Министерство образования Украины
Донбасская Государственная Машиностроительная Академия
Контрольная работа
по дисциплине «Статистика»
Донецк 2008 г.

Задача 1
Имеются данные о среднегодовой стоимости основных производственных фондов и выпуске товарной продукции
Таблица 60

№ завода	Среднегодовая стоимость ОФ, млн. грн.	Товарная продукция, млн. грн.	№ завода	Среднегодовая стоимость ОФ, млн. грн.	Товарная продукция, млн. грн.
1	2	3	4	5	6
1	3,0	3,2	13	3,0	1,4
2	7,0	9,6	14	3,1	3,0
3	2,0	1,5	15	3,1	2,5
4	3,9	4,2	16	3,5	7,9
5	3,3	6,4	17	3,1	3,6
6	2,8	2,8	18	5,6	8,0
7	6,5	9,4	19	3,5	2,5
8	6,6	11,9	20	4,0	2,8
9	2,0	2,5	21	7,0	12,9
10	4,7	3,5	22	1,0	1,6
11	2,7	2,3	23	4,5	5,6
12	3,3	1,3	24	4,9	4,4

Для обобщения представленных данных сгруппируйте заводы по среднегодовой стоимости основных фондов, образовав 5 групп с равными интервалами. По каждой группе и в целом по совокупности определите: 1) число заводов; 2) удельные веса заводов в каждой группе; 3) объем товарной продукции. Результаты представьте в виде таблицы. Сделайте выводы.
Решение
1.Размах вариации: X.max-X.min=7-1=6
2.Поскольку надо разбить на 5 интервалов, то величина интервалов равна 6/5=1.2. Соответственно размеры интервалов:
[1-2.2)
[2.2-3.4)
[3.4-4.6)
[4.6-5.8)
[5.8-7.0)
Запишем таблицу в разрезе групп.

№ завода	Среднегодовая стоимость ОФ, млн.грн	Товарная продукция млн.грн.	Интервалы групп
22	1,0	1,6	от 1 до 2,2
3	2,0	1,5
9	2,0	2,5
11	2,7	2,3	от 2,3 до 3,4
6	2,8	2,8
1	3,0	3,2
13	3,0	1,4
14	3,1	3,0
15	3,1	2,5
17	3,1	3,6
5	3,3	6,4
12	3,3	1,3
16	3,5	7,9	от 3,5 до 4,6
19	3,5	2,5
4	3,9	4,2
20	4,0	2,8
23	4,5	5,6
10	4,7	3,5	от 4,7 до 5,8
24	4,9	4,4
18	5,6	8,0
7	6,5	9,4	от 5,9 до 7
8	6,6	11,9
2	7,0	9,6
21	7,0	12,9
Итого	94,1	114,8

Теперь запишем групповую таблицу:

Интервалы групп	Число заводов в группе	Удельные веса заводов по группам	Объем товарной продукции в группе	Среднегодовая стоимость ОФ, млн.грн. в группе
от 1 до 2,2	3	12,500%	5,6	5
от 2,3 до 3,4	9	37,500%	26,5	27,4
от 3,5 до 4,6	5	20,833%	23	19,4
от 4,7 до 5,8	3	12,500%	15,9	15,2
от 5,9 до 7	4	16,667%	43,8	27,1
Итого:	24	100,00%	114,8	94,1

Вывод: Наибольшую группу составляют заводы в интервале среднегодовой стоимости ОФ от 2,3 до 3.4, что подтверждает удельный вес группы.
Задача 2
Имеются данные о материалоемкости продукции одного и того же вида по трем предприятиям
Таблица 61

Предприятие	Удельная материалоемкость, кг	Расход исходного материала, кг
I	2,5	60,0
II	3,0	60,0
III	2,0	60,0
Итого		180,0
	X	M=X*F

Определить среднюю удельную материалоемкость по трем предприятиям. Объяснить выбор средней.
Решение
Исходные данные показывают расход материала на одно изделие и количество материала расходуемое каждым предприятием на изготовление определенного количества определенной продукцию.
Тем самым, мы можем сказать, что у нас есть количество расходуемого материала X и произведение количества деталей на количество расходуемого материала X*F. Значит, для нахождения средней удельной материалоемкости по трем предприятиям, будем использовать формулу среднегармонической взвешенной:
.
X.ср=(60+60+60)/(60:2.5+60:3+60:2)= 2.432432432.
Задача 3
Имеются следующие данные о производстве синтетического волокна
Таблица 62

Год	Произведено, тыс. т	Изменение по сравнению с предыдущим годом (цепные показатели)
		Абсолютный прирост, тыс. т	Темпы роста,%	Темпы прироста,%	Абсолютное значение 1% прироста, т
1993	12,7	х	х	х	Х
1994			110,2
1995				7,1
1996		8,6
1997	25
1998
1999				26,7	339

Определить: 1) отсутствующие в таблице данные за 1990 – 1995 г.г.; 2) средние показатели динамики производства синтетического волокна за 1993 – 1999 г.г.
Решение
Представим решение виде таблицы формул вычисления данных:

А / 1	B	C	D	E	F	G
2	Год	Произведено, тыс.т	Изменение по сравнению с предыдущим годом (ценные показатели)
3			Абсолютный прирост, тыс.т	Темпы роста,%	Темпы прироста,%	Абсолютное значение 1% прироста, т
4	1993	12,7	х	х	х	х
5	1994	=C4*E5/100	=C5-C4	110,2	x	=D5*1000/100
6	1995	=C5+D6	=D5*F6/100	=C6/C5*100	7,1	=D6*1000/100
7	1996	=C6+D7	8,6	=C7/C6*100	=D7/D6*100	=D7*1000/100
8	1997	25	=C8-C7	=C8/C7*100	=D8/D7*100	=D8*1000/100
9	1998	=C8+D9	=D10*100/F10	=C9/C8*100	=D9/D8*100	=D9*1000/100
10	1999	=C9+D10	=G10*100/1000	=C10/C9*100	26,7	339

Соответственно получаем следующую таблицу значений

Год	Произведено, тыс.т	Изменение по сравнению с предыдущим годом (ценные показатели)
		Абсолютный прирост, тыс.т	Темпы роста,%	Темпы прироста,%	Абсолютное значение 1% прироста, т
1993	12,7	х	х	х	х
1994	13,995	1,295	110,2	x	12,954
1995	14,087	0,092	100,657	7,1	0,920
1996	22,687	8,6	161,048	9350,530	86,000
1997	25,0	2,313	110,193	26,891	23,126
1998	151,966	126,966	607,865	5490,134	1269,663
1999	185,866	33,900	122,308	26,7	339,0

Задача 4
Имеются следующие данные по одному из магазинов
Таблица 63

Группы товаров	Товарооборот в ценах соответствующего периода, тыс. грн.		Изменение цен в отчетном периоде по сравнению с базисным,%
	Базисный период	Отчетный период
Мясные товары	100	124	+2
Молочные товары	80	92	-5

Определить: 1) общие индексы цен, товарооборота и физического объема товарооборота; 2) общую сумму экономии или дополнительных затрат покупателей за счет изменения цен в отчетном периоде по сравнению с базисным.
Решение
Для удобства решения задачи введем общепринятые обозначения:
q- количество данного вида продукции
p- цена единицы изделия.
Тогда, q*p- это товарооборот в ценах.

Группы товаров	Товарооборот в ценах соответствующего периода, тыс. грн.		Изменение цен в отчетном периоде по сравнению с базисным, %	Расчетные данные
				Индивидуальный индекс цены продукцииip	q1*p0= q1*p1/ip	Экономия за счет изменения цен q1p1-q1p0
	Базисный период q0*p0	Отчетный период q1*p1
Мясные товары	100	124	+2	1,02	121,57	2,43
Молочные товары	80	92	-5	0,95	96,84	-4,84
	180	216			218,41	-2,41

%∆=i.p*100%-100%,
это формула изменения цен в отчетном периоде по сравнению с базисным. Используя ее, найдем ip.
Общий индекс товарооборота
Iqp=∑(q1*p1)/ ∑(q0*p0)=1,2 или 120%.
Показывает, что в 1.2 раза товарооборот в ценах увеличился в отчетном периоде по сравнению с базисным, что в абсолютном выражении составляет.36 тыс. грн.
Общий индекс цены:
Ip=∑(q1*p1)/ ∑(q1*p0)= ∑(q1*p1)/ ∑(q1*p1/ip)=0,989
Вывод: Цена в отчетном периоде по сравнению с базисным снизилась на 1.1%, что в абсолютном выражении составляет 218,41-216=2,41 тыс грн.
Общий индекс количества товара:
Iq=∑(q1*p0)/ ∑(q0*p0)= ∑(q1*p1/ip)/ ∑(q0*p0)=1,2134.
Вывод: За счет изменения объема продукции стоимость увеличилась на 21,34%, что в абсолютном выражении составляет 218,41-180=38,41 тыс. грн.
Проверка:
Iqp=Ip*Iq; 1.2=0.989*1.2134. Верно.
Общая сумма экономии за счет изменения цен в отчетном периоде по сравнению с базисным составит
∆qp=∑(q1*p1)- ∑(q1*p0)=-2,41 тыс.грн.
Задача 5
Распределение 260 металлорежущих станков на заводе характеризуется следующими данными:

Таблица 64

Срок службы, лет	До 4	4-8	8-12	12-16	Св. 16	Итого
Количество станков	50	90	40	50	30	260

Определите: 1) средний срок службы станка; 2) среднее линейное отклонение; 3) дисперсию и среднее квадратическое отклонение; 4) коэффициент вариации. Сделайте выводы.
Решение
Средний % выработки –среднее из интервального ряда. Необходимо вычислить середину интервала, как среднее между нижней и верхней границей интервала. Открытые интервалы (первый и последний) принимаем условно равными близлежащим интервалам (второму и четвертому соответственно). Вычислим среднюю как среднеарифметическую среднюю:

Для удобства внесем результаты расчетов в таблицу:

№	Срок службы, лет	Количество станков	Среднее интервала	Расчетные значения
				x*f
1	до 4	50	2	100	6,77	13,54	91,6658
2	4-8	90	6	540	2,77	16,62	46,0374
3	8-12	40	10	400	1,23	12,3	15,252
4	12-16	50	14	700	5,23	73,22	382,9406
5	св. 16	30	18	540	9,23	166,14	1533,4722
Итого:		260		=SUM(ABOVE) 2280		=SUM(ABOVE) 281,82	=SUM(ABOVE) 2069,368

2280/260=8.77 лет – средний срок службы станка для всего цеха. Для расчета среднего линейного отклонения находим абсолютные отклонения середины интервалов принятых нами в качестве вариантов признака, от средней величины . Расчет по формуле взвешенного отклонения.
=281.82/260=1,084.
года среднее линейное отклонение.
Дисперсия – средний квадрат отклонения индивидуальных значений признака от их средней величины. Считаем по формуле взвешенной дисперсии.
=2069.368/260=7,96.
Среднее квадратичное отклонение равно корню из дисперсии
=2,82 года.
Вывод: Величины среднего линейного отклонения и среднего квадратичного отклонения достаточно высоки по сравнению со средним сроком службы станков, что свидетельствует о том, что мы не можем сделать вывод об однородности совокупности покамест не определим коэффициент вариации.
Коэффициент вариации- отклонение среднего квадратичного отклонения от среднего. Рассчитывается по формуле:
=2.82/8.77=32%<33%.
Вывод: Коэффициент вариации получился меньше 33%, что свидетельствует все еще об однородности совокупности срока службы станков однако значение слишком приближено к критическому.

Задача 6
В сберегательных кассах города в порядке механической бесповторной выборки из 50000 отобрали 5000 счетов вкладчиков и по ним установили средний размер вклада – 300 грн. при среднем квадратичном отклонении – 18 грн.
Определить: 1) предельную ошибку репрезентативности (с вероятностью 0,997); 2) вероятность того, что предельная ошибка репрезентативности не превысит 0,3 грн.
Решение
1. Ошибка репрезентативности возникает в силу того, что выборочная совокупность не полностью воспроизводит генеральную.
Предельная ошибка выборки репрезентативности:  (грн.), где
t- коэффициент доверия, вычисляемый по таблицам в зависимости от вероятности, при 0,9997 t=3.
μ- средняя ошибка выборки (грн.)
, (грн.), где
N- объем генеральной совокупности N=50000.
n – объем выборочной совокупности n=5000.
- дисперсия выборочной совокупности.
=0,24 грн.- средняя ошибка выборки
=3*0,24=0,72 грн.
предельная ошибка репрезентативности с вероятностью 0,997.
Зная среднюю величину признака (средний размер вклада = 300 грн.) и среднюю ошибку выборки, определим границы в которых заключена генеральная средняя:
 (грн.)
300-0,24 300+0,24;
299,76 300,24 (грн.)
2. Вероятность того, что предельная ошибка репрезентативности не превысит 0,3 грн., это значит
P{| |≤0.3}
| |≤0.3
Предельная ошибка репрезентативности .
Тогда, 0,3 ; 0,3=t*0,24.; t=1,25.
Из таблицы, находим t=1,25 соответствует вероятность P=0.7887.
В этом случае генеральная средняя совокупность заключена в пределах:
299,7 300,3 (грн.)
Вероятность того, что предельная ошибка репрезентативности не превышает 0,3 грн. равна P=0,7887.
Задача 7
По данным задачи 1 для изучения тесноты связи между среднегодовой стоимостью основных фондов и объемом товарной продукции определить коэффициент корреляции.
Решение
Обозначим через X –факторный признак, среднегодовую стоимость ОФ (млн. грн.), а Y- результативный признак, товарная продукция, (млн. грн.).
Сопоставив имеющиеся ряды X и Y найдем коэффициент корреляции.

1	2	3	4	5	6
№ завода	Среднегодовая стоимость ОФ, млн. грн. X	Товарная продукция, млн. грн. Y	X*Y, млн. грн.	X2, млн. грн.	Y2, млн. грн.
1	3,0	3,2	9,6	9	10,24
2	7,0	9,6	67,2	49	92,16
3	2,0	1,5	3	4	2,25
4	3,9	4,2	16,38	15,21	17,64
5	3,3	6,4	21,12	10,89	40,96
6	2,8	2,8	7,84	7,84	7,84
7	6,5	9,4	61,1	42,25	88,36
8	6,6	11,9	78,54	43,56	141,61
9	2,0	2,5	5	4	6,25
10	4,7	3,5	16,45	22,09	12,25
11	2,7	2,3	6,21	7,29	5,29
12	3,3	1,3	4,29	10,89	1,69
13	3,0	1,4	4,2	9	1,96
14	3,1	3,0	9,3	9,61	9
15	3,1	2,5	7,75	9,61	6,25
16	3,5	7,9	27,65	12,25	62,41
17	3,1	3,6	11,16	9,61	12,96
18	5,6	8,0	44,8	31,36	64
19	3,5	2,5	8,75	12,25	6,25
20	4,0	2,8	11,2	16	7,84
21	7,0	12,9	90,3	49	166,41
22	1,0	1,6	1,6	1	2,56
23	4,5	5,6	25,2	20,25	31,36
24	4,9	4,4	21,56	24,01	19,36
Итого	=SUM(ABOVE) 94,1	=SUM(ABOVE) 114,8	=SUM(ABOVE) 560,2	=SUM(ABOVE) 429,97	=SUM(ABOVE) 816,9

Коэффициент корреляции определяется по формуле:

Вывод: Поскольку 0≤ r_xy=0,86≤ 1, то это показывает прямую связь между среднегодовой стоимостью ОФ и товарной продукцией, т.е. увеличение X влечет за собой увеличение Y, причем близость коэффициента корреляции к 1 говорит о стремлении к функциональной зависимости, когда каждому значению факторного признака строго соответствует значение результата признака.

Литература
1.      Конспект лекций по дисциплине «Статистика» для студентов экономических специальностей заочной формы обучения, 2000 г., Донецк
2.      «Общая теория статистики», Учебник, М.Р. Ефимова, 2002 г., Москва
3.      Методические указания по дисциплине «Статистика», Донецк