ЦЕНТРОСОЮЗ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

СИБИРСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОЙ КООПЕРАЦИИ

Кафедра статистики и экономического прогнозирования

Контрольная работа

"Экономико-математические методы"

Новосибирск 2009

Задание 1
Производственная функция для райпо имеет вид , где f – товарооборот, млн. руб.; x₁ – производственная площадь, тыс. кв. м; x₂ – численность работников, сотни чел. Рассмотрите изокванту уровня  и найдите на ней точку С₁ с координатами , где , и точку С₂ с координатами , где . Сделайте вывод о возможности замены ресурсов ( ) и ( ). Полученные результаты изобразите графически.
Решение
Для производства некоторого изделия в количестве Y единиц используются различные ресурсы, которые можно обозначить x₁, x₂, …..x_n. Очевидно, что и Y и x₁, x₂, …..x_n измеряются в определенных единицах измерения и имеют количественное выражение. Использую математические методы можно выразить значение одной величины через другую, в том числе Y через  QUOTE   , где  QUOTE    = (x₁, x₂, …..x_n). Функциональную зависимость Y = f ( QUOTE   ) называют производственной функцией.
Обозначим какое-то изделие через Y₀. Если установлено, что для его изготовления можно в n – мерном пространстве найти такие  QUOTE   , что Y₀ = f ( QUOTE   ). Найденные  QUOTE    составят некоторое множество Q _y0. Сказанное можно записать следующим образом Q _y0 =  QUOTE   :  QUOTE   .
Множество Q _y0 и называют изоквантой функции f ( QUOTE   ).
Пусть имеются  QUOTE     QUOTE    Q _y0 и  QUOTE     QUOTE    Q _y0. Из понятия изокванты следует, что  QUOTE    и  QUOTE    обеспечивают производство одного и того же количества продукта Y₀, т.е. являются в этом смысле взаимозаменяемыми. Для организаторов производства знание изокванты позволяет недостаток одних ресурсов компенсировать другими.
Для производственной функции товарооборота (в млн. рублей), которая имеет вид: f (x₁, x₂) = 10 * QUOTE    *  QUOTE   .
(x₁ – производственная площадь, тыс. кв. м;
x₂ – численность работников, сотни чел.) и ее изокванты
Y₀ =  QUOTE    =  QUOTE    =  QUOTE    = 25,18 найдем координаты для точек C₁ (а₁, в₁) и С₂(а₂, в₂).
Для точки C₁ (а₁, в₁) известно, а₁ =  QUOTE    =  QUOTE    =  QUOTE    = 4,34.
Использую определение изокванты, получаем:
10 *  QUOTE    *  QUOTE    =  QUOTE   , или 100 * а₁* в₁ = 634, или а₁* в₁ = 6,34
Отсюда, в₁ =  QUOTE    = 1,46, т.е. точка C₁ имеет координаты (4,34; 1,46).
Для точки C₂ (а₂, в₂) известно, в₂ =  QUOTE    =  QUOTE    =  QUOTE    = 2,34.
Использую определение изокванты, получаем:
10 *  QUOTE    *  QUOTE    =  QUOTE   , или 100 * а₂* в₂ = 634, или а₂* в₂ = 6,34
Отсюда, а₂ =  QUOTE    = 2,71, т.е. точка C₂ имеет координаты (2,71; 2,34).
Уравнение нашей изокванты имеет вид 10 * QUOTE    *  QUOTE     QUOTE  
(при Y₀ =  QUOTE    = 25,18) или x₁ * x₂ = 6,34. Уравнение такого вида представляет собой гиперболу, которую и изобразим схематически на графике ниже.
Итак, 146 работников райпо, используя 4,34 тыс. кв. метров производственной площади, обеспечат товарооборот  QUOTE    = 25,18 (млн. руб.), и такой же товарооборот могут обеспечить 234 работника райпо, используя площадь 2,71 тыс. кв. метров.
Используя график этой функции, можно находить взаимозаменяемые пары (x1, x2).

 

X₂ (сотни чел.)                        C₂ (2,71; 2,34)
2.5
2.0
1.5                                                                      С1 (4,34; 1,46)
1.0
0.5
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 X₁ (тыс. кв. м)
Задание 2
Произведите классификацию товаров по следующей таблице эластичностей:

Товар	Первый	Второй	Третий
Первый
Второй
Третий

Решение
Преобразуем таблицу под наш вариант  QUOTE    = 534

товар	первый	второй	третий
первый	QUOTE    =  QUOTE    = – 0,76	QUOTE    = QUOTE    = 0,165	QUOTE    = QUOTE    = 0,365
второй	QUOTE    = QUOTE    = 0,1375	QUOTE    =  QUOTE    = – 1,06	QUOTE    = QUOTE    = – 1,135
третий	QUOTE    = QUOTE    = 0,304	QUOTE    = QUOTE    = – 0,15	QUOTE    =  QUOTE    = – 1,46

1. Введем определение эластичности товара.
Обозначим  – спрос на товары, выраженный в некоторых единицах, и  – цены на эти товары, т.е. p_i – цена на i – й товар; y_i – спрос на i – й товар.
Пусть рассматривается некоторый потребитель, например типичный представитель определенной социальной группы, и если для него удается  выразить через , т.е. , то  называется функцией спроса.
Ввиду того, что , ,  – n – мерные векторы, равенство  можно представить в координатной записи следующим образом: .
Разумеется, в реальной ситуации спрос зависит не только от цен, но от многих других факторов. Поэтому введенное понятие имеет весьма ограниченное использование и применимо, в частности, для некоторой классификации товаров с позиции определенного потребителя.
Определим эластичность ε_ij формулой
.
Величина ε_ij является математической идеализацией процентного изменения спроса на i – й товар при увеличении на 1% цены на j-й товар.
Например, если ε₂₃=0,25, то это понимается так, что если цену на 3-й товар увеличить на 1%, то спрос на 2-й товар увеличится на 0,25%.
Эластичность ε_ij при i = j называется прямой, и она показывает, на сколько процентов изменится спрос на i-й товар при увеличении на 1% цены на этот же товар. Будем считать, что ε_ii ‹ 0, т.е. увеличение цены на i-й товар приводит к снижению спроса на него.
Эластичность ε_ij при называется перекрестной, и она показывает влияние изменения цены одного товара на спрос другого.
Классификация товаров на основе прямой и перекрестной эластичности сводится к следующему:
– если |ε_ii | ‹ 1, то i-й товар называется малоэластичным;
– если |ε_ii | 1, то i – й товар называется среднеэластичным;
– если |ε_ii | › 1, то i – й товар называется высокоэластичным;
– если увеличение цены на j-й товар приводит к уменьшению спроса на i-й и наоборот, то эти товары называются взаимодополняемыми.
Математически это соответствует выполнению неравенств: ε_ii ‹ 0, ε_ji ‹ 0;
– если увеличение цены на j-й товар приводит к увеличению спроса на i-й товар и наоборот, то эти товары называются взаимозаменяемыми.
Математически это соответствует неравенствам ε_ij › 0, ε_ji › 0.
Таблица эластичностей принимает вид:

товар	первый	второй	третий
первый	QUOTE    = – 0,76	QUOTE    = 0,165	QUOTE    = 0,365
второй	QUOTE    = 0,1375	QUOTE    = – 1,06	QUOTE    = – 1,135
третий	QUOTE     QUOTE   = 0,304	QUOTE    = – 0,15	QUOTE    = – 1,46

Так как |ε₁₁| = 0,76  QUOTE    1, то первый товар малоэластичный;
так как |ε₂₂| = 1,06  QUOTE     QUOTE   1, то второй товар среднеэластичный;
так как |ε₃₃| =1,46  QUOTE    1, то третий товар высокоэластичный.
Поскольку ε₁₂ = 0,165  QUOTE    0 и ε₂₁ = 0,1375 QUOTE    0, то первый и второй товары взаимозаменяемые.
Поскольку ε₁₃ = 0, 365  QUOTE    0 и ε₃₁ = 0,304  QUOTE    0, то первый и третий товары взаимозаменяемые.
Поскольку ε₂₃ = – 1,135  QUOTE    0 и ε₃₂ = – 0, 15  QUOTE    0, то второй и третий товары взаимодополняемые.
Задание 3
Дайте определение коэффициентов прямых затрат. Где они могут быть использованы?
Решение
1. Пусть народное хозяйство представлено n отраслями сферы материального производства. Каждая из отраслей производит один агрегированный продукт. Валовой выпуск этих продуктов отраслями обозначим x₁, x₂,…, x_n. Вся продукция x_i отрасли i, i=1, 2,…, n, делится на промежуточную Z_i и конечную y_i. Промежуточную продукцию потребляют в процессе производства сами отрасли. Конечная продукция выходит из сферы материального производства и предназначается для непроизводственного потребления.
На основе отчетных данных о деятельности отраслей за определенный период можно составить межотраслевой баланс. Обозначим x_ij – объем продукта i-й отрасли, используемый за отчетный период j-й отраслью. Если представить, как распределяется валовая продукция каждой отрасли по другим отраслям и в сфере потребления, то получится система балансовых уравнений.

          (1)
Преобразуем систему уравнений:
        (2)
Отношение  называется коэффициентом прямых затрат и содержательно означает объем продукции i-й отрасли, который требуется передать j-й отрасли, чтобы последняя произвела единицу своей валовой продукции.
Учитывая это, система уравнений примет вид:
                                                        (3)
Модель межотраслевого баланса может использоваться в планировании деятельности отраслей материального производства. Если технологии производства продуктов не меняются, то коэффициенты прямых затрат остаются неизменными.
Задание 4
В магазине самообслуживания работают две кассы с интенсивностью μ= (δ+300)/100 (треб./мин.) каждая. Входящий поток требований имеет интенсивность λ=(δ+400)/100 (треб./мин.). Рассчитайте долю времени простоя касс и среднюю длину очереди. Если интенсивность входящего потока станет равной λ=(700-δ)/10 (треб./мин.), то будет ли выполнено условие стационарности? Если будет, то во сколько раз увеличится средняя длина очереди?
Решение
К системам массового обслуживания (СМО) относятся магазины, рестораны, автозаправочные станции, аэродромы, автоматизированные телефонные станции и многие другие объекты. Общую схему СМО можно представить в следующем виде:

Очередь

Канал обслуживания

Канал обслуживания

Канал обслуживания

 

Поток
Входящий поток                                                               обслуженных
требований                                                                          требований
Для входящего потока требований предположим, что интервалы между поступлениями соседних требований есть случайная величина X с показательным законом распределения, т.е. ее интегральная функция F(t) имеет вид:

.
Число λ (треб./ед. времени) называется интенсивностью входящего потока, и она показывает, сколько в среднем требований поступает в единицу времени.
Будем считать, что очередь не ограничена и требования обслуживаются в порядке поступления. Для обслуживания примем предположения, что все n каналов одинаковы и для каждого из них время обслуживания одного требования есть случайная величина Y, распределенная по показательному закону, т.е. ее интегральная функция имеет вид:
.
Число μ (треб./ед. времени) называется интенсивностью обслуживания, и она показывает, сколько в среднем требований обслуживается одним каналом в единицу времени.
Обозначим  (α – параметр загрузки СМО) и предположим, что выполняется условие стационарности α < n или λ < μ * n.
Это условие означает, что интенсивность входящего потока меньше, чем суммарная интенсивность обслуживания.
При сформулированных предположениях можно рассчитать некоторые экономические показатели работы СМО, такие, например, как Р_к – доля времени работы К – каналов, К=0,1,…, n; L – средняя длина очереди и другие.
Формулы для вычисления p₀,…, p_n, L в общем случае довольно громоздки, поэтому приведем их для случая n = 2:
.

Рассчитаем долю времени простоя касс и среднюю длину очереди для магазина самообслуживания, в котором работают две кассы с интенсивностью μ = (534+300)/100 (треб./мин.) каждая и входящий поток требований имеет интенсивность λ = (534+400)/100 (треб./мин.). Если интенсивность входящего потока станет равной λ=(700–534)/10 (треб./мин.), то будет ли выполнено условие стационарности? Если будет, то во сколько раз увеличится средняя длина очереди?
Вычислим λ (треб./ед. времени) интенсивностью входящего потока λ =  QUOTE    = 9,34 и μ (треб./ед. времени) интенсивностью обслуживания μ =  QUOTE    = 8,34. Отсюда, вычислим параметр загрузки СМО  QUOTE    =  QUOTE    =  QUOTE    = 1, 12 и предположим, что выполняется условие стационарности  QUOTE    < n или λ < μ * n (1,12 < 2; 9,34 < 8,34 * 2 = 16,68 – выполняются оба условия стационарности).  
Вычислим Р_к – доля времени работы К – каналов, К=0,1 и L – средняя длина очереди:
Р₀ =  QUOTE    =  QUOTE    = 0,282 (Р₀ = 28,2%)
L₁ =  QUOTE    =  QUOTE    =  QUOTE    = 0,511 (треб.)
Если интенсивность станет λ =  QUOTE    = 16,6 (треб./мин.), то, в силу выполнения условия стационарности (λ < μ * n, 16,6 < 8,34 * 2 = 16,68), вычислим среднюю длину очереди:
 QUOTE    =  QUOTE    =  QUOTE    = 1,99

L₂ =  QUOTE    =  QUOTE    =  QUOTE    = 197,51 (треб.)
 QUOTE    =  QUOTE    = 386,5.
Таким образом, при интенсивности обслуживания μ=8,34 (треб./мин.) и интенсивности входа λ=9,34 (треб./мин.) доля времени простоя касс составляет 28,2% времени, а средняя длина очереди равна 0,511 (треб.).
Если же интенсивность входа станет равной 16,6 (треб./мин.), то средняя длина очереди увеличится в 386,5 раза.

Литература

1.      Айвазян С.А. и др. Прикладная статистика. Исследование зависимостей. – М.: Финансы и статистика, 1985
2.      Гранберг А.Г. Математические модели социалистической экономики. – М.: Экономика, 1976
3.      Иванилов Ю.П., Лотов А.В. Математические методы в экономике – М.: Наука, 1979
4.      Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь. – М.: Наука, 1987
5.      Спирин А.А., Фомин Г.П. Экономико-математические методы и модели в торговле. – М: Экономика, 1988
6.      Щедрин И.И., Кархов А.Н. Экономико-математические методы в торговле. – М.: Экономика, 1980
7.      Шаланов Н.В. Экономико-математические методы в торговле: Учебное пособие. – Новосибирск: СибУПК, 1998