 | 0,006 | 0,144 | 0,774 | 0,608 |
Ответ: 3,676
Задача 3.
Найти оценку ковариации для τ = 0,1,2 (используя данные из задачи 1)
| х(t)-a | -1,120 | -0,720 | -0,420 | -0,220 | -0,020 | 0,080 | 0,380 | 0,880 |
| (х(t)-a)^2 | 1,254 | 0,518 | 0,176 | 0,048 | 0,000 | 0,006 | 0,144 | 0,774 |
| (х(t)-a)* (х(t+1)-a) | 0,8064 | 0,3024 | 0,0924 | 0,0044 | -0,0016 | 0,0304 | 0,3344 | 0,6864 |
| (х(t)-a)* (х(t+2)-a) | 0,4704 | 0,1584 | 0,0084 | -0,0176 | -0,0076 | 0,0704 | 0,2964 | 0,3344 |
∑ τ (1) = 2,552
∑ τ (2) = 1,313
ρ(τ) = 1/(N- τ)∑t=1N- τ (x(t)-в)* (x(t+1)-в)
ρ (0) = 0,367
ρ (1) = 0,283
ρ (2) = 0,164
Ответ: 0,367; 0,283; 0,164.
Задача 4.
Рассчитать выборочную автокорреляцию для τ = 1,2, используя данные из задачи 1
Найти: r= ? для τ = 1,2
Решение:
1. Найдем τ = 0,1,2
ρ(0) = 0,367
ρ(1) = 0,283
ρ(2) = 0,164
2. Рассчитаем выборочную автокорреляцию для τ = 1,2, по формуле:
r(τ) = ρ (τ)/ τ(0)
r(1) = 0,283/0,367
r(1) = 0,771
r(2) = 0,164/0,367
r(2) = 0,446
Ответ: 0,771; 0,446
Задача 5.
Рассчитать выборочную частную автокорреляцию 1-го порядка, используя данные из задачи 1.
Найти: rчастная (2) = ?
Решение:
1. Найдем выборочную автокорреляцию
r(1) = 0,771
r(2) = 0,446
2. Рассчитаем выборочную частную автокорреляцию 1-го порядка:
rчастная (2) = r(2) – r2 (1)/ 1 - r2 (1)
rчастная (2) = 0,446 – (0,771)2 / 1 - (0,771)2
rчастная (2) = - 0,365
Ответ: - 0,365
Задача 6.
С помощью критерия основанного на медиане, проверить гипотезу о неизменности среднего значения временного ряда:
| 1 | 6200 | - |
| 2 | 6300 | - |
| 3 | 6400 | - |
| 4 | 6600 | + |
| 5 | 6400 | - |
| 6 | 6500 | не рассматриваем |
| 7 | 6600 | + |
| 8 | 6700 | + |
| 9 | 6500 | не рассматриваем |
| 10 | 6700 | + |
| 11 | 6600 | + |
| 12 | 6600 | + |
| 13 | 6300 | - |
| 14 | 6400 | - |
| 15 | 6000 | - |
1. Определим число наблюдений: n=15
2. Отранжеруем временные ряды в порядке возрастания:
6000 6200 6300 6300 6400 6400 6400 6500 6500 6600 6600 6600 6600 6700 6700
3. Вычислим медиану:
n = 15;
хмед = n+1/2 = 15+1/2
xмед = 8
xмед = 6500
4. Создаем ряд из + и -, в соответствие с правилом:
если х(i) < хмед , то +; если х(i) > хмед , то -.
5. Определим общее число серий:
v(15) = 6
6. Протяженность самой длинной серии:
τ(20) = 3
7. Проверим неравенства:
v(n) > (1/2*(n+2)-1,96*√n-1)
v(n) = (1/2*(15+2) – 1,96*√15-1)
v(n) = 1,166
6 > 1 – выполняется
τ(n) < (1,43*ln(n+1))
τ(n) < (1,43*ln(15+1))
τ(n) = 3,96
3 < 3,96 – выполняется
Так как выполняются оба неравенства, гипотеза о неизменности среднего значения временного ряда принимается.
Ответ: гипотеза принимается.
