Задание 1

Предприятию для изготовления наборов елочных украшений необходимо изготовить их составные части - шар, колокольчик, мишура. Эти данные представлены в таблице:
В свою очередь для изготовления этих составных частей необходимы три вида сырья - стекло (в г), папье-маше (в г), фольга (в г), потребности в котором отражены в следующей таблице
Требуется:
1) определить потребности в сырье для выполнения плана по изготовлению комплектов первого, второго, третьего и четвертого вида в количестве соответственно x₁, x_2, x₃ и x₄ штук;
2) провести подсчеты для значений x₁ = 500, x₂ = 400, x₃ = 300 и x₄=200.
Решение: составим условия для определения числа деталей в зависимости от числа и вида наборов. Пусть n₁, n₂ и n₃ - число шаров, колокольчиков и мишуры, соответственно.
Тогда условия будут выглядеть следующим образом:
n₁ = 5x₁ + 6x₂ + 8x₃ + 10x₄
n₂ = 3x₁ + 4x₂ + 6x₃
n₃ = 3x₂ + 5x₃ + 8x₄
Составим условия определяющие потребности в сырье в зависимости от вида деталей. Пусть y₁, y₂ и y₃ - потребности в стекле, папье-маше и фольге, соответственно:
y₁ = 5n₁
y₂ = 4n₂
y₃ = 3n₁ + 75n₃
Теперь подставим вместо n_i - полученные ранее равенства.
y₁ = 5· (5x₁ + 6x₂ + 8x₃ + 10x₄) = 25x₁ + 30x₂ + 40x₃ + 50x₄
y₂ = 4· (3x₁ + 4x₂ + 6x₃) = 12x₁ + 16x₂ + 24x₃
y₃ = 3· (5x₁ + 6x₂ + 8x₃ + 10x₄) + 75· (3x₂ + 5x₃ + 8x₄) = 15x₁ + 243x₂ + 399x₃ + 630x₄
Проведем подсчеты для значений
x₁ = 500, x₂ = 400, x₃ = 300 и x₄=200.
y₁ = 25 * 500 + 30 * 400 + 40 * 300 + 50 * 200 = 46500 г.
y₂ = 12 * 500 + 16 * 400 + 24 * 300 = 19600 г.
y₃ = 15 * 500 + 243 * 400 + 399 * 300 + 630 * 200 = 350400 г.

Задание 2

Пусть a_{ij -} количество продукции j, произведенной предприятием i, а b_{i -} стоимость всей продукции предприятия i исследуемой отрасли. Значения a_ij и b_i заданы матрицами A и В соответственно. Требуется определить цену единицы продукции каждого вида, производимой предприятиями отрасли. В ходе выполнения задания необходимо составить систему уравнений, соответствующую условиям, и решить ее тремя способами (матричный метод, метод Крамера, метод Гаусса).
,
Решение:
Составим систему уравнений:

Матричное уравнение выглядит следующим образом:
A · X = B
Домножим слева каждую из частей уравнения на матрицу A^-1
A^-1 · A · X = A^-1 · B; E · X = A^-1 · B; X = A^-1 · B
Найдем обратную матрицу A^-1
Δ = 12 * 9 * 1 + 6 * 8 * 10 + 15 * 5 * 11 - 15 * 9 * 8 - 6 * 5 * 1 - 12 * 10 * 11 = - 1017
;

 =
X = ·  =  =
Решим систему методом Крамера
Δ = - 1017
Δ₁ = = 231 * 9 * 1 + 238 * 8 * 10 + 216 * 5 * 11 - 216 * 9 * 8 - 238 * 5 * 1 - - 231 * 10 * 11 = - 9153
Δ₂ = = 12 * 238 * 1 + 6 * 8 * 216 + 15 * 231 * 11 - 15 * 238 * 8 - 6 * 231 * 1 - 12 * 216 * 11 = - 7119
Δ₃ = = 12 * 9 * 216 + 6 * 231 * 10 + 15 * 5 * 238 - 15 * 9 * 231 - 6 * 5 * 216 - 12 * 10 * 238 = - 11187
x₁ = Δ_1/Δ = - 9153/ (- 1017) = 9
x₂ = Δ_2/Δ = - 7119/ (- 1017) = 7
x₃ = Δ_3/Δ = - 11187/ (- 1017) = 11
Решим систему методом Гаусса
 =>  =>  =>
 =>  => = >

Задание 3

Найти частные производные первого и второго порядков заданной функции:

Решение:

Задание 4

Задана функция спроса , где p₁, p₂ - цены на первый и второй товары соответственно. Основываясь на свойствах функции спроса, определить: какой товар является исследуемым, а какой альтернативным и эластичность спроса по ценам исследуемого и альтернативного товаров. В процессе решения отметить, какими являются данные товары - взаимозаменяемыми или взаимодополняемыми.

Решение: эластичность спроса по цене равна первой производной от функции спроса:

эластичность отрицательная, следовательно, первый товар - исследуемый.

эластичность положительная, следовательно, второй товар - альтернативный.
Товары являются товарами заменителями, т.к рост цен на альтернативный товар приводит к росту спроса.

Задание 5

В таблице приведены данные о товарообороте магазина за прошедший год (по месяцам). Провести выравнивание данных по прямой с помощью метода наименьших квадратов.
Воспользовавшись найденным уравнением прямой, сделать прогноз о величине товарооборота через полгода и год. Сопроводить задачу чертежом, на котором необходимо построить ломаную эмпирических данных и полученную прямую.
Проанализировав чертеж, сделайте выводы.
Решение:
Рассчитаем параметры уравнения линейной парной регрессии.
Для расчета параметров a и b уравнения линейной регрессии у = а + bx решим систему нормальных уравнений относительно а и b (она вытекает из метода наименьших квадратов):

По исходным данным рассчитываем Sх, Sу, Sух, Sх², Sу².
;
;
;
;
Уравнение регрессии:
= 31,235 + 2,427 · х
Рассчитаем по данному уравнению значения для  и запишем их в дополнительный столбец исходных данных.
Найдем прогноз на полгода вперед:
= 31,235 + 2,427 * 18 = 74,921 тыс. руб.
Найдем прогноз на год вперед:
= 31,235 + 2,427 * 24 = 89,483 тыс. руб.


Полученные графики говорят о плохом отражении исходных данных уравнением прямой. Возможно это связанно с наличием сезонности в товарообороте. Тогда прямая линия является уравнением тренда.

Задание 6

Исследовать на экстремум следующую функцию:
;
Решение:
Найдем первые частные производные и определим точки потенциальных экстремумов.
= 4x³ + 2xy²; 4x³ + 2xy² = 0; 2x (2x² + y²);
2x = 0 или (2x² + y²) = 0; точка (0, 0)
= 4y³ + 2x²y; 4y³ + 2x²y = 0; 2y (x² + 2y²);
2y = 0 или (x² + 2y²) = 0; точка (0, 0)
Найдем вторые производные и их значения в точке (0; 0)
= 12x² + 2y²; 12 * 0² + 2 * 0² = 0 = А
= 2xy; 2 * 0 * 0 = 0 = B
= 12y² + 2x²; 12 * 0² + 2 * 0² = 0 = C
Δ = AC - B² = 0
Следовательно, вопрос об экстремуме остается открытым.
Точка (0; 0) возможный экстремум функции.

Задача 7

Пусть функция полезности задана как

где x и y - количество товаров А и В, приобретаемых потребителем, а значения функции полезности численно выражают меру удовлетворения покупателя. При данной стоимости единицы товаров А и В, общая сумма, выделяемая покупателем на их покупку, составляет 140 рублей. При каком количестве товаров А и В полезность для потребителя максимальна. А = 21, В = 37.
Решение: полезность максимальна при равенстве первых производных:
= ; = ;  = ;  =
Ограничение стоимости задается неравенством 21x + 37y ≤ 140
Составим систему.
; ; ;
Максимальная полезность будет достигнута при потреблении 2,14 ед. А и 2,57 ед.в.

Задание 8

Заданы функции спроса и предложения в зависимости от количества товара Q:  и . Под функциями спроса и предложения будем понимать функциональную зависимость цены от количества товара на рынке. Определить излишки потребителя и излишки производителя при равновесном состоянии спроса и предложения.
 и ,
Решение: найдем равновесное состояние спроса и предложения:
D (Q) = S (Q);  = ; ; - t² - 6t + 300 = 0
t₁ = - 25,12 и t₂ = 16,72, t₁ - не удовлетворяет условию
; Q = 279,56 ед.
При этом цена составит: Р = 6 * 16,72 = 100,32 ден. ед.
Излишки потребителя равны площади фигуры ограниченной сверху кривой спроса, снизу равновесной ценой и слева нулевым выпуском. Найдем излишки потребителя:
S_потр = - 100,32 · 279,56 = - 28045,46 =
= 300 * 279,56 - 5/14 * 279,56 - 28045,46 = 55722,7
Излишки производителя равны площади фигуры ограниченной сверху равновесной ценой, слева нулевым выпуском и снизу кривой предложения. Найдем излишки производителя:
S_произв = 100,32 · 279,56 -  = 28045,46 - =
= 28045,46 - 4 * 16,72³ = 9348,6

Литература

1.                 Н.Ш. Кремер. Высшая математика для экономистов. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.
2.                 Н.Ш. Кремер. Практикум по высшей математике для экономистов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.
3.                 И.А. Зайцев. Высшая математика. - М.: Высшая школа, 1998.
4.                 Математический анализ и линейная алгебра. Учебное методическое пособие. Под ред. Н.Ш. Кремера. - ВЗФЭИ, 2006.