Задача 1

1. Получены следующие результаты статистического наблюдения по предприятиям региона.

Таблица 1

Исходные данные для расчетов

№ предприятия	Прибыль, млн. руб.
1	23
2	27
3	12
4	10
5	31
6	105
7	57
8	48
9	35
10	41
11	33
12	22
13	78
14	53
15	27
16	63
17	76
18	96
19	12
20	54
21	36
22	79
23	57
24	89
25	23
26	56

1. На основании данных в соответствии с признаком прибыль, выполнить группировку (построить интервальный ряд распределения предприятий), образовав 4 группы, с равными интервалами.

2. Вычислить средние показатели по каждой группе и по ряду в целом.

3. Построить по полученному интервальному ряду гистограмму распределения предприятий по признаку. На графике указать средние значения признака.

4. Сделать выводы.


1. Для определения интервал, найдем наибольшее и наименьшее значения. Наибольшее значение составляет 105 млн. руб., наименьшее – 10 млн. руб. Поскольку образовать нужно 4 группы:

(105 – 10) / 4 = 23,75 млн. руб.

Таким образом, интервал составил 23,75 млн. руб.

Таблица 2

Группировка предприятий по интервалам и их числу

№ группы	Интервал, млн. руб.	Номера предприятий	Количество предприятий
1	10,0 – 33,75	1, 2, 3, 4, 5,7, 11, 12, 15, 19, 25	11
2	33,75 – 57,5	8, 9, 10, 14, 20, 21, 23, 26	8
3	57,5 – 81,25	13, 16, 17, 22	4
4	81,25 – 105,0	6, 18 24	3

Далее распределим предприятия по группам.

Таблица 3

Прибыль от 10,0 до 33,75 млн. руб.

№ п/п	Прибыль
1	23
2	27
3	12
4	10
5	31
7	57
11	33
12	22
15	27
19	12
25	23
Итого	277

Таблица 4

Прибыль от 33,75 до 57,5 млн. руб.

№ п/п	Прибыль
8	48
9	35
10	41
14	53
20	54
21	36
23	57
26	56
Итого	380

Таблица 5

Прибыль от 57,5 до 81,25 млн. руб.

№ п/п	Прибыль
13	78
16	63
17	76
22	79
Итого	296

Таблица 6

Прибыль от 81,25 до 105,0 млн. руб.

№ п/п	Прибыль
6	105
18	96
24	89
Итого	290

Таблица 7

Группировка предприятий прибыли

№ группы	Количество предприятий	Прибыль, млн. руб.
		всего	на 1 предприятие
1	2	3	4 (3 / 2)
1	11	277	25,18
2	8	380	47,5
3	4	296	74
4	3	290	96,67
–	26	1243	47,81

Таким образом, можно сделать следующие выводы. На основании данных было образовано 4 группы предприятий по показателю прибыль с интервалом 23,75 млн. руб. Средние показатели прибыли на одно предприятие составили 47,81 млн. руб. (1243 / 26).

Исходя из распределения предприятий по группам, самая многочисленная группа 1, в которую входят 11 предприятий. Средняя прибыль по этой группе составляет 25,18 млн. руб.

Наибольшая сумма прибыли в расчете на одно предприятие (96,67 млн. руб.) наблюдается в группе 4, в которую входит 3 предприятия, она же самая малочисленная по числу входящих в нее предприятий.

Средняя прибыль в расчете на одно предприятие во второй группе составляет 47,5 млн. руб. (8 предприятий), в третьей группе средняя прибыль – 74 млн. руб. (в эту группу входит 4 предприятия).

Распределим предприятия по признаку средней прибыли графически.



Рис. 1 Распределение предприятий по признаку средняя прибыль

Наибольшая сумма прибыли в расчете на одно предприятие (96,67 млн. руб.) наблюдается в группе 4 с величиной прибыли от 81,25 до 105 млн. руб. В среднем на одно предприятие величина прибыли составляет 47,81 млн. руб.
Задача 2

Имеются данные о добыче угля в регионе (млн. тонн).

Таблица 8

Добыча угля в регионе

Год	Показатель
2006	115
2007	110
2008	95
2009	100
2010	120

1) Определить: а) среднегодовую добычу угля в регионе за 2006 – 2010 годы; б) абсолютное изменение (базисное и цепное); в) цепные и базисные темпы роста и прироста; г) абсолютное значение одного процента прироста; д) средний абсолютный прирост; е) среднегодовые темпы роста и прироста.

2) Показать взаимосвязь между цепными и базисными: а) абсолютными приростами; б) темпами роста.

3) Результаты расчетов оформить в виде таблицы.

4) Построить график динамики добычи угля в регионе.

5) Сделать выводы.

Для расчета показателей динамики на постоянной базе каждый уровень ряда сравнивается с одним и тем же базисным уровнем. Исчисляемые при этом показатели называются базисными.

Для расчета показателей динамики на переменной базе каждый последующий уровень ряда сравнивается с предыдущим. Вычисленные таким способом показатели динамики называются цепными.

Важнейшим статистическим показателем динамики является абсолютный прирост, который определяется в разностном сопоставлении двух уровней ряда динамики в единицах измерения исходной информации:

цепной прирост: ∆y _ц = y _i – y _i-1

базисный прирост: ∆y _б = y _i – y ₁

Темпы прироста характеризуют абсолютный прирост в относительных величинах. Исчисленный в процентах темп прироста показывает, на сколько процентов изменился сравниваемый уровень с уровнем, принятым за базу сравнения:

цепной темп прироста: T _прцi = ∆y_i / y _i-1

базисный темп прироста: T _пpб = ∆y_бi / y ₁

Распространенным статистическим показателем динамики является темп роста. Он характеризует отношение двух уровней ряда и может выражаться в виде коэффициента или в процентах:

цепной темп роста: T _pцi = y _i / y _i-1

базисный темп роста: T _pб = y_бi / y ₁

Абсолютное значение 1% прироста:

цепной: 1% _цi = y _i-1 / 100%

базисный: 1% _б = y_б / 100%

Важным статистическим показателем динамики социально-экономических процессов является темп наращивания, который в условиях интенсификации экономики измеряет наращивание во времени экономического потенциала:

T _н = ∆y_цi / y ₁

Таблица 9

Расчетные показатели

Годы	Добыча угля, млн. тонн	Абсолютный прирост, млн.т.		Темпы роста		Темпы прироста		Абсолютное содержание 1% прироста	Темп наращения, %
		цепной	базисный	цепной	базисный	цепной	базисный
2006	115	0	0	100	100	0	0	1,15	0
2007	110	– 5	– 5	95,65	95,65	– 4,35	– 4,35	1,15	–4,35
2008	95	– 15	– 20	86,36	82,61	– 13,64	– 17,39	1,1	–13,04
2009	100	5	– 15	105,26	86,96	5,26	– 13,04	0,95	4,35
2010	120	20	5	120	104,35	20	4,35	1	17,39
Итого	540	0	0	0	0	0	0	0	0

Анализируя цепные показатели динамики можно отметить, что добыча угля в 2010 составил 120 млн. тонн.  В 2010 по сравнению с 2009 добыча угля увеличилось на 20 млн. тонн или на 20%. В 2010 добыча угля составила 120 млн. тонн и за прошедший период увеличилось на 20 млн. тонн, или на 20%.  Максимальный прирост наблюдается в 2010 (20 млн. тонн). Минимальный прирост зафиксирован в 2008 (–15 млн. тонн). Темп наращения показывает, что тенденция ряда возрастающая, что свидетельствует об ускорении добыча угля.

В соответствии с базисными показателями добыча угля в 2010 составил 120 млн. тонн. В 2010 по сравнению с 2006 добыча угля увеличилось на 5 млн. тонн или на 4,35%. В 2010 добыча угля составила 120 млн. тонн и по сравнению с 2006 увеличилась на 5 млн. тонн, или на 4,35%.



Рис. 2 Динамика добычи угля в регионе, млн. руб.

Произведем расчет средних характеристик рядов.

 Средний уровень ряда y динамики характеризует типическую величину абсолютных уровней

Средний уровень ряда динамики:
млн. тонн

Среднее значение добыча угля с 2006 по 2010 составило 108 млн. тонн

Средний темп роста
В среднем за весь период с 2006 по 2010 рост добыча угля составил 1,0107.

Средний темп прироста
В среднем каждый период добыча угля увеличивалась на 1,07%.

Средний абсолютный прирост представляет собой обобщенную характеристику индивидуальных абсолютных приростов ряда динамики.

Средний абсолютный прирост:
В среднем за весь период добыча угля увеличивалось на 1,25 млн. тонн с каждым периодом.
Задача 3

Составить и решить задачу по теме «Относительные величины»

Имеются следующие данные о производственных затратах металлургических комбинатов региона (млн. руб.): сырье и материалы – 33, энергоносители – 13, оплата труда – 4, амортизация – 10, прочие расходы – 40. Определить относительные величины интенсивности, если выпуск продукции составил 40 тыс. т.

Относительные величины интенсивности показывают, насколько широко распространено изучаемое явление в той или иной среде. Они характеризуют соотношение разноименных, но связанных между собой абсолютных величин.

В отличие от других видов относительных величин относительные величины интенсивности всегда выражаются именованными величинами.

Рассчитываются относительные величины интенсивности делением абсолютной величины изучаемого явления на абсолютную величину, характеризующую объем среды, в которой происходит развитие или распространение явления. Относительная величина показывает, сколько единиц одной совокупности приходится на единицу другой совокупности.

Относительная величина интенсивности соотносится:

ОВИ =

ОВИ_{сырье и материалы} = 33 / 40 = 0,825 млн.руб. / тыс. т

ОВИ_{энергоносители} = 13 / 40 = 0,325 млн.руб. / тыс. т

ОВИ_{оплата труда} = 4 / 40 = 0,1 млн.руб. / тыс. т

ОВИ_{амортизация} = 10 / 40 = 0,25 млн.руб. / тыс. т

ОВИ_{прочие расходы} = 40 / 40 = 1 млн.руб. / тыс. т

ОВИ_{общие расходы}  = 100 / 40 = 2,5 млн.руб. / тыс. т

Таким образом, мы произвели расчет и выяснили сколько единиц производственных затрат металлургических комбинатов региона (в общем и постатейно) приходится на единицу выпуска продукции.
Задача 4

Составить и решить задачу по теме «Средние величины».

Имеются следующие данные по трем фабрикам, а именно фактический выпуск продукции, процент выполнения плана и процент стандартной продукции. Определить: средний процент выполнения тремя фабриками; средний процент выпуска стандартной продукции. Обосновать выбор средней и сделать выводы.

Таблица 10

Исходные данные

Фабрики	Фактический выпуск продукции, млн. руб.	% выполнения плана	% стандартной продукции
1	665	95	90
2	880	110	80
3	750	105	85

Средний процент выполнения плана выпуска продукции для фабрик найдем по формуле средней гармонической взвешенной, поскольку в данном случае известны варианты признака (выполнение плана) и их итоговые результаты (фактический объем выпуска). Воспользуемся формулой:

Для вычисления процента выполнения плана применяется средняя гармоническая взвешенная, поскольку в исходных данных известен числитель логической формулы относительно величины выполнения плана.

x = ∑ W / ∑ W/x_i = (665 + 880 + 750) / (665/95 + 880/110 + 750/105) =

= 2295 / (7 + 8 + 7,14) = 2295 / 22,14 = 103,66

Средний процент выполнения плана тремя фабриками составил 103,66%

Средний процент выпуска стандартной продукции для фабрик найдем по формуле средней арифметической взвешенной, поскольку в данном случае известны варианты признака (фактический выпуск продукции) и их веса (процент стандартной продукции). Воспользуемся формулой:

x = ∑ x_i t_i / ∑ f_i = (665 * 90 + 880 * 80 + 750 * 85) / (665 + 880 + 750) =

= (59850 + 70400 + 63750) / 2295 = 194000 / 2295 = 84,53%

Средний процент выпуска стандартной продукции составил 84,53%.
Задача 5

Имеются данные о продажах одноименного продукта на трех рынках.

Таблица 11

Продажи продукта на рынках

Рынок	Цена за единицу продукта, руб.		Объем продаж, тыс. штук
	I квартал	II квартал	I квартал	II квартал
А	33	30	61	73
Б	35	32	63	71
В	38	35	62	70

Определить: индивидуальные индексы цен и физического объема продаж; агрегатный индекс стоимости продукции или товарооборота; агрегатный индекс физического объема продаж; агрегатный индекс цены; абсолютные изменения товарооборота в целом по трем рынкам за счет изменений цен и объемов продаж на каждом рынке; показать взаимосвязь агрегатного индекса стоимости продукции, агрегатного индекса цен и агрегатного индекса физического объема. Сделать выводы.

Решение:

Таблица 12

Рынок	Объем продаж, тыс. штук		Цена за ед. продукции,  руб.		Индекс цены i p	Индекс объема продаж i q	Отклонение
	Базисный	Отчетный	Базисный	Отчетный			Объем продаж	Цена за ед. продукции
А	61	73	33	30	0,909	1,197	12	– 3
Б	63	71	35	32	0,914	1,127	8	– 3
В	62	70	38	35	0,921	1,129	8	– 3

Индекс – это показатель сравнения двух состояний одного и того же явления (простого или сложного, состоящего из соизмеримых или несоизмеримых элементов).

Оцениваемые данные, которые принято называть отчетными и обозначать значком «1», и те данные, которые используются в качестве базы сравнения – базисные, обозначаемые значком «0».

Индивидуальные представляют собой:

ip = p1j / p0j, где j – номер рынка, где p1j – цена отчетного периода,  p0j – цена базисного периода.

На основании расчетных данных, мы видим, что цены на продукты на рынках города сокращаются. На рынке А на 9,1% (3 руб.), на рынке Б на 8,6% (на 3 рубля) и на рынке В на 7,9% (на 3 рубля).

iq = q1j / q0j, где j – номер рынка, где q1j – объем продаж отчетного периода,  q0j – объем продаж базисного периода.

Объем продаж продуктов на рынках города увеличивается, на рынке А на 19,7% (12 тыс. штук), на рынке Б на 12,7% (8 тыс. штук), на рынке В на 12,9% (8 тыс. штук). То есть наблюдается тенденция увеличения.

Агрегатные индексы представляют собой:

а) общий индекс товарооборота
å D р q (pq)  = ∑q₁ ∙ p₁ – ∑q₀ ∙ p₀

å D р q (pq)  = 6912 – 6574 = 338

За счет всех факторов общий товарооборот увеличился на 5,14% или на 338 тыс. руб.

б) общий индекс цен (метод Пааше)
 å D р q (p) = ∑q₁ ∙ p₁ – ∑q₁ ∙ p₀

 å D р q (p) = 6912 – 7554 =  – 642

За счет изменения цен товарооборот снизились на 8,5% или на 642 тыс. руб.

в) общий индекс физического объема продукции (индекс Ласпейреса)
å D р q (q) = ∑q₁ ∙ p₀ – ∑q₀ ∙ p₀

å D р q (q) = 7554 – 6574 = 980

За счет изменения объема реализованной продукции, товарооборот возрос на 14,91% или на 980 тыс. руб.

 Покажем взаимосвязь индексов

I  = Iq ∙ Ip = 1,1491 ∙ 0,915 = 1,0514

_{В отчетном периоде величина товарооборота увеличилась} на 5,14% или на 338 тыс. руб. На это изменение положительно изменение объема реализованной продукции, за счет изменения которой товарооборот возрос на 14,91% или на 980 тыс. руб., за счет изменения цен товарооборот снизились на 8,5% или на 642 тыс. руб.