Эконометрический анализ основных числовых характеристик
Введем обозначения: Х1 – удельный вес пашни в с/х угодьях, %;
Х2 – удельный вес лугов и пастбищ, %
У – уровень убыточности продукции животноводства, %
Найдем основные числовые характеристики:
1. Объем выборки – суммарное количество наблюдений: n = 15.
2. Минимальное значение х₁ – min х₁ = 68,1%
максимальное значение х₁ – max х₁ = 94,7%
Значит, удельный вес пашни в с/х угодьях изменяется от 68,1% до 94,7%.
3.      min х₂ = 9,2%, max х₂ = 28,7%.
Значит, удельный вес лугов и пастбищ изменяется от 9,2%, до 28,7%.
4.      min у = 15%, max у = 45,6%.
Значит, уровень убыточности продукции животноводства изменяется от 15%% до 45,6%.
5. Среднее значение вычисляется по формуле

Среднее значение удельного веса пашни в с/х угодьях и составляет x₁=80,98%
Среднее значение удельного веса лугов и пастбищ составляет х₂ = 17,02%
Среднее значение уровня убыточности продукции животноводства составляет у = 28,2%.
6. Дисперсия вычисляется по формуле

 
Дисперсия по х₁: D(х₁) = 58,83;
по х₂: D(х₂) = 42,45;
по у: D(у) = 92,96.
7. Среднеквадратичное отклонение вычисляется по формуле:

σ_х1= 7,67 – значит, среднее отклонение удельного веса пашни в с/х угодьях от среднего значения составляет 7,67%
σ_х2= 6,52 – значит, среднее отклонение удельного веса лугов и пастбищ от среднего значения составляет 6,52%
σ_у= 9,642 – значит, среднее отклонение уровня убыточности продукции животноводства от среднего значения составляет 9,642%.
Эконометрический анализ
По таблице строим корреляционное поле (диаграмму рассеивания). Нанесем точки х_i, у_i на координатную плоскость.
Точка с координатами (х; у) = (80,98; 17,15) называется центром рассеивания.
По виду корреляционного поля можно предположить, что зависимость между х и у линейная.
Для определения линейной связи найдем коэффициент корреляции.
r =0,776111538
Т.к. в данном случае коэффициент корреляции 0,6 ≤| r | ≤ 0,9, то линейная связь между х и у достаточная.
Попытаемся описать связь между х и у зависимостью у = b₀ + b₁x
Параметры b₀ и b₁ находим по методу наименьших квадратов.
b₁ = r_ху σ_у/ σ_х =-0,6520, b₀ = у – b₁x = 69,9498
Т.к. b₁<0, то зависимость между х и у обратная. Т.е. с ростом удельного веса пашни в с/х угодьях, уровень убыточности продукции животноводства уменьшается.
Проверим значимость коэффициентов b_i. Значимость может быть проверена с помощью критерия Стьюдента.
Для коэффициента b₀:
=5,854852846
Значимость t наблюдаемого: α·t_набл = 0,0001, т.е. 0,01%<5%, значит, коэффициент b₀ статистически значим.
Для коэффициента b₁:
= -4,437566168
Значимость t наблюдаемого: α·t_набл = 0,0010, т.е. 0,1%<5%,
Значит, коэффициент b₁ статистически значим.
Получим модель зависимости уровня убыточности продукции животноводства от удельного веса пашни в с/х угодьях и удельного веса лугов и пастбищ.
у = -0,652х + 69,9498.
После того, как была построена модель, проверяем её на адекватность.
Разброс данных, объясняемый регрессией:
 SSP = 350,083702

Остатки необъясняемые – разброс:
 SSЕ = 231,1136313
Общий разброс данных:
 SSY = 581,1973333
Для анализа общего качества модели найдем коэффициент детерминации.
R² = SSR/ SSY = 0,57176059
Разброс данных объясняется: линейной моделью на 57,26% и на 42,74% случайными ошибками ((1 – R²)·100%).
Качество модели плохое.
Проверим с помощью критерия Фишера. Для проверки найдем величины:
MSR = SSR / R₁ = 350,083702 и MSЕ = SSЕ / R₂ = 17,77797164.
Вычисляем k₁ = 1 и k₂ = 14.
Находим наблюдаемое значение критерия Фишера.
F_набл = MSR / MSE = 19,6919935.
Значимость этого значения: α = 0,000669742, т.е. процент ошибки равен ≈0,067% < 5%.
Следовательно, модель у = -0,652х + 69,9498 считается адекватной с гарантией более 95%.
Найдем прогноз на основании линейной регрессии. Выберем произвольную точку из области прогноза.
x  [x_min, x_max]; х_пр = 88
Рассчитываем прогнозируемые значения по модели для всех точек выборки и для точки прогноза.
у_(х=88) = у = -0,652х + 69,9498= 12,577
Найдем полуширину доверительного интервала в каждой точке и в точке прогноза.
,
где σ_е – среднеквадратическое отклонение выборочных точек от линии регрессии
= 4,216393
t_γ – критическая точка распределения Стьюдента для надежности
γ =0,95 R = 13;
n = 15 – объем выборки;
сумма знаменателя – ,
где D(x) – дисперсия выборки,
х_пр – точка прогноза.
Прогнозируемый доверительный интервал для любой точки х:
, где δ для точки прогноза – δ (х=88) = 9,668, т.е. доверительный интервал для х_пр составляет от 2,909 до 22,244 с гарантией 95%.
Совокупность доверительных интервалов для всех х из области прогнозов образует доверительную область.
Т.е. при удельном весе пашни в с/х угодьях 1,458%. уровень убыточности продукции животноводства составит от 2,909% до 22,244%.
Найдем эластичность. Для линейной модели эластичность Е_х вычисляется по формуле:


Коэффициент эластичности показывает, что при изменении удельного веса пашни в с/х угодьях на 1% уровень убыточности продукции животноводства уменьшится на 4,593%.
Эконометрический анализ
По таблице строим корреляционное поле (диаграмму рассеивания). Нанесем точки х_i, у_i на координатную плоскость.
Точка с координатами (х; у) = (17,02; 28,2) называется центром рассеивания.
По виду корреляционного поля можно предположить, что зависимость между х и у нелинейная.
Попытаемся описать связь между х и у зависимостью:
y = a ln x + b.
Перейдем к линейной модели. Делаем линеаризующую подстановку:

U= ln x;      V = y.
Для этих данных строим линейную модель:
V = b₀ + b₁U.
Для определения линейной связи найдем коэффициент корреляции.
r =0,864
Т.к. в данном случае коэффициент корреляции | r | > 0,9, то линейная связь между U и V сильная.
Попытаемся описать связь между U и V зависимостью
V = b₀ + b₁U.
Параметры b₀ и b₁ находим по методу наименьших квадратов.
b₁ = r _{U V} σ _V / σ _U = 370.76,    b₀ = V – b₁ U = 3.53.
Т.к. b₁ > 0, то зависимость между U и V прямая. Т.е. с ростом удельного веса лугов и пастбищ, уровень убыточности продукции животноводства повышается.
Проверим значимость коэффициентов b_i. Значимость может быть проверена с помощью критерия Стьюдента.
Для коэффициента b₀:
=0,845
Значимость t наблюдаемого: α·t_набл = 0,413221639, т.е. 41%>5%,
Значит, коэффициент b₀ статистически не значим.
Для коэффициента b₁:
=6,2

Значимость t наблюдаемого: α·t_набл = 3,23039E‑05, т.е. ≈0%<5%,
Значит, коэффициент b₁ статистически значим.
Получим модель зависимости уровня убыточности продукции животноводства от удельного веса лугов и пастбищ.
V = 370,76U +3,53.
После того, как была построена модель, проверяем её на адекватность.
Разброс данных, объясняемый регрессией:
 SSP = 972,42
Остатки необъясняемые – разброс:
 SSЕ = 329,1
Общий разброс данных:
 SSY = 1301,51
Для анализа общего качества модели найдем коэффициент детерминации.
R² = SSR/ SSY = 0.747
Разброс данных объясняется: линейной моделью на 74,7% и на 25,3% случайными ошибками ((1 – R²)·100%).
Качество модели хорошее.
Проверим с помощью критерия Фишера. Для проверки найдем величины: MSR = SSR / R₁ = 972,42 и MSЕ = SSЕ / R₂ = 25,3.
Вычисляем k₁ = 1 и k₂ = 13.
Находим наблюдаемое значение критерия Фишера.
F_набл = MSR / MSE = 38.41.
Значимость этого значения: α = 3,23Е‑05, т.е. процент ошибки равен ≈0% < 5%.
Следовательно, модель V = 370,76U +3,53. считается адекватной с гарантией более 95%.
Т.к. линейная модель адекватна, то и соответствующая нелинейная модель то же адекватна. Находим параметры исходной нелинейной модели a и b. Вид нелинейной функции:
y = 370,76/x +3,53.
Найдем прогноз на основании линейной регрессии. Выберем произвольную точку из области прогноза.
x  [x_min, x_max];
х_пр = 17,02, соответственно U_пр= 1/17,02 = 0,06
Рассчитываем прогнозируемые значения по модели для всех точек выборки и для точки прогноза.
V_(х=17,02) = 370,76U +3,53. = 25,32,
у_(х=17,02) = 370,76/x +3,53 = 25,32.
Т.к. y(x) = V(U), то полуширина доверительного интервала и доверительный интервал будет равен как для y так и для V.
Найдем полуширину доверительного интервала в каждой точке и в точке прогноза.

,
Прогнозируемый доверительный интервал для любой точки х:
, где δ для точки прогноза – δ (х=17,02) = 11,27 т.е. доверительный интервал для х_пр составляет от 8,50 до 12,87 с гарантией 95%.
Совокупность доверительных интервалов для всех х из области прогнозов образует доверительную область.
Т.е. при удельном весе лугов и пастбищ 17,02% уровень убыточности продукции животноводства составит от 14,05% до 36,59%.
Найдем эластичность. Для линейной модели эластичность Е_х вычисляется по формуле:


Коэффициент эластичности показывает, что при изменении удельного веса лугов и пастбищ на 1% уровень убыточности продукции животноводства изменяется на 0,86%.

Эконометрический анализ

Прежде, чем строить модель, проверим факторы на коллинеарность. По исходным данным строим корреляционную матрицу. Коэффициент корреляции между х₁ и х₂ равен:
r_х1х2 =-0,79 < 0,95, следовательно х₁ и х₂ неколлинеарны.
Определим связаны ли х₁, х₂ и у между собой. Для определения тесноты линейной связи найдем коэффициент корреляции.
r = 0,92
Попытаемся описать связь между х₁, х₂ и у зависимостью
у = b₀ + b₁∙х₁ + b₂ ∙х₂
Параметры b₀, b₁ и b₂ находим по методу наименьших квадратов.
b₀ = -19.995, b₁ = 0.72, b₂ = -0.6
Проверим значимость коэффициентов b_i. Значимость может быть проверена с помощью критерия Стьюдента.
Для коэффициента b₀:
= -0,87
Значимость t наблюдаемого: α·t_набл = 0,40, т.е. 40% > 5%,
Значит, коэффициент b₀ статистически не значим.
Для коэффициента b₁:
= 3,04
Значимость t наблюдаемого: α·t_набл = 0,01, т.е. 1% < 5%,
Значит, коэффициент b₁ статистически значим.
Для коэффициента b₂:
= -2,11
Значимость t наблюдаемого: α·t_набл = 0,06, т.е. 6% > 5%,
Значит, коэффициент b₂ статистически не значим.
Получим модель зависимости уровня убыточности продукции животноводства от удельного веса пашни в с/х угодьях и и удельного веса лугов и пастбищ.
у = -19,995 + 0,72∙х₁ – 0,6∙х₂
После того, как была построена модель, проверяем её на адекватность.
Разброс данных, объясняемый регрессией:
 SSP = 1090,3
Остатки необъясняемые – разброс:
 SSЕ = 211,17
Общий разброс данных:
 SSY = 1301,5
Для анализа общего качества модели найдем коэффициент детерминации.
R² = SSR/ SSY = 0.84
Разброс данных объясняется: линейной моделью на 84% и на 16% случайными ошибками ((1 – R²)·100%).
Качество модели хорошее.
Проверим с помощью критерия Фишера. Для проверки найдем величины: MSR = SSR / R₁ = 545,17 и MSЕ = SSЕ / R₂ = 17,6.
Вычисляем k₁ = 2 и k₂ = 12.
Находим наблюдаемое значение критерия Фишера.
F_набл = MSR / MSE = 30.98.
Значимость этого значения: α = 1,82E‑05, т.е. процент ошибки равен ≈0% < 5%.
Следовательно, модель
у = -19,995 + 0,72∙х₁ – 0,6 ∙х₂ – считается адекватной с гарантией более 95%.
Найдем прогноз на основании линейной регрессии. Выберем произвольную точку из области прогноза.
X_1,2  [x_min, x_max]; х_пр = (80,98; 17,02)
Рассчитываем прогнозируемые значения по модели для всех точек выборки и для точки прогноза.
У_{(80,98;17,02)} = у = -19,995 + 0,72∙80,98 – 0,6 ∙17,02=28,17
Найдем коэффициенты частичной эластичности Е_х1, Е_х2.
Для линейной модели эластичность Е_х вычисляется по формуле:


Коэффициент эластичности показывает, что при увеличении удельного веса пашни в с/х угодьях на 1% и удельного веса лугов и пастбищ на 80,98% уровень убыточности продукции животноводства увеличится на 2,064%



Коэффициент эластичности показывает, что при увеличении производительности труда на 1% и удельного веса пашни в с/х угодьях на 17,02% уровень убыточности продукции животноводства уменьшится на 0,354%.