Контрольная работа Модели выбора оптимального портфеля ценных бумаг

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Имя

Выберите тип работы:

Курсовая работа Дипломная работа Контрольная работа Реферат Отчет по практике Эссе Доклад Решение задач Научно-исследовательская работа Монография Аспирантский реферат Магистерская работа Научная статья Публикация статьи в ВАК Публикация статьи в Scopus Дипломная работа MBA Бизнес-план Тест/экзамен online Чертеж Рецензия

Принимаю Политику конфиденциальности

Продолжить

Скидка 25% при заказе до 8.11.2024

Министерство образования и науки Российской Федерации

Марийский государственный технический университет

Кафедра экономики и финансов

Контрольная

работа
по дисциплине

«Управление портфелем ценных бумаг»

на тему

«Модели выбора оптимального
портфеля ценных бумаг»

Выполнили: студентки группы
ЗФК –31(2 высшее)
Е.А.Решетова
С.И.Попадюк
                  Проверила:  Т.Н.Бобкова

                            
Йошкар-Ола

     2004 г.


Содержание:
Введение
1.              Портфельный анализ

1.1         Выбор оптимального портфеля

1.2         Границы местоположения портфелей

1.3         Рыночная модель

1.4    Графическое представление рыночной модели

1.5   Диверсификация

2      Модель Марковица

2.1   Определение состава оптимального портфеля

3      Метод, основанный на рыночной модели



Введение


Основная задача, которую необходимо решить при фор­мировании портфеля ценных бумаг, — распределение инвестором опре­деленной денежной суммы по различным альтернативным вложениям (например, акции, облигации, наличные деньги и др.) так, чтобы наи­лучшим образом достичь своих целей.
Портфель ценных бумаг — совокупность ценных бумаг, принадле­жащих физическому или юридическому лицу, выступающая как целост­ный объект управления, имеющая своей целью улучшать условия инве­стирования, придав данной совокупности такие инвестиционные харак­теристики, которые недостижимы с позиции отдельно взятой ценой бумаги и возможны только при их комбинации.


Тип портфеля — это его инвестиционная характеристика, основан­ная на соотношении дохода и риска.
В первую очередь инвестор стремится к получению максимального дохода за счет выигрыша от благоприятного изменения курса акций, ди­видендов, получения твердых процентов и т.д. С другой стороны, любое вложение капитала связано не только с ожиданием получения дохода, но и с постоянной опасностью проигрыша, а значит, в оптимизационных за­дачах по выбору портфеля ценных бумаг необходимо учитывать риск.

В принципе для создания портфеля ценных бумаг достаточно инвестиро­вать деньги в какой-либо один вид финансовых активов. Но современная экономическая практика показывает, что такой однородный по содержанию портфель (не диверсифицированный) встречается очень редко. Гораздо более распространенной формой является так называемый диверсифицированный портфель, т.е. портфель с самыми разнообразными ценными бумагами.

Портфель, состоящий из акций разноплановых компаний, обеспечивает стабильность получения положительного результата. Нынешнее состояние финансового рынка заставляет быстро и адек­ватно реагировать на его изменения, поэтому роль управления инвести­ционным портфелем резко возрастает и заключается в нахождении той грани между ликвидностью, доходностью и рискованностью, которая позволила бы выбрать оптимальную структуру портфеля. Этой цели служат различные модели выбора оптимального портфеля.













































1. Портфельный анализ
Теорема об эффективном множестве
Инвестор выберет свои оптимальный портфель из множества портфелей,

каждый из которых

     1. Обеспечивает максимальную ожидаемую доходность для некоторого уровня
риска.

2.
Обеспечивает минимальный риск для некоторого значения ожидаемой доходности.

Набор портфелей, удовлетворяющих этим двум условиям, называется эффективным множеством, или эффективной границей.

Достижимое множество
Достижимое множество представляет собой все портфели, кото­рые могут быть сформированы из группы в N ценных бумаг. Это означает, что все возмож­ные портфели, которые могут быть сформированы из N ценных бумаг, лежат либо на гра­нице, либо внутри достижимого множества (точки G
,
E
,
S
и H на рис. 1 являются при­мерами таких портфелей). В общем случае, данное множество будет иметь форму типа зонта, подобную изображенной на рисунке. В зависимости от используемых ценных бумаг, оно может быть больше смещено вправо или влево, вверх или вниз, кроме того, оно может быть шире или уже приведенного здесь множества.
Теорема об эффективном множестве в применении к достижимому множеству

Теперь мы можем определить местоположение эффективного множества, применив теорему об эффективном множестве к достижимому множеству. Сначала выделим мно­жество портфелей, удовлетворяющих первому условию теоремы об эффективном мно­жестве. Если посмотреть на рис.1, то можно заметить, что не существует менее ри­скового портфеля, чем портфель Е. Это объясняется тем, что если провести через E вертикальную прямую, то ни одна точка достижимого множества не будет лежать левее данной прямой. При этом не существует более рискового портфеля, чем портфель H. Это объясняется тем, что если провести через H вертикальную линию, то ни одна точка достижимого множества не будет лежать правее данной прямой. Таким образом, мно­жеством портфелей, обеспечивающих максимальную ожидаемую доходность при изме­няющемся уровне риска, является часть верхней границы достижимого множества, расположенная между точками Е и Н.
 Рис.1 Достижимое и эффективное множество
Рассматривая далее второе условие, можно заметить, что не существует портфеля, обеспечивающего большую ожидаемую доходность, чем портфель S
, потому что ни одна из точек достижимого множества не лежит выше горизонтальной прямой, прохо­дящей через S
. Аналогично, не существует портфеля, обеспечивающего меньшую ожи­даемую доходность, чем портфель G
, потому что ни одна из точек достижимого множе­ства не лежит ниже горизонтальной прямой, проходящей через G
. Таким образом, множеством портфелей, обеспечивающих минимальный риск при изменяющемся уровне ожидаемой доходности, является часть левой границы достижимого множества, распо­ложенная между точками S
и G
.

Учитывая то, что оба условия должны приниматься во внимание при определении эффективного множества, отметим, что нас удовлетворяют только портфели, лежащие на верхней и левой границе достижимого множества между точками Е и S
. Соответст­венно эти портфели составляют эффективное множество, и из этого множества эффек­тивных портфелей (efficient

portfolios
) инвестор будет выбирать оптимальный для себя. Все остальные достижимые портфели являются неэффективными портфелями (inefficient

portfolios
), поэтому мы их можем игнорировать.
1.1.Выбор оптимального портфеля
Инвестор должен нарисовать свои кривые безразличия на одном рисунке с эффективным множеством, а затем приступить к выбору портфеля, располо­женного на кривой безразличия, находящейся выше и левее остальных. Этот портфель
Рис. 2.Выбор оптимального портфеля
будет соответствовать точке, в которой кривая касается эффективного множества. Как это видно из рис. 2, таким портфелем является портфель О* на кривой безразличия I_2. Несомненно, что инвестор предпочел бы портфель, находящийся на кривой I₃, но такого достижимого портфеля просто не существует. Желание находиться на какой-то конкретной кривой не может быть реализовано, если данная кривая нигде не пересекает множество достижимости. Что касается кривой I₁ то сущест­вует несколько портфелей, которые может выбрать инвестор (например, О). Однако рисунок показывает, что портфель О* является наилучшим из этих портфелей, так как он находится на кривой безразличия, расположенной выше и левее. Рисунок 3 по­казывает, что инвестор с высокой степенью избегания риска выберет портфель, рас­положенный близко к точке Е. Рисунок 4 показывает, что инвестор с низкой сте­пенью избегания риска выберет портфель, расположенный близко к точке S.

Кривые безразличия для инвестора, избегаю­щего риск, выпуклы и имеют положительный наклон. Эффек­тивное множество в общем случае вогнуто и имеет положительный наклон, т.е. отре­зок, соединяющий любые две точки эффективного множества, лежит ниже данного множества. Это свойство эффективных множеств является очень важным, так как оно означает, что существует только одна точка касания эффективного множества и кривых безразличия.
рис.3.Выбор портфеля инвестором с высокой степенью избегания риска

Рис. 4.Выбор портфеля инвестором с низкой степенью избегания риска

Проблемы, возникающие при использовании «оптимизаторов»



Предположим, что капитан современного комфортабельного лайнера принимает решение не использовать современную навигационную систему (систему, которая с по­мощью компьютеров и спутников опреде­ляет местоположение корабля с точностью до нескольких футов). Вместо этого он собирается положиться на метод навигации по звездам - старинный метод, имеющий проблемы и приводящий к неточностям. Большинство людей будут считать выбор капитана в лучшем случае эксцентричным, в худшем - чрезвычайно опасным.

Когда дело касается формирования портфелей, большинство менеджеров по инвестициям делают свой выбор аналогично капитану данного судна.  Они отрицают методы формирования портфелей, основанные на использовании компьютеров, и используют традиционные подходы. Являются ли ихрешения настолько же глупыми, как и решения капитана корабля? Или,  может быть, данный подход продиктован их очевидным сумасшествием?

 Концепция эффективного множества и оптимального портфеля инвестора являются основополагающими в современной инвестиционной теории. В начале 50-х годов Гарри Марковиц описал решение данных проблем. Используя математический метод известный как квадратичное программирование инвестор может обработать ожидаемые доходности, стандартные отклонения и ковариации для определения эффективного множества. Имея оценку своих кривых безразличия, отражающую их индивидуальный допустимый риск, он  может затем выбрать портфель из эффективного множества.

С появлением дешевых и высокопроизводительных компьютеров в 80-х годах, а также с развитием сложных моделей риска стало возмож­ным определение эффективного множества для нескольких тысяч ценных бумаг за несколько минут. Необходимое компьютерное оборудование и программное обеспечение являются доступными фактически для лю­бого инвестиционного института. В действи­тельности данный процесс стал настолько банальным, что даже приобрел собственную терминологию. Использование компьютера для определения эффективного множества и формирования оптимального портфеля в разговорном языке называется оптимизаци­ей. Портфели «оптимизируются», а про ин­весторов говорят, что они применяют оп­тимизационную технику.

Несмотря на доступность «оптимиза­торов», относительно небольшое число ме­неджеров по инвестициям в действительно­сти используют их при формировании порт­феля. Вместо этого они в основном по­лагаются на некоторый набор правил и закономерностей.

Почему менеджеры по инвестициям от­казываются применять оптимизационную технику при формировании портфелей? Причиной сопро­тивления являются два момента: профессио­нальные интересы и несоответствия в прак­тическом воплощении концепций.

С точки зрения профессиональных фак­торов большинство инвесторов просто не чув­ствуют себя комфортно при использовании качественных методов. В их методах приня­тия решений подчеркивается значение инту­иции и субъективных решений. Использова­ние оптимизационной техники в формиро­вании портфеля требует наличия системной и формальной структуры принятия решений. Специалисты по анализу ценных бумаг долж­ны принять на себя ответственность за фор­мирование количественных прогнозов ожи­даемой доходности и риска. Управляющие портфелями должны выполнять решения компьютера. В результате этого «оптимизато­ры» уничтожают «артистизм и грацию» управления инвестициями.

Кроме того, с внедрением «оптимиза­торов» возрастает влияние новой породы профессионалов по инвестициям — число­вых аналитиков (презрительно именуемых «квантами»), которые координируют полу­чение и применение оценок риска и доход­ности. Авторитет, приобретаемый числовы­ми аналитиками, уменьшает влияние ана­литиков и менеджеров портфелей, исполь­зующих традиционные методы, к их боль­шому неудовольствию.

Что касается перспектив примене­ния «оптимизаторов», то здесь существуют серьезные проблемы. В частности, они име­ют тенденцию к созданию чисто интуитивных портфелей, не подходящих для реаль­ных инвестиций. Данная ситуация объяс­няется не столько проблемами «оптимиза­торов», сколько ошибками операторов, обеспечивающих ввод данных. Здесь ра­ботает парадигма GIGO. (что расшифровы­вается как «мусор на входе - мусор на вы­ходе»).

«Оптимизаторы» предпочитают цен­ные бумаги, обладающие высокими ожида­емыми доходностями, малыми стандартны­ми отклонениями и малой величиной ковариации с другими ценными бумагами. Очень часто при оценке этих величин используется информация из старых баз дан­ных, содержащих тысячи ценных бумаг. До тех пор пока информация о доходности и риске не будет тщательно проверена, ошиб­ки (например, преуменьшение стандартного отклонения ценных бумаг) могут привести к тому, что «оптимизатор» будет рекомендовать произвести покупку некоторых ценных бумаг, исходя из неправильных предпосылок. Даже если информация является выверенной, экстремальные исторические события могут привести «оптимиза­тор» к практически неверным решениям.

До тех пор пока программа не будет принимать во внимание операционные издержки «оптимизаторы» будут также демон­стрировать плохую привычку к операциям, приводящим к большому обороту, и рекомендациям о покупке ценных бумаг низкой ликвидностью. Высокий оборот связан с существенными изменениями в портфеле от периода к периоду. Высокий оборот может являться причиной неприемлемо высок их операционных издержек, отрицательно сказывающихся на функционировании данного портфеля. Ликвидность (liquidity) означает возможность реального приобретения ценных бумаг, выбранных «оптимизатором». Вы­бранные бумаги могут обладать желатель­ными характеристиками по доходности и риску, но продаваться в незначительных ко­личествах, не позволяющих институцио­нальным инвесторам приобрести их без ощутимых дополнительных расходов на покупку.

Существуют различные решения дан­ных проблем, начиная с аккуратной провер­ки вводимой информации и кончая введе­нием ограничений; на максимальный Обо­рот и минимальную ликвидность. Тем не менее ничто не может заменить прогноз квалифицированного специалиста о доход­ности и риске ценных бумаг, основанный на правильном применении понятия ры­ночного равновесия.

 Профессиональные проблемы и проблемы практического воплощения дают ме­неджерам по инвестициям удобный повод избегать применения «оптимизаторов» и сконцентрироваться на использовании тра­диционных методов формирования портфе­лей. Однако рассмотрение количественных методов формирования портфелей очень важно. Повышающаяся эффективность финансовых рынков заставляет менеджеров институциональных инвесторов обрабатывать больше информации о большем коли­честве ценных бумаг и с большей скоро­стью, чем когда-либо раньше. Как следствие, они вынуждены в большей степени увеличить использование количественных инструментов анализа инвестиций. Хотя большинство из них еще не включили «оп­тимизаторы» в процедуру формирования портфелей, фактически все они стали более восприимчивы к необходимости созда­ния диверсифицированных портфелей, имеющих наивысший уровень ожидаемой доходности при удовлетворительном уровне риска.
 Вогнутость эффективного множества

Для того чтобы понять, почему эффективное множество является вогнутым, рассмотрим следующий пример портфеля из двух ценных бумаг. Первая ценная бумага компании Ark Shipping имеет ожидаемую доходность в 5% и стандартное отклонение в 20%. Вторая цен­ная бумага компании Gold Jewelry имеет ожидаемую доходность в 15% и стандартное от­клонение в 40%. Соответствующие им точки отмечены буквами А и G на рис.5.
Рис. 5. Верхняя и нижняя границы для комбинаций из двух ценных бумаг А и G



 1.2.Границы местоположения портфелей
Теперь рассмотрим все возможные портфели, состоящие из этих ценных бумаг, кото­рые может купить инвестор. Пусть X_l обозначает долю фондов инвестора, вложенную в Ark Shipping, а Х₂ = 1 - X_l - долю, инвестированную в Gold Jewelry. Таким образом, если инвестор покупает только акции Ark Shipping, то X_l =1 и Х₂ =0. Если же инвестор покупает только акции Gold Jewelry, то X_l = 0, а Х₂ = 1. Комбинация из 0,17 Ark Shipping и 0,83 Gold Jewelry также возможна, как и комбинация из 0,33 и 0,67 соответственно или 0,5 и 0,5 соответственно. Хотя существует много других возможных портфелей, нами будет рассмотрено только семь из них:

	Портфель А	Портфель В	Портфель С	Портфель D	Портфель E	Портфель F	Портфель G
X1	1,00	0,83	0,67	0,50	0,33	0,17	0,00
X2	0,00	0,17	0,33	0,50	067	0,83	1,00

Для того чтобы рассмотреть возможные инвестиции в эти семь портфелей, необ­ходимо вычислить их ожидаемые доходности и стандартные отклонения. Мы имеем всю необходимую информацию для вычисления ожидаемых доходностей этих портфе­лей согласно уравнению:



Для портфелей А и G данные вычисления тривиальны, так как инвестор покупает акции только одной компании. Таким образом, ожидаемые доходности составляют 5 и 15% соответственно. Для портфелей В, С, D, Е и F ожидаемые доходности соответст­венно равны:

= (0,83 х 5%) + (0,17 х 15%) = 6,70 %;

= (0,67 х 5%) + (0,33 х 15%) = 8,30%;

= (0,50 х 5%) + (0,50 х 15%) = 10%;

= (0,33 х 5%) + (0,67 х 15%) = 11,70%;

 = (0,17x 5%) + (0,83 х 15%)= 13,30%.

Для вычисления стандартных отклонений данных портфелей необходимо приме­нить уравнение:



Для портфелей А и G данные вычисления опять будут тривиальными, так как инвестор приобретает акции только одной компании. Таким образом, стандартное отклонение будет составлять 20 и 40% соответственно.

Для портфелей В, С, D, Е и F применение уравнения показывает, что стан­дартное отклонение зависит от значения ковариации между двумя ценными бумагами. Этот ковариационный член равняется корреляции между двумя ценными бумагами, умноженной на произведение их стандартных отклонений:
Полагая i = 1 и j = 2, получим:




Рассмотрим вначале портфель D. Значение стандартного отклонения данного портфеля будет лежать в интервале между 10 и 30%, его точное значение зависит от величины коэф­фициента корреляции.

Минимальным значени­ем коэффициента корреляции является -1, отсюда можно увидеть, что нижняя грани­ца величины  будет такова:

= [500 + 400 х (-1)]^1/2 = [500 - 400]^1/2 = [100]^1/2 = 10%.

Аналогично будет максимальным, когда коэффициент корреляции будет максимальным, т.е. равным 1. Таким образом, верхняя граница будет такова:

= [500 + (400 х 1)]'/²= [500 + 400]¹/² = [900]² = 30%.

В общем случае для любого заданного набора весов  и Х₂ нижние и верхние границы будут достигаться при равенстве коэффициента корреляции величинам —1 и 1 соответственно. Подобный анализ других портфелей пока­зывает, что их верхние и нижние границы равняются следующим значениям:
Стандартное отклонение портфеля

Портфель	Нижняя граница	Верхняя граница
А	20,00%	20,00%
В	10,00	23,33
С	0,00	26,67
D	10,00	30,00
Е	20,00	33,33
F	30,00	36,67
G	40,00	40,00

Все верхние пограничные значения лежат на прямой ли­нии, соединяющей точки А и G
. Это означает, что любой портфель, составленный из этих двух бумаг, не может иметь стандартное отклонение, соответствующее точке, лежащей правее прямой линии, соединяющей эти две ценные бумаги. Вместо этого значение стандартного отклонения должно лежать на этой прямой линии или левее нее. Это означает желательность диверсификации портфеля. А именно, диверсификация ведет к уменьшению риска, так как стандартное отклонение портфеля будет в общем случае меньше, чем средневзвешенное стандартное отклонение бумаг, входящих в портфель.

Все нижние пограничные значения лежат на одном из двух отрезков, идущих из точки А до точки на вертикальной оси, соответ­ствующей значению в 8,30%, а оттуда — до точки G
. Это означает, что любой портфель, составленный из данных ценных бумаг, не может иметь стандартное отклонение, изо­бражаемое точкой, лежащей левее любого из этих двух отрезков линии. Например, портфель В должен лежать на горизонтальной линии, проходящей через вертикальную ось в точке 6,70%, но ограниченную значениями в 10 и 23,33%.

Любой портфель, состоящий из этих двух цен­ных бумаг, лежит в пределах границ треугольника, изображенного на рис.5. Его фактическое местоположение зависит от значения коэффициента корреляции между этими двумя ценными бумагами.



Фактическое местоположение портфелей
Если корреляция равняется нулю, то используя соответствующие значения весов Х₁ и Х₂, стандартное отклонение портфе­лей В, С, D
, Е и F
можно вычислить следующим образом:

 = [(400 х 0,83²) + (1600 х 0,17²)]^1/2 = 17,94%

 [(400 х 0,67²) + (1600 х 0,33²)]'/² = 18,81%

= [(400 х 0,50²) + (1600 х 0,50²)]'/² = 22,36%

= [(400 х 0,33²) + (1600 х О.б?²)]¹/² = 27,60%

= [(400 х 0,17²) + (1600 х 0,83²)]'/² = 33,37%.

Рисунок 6 показывает местоположение данных портфелей вместе с верхними и нижними пограничными значениями, которые были представлены на рис. 5. Эти портфели, так же как и все остальные возможные портфели, со­стоящие из акций Ark

Shipping
и Gold

Jewelry
, лежат на изогнутой линии, наклоненной влево. Хотя это и не показано здесь, если корреляция будет меньше нуля, то данная линия сильнее изогнется влево. Если корреляция будет больше нуля, она не изогнется так сильно влево. Важно отметить, что, пока корреляция остается больше —1 и меньше 1, линия, представляющая множество портфелей, состоящих из различных комбинаций двух ценных бумаг, будет иметь некоторую степень кривизны влево. Кроме того, ее верхняя левая часть будет вогнутой.

Аналогичный анализ может быть проведен в ситуации, когда рассматриваются больше чем две ценные бумаги. После проведения анализа, можно сделать заключение о том, что, пока корреляция остается меньше 1 и больше — 1, верхняя левая часть кри­вой должна быть вогнута, как это было в случае двух ценных бумаг. Таким образом, в общем случае эффективное множество будет вогнутым.



рис. 6. Портфели, являющиеся комбинацией ценных бумаг А иG


Невозможность существования «впадин» на эффективном множестве
Предыдущий пример показал, что происходит при формировании портфеля из акций двух компаний (Ark Shipping и Gold Jewelry). Важно отметить, что при формировании портфеля из двух других портфелей действуют те же принципы. Таким образом, точка А на рис. 1.6 может представлять собой портфель с ожидаемой доходностью 5% и стандарт­ным отклонением 20%, а точка С может представлять другой портфель ценных бумаг с ожидаемой доходностью 15% и стандартным отклонением 40%. Комбинируя эти два портфеля, можно создать третий, ожидаемая доходность и стандартное отклонение которого будут зависеть от долей, инвестированных в А и G. Если предположить, что корреляция между двумя портфелями равна нулю, то третий портфель будет распола­гаться на указанной изогнутой линии, соединяющей А и G.

Теперь, исходя из данных фактов, можно показать, что эффективное множество вогнуто. Покажем, что оно не может иметь никакую другую форму. Рассмотрим эффек­тивное множество, изображенное на рис. 7. Заметим, что на нем есть «впадина» меж­ду точками U и V, т.е. участок эффективного множества между U и V является вогну­тым. Может ли данное множество на самом деле быть эффективным? Нет, так как инвестор может вложить часть своих фондов в портфель, которому соответствует точка U, а оставшуюся часть фондов в портфель, которому соответствует точка V. В результате мы получим портфель, представляющий собой комбинацию портфелей U и V, который должен располагаться на рисунке левее рассматриваемого эффективного множества. Таким образом, новый портфель будет «более эффективным», чем порт­фель с такой же ожидаемой доходностью, расположенной на рассматриваемом эффективном множестве между точками U и V.

рис. 7. «Впадина» на эффективном множестве

рис. 8. Удаление «впадины» на эффективном множестве
Для примера проанализируем портфель из рассматриваемого эффективного мно­жества, лежащий на середине линии между точками U
и V
; на рис. 8 данная точка отмечена буквой W
. Если это действительно эффективный портфель, то создать порт­фель с такой же ожидаемой доходностью, как у W
, но с меньшим стандартным откло­нением невозможно. Однако если инвестор вложит половину своих фондов в U
, а вто­рую половину в V
, то он создаст портфель, более эффективный, чем портфель W
, так как он будет иметь такую же ожидаемую доходность, но меньшее стандартное отклоне­ние. Почему он будет иметь меньшее стандартное отклонение? Вспомним, что если корреляция между U

u

V
равняется 1, то портфель должен лежать на прямой линии, соединяющей U

u

V
, и, таким образом, будет иметь меньшее стандартное отклонение, чем W
. На рис. 8 данная точка обозначена, как Z
. Так как фактически корреляция меньше или равна +1, то W будет иметь такое же или меньшее стандартное отклоне­ние, как и Z
. Это означает, что рассматриваемое эффективное множество ошибочно по построению, так как легко найти «более эффективный» портфель в области, где оно не является вогнутым.

1.3. Рыночная модель

где -доходность ценой бумаги

  - доходность на рыночный индекс

 - коэффициент смещения;

- коэффициент наклона;

- случайная погрешность

+_AI.

Другими словами, когда рыночный индекс возрастает на 10% или уменьшается на 5%, то доходность ценной бумаги А не обязательно равняется 14% или — 4% соответственно. Разность между действительным и ожидаемым значениями доходности при известной до­ходности рыночного индекса приписывается случайной погрешности. Таким образом, если доходность ценной бумаги составила 9% вместо 14%, то разность в 5% является случайной погрешностью (т.е.

= —5%; этот факт будет проиллюстрирован на рис. 8.11). Аналогич­но, если доходность ценной бумаги оказалась равной — 2% вместо — 4%, то разность в 2% является случайной погрешностью

дартным отклонением, обозначенным . Таким образом, ее можно рассматривать как

- 0)² х 1/₂₁] + (-9 - 0) х 1/₂₁] + ... + [(9 - 0) х 1/21,] +
 + [(10 - 0)² х 1/₂₁]}^1/2 = 6,06.

Прямая линия в части (а) рис. 10 представляет собой график рыночной модели для ценной бумаги А. Уравнение прямой, построенной для ценной бумаги А, выглядит следующим образом:


По вертикальной оси отложена доходность ценной бумаги (r
_A
), а по горизонтальной оси доходность на рыночный индекс (r_I). Линия проходит через точку на вертикальной оси, соответствующую значению, которое в данном случае составляет 2%. Линия имеет наклон, равный _AI, или 1,2.

Часть (б) рис. 10 представляет собой график рыночной модели ценной бумаги В. Уравнение данной прямой имеет следующий вид:

Эта линия идет из точки на вертикальной оси, связанной со значением α_ВI, которое в данном случае равняется –1%. Заметим, что наклон данной прямой равняется β_BI, или 0,8.

где обозначает ковариацию между доходностью акции

и доходностью на рыночный индекс, а обозначает дисперсию доходности на индекс. Акция, которая имеет до­ходность, являющуюся зеркальным отражением доходности на индекс, будет иметь «бета»-коэффициент, равный 1 (ему соответствует рыночная модель следующего вида:

+

, измеряемый ее дисперсией и обозначенный как  состоит из двух частей:  рыночный (или систематический) риск

ненты также носят название рыночного риска () и собственного риска().

При этом значение не меняется существенным образом, за исключением случаев пред­намеренного включения в портфель ценных бумаг с относительно низким или высо­ким значением «беты». Так как «бета» портфеля является средним значением «беты» ценных бумаг, входящих в портфель, то нет оснований предполагать, что увеличение диверсификации портфеля вызовет изменение «беты» портфеля и, таким образом, ры­ночного риска портфеля в какую-либо сторону. Таким образом, можно утверждать, что диверсификация приводит к усреднению рыночного риска.

Совершенно другая ситуация возникает при рассмотрении собственного риска порт­феля. В портфеле некоторые ценные бумаги могут возрасти в цене в результате распро­странения неожиданных хороших новостей, касающихся компаний, эмитировавших данные ценные бумаги (например, о приобретении патента). Другие ценные бумаги упадут в цене в результате распространения неожиданных плохих новостей, относя­щихся к данным компаниям (например, об аварии). В будущем можно ожидать, что количество компаний, о которых станут, известны какие-либо хорошие новости, при­близительно будет равняться количеству компаний, о которых станут известны какие-либо плохие новости, что приведет к небольшому ожидаемому чистому воздействию на доходность хорошо диверсифицированного портфеля. Это означает, что чем больше диверсифицируется портфель, тем меньше становится собственный риск и, следова­тельно, общий риск. Диверсификация существенно уменьшает собственный риск.

Проще говоря, портфель, состоящий из 30 или более случайно выбранных ценных бумаг, будет иметь относительно низкую величину собственного риска. Это означает, что общий риск будет ненамного больше величины имеющегося рыночного риска. Таким образом, указанные портфели являются хорошо диверсифицированными. Рису­нок 12 показывает, как диверсификация приводит к снижению собственного риска и усреднению рыночного риска.

Пример
Рассмотрим две ценные бумаги А и В, о которых шла речь ранее. Эти бумаги имеют коэффициенты «бета», равные 1,2 и 0,8 соответственно; стандартные отклонения их случайных погрешностей составляют 6,06 и 4,76%. Таким образом, из заданных значений _еА = 6,06% и _еB = 4,76% следует, что ²_еА=6,06² = 37 и ²_еB = 4,76² = 23. Теперь предположим, что стандартное отклонение рыночного индекса у_I составляет 8%. Это подразумевает, что дисперсия рыночного индекса равняется 8², или 64. Значения дисперсии для ценных бумаг А и В:

























рис. 12. Риск и диверсификация
Рассмотрим комбинацию ценных бумаг А и В в портфеле, образованном вложением равного количества денег инвестора в каждую ценную бумагу. То есть рассмотрим порт­фель, в котором Х_А = 0,5 и ХВ
= 0,5. Так как_AI= 1,2 и _BI = 0,8, то «бета» данного портфеля может быть вычислена с помощью уравнения:

_pI = (0,5 х 1,2) + (0,5x0,8) = 1,0.

Можно вычислить дисперсию случайного отклоне­ния портфеля:

²_еp = (0,5² * 37) + (0,5² * 23) = 15

Из уравнения (8.11а) видно, что портфель будет иметь следующую дисперсию:

²_p = (1,0² х 64) + 15 = 79.

Данное выражение представляет общий риск портфеля, состоящего из двух ценных бумаг.
2. модель марковица

Определение структуры и местоположения
эффективного множества
Существует бесконечное число портфелей, доступных для инвестора, но в то же время инвестор должен рассматривать только те портфели, ко­торые принадлежат эффективному множеству. Однако эффективное множество Мар­ковица представляет собой изогнутую линию, что предполагает наличие2. бесконечного числа точек на ней. Это означает, что существует бесконечное количество эффектив­ных портфелей. Метод  решения включает в себя алгоритм квадратического программирования, известный как метод критических линий (
critical
-
line

method
).

Рассмотрим портфель из трех акций. Проведем оценку вектора ожидаемых доходностей, обозначенного как ER
, и ковариационной матрицы, обозначенной как VС:

          16,2                              146   187  145

ER =  24,6                   VC =  187   854  104

           22,8                              145  104   289
Затем через алгоритм определяется количество «угловых» портфелей, которые свя­заны с ценными бумагами и полностью описывают эффективное множество. «Угло­вой» портфель — это эффективный портфель, обладающий следующими свойствами: любая комбинация двух смежных «угловых» портфелей представляет из себя третий портфель, лежащий в эффективном множестве между двумя «угловыми» портфелями. Данное утверждение можно проиллюстрировать примером.

Алгоритм начинается с определения портфеля с наивысшей ожидаемой доходно­стью. Данный портфель соотносится с точкой S
на рис. 1 и является эффективным портфелем. Он состоит только из одной ценной бумаги с наибольшей ожидаемой до­ходностью. То есть если инвестор хочет приобрести данный портфель, все, что он дол­жен сделать, это купить акции компании с наивысшей ожидаемой доходностью. Лю­бой другой портфель будет иметь меньшую ожидаемую доходность, так как в конечном счете часть фондов инвестора будет помещена в акции других компаний, имеющих ожидаемую доходность ниже S
.

Например, компанией, акции которой наиболее доходны, является компания Baker
. Соответствующим эффективным портфелем будет первый «угловой» портфель, опре­деленный алгоритмом. Его состав описывается следующим вектором весов, обозна­ченным Х(1):

             0,00

Х(1) =  1,00

             0,00

Его ожидаемая доходность и стандартное отклонение связаны только с ожидаемой доход­ностью и стандартным отклонением акций Baker
и соответственно составляют 24,6% и (854)^1/2, или 29,22%. На рис. 13 данный «угловой» портфель обозначен как С(1).

Затем алгоритм определяет второй «угловой» портфель. Данный портфель распо­лагается на эффективном множестве ниже первого «углового» портфеля. Его состав определяется следующим вектором весов, обозначенным Х(2):

             0,00

Х(2) =  0,22

             0,78

То есть второй «угловой» портфель представляет собой портфель, в котором инвестор вкладывает 22% своих фондов в обыкновенные акции компании Baker
, a 78% в обык­новенные акции компании Charlie
. Ожидаемую доходность и стандартное отклонение данного «углово­го» портфеля, которые составляют соответственно 23,20 и 15,90%. На рис. 13 данный «угловой» портфель обозначен как С(2).

Говоря о первом и втором «угловых» портфелях, важно отметить, что они являются смежными эффективными (adjacent
) портфелями и любой эффективный портфель, ле­жащий в эффективном множестве между двумя данными, будет представлять собой просто комбинацию их составов. Например, эффективный портфель, лежащий посере­дине между ними, будет иметь следующий состав:

                                                 0,00            0,00     0,00

[0,5*Х(1)] + [0,5*Х(2)] = 0,5*  1,00 + 0,5* 0,22 =  0,61

                                        0,00            0,78     0,39
рис. 8.13. «Угловые» портфели

Таким образом, веса распределены следующим образом: 0,61 — в акции Baker
и 0,39 — в акции Charlie
. Ожидае­мую доходность и стандартное отклонение данного портфеля составляют 23,9 и 20,28% соответственно.

Определив второй «угловой» портфель, алгоритм затем определяет третий. Он имеет следующий состав:

            0,84

Х(3) = 0,00

            0,16

Эти веса теперь могут быть использованы для вычисления ожидаемой доходности и стандартного отклонения данного портфеля, которые равны соответственно 17,26 и 12,22%. Как и два предыдущих, данный «угловой» портфель является эффективным и обозначается С(3) на рис. 13.

      Поскольку второй и третий портфели являются смежными, то любая их комбина­ция является эффективным портфелем, лежащим в эффективном множестве между двумя данными. Например, если инвестор вкладывает 33% своих фондов во второй «угловой» портфель, а 67% — в третий, то в результате получается эффективный портфель со следующим составом:

                                                      0,00              0,84     0,56

[0,33*Х(2)] + [0,67*Х(3)] = 0,33* 0,22 + 0,67* 0,00 =  0,07

                                             0,78              0,16     0,36

Данный портфель имеет ожидаемую доходность 19,10% и стандартное отклонение 12,88%.

Комбинация «угловых» смежных портфелей может дать эффективный портфель. Это означает, что портфели, представляющие собой ком­бинацию двух несмежных «угловых» портфелей, не будут принадлежать эффективному множеству. Например, первый и третий «угловые» портфели не являются смежными, следовательно, любой портфель, представляющий собой комбинацию двух данных, не будет являться эффективным. Например, если инвестор вложит 50% своих фондов в первый «угловой» портфель, и 50% — в третий, то результирующий портфель будет иметь следующий состав:

                                                 0,00            0,84     0,42

[0,5*Х(1)] + [0,5*Х(3)] = 0,5*  1,00 + 0,5* 0,22 =  0,50

                                        0,00            0,16     0,08
При данных весах ожидаемая доходность и стандартное от­клонение данного портфеля равны 20,93 и 18,38% соответственно. Однако это неэф­фективный портфель. Так как его ожидаемая доходность (20,93%) лежит между ожида­емой доходностью второго (23,20%) и третьего (17,26%) «угловых» портфелей, то с помощью комбинации этих двух смежных портфелей инвестор имеет возможность сфор­мировать эффективный портфель, имеющий такую же ожидаемую доходность, но мень­шее стандартное отклонение.

Далее алгоритм определяет состав четвертого «углового» портфеля:

            0,99

Х(4) = 0,00

            0,01

Ожидаемая доходность и стандартное отклонение, рав­ны 16,27% и 12,08% соответственно. Определив данный портфель, соответствующий точке Ј на рис. 1 (и С(4) на рис. 13), имеющий наименьшее стандартное отклонение из всех достижимых портфелей, алгоритм останавливается. Четыре «угловых» портфе­ля, объединенных в табл. 1, полностью описывают эффективное множество, связан­ное с акциями Able
,
Baker
и Charlie
.

Изображение графика данного эффективного множества является простой задачей для компьютера, обладающего высокими графическими возможностями. Он может опре­делить состав и соответственно ожидаемые доходности и стандартные отклонения каждого из 20 эффективных портфелей, равномерно распределенных между первым и вторым «уг­ловыми» портфелями. Затем он последовательно соединит отрезками точки, соответст­вующие данным портфелям. Это придаст графику вид изогнутой линии, показанной на рис. 13, так как данные портфели расположены близко друг к другу.

Таблица 1.
«Угловые» портфели в случае трех ценных бумаг

«Угловые» портфели	Able	Baker	Charlie	Ожидаемая доходность	Стандартное отклонение
С(1)	0,00	1,00	0,00	24,60%	29,22%
С(2)	0,00	0,22	0,78	23,20	15,90
С(3)	0,84	0,00	0,16	17,26	12,22
С(4)	0,99	0,0	0,01	16,27	12,08

Продолжая можно построить 20 эффективных портфелей между вторым и третьим «угловыми» портфелями, а затем соответствующий сегмент эффек­тивного множества. После того как данная процедура будет выполнена для следующего промежутка между третьим и четвертым «угловыми» портфелями, график будет пол­ностью построен.
2.1Определение состава оптимального портфеля
После того как были определены структура и местоположение эффективного множест­ва Марковица, можно определить состав оптимального портфеля инвестора. Портфель, обозначенный как О* на рис. 2, соответствует точке касания кривых безразличия инвестора с эффективным множеством. Процедура определения состава оптимального портфеля начинается с графического определения инвестором уровня его ожидаемой доходности. То есть из графика инвестор может определить, где располагается О*, а затем с помощью линейки отметить его ожидаемую доходность. Для этого следует про­вести из точки О линию, перпендикулярную вертикальной оси (с помощью компьюте­ра это можно сделать значительно более точно).

Проведя данную операцию, инвестор теперь может определить два «угловых» порт­феля с ожидаемыми доходностями, «окружающими» данный уровень. То есть инвестор может определить «угловой» портфель, который имеет ближайшую ожидаемую доход­ность, большую, чем у данного портфеля (ближайший «угловой» портфель, располо­женный «выше» О), и «угловой» портфель с ближайшей, меньшей ожидаемой доходно­стью (ближайший «угловой» портфель, расположенный «ниже» О).

Если оптимальный портфель имеет ожидаемую доходность в 20%, тогда можно заметить, что второй и третий «угловые» портфели являются верхним и нижним ближайшими «угловыми» портфелями, так как они имеют ожидаемую доходность в 23,20% и стандартное отклонение в 17,26%.

20% = (23,20% х Y) + [17,26% х (1 - Y)].

Решением данного уравнения является Y
= 0,46. Это означает, что оптимальный порт­фель состоит на 46% из второго «углового» портфеля и на 54% из третьего «углового» портфеля. В терминах объема инвестиций в ценные бумаги компаний Able
,
Baker
и Charlie
данное утверждение принимает следующий вид:

                                                      0,00              0,84     0,45

[0,46*Х(2)] + [0,54*Х(3)] = 0,46* 0,22 + 0,54* 0,00 =  0,10

                                             0,78              0,16     0,45

Таким образом, Инвестор должен вложить 45% своих фондов в акции Able
, 10% — в акции Baker
и 45% - в акции Charlie
.

В качестве обобщения можно сказать, что если векторы весов ближайших верхних и нижних «угловых» портфелей обозначены X
^а
и X^b
соответственно, то веса отдельных цен­ных бумаг, составляющих оптимальный портфель, равняются (Ух Х^a
) + [(1 — Y
) х X^b
].
3. Метод, основанный на рыночной модели

Исходные данные, необходимые для определения
местоположения эффективного множества



Для того чтобы определить эффективное множество, инвестор должен оценить ожида­емые доходности всех рассматриваемых ценных бумаг, а также их дисперсии и ковари­аций. Далее, можно определить оптимальный портфель, найдя точку касания кривых безразличия инвестора с эффективным множеством, как это показано на рис. 2.

Для определения эффективного множества нужно сделать следующие шаги. Пер­вое, нужно оценить ожидаемую доходность каждой ценной бумаги. Если рассматрива­ется N ценных бумаг, то нужно произвести оценку N параметров. Второе, нужно оце­нить дисперсию каждой из этих ценных бумаг. Для N рисковых ценных бумаг нужно провести оценку других N параметров. Третье, нужно оценить ковариацию каждой пары ценных бумаг. Для этого нужно оценить (N
²
— N )/2 параметров. Это означает, что общее число параметров, для которых необходимо провести оценку, равняется (N
²
+ 3
N)/2:

Ожидаемые доходности         N

Дисперсии                                 N

Ковариаций                         (N² - N)/2

Всего                                     (N² – 3N)/2

Например, если мы рассматриваем 100 рисковых ценных бумаг, то нам необходимо произвести оценку 5150 параметров [(100² + (3 х 100)/2], состоящих из 100 ожидаемых доходностей, 100 дисперсий и 4950 ковариаций. Эти параметры могут быть оценены один за другим, что представляет задачу, требующую больших временных затрат и прак­тически неразрешимую. К счастью, существуют альтернативы данному методу, одной из которых является метод, основанный на рыночной модели.

При подходе, использующем рыночную модель, в первую очередь необходимо оце­нить ожидаемую доходность на рыночный индекс. Затем для каждой ценной бумаги нужно оценить коэффициент вертикального смещения и коэффициент «бета». В об­щей сложности надо произвести оценку (1 + 2N) параметров (1 для r
₁
, 2
N
для коэффи­циента вертикального смещения и «бета»-коэффициентов для каждой из N рискован­ных ценных бумаг). Полученные значения могут быть использованы для проведения оценок ожидаемой доходности каждой ценной бумаги.

Ранее ожидаемая доходность на индекс рынка была оценена в 5%. Исходя из дан­ной величины, ожидаемую доходность ценной бумаги А можно оценить в 8%, так как коэффициент смещения и «бета»-коэффициент этой ценной бумаги были оценены в 2% и 1,2 соответственно:

r_A = 2%+(5%*1,2) = 8%

Аналогично, ожидаемая доходность ценной бумаги В может быть оценена в 3%, так как оценка коэффициента смещения равняется —1%, а «бета»-коэффициента — 0,8:
r_B = -1%+(5%*1,2) = 3%
При использовании рыночной модели дисперсия ценной бумаги i может быть оценена как сумма произведения квадрата значения «бета»-коэффициента ценной бу­маги на дисперсию индекса рынка и дисперсию случайной погрешности.



где s²_i,  обозначает дисперсию индекса рынка и s²_ei обозначает дисперсию случайной погрешности для ценной бумаги i.

Предполагая, что дисперсия индекса рынка равняется 49, соответствующие дис­персии ценных бумаг А и В можно оценить следующим образом:

s²_A = (1,2² х 49) + 6,06² = 107,28;

s²_B = (0,8² х 49) + 4,76² = 54,02.

Это означает, что оценка стандартных отклонений данных ценных бумаг равняется 10,36% = √107,28  и 7,35% = √54, 02 соответственно.

В заключение отметим, что ковариация ценных бумаг i
и
j
оценивается произведе­нием трех чисел: «бета»-коэффициента i-й ценной бумаги, «бета»-коэффициента j-й ценной бумаги и дисперсии индекса рынка.


Таким образом, ковариация ценных бумаг А и В может быть оценена следующим об­разом:

s
_А,
B
= 1,2x0,8x49 = 47,04.

Итак, применяя подход, использующий рыночную модель для оценки ожидаемых доходностей, дисперсий и ковариаций, следует определить следующие параметры:

                   Для индекса рынка:
                           Ожидаемая доходность                              1

Дисперсия                                                             1

                Для каждой ценной бумаги:

Коэффициент вертикального смещения             N

«Бета»                                                                                 N

Дисперсия случайной погрешности                       N

                    Итого                                                                                            3N+2

Таким образом, в рамках данного подхода для определения эффективного множества и оптимального портфеля необходимо произвести оценку 302 [(3 х 100) + 2] параметров для 100 рисковых ценных бумаг и рассчитать ожидаемые доходности, диспер­сии и ковариации рискованных ценных бумаг. Рассмотренный ранее метод альтерна­тивной оценки всех параметров один за другим требует оценить 5150 параметров. Как можно заметить из данного примера, применение подхода, основанного на рыночной модели, значительно сокращает объем расчетов.

После того как были оценены ожидаемые доходности, дисперсии и ковариаций, необходимо ввести эти значения в компьютер. Затем компьютер может приступить к определению эффективного множества, используя «алгоритм квадратичного програм­мирования». После этого оптимальный портфель инвестора может быть подобран с помощью определения точки касания кривых безразличия инвестора с эффективным множеством.




Литература:
1.      В.А.Галанов; А.И.Басов; З.К.Голда «Рынок ценных бумаг» М. «Финансы и статистика»,2003 г.
2.      А.И.Бланк «Инвестиционный менеджмент», М. 2002 г.
3.      У.Шарп, А.Горден «Инвестиции»,