Контрольная работа на тему Решение задач по высшей математике
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2014-11-15Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
Задача 10 Даны матрицы
Найти матрицу С = 5В – АE + BA -2Е
Решение:
2 -1 1 1 1 2
BA= 3 4 -2 · -2 0 2
1 0 -1 0 -1 0
2•1+(-1)•(-2)+1•0 2•1+(-1)•0+1•(-1) 2•2+(-1)•2+1•0
3•1+4•(-2)+(-2)•0 3•1+4•0+(-2)•(-1) 3•2+4•2+(-2)•0
2•1+(-1)•(-2)+1•0 2•1+(-1)•0+1•(-1) 2•2+(-1)•2+1•0
4 1 2
= -5 5 14
1 2 2
10 -5 5 2 0 0
5В= 15 20 -10 2Е= 0 2 0 АЕ=А,
5 0 -5 0 0 2
1 1 2
т.к. Е – единичная матрица АE = -2 0 2
0 -1 0
Задача 20
Решить систему уравнений методом Гаусса и по формулам Крамера.
x + 2y + z = 5
x - y –2z = -1
2x + y + z = 4
Решение:
Метод Гаусса.
2z = 0, z = 0; -3y -3∙0 = -6, y = 2; x + 2∙2 + 1∙0 = 5, x = 1.
Решение системы {1;2;0}
По формулам Крамера:
D - определитель матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных,
Dx, Dy, Dz – получаются из D путем замены столбца коэффициентов при соответствующем неизвестном на столбец свободных членов.
X=Δx/Δ= -6/(-6) = 1
Y=Δy/Δ= -12/(-6) =2
Z=Δz/Δ= 0/(-6) = 0
Решение системы {1;2;0}
Задача 30
На плоскости задан треугольник координатами своих вершин А(2,3), В(-3,1), С(-4,5)
Найти:
- длину стороны АВ
- уравнение стороны АВ
- уравнение медианы АD
- уравнение высоты СЕ
- уравнение прямой, проходящей через вершину С, параллельно стороне АВ
- внутренний угол при вершине А
- площадь треугольника АВС
- координаты точки Е
- сделать чертеж
Решение:
1. Длина стороны АВ:
½АВ½= 
» 5,385
2. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:
; 
; 
у = 
- уравнение прямой АВ, угловой коэффициент kAB= 2/5
3. Медиана АD делит сторону ВС, противоположную вершине А, пополам.
Координаты середины ВС:
х4 = (х2 + х3)/2 = 3,5, у4 = (у2 + у3)/2 = 3
D (-3,5;3)
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, А и D:
; 
-5,5у = -16,5
у = 3- уравнение прямой АD
3. Высота СЕ перпендикулярна АВ, а значит угловой коэффициент высоты СЕ равен
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку (х3ёу3) и имеющей угловой коэффициент kСЕ, имеет вид:
у – у3 = kСЕ (х – х3); у – 5 = -2,5(х+4)
у = -2,5х -5 – уравнение высоты СЕ.
5. Если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны. Уравнение прямой, проходящей через точку С (х3ёу3) и имеющей угловой коэффициент kАВ, имеет вид:
у – у3 = kАВ (х – х3); у – 5 = 
х + 
,
у = х + 
, - уравнение прямой, параллельной АВ.
6. Косинус внутреннего угла при вершине А вычисляется по формуле:
, где
- длины сторон АВ и АС соответственно.
,
ÐА = arc cos 0,7643 = 40о9'
7. Площадь треугольника АВС вычисляется по формуле:
S = Ѕç(x2 – x1)(y3 – y1) – (x3 – x1)(y2 – y1)ç;
S= Ѕ ç(-5)·2 – (-2) ·(-6)ç = 22/2 = 11 кв.ед.
8. Координаты точки Е находим, решая совместно уравнения АВ и СЕ, т.к точка Е принадлежит им обоим:
у = -2,5х -5
у =
0,4х +2,2 = -2,5х -5 2,9х = -7,2 х = -2,5
у = 6,25 – 5 = 1,25 Е(-2,5;1,25)
Задача 40
Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду. Построить кривую.
у2 + 2x - 2y -1 = 0
Решение:
Выделяем полные квадраты:
у2- 2у +1 + 2х- 2 = 0
(у - 1)2 = -2(х - 1)
(х - 1) =-1/2(у - 1)2 – это уравнение параболы с центром в точке (1,1), ось симметрии – прямая
у = 1, ветви параболы направлены влево.
Задача 50
Вычислить пределы.
1) 
2) 
3) 
4) 
так как 
-первый замечательный предел
5) 
, (a>0)
Обозначим х-а = t. Если х→а, то t→0, х = t+a, ln x-ln a = 
где 
-– второй замечательный предел.
Задача 60
Найти производные функций:
1) y = 
y¢ = 
2) у = 
3) y = 
y¢ = 
4) y = ctg(excosx);
y¢= 
Задача 70
Провести полное исследование функции и построить ее график.
у = 
;
Решение:
1. Область определения функции: х Î (-¥; +¥).
2. Поведение функции на границах области определения:
3. у¢= х3 – х2 = х2(x-1); у¢= 0, если х1 = 0, х2 = 1;
При х Î (-¥; 0), у¢< 0, функция убывает.
При х Î (0;1), у¢< 0, функция убывает.
В точке х = 0 экстремума нет.
При х Î (1;+∞), у¢> 0, функция возрастает.
В точке х =1 функция имеет локальный минимум.
4. уmin = 1/4 - 1/3 = - 1/12.
5. Выпуклость, точки перегиба графика функции:
у²= 3х2 – 2х = x(3x-2).
у²= 0, если 2х(6х -1) = 0, х1 = 0, х2 = 2/3;
При х < 0, у²> 0, график вогнутый.
При 0 < х < 2/3, у²< 0, график выпуклый.
При х > 2/3, у²> 0, график вогнутый.
Точки х1 = 0 и х2 = 2/3 - точки перегиба графика функции.
у(0) = 0, у(2/3 ) » -0,05
6. Точки пересечения с осями координат:
С осью ОХ. у = 0, = 0 
х1 = 0, x2 = 4/3
С осью ОУ. х = 0, у= 0.
Задача 80
Найти частные производные первого и второго порядка функций.
z = x2∙sin y + y2∙cos x;
Решение:
= 
.
Задача 90
Дана функция 
. Показать, что 
Решение:
= 
=
= 
- = 0, что и требовалось доказать.
Задача 100
Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x3 + 8y3 -6xу+1 в прямоугольнике, ограниченном прямыми х = 0, х = 2, у = 1, у = -1.
Решение:
1. Ищем точки экстремумов внутри замкнутой области:
SHAPE \* MERGEFORMAT
3x2 = 6y, y = 
24y2 = 6x, 
x1 = 0, x2 = 1, y1 = 0, y2 = Ѕ
Точка О(0,0) и точка N (1, Ѕ)
2. Ищем точки экстремумов на границах области:
а) сторона АВ: х= 0, -1 £ у £ 1, z = 8у3+1;
24у2, z¢ = 0, если у = 0, точка (0,0).
б) сторона ВС: у = 1, 0 £ х £ 2, z = х3 – 6х+9;
3х2 - 6 = 0, х2 = 2 х = ± 
»±1,4, точка х = -1,4 в замкнутую область не входит.
х = 1,4 , – точка К (1,4;1)
в) Сторона CD: х = 2, -1 £ у £ 1,
z = 8 + 8у3- 12у+1 = 8у3- 12у+9;
2у2 = 1, у = 
- точки M(2;0,7) и Q(2;-0,7)
г) сторона АD: у = -1, 0 £ х £ 2, z = х3 + 6х-7;
3х2 + 6 ≠ 0, при любых значениях х.
2. Вычислим значения функции Z в точках А, В, С, D, О, К, M, N, Q.
ZA = Z(0,-1) = -8+1=-7;
ZB = Z(0,1) = 8+1=9;
ZC = Z(2,1) = 8+8-12+1=5;
ZD = Z(2,-1) = 8-8+12+1=13;
ZK = Z( ,1) = 2,8+8-8,4+1=3,4;
ZO = Z(0,0) = 1;
ZM = Z(2,0.7) = 8+2,7-8,4+1=3,3;
ZN = Z(1, 
) = 0;
ZQ = Z(2,-0.7) = 8-2,7+8,4+1=14,7;
Zmin = -7, Zmax = 14,7.
Задача 110
Найти формулу вида y = ax + b методом наименьших квадратов по данным опыта (таблицы):
 |  |  | |||
1 | 1 | 2 | 2 | -1 | 1 | 1 | 0 | 0 | |||
| А= | -2 | 0 | 2 | В= | 3 | 4 | -2 | Е= | 0 | 1 | 0 |
| 0 | -1 | 0 | 1 | 0 | -1 | 0 | 0 | 1 |
Решение:
 | |||
 |
2 -1 1 1 1 2
BA= 3 4 -2 · -2 0 2
1 0 -1 0 -1 0
 |
2•1+(-1)•(-2)+1•0 2•1+(-1)•0+1•(-1) 2•2+(-1)•2+1•0
3•1+4•(-2)+(-2)•0 3•1+4•0+(-2)•(-1) 3•2+4•2+(-2)•0
2•1+(-1)•(-2)+1•0 2•1+(-1)•0+1•(-1) 2•2+(-1)•2+1•0
 |
4 1 2
= -5 5 14
1 2 2
 |  | ||
10 -5 5 2 0 0
5В= 15 20 -10 2Е= 0 2 0 АЕ=А,
5 0 -5 0 0 2
 |
1 1 2
т.к. Е – единичная матрица АE = -2 0 2
0 -1 0
 | 10-1+4-2 | -5-1+1-0 | 5-2+2-0 |
| С= | 15+2-5-0 | 20-0+5-2 | -10-2+14-0 |
| 5-0+1-0 | 0+1+2-0 | -5-0+2-2 |
 11 | -5 | 5 |
| 12 | 23 | 2 |
| 6 | 3 | -5 |
Решить систему уравнений методом Гаусса и по формулам Крамера. x + 2y + z = 5
x - y –2z = -1
2x + y + z = 4
Решение:
Метод Гаусса.
 |  |  |
| 1 | 2 | 1 | 5 | 1 | 2 | 1 | 5 | 1 | 2 | 1 | 5 | ||
1 | -1 | -2 | -1 | ~ | 0 | -3 | -3 | -6 | ~ | 0 | -3 | -3 | -6 |
| 2 | 1 | 1 | 4 | 0 | -3 | -1 | -6 | | 0 | 0 | 2 | 0 |
Решение системы {1;2;0}
По формулам Крамера:
D - определитель матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных,
Dx, Dy, Dz – получаются из D путем замены столбца коэффициентов при соответствующем неизвестном на столбец свободных членов.
| 1 | 2 | 1 | |||||||||||
| Δ= | 1 | -1 | -2 | = -1+1-8+2-2+2= -6 | |||||||||
| 2 | 1 | 1 | |||||||||||
| 5 | 2 | 1 | |||||||||||
| Δx= | -1 | -1 | -2 | = -5-1-16+4+2+10 = -6 | |||||||||
| 4 | 1 | 1 | |||||||||||
| 1 | 5 | 1 | |||||||||||
| Δy= | 1 | -1 | -2 | = -1+4-20+2+8-5 = -12 | |||||||||
| 2 | 4 | 1 | |||||||||||
Z=Δz/Δ= 0/(-6) = 0
| 1 | 2 | 5 | |||||||||||
| Δя= | 1 | -1 | -1 | = -4+5-4+10+1-8 = 0 | |||||||||
| 2 | 1 | 4 | |||||||||||
Задача 30
На плоскости задан треугольник координатами своих вершин А(2,3), В(-3,1), С(-4,5)
Найти:
- длину стороны АВ
- уравнение стороны АВ
- уравнение медианы АD
- уравнение высоты СЕ
- уравнение прямой, проходящей через вершину С, параллельно стороне АВ
- внутренний угол при вершине А
- площадь треугольника АВС
- координаты точки Е
- сделать чертеж
Решение:
1. Длина стороны АВ:
½АВ½=
2. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:
у =
3. Медиана АD делит сторону ВС, противоположную вершине А, пополам.
Координаты середины ВС:
х4 = (х2 + х3)/2 = 3,5, у4 = (у2 + у3)/2 = 3
D (-3,5;3)
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, А и D:
у = 3- уравнение прямой АD
3. Высота СЕ перпендикулярна АВ, а значит угловой коэффициент высоты СЕ равен
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку (х3ёу3) и имеющей угловой коэффициент kСЕ, имеет вид:
у – у3 = kСЕ (х – х3); у – 5 = -2,5(х+4)
у = -2,5х -5 – уравнение высоты СЕ.
5. Если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны. Уравнение прямой, проходящей через точку С (х3ёу3) и имеющей угловой коэффициент kАВ, имеет вид:
у – у3 = kАВ (х – х3); у – 5 =
у =
6. Косинус внутреннего угла при вершине А вычисляется по формуле:
ÐА = arc cos 0,7643 = 40о9'
7. Площадь треугольника АВС вычисляется по формуле:
S = Ѕç(x2 – x1)(y3 – y1) – (x3 – x1)(y2 – y1)ç;
S= Ѕ ç(-5)·2 – (-2) ·(-6)ç = 22/2 = 11 кв.ед.
8. Координаты точки Е находим, решая совместно уравнения АВ и СЕ, т.к точка Е принадлежит им обоим:
у = -2,5х -5 у =
0,4х +2,2 = -2,5х -5 2,9х = -7,2 х = -2,5
у = 6,25 – 5 = 1,25 Е(-2,5;1,25)
| 2 |
| -3 |
| 4 |
| А |
| В |
| E |
| D |
| С |
| 3 |
| 1 |
| y = |
| 2 |
| 1 |
| -1 |
| -2 |
| -4 |
| 4 |
| 5 |
| 0 |
| Х |
| У |
 |
Задача 40
Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду. Построить кривую.
у2 + 2x - 2y -1 = 0
Решение:
Выделяем полные квадраты:
у2- 2у +1 + 2х- 2 = 0
(у - 1)2 = -2(х - 1)
(х - 1) =-1/2(у - 1)2 – это уравнение параболы с центром в точке (1,1), ось симметрии – прямая
у = 1, ветви параболы направлены влево.
| У |
| Х |
| 1 |
| 1 |
Задача 50
Вычислить пределы.
1)
2)
3)
4)
так как
5)
Обозначим х-а = t. Если х→а, то t→0, х = t+a, ln x-ln a =
где
Задача 60
Найти производные функций:
1) y =
y¢ =
2) у =
3) y =
y¢ =
4) y = ctg(excosx);
y¢=
Задача 70
Провести полное исследование функции и построить ее график.
у =
Решение:
1. Область определения функции: х Î (-¥; +¥).
2. Поведение функции на границах области определения:
3. у¢= х3 – х2 = х2(x-1); у¢= 0, если х1 = 0, х2 = 1;
При х Î (-¥; 0), у¢< 0, функция убывает.
При х Î (0;1), у¢< 0, функция убывает.
В точке х = 0 экстремума нет.
При х Î (1;+∞), у¢> 0, функция возрастает.
В точке х =1 функция имеет локальный минимум.
4. уmin = 1/4 - 1/3 = - 1/12.
5. Выпуклость, точки перегиба графика функции:
у²= 3х2 – 2х = x(3x-2).
у²= 0, если 2х(6х -1) = 0, х1 = 0, х2 = 2/3;
При х < 0, у²> 0, график вогнутый.
При 0 < х < 2/3, у²< 0, график выпуклый.
При х > 2/3, у²> 0, график вогнутый.
Точки х1 = 0 и х2 = 2/3 - точки перегиба графика функции.
у(0) = 0, у(2/3 ) » -0,05
6. Точки пересечения с осями координат:
С осью ОХ. у = 0,
С осью ОУ. х = 0, у= 0.
| -1 |
| -2 |
| 0 |
| 1 |
| 1 |
| 2 |
| Y |
| X |
| min |
| Точки перегиба |
| 2/3 |
| 2 |
| 2 |
| -1 |
| -2 |
Задача 80
Найти частные производные первого и второго порядка функций.
z = x2∙sin y + y2∙cos x;
Решение:
Задача 90
Дана функция
Решение:
Задача 100
Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x3 + 8y3 -6xу+1 в прямоугольнике, ограниченном прямыми х = 0, х = 2, у = 1, у = -1.
Решение:
1. Ищем точки экстремумов внутри замкнутой области:
SHAPE \* MERGEFORMAT
| Y |
| X |
| 1 |
| 2 |
| 0 |
| N |
| K |
| М |
| В |
| С |
| Q |
3x2 = 6y, y =
24y2 = 6x,
x1 = 0, x2 = 1, y1 = 0, y2 = Ѕ
Точка О(0,0) и точка N (1, Ѕ)
2. Ищем точки экстремумов на границах области:
а) сторона АВ: х= 0, -1 £ у £ 1, z = 8у3+1;
б) сторона ВС: у = 1, 0 £ х £ 2, z = х3 – 6х+9;
х = 1,4 , – точка К (1,4;1)
в) Сторона CD: х = 2, -1 £ у £ 1,
z = 8 + 8у3- 12у+1 = 8у3- 12у+9;
г) сторона АD: у = -1, 0 £ х £ 2, z = х3 + 6х-7;
2. Вычислим значения функции Z в точках А, В, С, D, О, К, M, N, Q.
ZA = Z(0,-1) = -8+1=-7;
ZB = Z(0,1) = 8+1=9;
ZC = Z(2,1) = 8+8-12+1=5;
ZD = Z(2,-1) = 8-8+12+1=13;
ZK = Z(
ZO = Z(0,0) = 1;
ZM = Z(2,0.7) = 8+2,7-8,4+1=3,3;
ZN = Z(1,
ZQ = Z(2,-0.7) = 8-2,7+8,4+1=14,7;
Zmin = -7, Zmax = 14,7.
Задача 110
Найти формулу вида y = ax + b методом наименьших квадратов по данным опыта (таблицы):
| Х | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| У | 4,8 | 5,8 | 4,3 | 2,3 | 2,8 |
Метод наименьших квадратов дает систему двух линейных уравнений для определения параметров ”a” и “b”:
Подсчитаем суммы:
Подставляем значения сумм в систему уравнений:
| 52,5 -55a -15b = 0 60 – 45a – 15 b = 0 -7,5 -10а = 0 |
 | |||
 | |||
52,5 -55a -15b = 0
20 – 15a – 5 b = 0 (*3)
a = -0.75
20 – 15·(-0.75) = 5b; b = 31,25 : 5 = 6,25
Искомая формула: y = -0,75x + 6,25.
Задача 120
Вычислить неопределенные интегралы:
1)
2)
3)
4)
dx =
5)
Задача 130
Вычислить площадь, ограниченную заданными линиями:
у = х2, y = 2- x2
Решение:
SHAPE \* MERGEFORMAT
| X |
| Y |
| 0 |
| 4 |
| A |
| B |
| C |
| y =x2 |
| y =2-x2 |
S
S
Задача 140
Определить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной заданными линиями:
(у-3)2 +3х = 0, х = -3 вокруг оси Ох
Решение:
V =
V =
SHAPE \* MERGEFORMAT
| X |
| Y |
| 0 |
| х=-3 |
| 6 |
| 3 |
=
Литература:
1. Л.Г. Лелевкина, В.В. Попов «Основы высшей математики». Бишкек, КРСУ, 2005 г.
2. Пискунов Н.С. «Дифференциальное и интегральное исчисление» т.1 М. 1986 г.
