План
  Задание 1
Задание 2
Задание 3
Задание 4
Задание 5
Задание 6
Задача 7
Задание 8
Литература

Задание 1

Мебельной фабрике для изготовления комплектов корпусной мебели необходимо изготовить их составные части - книжный шкаф, шифоньер, тумба для аппаратуры. Эти данные представлены в таблице:
В свою очередь, для изготовления этих составных частей необходимы три вида сырья - стекло (в кв. м), ДСП (в кв. м), ДВП (в кв. м), потребности в котором отражены в следующей таблице:
Требуется:
1) определить потребности в сырье для выполнения плана по изготовлению стенок первого, второго, третьего и четвертого вида в количестве соответственно x₁, x_2, x₃ и x₄ штук;
2) провести подсчеты для значений x₁ = 50, x₂ = 30, x₃ = 120 и x₄=80.
Решение: составим условия для определения числа составных частей в зависимости от числа и вида комплектов мебели. Пусть n₁, n₂, n₃ и n₄ - число шкафов, шифоньеров, пеналов и тумб, соответственно.
Тогда условия будут выглядеть следующим образом:
n₁ = x₁ + x₂
n₂ = x₁ + x₂ + x₄
n₃ = x₁ + x₂ + x₃
n₄ = x₁ + x₂ + x₃ + x₄
Составим условия определяющие потребности в сырье в зависимости от вида деталей. Пусть y₁, y₂ и y₃ - потребности в стекле, ДВП и ДСП, соответственно:
y₁ = 0,9n₁ + 0,2n₃ + 1,2n₄
y₂ = 6n₁ + 6,5n₂ + 6n₃ + 2,5n₄
y₃ = 2,9n₁ + 1,7n₂ + 1,4n₃ + 0,6n₄
Теперь подставим вместо n_i - полученные ранее равенства.
y₁ = 0,9· (x₁ + x₂) + 0,2· (x₁ + x₂ + x₃) + 1,2· (x₁ + x₂ + x₃ + x₄)
y₂ = 6· (x₁ + x₂) + 6,5· (x₁ + x₂ + x₄) + 6· (x₁ + x₂ + x₃) + 2,5· (x₁ + x₂ + x₃ + x₄)
y₃ = 2,9· (x₁ + x₂) + 1,7· (x₁ + x₂ + x₄) + 1,4· (x₁ + x₂ + x₃) + 0,6· (x₁ + x₂ + x₃ + x₄)
Приведем подобные
y₁ = 2,3x₁ + 2,3x₂ + 1,4x₃ + 1,2x_4, y₂ = 21x₁ + 21x₂ + 8,5x₃ + 9x₄
y₃ = 6,6x₁ + 6,6x₂ + 2x₃ + 2,3x₄
Проведем подсчеты для значений
x₁ = 50, x₂ = 30, x₃ = 120 и x₄ = 80
y₁ = 2,3 * 50 + 2,3 * 30 + 1,4 * 120 + 1,2 * 80 = 448 кв. м.
y₂ = 21 * 50 + 21 * 30 + 8,5 * 120 + 9 * 80 = 3420 кв. м.
y₃ = 6,6 * 50 + 6,6 * 30 + 2 * 120 + 2,3 * 80 = 952 кв. м.

Задание 2

Пусть a_{ij -} количество продукции j, произведенной предприятием i, а b_{i -} стоимость всей продукции предприятия i исследуемой отрасли. Значения a_ij и b_i заданы матрицами A и В соответственно. Требуется определить цену единицы продукции каждого вида, производимой предприятиями отрасли. В ходе выполнения задания необходимо составить систему уравнений, соответствующую условиям, и решить ее тремя способами (матричный метод, метод Крамера, метод Гаусса).
,
Решение:
Составим систему уравнений:

Матричное уравнение выглядит следующим образом:
A · X = B
Домножим слева каждую из частей уравнения на матрицу A^-1
A^-1 · A · X = A^-1 · B;
E · X = A^-1 · B;
X = A^-1 · B
Найдем обратную матрицу A^-1
Δ = 4 * 12 * 4 + 12 * 7 * 13 + 14 * 7 * 9 - 9 * 12 * 7 - 12 * 14 * 4 - 4 * 7 * 13 = 374
;


X = ·  =  =
Решим систему методом Крамера
Δ = 374
Δ₁ = = 97 * 12 * 4 + 129 * 7 * 13 + 14 * 7 * 109 - 109 * 12 * 7 - 129 * 14 * 4 - 97 * 7 * 13 = 1870
Δ₂ = = 4 * 129 * 4 + 12 * 7 * 109 + 97 * 7 * 9 - 9 * 129 * 7 - 12 * 97 * 4 - 4 * 7 * 109 = 1496
Δ₃ = = 4 * 12 * 109 + 12 * 97 * 13 + 14 * 129 * 9 - 9 * 12 * 97 - 12 * 14 * 109 - 4 * 129 * 13 = 1122
x₁ = Δ_1/Δ = 1870/374 = 5, x₂ = Δ_2/Δ = 1496/374 = 4
x₃ = Δ_3/Δ = 1122/374 = 3
Решим систему методом Гаусса
 =>  =>
   =>  
=>  =>

Задание 3

Найти частные производные первого и второго порядков заданной функции:

Решение:

Задание 4

Задана функция спроса , где p₁, p₂ - цены на первый и второй товары соответственно.
Основываясь на свойствах функции спроса, определить: какой товар является исследуемым, а какой альтернативным и эластичность спроса по ценам исследуемого и альтернативного товаров.
В процессе решения отметить, какими являются данные товары - взаимозаменяемыми или взаимодополняемыми.

Решение:
Эластичность спроса по цене равна первой производной от функции спроса:

эластичность отрицательная, следовательно, первый товар - исследуемый.

эластичность отрицательная.
Товары являются товарами дополнителями, т.к рост цен на второй товар, как и рост цен на первый товар приводит к снижению спроса.

Задание 5

В таблице приведены данные о товарообороте магазина за прошедший год (по месяцам). Провести выравнивание данных по прямой с помощью метода наименьших квадратов. Воспользовавшись найденным уравнением прямой, сделать прогноз о величине товарооборота через полгода и год. Сопроводить задачу чертежом, на котором необходимо построить ломаную эмпирических данных и полученную прямую. Проанализировав чертеж, сделайте выводы.

Месяц	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Товарооборот, (тыс. р)	22	4,4	37	57,4	55,4	72	91,6	78,4	58	59	42	37,6

Решение:
Рассчитаем параметры уравнения линейной парной регрессии.
Для расчета параметров a и b уравнения линейной регрессии у = а + bx решим систему нормальных уравнений относительно а и b (она вытекает из метода наименьших квадратов):

По исходным данным рассчитываем Sх, Sу, Sух, Sх², Sу².
; ; ;
;
Уравнение регрессии: = 34,06 + 2,642 · х
Рассчитаем по данному уравнению значения для  и запишем их в дополнительный столбец исходных данных.  Найдем прогноз на полгода вперед:
= 34,06 + 2,642 * 18 = 81,636 тыс. руб.
Найдем прогноз на год вперед:
= 34,06 + 2,642 * 24 = 97,5 тыс. руб.

Полученные графики говорят о плохом отражении исходных данных уравнением прямой. Возможно это связанно с наличием сезонности в товарообороте. Тогда прямая линия является уравнением тренда.

Задание 6

Исследовать на экстремум следующую функцию:
;
Решение:
Найдем первые частные производные и определим точки потенциальных экстремумов (там где производные равны нулю).
= 2x + y - 4; = 4y + x - 2;
; ; ; ;
Найдем вторые производные и их значения в точке (2; 0)
= 2 = А, = 1 = B
= 4 = C, Δ = AC - B² = 2 * 4 - 1 = 7
Т.е. в точке (2; 0) имеется экстремум.
Т.к. А > 0, то точка (2; 0) минимум функции.

Задача 7

Пусть функция полезности задана как

где x и y - количество товаров А и В, приобретаемых потребителем, а значения функции полезности численно выражают меру удовлетворения покупателя. При данной стоимости единицы товаров А и В, общая сумма, выделяемая покупателем на их покупку, составляет 140 рублей. При каком количестве товаров А и В полезность для потребителя максимальна. А = 11, В = 17.
Решение:
Полезность максимальна при равенстве первых производных:
= ; = ;  = ;  =
Ограничение стоимости задается неравенством 11x + 17y ≤ 140
Составим систему.
; ; ;
Максимальная полезность будет достигнута при потреблении 4,46 ед. А и 5,35 ед.в.

Задание 8

Заданы функции спроса и предложения в зависимости от количества товара Q:  и . Под функциями спроса и предложения будем понимать функциональную зависимость цены от количества товара на рынке. Определить излишки потребителя и излишки производителя при равновесном состоянии спроса и предложения.
 и ,
Решение: найдем равновесное состояние спроса и предложения:
D (Q) = S (Q);  = ; ; - t² - 10t + 200 = 0
t₁ = - 34,685 и t₂ = 12,685, t₁ - не удовлетворяет условию
=12,685; Q = 160,9 ед.
При этом цена составит: Р = 10 * 12,685 = 126,85 ден. ед.
Излишки потребителя равны площади фигуры ограниченной сверху кривой спроса, снизу равновесной ценой и слева нулевым выпуском. Найдем излишки потребителя:
S_потр = - 126,85 · 160,9 = - 20410,165 =
= 200 * 160,9 - 5/22 * 160,9 - 20410,165 = 11733,27 ден. ед.
Излишки производителя равны площади фигуры ограниченной сверху равновесной ценой, слева нулевым выпуском и снизу кривой предложения. Найдем излишки производителя:
S_произв = 126,85 · 160,9 -  = 20410,165 - =
= 20410,165 - 5 * 12,685³ = 10204,5 ден. ед.

Литература

1.                 Н.Ш. Кремер. Высшая математика для экономистов. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.
2.                 Н.Ш. Кремер. Практикум по высшей математике для экономистов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.
3.                 И.А. Зайцев. Высшая математика. -М.: Высшая школа, 1998.
4.                 Математический анализ и линейная алгебра. Учебное методическое пособие. Под ред. Н.Ш. Кремера. - ВЗФЭИ, 2006.