Контрольная работа

Контрольная работа на тему Решение задач по высшей математике

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2014-11-15

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 1.4.2025


Задача 10 Даны матрицы
 

1
1
2
2
-1
1
1
0
0
А=
-2
0
2
В=
3
4
-2
Е=
0
1
0
0
-1
0
1
0
-1
0
0
1
Найти матрицу С = 5В – АE + BA -2Е
Решение:
 

  2       -1   1                 1       1     2
BA=      3       4    -2      ·         -2      0     2
  1       0    -1               0       -1    0
 

      2•1+(-1)•(-2)+1•0         2•1+(-1)•0+1•(-1)               2•2+(-1)•2+1•0
        3•1+4•(-2)+(-2)•0       3•1+4•0+(-2)•(-1)               3•2+4•2+(-2)•0
      2•1+(-1)•(-2)+1•0         2•1+(-1)•0+1•(-1)               2•2+(-1)•2+1•0
 

    4       1    2
=   -5      5   14
      1       2    2
 

            10        -5         5                            2       0       0  
5В= 15        20        -10                    2Е=           0     2                                                                                   0                 АЕ=А,
            5          0          -5                          0       0       2  
 

                                                                                                        1   1   2
т.к. Е – единичная матрица     АE  =   -2    0  2
                                                                                                        0   -1  0

10-1+4-2
-5-1+1-0
5-2+2-0
С=
15+2-5-0
20-0+5-2
-10-2+14-0
5-0+1-0
0+1+2-0
-5-0+2-2
11
-5
5
12
23
2
6
3
-5
Задача 20
Решить систему уравнений методом Гаусса и по формулам Крамера.
x + 2y + z = 5
x - y –2z = -1
2x + y + z = 4
Решение:
Метод Гаусса.
 

1
2
1
5
1
2
1
5
1
2
1
5
1
-1
-2
-1
~
0
-3
-3
-6
~
0
-3
-3
-6
2
1
1
4
0
-3
-1
-6
 
0
0
2
0
2z = 0, z = 0;        -3y -3∙0 = -6, y = 2;             x + 2∙2 + 1∙0 = 5, x  = 1.
Решение системы {1;2;0}
По формулам Крамера:

D - определитель матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных,
Dx, Dy, Dz – получаются из D путем замены столбца коэффициентов при соответствующем неизвестном на столбец свободных членов.
1
2
1
Δ=
1
-1
-2
= -1+1-8+2-2+2= -6
2
1
1

5
2
1
Δx=
-1
-1
-2
= -5-1-16+4+2+10 = -6
4
1
1
X=Δx/Δ= -6/(-6) = 1
1
5
1
Δy=
1
-1
-2
= -1+4-20+2+8-5 = -12
2
4
1
Y=Δy/Δ= -12/(-6) =2
Z=Δz/Δ= 0/(-6) = 0
1
2
5
Δя=
1
-1
-1
= -4+5-4+10+1-8 = 0
2
1
4
Решение системы {1;2;0}
Задача 30
На плоскости задан треугольник координатами своих вершин А(2,3), В(-3,1), С(-4,5)
Найти:
-          длину стороны АВ
-          уравнение стороны АВ
-          уравнение медианы АD
-          уравнение высоты СЕ
-          уравнение прямой, проходящей через вершину С, параллельно стороне АВ
-          внутренний угол при вершине А
-          площадь треугольника АВС
-          координаты точки Е
-          сделать чертеж
Решение:
1.     Длина стороны АВ:
½АВ½= » 5,385
2.     Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:
;          ;     
у =     - уравнение прямой АВ, угловой коэффициент k­­AB= 2/5
3.      Медиана АD делит сторону ВС, противоположную вершине А, пополам.
Координаты середины ВС:
х4 = (х2 + х3)/2 = 3,5, у4 = (у2 + у3)/2 = 3
D (-3,5;3)
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, А и D:
;                     -5,5у = -16,5
у = 3- уравнение прямой АD
3.     Высота СЕ перпендикулярна АВ, а значит угловой коэффициент высоты СЕ равен

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку (х3ёу3) и имеющей угловой коэффициент kСЕ, имеет вид:
у – у3 = kСЕ (х – х3);       у – 5 = -2,5(х+4)
у = -2,5х -5 – уравнение высоты СЕ.
5.   Если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны. Уравнение прямой, проходящей через точку С (х3ёу3) и имеющей угловой коэффициент kАВ, имеет вид:
у – у3 = kАВ (х – х3);   у – 5 =  х + ,
 у =  х + , - уравнение прямой, параллельной АВ.
6.     Косинус внутреннего угла при вершине А вычисляется по формуле:
, где
- длины сторон АВ и АС соответственно.

,
ÐА = arc cos 0,7643 = 40о9'
7.      Площадь треугольника АВС вычисляется по формуле:
S = Ѕç(x2 – x1)(y3 – y1) – (x3 – x1)(y­2 – y1)ç;
S= Ѕ ç(-5)·2 – (-2) ·(-6)ç = 22/2 = 11 кв.ед.
8.   Координаты точки Е находим, решая совместно уравнения АВ и СЕ, т.к точка Е принадлежит им обоим:

у = -2,5х -5
у =  
0,4х +2,2 = -2,5х -5               2,9х = -7,2           х = -2,5
у = 6,25 – 5 = 1,25                          Е(-2,5;1,25)
2
-3
4
А
В
E
D
С
3
1
y = x +  
2
1
-1
-2
-4
4
5
0
Х
У
 

Задача 40
Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду. Построить кривую.
у2 +  2x - 2y -1 = 0
Решение:
Выделяем полные квадраты:
у2- 2у +1 + 2х- 2 = 0
(у - 1)2 = -2(х - 1)
(х - 1) =-1/2(у - 1)2 – это уравнение параболы с центром в точке (1,1), ось симметрии – прямая
у = 1, ветви параболы направлены влево.

У
Х
1
1
 

Задача 50
Вычислить пределы.
1)     
2)     
3)
4)  
так как -первый замечательный предел
5)      ,     (a>0)
Обозначим х-а = t. Если х→а, то t→0, х = t+a, ln x-ln a =

где   -– второй замечательный предел.
Задача 60
Найти производные функций:
1) y =
y¢ =
2) у =    

3) y =
y¢ =
4) y = ctg(excosx);
y¢=
Задача 70
Провести полное исследование функции и построить ее график.
у = ;
Решение:
1. Область определения функции: х Î (-¥; +¥).
2. Поведение функции на границах области определения:
              
3. у¢= х3 – х2 = х2(x-1);          у¢= 0, если х1 = 0,         х2 = 1;
При х Î (-¥; 0), у¢< 0,  функция убывает.
При х Î (0;1), у¢< 0,  функция убывает.
В точке х = 0 экстремума нет.
При х Î (1;+∞), у¢> 0, функция возрастает.
В точке х =1 функция имеет локальный минимум.
4. уmin = 1/4  1/3 = -  1/12.
5. Выпуклость, точки перегиба графика функции:
у²= 3х2 – 2х = x(3x-2).
у²= 0, если 2х(6х -1) = 0,      х1 = 0,                  х2 = 2/3;
При х < 0, у²> 0, график вогнутый.
При 0 < х < 2/3, у²< 0, график выпуклый.
При х > 2/3, у²> 0, график вогнутый.
Точки  х1 = 0 и х2 = 2/3  - точки перегиба графика функции.
у(0) = 0,    у(2/3  ) » -0,05
6. Точки пересечения с осями координат:
С осью ОХ.  у = 0,       = 0 х1 = 0, x2 = 4/3
С осью ОУ. х = 0, у= 0.
-1
-2
0
1
1
2
Y
X
min
Точки перегиба
2/3
2
2
-1
-2
 


Задача 80
Найти частные производные первого и второго порядка функций.
z = x2∙sin y + y2∙cos x;
Решение:
      




= .
Задача 90
Дана функция . Показать, что
Решение:

=

         =      
= - = 0, что и требовалось доказать.
Задача 100
Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x3  + 8y3 -6xу+1  в прямоугольнике, ограниченном прямыми х = 0, х = 2, у = 1, у = -1.
Решение:
1.                Ищем точки экстремумов внутри замкнутой области:
 SHAPE  \* MERGEFORMAT
Y
X
1
2
0
N
K
М
В
С
Q
  
             
           
3x2 = 6y,             y =
24y2 = 6x,         
x1 = 0, x2 = 1, y1 = 0, y2 = Ѕ
Точка О(0,0) и точка N (1, Ѕ)
2. Ищем точки экстремумов на границах области:
а) сторона АВ:    х= 0,  -1 £ у £ 1, z = 8у3+1;
24у2,             z¢ = 0, если у = 0, точка (0,0).
б) сторона ВС:    у = 1,  0 £ х £ 2, z = х3 – 6х+9;
2 - 6 = 0,   х2 = 2         х = ± »±1,4, точка х = -1,4 в замкнутую область не входит.
х = 1,4 ,   – точка К (1,4;1)
в) Сторона CD:   х = 2,    -1 £ у £ 1,
z = 8 + 8у3- 12у+1 = 8у3- 12у+9;
   2у2 = 1,  у = - точки M(2;0,7) и Q(2;-0,7)
г) сторона АD: у = -1,  0 £ х £ 2,   z = х3 + 6х-7;
2 + 6 ≠ 0,   при любых значениях х.
2.       Вычислим значения функции Z в точках А, В, С, D, О, К, M, N, Q.
ZA = Z(0,-1) = -8+1=-7;
ZB = Z(0,1) = 8+1=9;
ZC = Z(2,1) = 8+8-12+1=5;
ZD = Z(2,-1) = 8-8+12+1=13;
ZK = Z( ,1) = 2,8+8-8,4+1=3,4;
ZO = Z(0,0) = 1;
ZM = Z(2,0.7) = 8+2,7-8,4+1=3,3;
ZN = Z(1, ) = 0;
ZQ = Z(2,-0.7) = 8-2,7+8,4+1=14,7;
Zmin = -7, Zmax = 14,7.

Задача 110
Найти формулу вида y = ax + b методом наименьших квадратов по данным опыта (таблицы):
Х
1
2
3
4
5
У
4,8
5,8
4,3
2,3
2,8
Решение:
Метод наименьших квадратов дает систему двух линейных уравнений для определения параметров ”a” и “b”:

Подсчитаем суммы:
1+2+3+4+5=15 1+4+9+16+25 = 55
4,8+5,8+4,3+2,3+2,8=20     1·4,8+2·5,8+3·4,3+4·2,3+5·2,8 = 52,5
Подставляем значения сумм в систему уравнений:
52,5 -55a -15b = 0
60 – 45a – 15 b = 0
-7,5 -10а = 0
 

52,5 -55a -15b = 0
20 – 15a – 5 b = 0           (*3)
a = -0.75
20 – 15·(-0.75) = 5b;              b = 31,25 : 5 = 6,25
Искомая формула:       y = -0,75x + 6,25.
Задача 120
Вычислить неопределенные интегралы:
1)     
2)     


3)     

4)   ; Подстановка: t = tg t; x = arctg t,
dx =

5)       Подстановка:


Задача 130
Вычислить площадь, ограниченную заданными линиями:
у = х2­­­­­­­­­, y = 2- x2
Решение:
          SHAPE  \* MERGEFORMAT
X
Y
0
4
A
B
C
y =x2
y =2-x2

S =
S
  
S кв.ед.
Задача 140
Определить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной заданными линиями:
(у-3)2 +3х = 0, х = -3  вокруг оси Ох
Решение:
V =
        
       
V =
 SHAPE  \* MERGEFORMAT
X
Y
0
х=-3
6
3

= 6p∙27 =162p куб.ед.

Литература:
1.  Л.Г. Лелевкина, В.В. Попов «Основы высшей математики». Бишкек, КРСУ, 2005 г.
2.  Пискунов Н.С. «Дифференциальное и интегральное исчисление» т.1      М. 1986 г.

1. Реферат на тему Lololoo Essay Research Paper Darwin doesn
2. Диплом Основи організації оплати праці
3. Курсовая Кошки. Семейство кошачьих
4. Реферат 1630-е
5. Реферат на тему Essay On Pseudo Science Essay Research Paper
6. Реферат на тему Animal Testing Essay Research Paper Speaking Outline
7. Реферат Управленческие решения и процесс их реализации на предприятии
8. Курсовая на тему Функции управления фирмой планирование организация мотивация контроль
9. Реферат Финансовая система Великобритании
10. Курсовая Эмисионные операции коммерческих банков