Санкт-Петербургское государственное образовательное учреждение среднего профессионального образования

Согласовано:
Предметной (цикловой) комиссией Председатель
____________/_____________
(Подпись) (ФИО)
«_____» __________200__г.

Утверждено:

Заместителем директора по УР

__________/______________/
(Подпись) (ФИО)
 «____»________200___г.

Указания по проведению

По дисциплине «Математика»

Специальность __080110, 080112, 080501__

Разработал преподаватель

_____________(___................. __)
(Подпись) (ФИО)
«_______» _________________200___г.

Цель работы:
1. Формировать умения и навыки вычисления пределов
2.     Формировать умения и навыки самостоятельного умственного труда
3.     Прививать умения и навыки работы со справочным материалом
4. Определить уровень остаточных знаний студентов по данной теме

Перечень справочной литературы :
1.     Богомолов Н.В. «Практические занятия по математике», М: Высшая школа, 2004
2.     Письменный Д. «Конспект лекций по высшей математике», ч.1., Москва, Айрис-Пресс, 2004
3.     Шипачев В.С. «Задачник по высшей математике», М: Высшая школа, 2003
4.     Выгодский М.Я. «Справочник по высшей математике», Росткнига, 2001

Краткие теоретические сведения:
Предел последовательности
Определение. Число  называется пределом последовательности , если для любого положительно  го числа найдется такое натуральное число , что при всех >  выполняется неравенство
Пишут:
Графически это выглядит так:
_n -  

Т.е. элемент  находится в - окрестности точки а. При этом последовательности  называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.
Основные свойства сходящихся последовательностей
1)Сходящаяся последовательность ограничена.
2)Пусть , , тогда а)  б)  в)
3)Если  и для всех  выполняется неравенства , то .
4) Если  и последовательность {у_n} - ограниченная, то  

№1. Найти пределы:

Бесконечно большие и бесконечно малые функции
Определение. Функция  называется бесконечно малой при , если
Например: 1)  при  б. м. ф. т.к.  2)  при  б. м. ф. т. к
Определение. Функция  называется бесконечно большой при , если ,  или
Например,  есть б. б. Ф при ;  если б. б. ф. при  действительно  и
Теорема (о связи между функций, ее приделом и бесконечно малой функцией). Если функция  имеет придел, равный , то ее можно представить как сумму числа  и бесконечно малой функции , т.е. если
Теорема (обратная). Если функцию  можно представить в виде суммы числа А и б.м.ф. (x), то число А является пределом функции , т.е если , то
Например, требуется вычислить . Представим числитель и знаменатель в виде суммы числа и б.м.ф.
Функции  при  есть б.м.ф. таким образом

Основные теоремы о пределах
Теорема 1. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:

Теорема справедлива для алгебраической суммы любого конечного числа функций.
Теорема 2. Функция может иметь только один предел при .

Теорема 3. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:
.
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
Следствие 2. Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела: .
Теорема 4. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю.

Примеры:
1) = =   = =
= = =
2) =
=
3)
Первый замечательный предел

Второй замечательный предел
 или
Примеры:
Вычислить:
1) .
2) .
3)

4) = = =
№2. Найти пределы:
 
 
№3. Найти пределы:

Порядок проведения работы:
1.                Используя теоретические сведения выполнить предложенное преподавателем задание
2.                Соответствующим образом оформить работу

Лист 1. Практическая работа по теме «Вычисление пределов» Выполнил:__________ (ФИО) группа:_____________ Проверил:__________ Оценка:____________

Лист 2. № примера Решение: Ответ:

Оформление работы: