Заказ №1459

№1

Округлить сомнительные цифры числа а, оставив верные цифры: а) в узком смысле; б) в широком смысле. Определить абсолютную погрешность результата.



Решение

а) По условию . Следовательно, в числе  верными в узком смысле являются четыре цифры: 3, 7, 8, 5. Округляем число a до четырех

значащих цифр: . Тогда



Так как , то число a₁ имеет три верные цифры: 3, 7, 8. Округляем число a до трех значащих цифр: . Тогда



Так как , то число a₂ имеет две верные цифры: 3, 7. Округляем число a до двух значащих цифр: . Тогда



Так как , то две оставшиеся цифры результата  верны в узком смысле. Таким образом,



б) Представим  в виде и найдем



примем. Так как , то число a = 4,571 имеет три верные в широком смысле цифры: 4, 5, 7. Округляем число a до трех значащих цифр: . Тогда



Так как, то три оставшиеся цифры результата  верны в широком смысле. Таким образом,


.

Ответ: а) , ;

            б) ,
№2

Найти интерполяционный многочлен Лагранжа для данной функции f (x) с заданными узлами x_k (k = 0, 1, 2, 3)



Решение

Прежде всего, заметим, что



Применяя формулу (3) при n = 3, получим:




Ответ:

№3

Методом наименьших квадратов найти эмпирическую формулу вида y = ax + b по данным опыта, представленным таблицей

х	1	2	3	4	5
у	1,8	1,3	3,3	4,8	3,8

Решение

Результаты предварительных вычислений вносим в таблицу

0 1 2 3 4	1 2 3 4 5	1,8 1,3 3,3 4,8 3,8	1,8 2,6 9,9 19,2 19	1 4 9 16 25
	15	15	52,5	55

Нормальная система уравнений принимает вид



Следовательно, искомая эмпирическая формула





Ответ:
№4

Вычислить данный интеграл с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Вычисления производить с округлением до четвертого десятичного знака.



Решение

Определяем значения подынтегральной функции при  для следующих значений аргумента



Находим соответствующие значения функции :



Тогда получаем



Ответ:
№5

Отделить корни данного уравнения аналитически и уточнить больший из них методом Ньютона с точностью до



Решение

Отделим корни данного уравнения аналитически. Находим



Составляем таблицу знаков функции

	-	+	-	+

Уравнение имеет три действительных корня:



Уменьшим отрезки, содержащие корни, до длины, равной 1

	-3	-2	0	1	2	3
	-	+	+	-	-	+

Значит,

Уточним больший корень  заданного уравнения методом Ньютона. Имеем



при . Поэтому для использования метода Ньютона выбираем , причем

. Все вычисления сводим в таблицу

0 1 2 3 4	3 2,3495 2,0809 2,0285 2,0265	67 15,4003 2,1721 0,0765 -0,0005	103 57,3388 41,4471 38,5488 38,4394	0,651 0,267 0,0524 0,0020 0	2,3495 2,0809 2,0285 2,0265 2,0265

Искомый корень

Ответ:
№6

Используя метод Эйлера, составить таблицу приближенных значений решения данного дифференциального уравнения y’ = f (x, y), удовлетворяющего начальному условию      y(1) = 0, на отрезке [1; 1,05] с шагом h = 0,01. Вычисления вести с четырьмя знаками после запятой



Решение

Находим последовательные значения аргумента



Обозначим



Для удобства вычислений составим таблицу

0 1 2 3 4 5	1 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05	0 0,01 0,0199 0,0297 0,0395 0,0491	1 0,9907 0,9824 0,9750 0,9686	0,01 0,0199 0,0297 0,0395 0,0491

Таким образом, имеем следующую таблицу

х	1	1,01	1,02	1,03	1,04	1,05
у	0	0,01	0,0199	0,0297	0,0395	0,0491

Ответ: таблица.