Содержание

Задача. 3

Список использованной литературы.. 14

Задача

 Построить модель связи между указанными факторами, проверить ее адекватность осуществить точечный и интервальный прогноз.

Исходные данные

Решение

1. Исходные данные нанесем на координатную плоскость и сделаем предварительное заключение о наличии связи между факторами Х и Y а также о ее виде (прямая или обратная) и форме (линейная или нелинейная).


График поля корреляции позволяет сделать вывод, что между факторами Х и Y существует прямая линейная связь.
2. Рассчитаем парный коэффициент корреляции r_xy. Используя
t-критерий Стьюдента, проверим значимость полученного коэффициента корреляции. Сделаем вывод о тесноте связи между факторами Х и Y.

Для расчета парного коэффициента корреляции заполним вспомогательную таблицу:

№ п/п	Х	Y	XY	Y2	X2
1	11,1	91	1010,1	8281	123,21
2	9	94,3	848,7	8892,5	81
3	7,9	99,6	786,84	9920,2	62,41
4	8,5	95,4	810,9	9101,2	72,25
5	5,6	83	464,8	6889	31,36
6	6,2	92,3	572,26	8519,3	38,44
7	5	100	500	10000	25
8	4,7	106,3	499,61	11300	22,09
9	3	112,8	338,4	12724	9
10	3,7	110	407	12100	13,69
Сумма	64,7	984,7	6238,61	97726,63	478,45
Средняя	6,47	98,47	623,861	9772,663	47,845

Парный коэффициент корреляции рассчитаем по формуле:









Т.к. значение коэффициента , то связь между X и Y обратная, а т.к.  менее 0,7, то связь умеренная.

Проверка значимости коэффициента корреляции:



Гипотеза о равенстве коэффициента коэффициента корреляции нулю Н₀ отвергается пи уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы k = 10 – 2 = 8. Т.к. , то можно сделать вывод о незначимости данного коэффициента корреляции.
3. Полагая, что связь между факторами Х и Y может быть описана линейной функцией, запишем соответствующее уравнение этой зависимости. Вычислим оценки неизвестных параметров уравнения парной регрессии по методу наименьших квадратов. Дадим интерпретацию полученных результатов.

Уравнение регрессии имеет вид:



Система нормальных уравнений для оценки параметров а и b:



Решаем  методом МНК, получаем систему



Решая систему, находим: а = 112,78, b = -2,2125

Тогда уравнение регрессии имеет вид:



Параметры уравнения регрессии говорят о том, что  с увеличением стоимости основных производственных фондов на 1 млн.руб., среднесуточная производительность снизится на 2,2125 тонны в среднем.

 
4. Проверим значимость всех параметров модели по t-критерию Стьюдента. Для значимых коэффициентов построим доверительные интервалы. Сформулируем выводы.

В линейной регрессии обычно оценивается значимость не только уравнения в целом, но и отдельных его параметров. С этой целью по каждому из параметров определяется его стандартная ошибка: m_b и m_a.

Стандартная ошибка коэффициента регрессии определяется по формуле:

.

Для определения значения m_b строим вспомогательную таблицу:

№ п/п	Х	Y
1	11,1	91	88,2	-10,3	106,3	2,8	7,7
2	9	94,3	92,9	-12,4	154,0	1,4	2,1
3	7,9	99,6	95,3	-13,5	182,5	4,3	18,5
4	8,5	95,4	94,0	-12,9	166,7	1,4	2,0
5	5,6	83	100,4	-15,8	250,0	-17,4	302,4
6	6,2	92,3	99,1	-15,2	231,3	-6,8	45,7
7	5	100	101,7	-16,4	269,3	-1,7	2,9
8	4,7	106,3	102,4	-16,7	279,2	3,9	15,4
9	3	112,8	106,1	-18,4	338,9	6,7	44,3
10	3,7	110	104,6	-17,7	313,6	5,4	29,2
Сумма	64,7	984,7	984,7	-	2291,9	-	470,3

Величина стандартной ошибки совместно с t-распределением Стьюдента при (n – 2) наблюдениях применяется для проверки существенности коэффициента регрессии и для расчета его доверительных интервалов – интервалов, в которые попадает коэффициент с вероятностью 1– α.

Для оценки существенности коэффициента регрессии его величина сравнивается с его стандартной ошибкой, т.е. определяется фактическое значение t-критерия Стьюдента: , которое затем сравнивается с табличным значением при определенном уровне значимости α и показателе
n – 2. Если фактическое значение t-критерия превышает табличное, то гипотезу о несущественности коэффициента регрессии можно отклонить.

Для данных задачи получаем:



Доверительный интервал для коэффициента регрессии определяется следующим образом:

.

При  (для двустороннего критерия) и числе степеней свободы 8 табличное значение . Поскольку фактическое значение t-критерия превышает табличное, гипотезу о несущественности коэффициента регрессии можно отклонить.

Доверительный интервал для параметра :

.

Таким образом, получаем интервал .

Стандартная ошибка параметра a определяется по формуле:

.




Для определения значения m_а строим вспомогательную таблицу:





Процедура оценивания существенности данного параметра не отличается от рассмотренной выше для коэффициента регрессии; вычисляется t-критерий: , его величина сравнивается с табличным значением при (n – 2) степенях свободы:



Доверительный интервал для :

.

Таким образом, интервал для параметра  .

Если 0 попадает в доверительный интервал, то фактор (или константа) является незначимым. В нашем случае это как раз так – параметр а – незначим.

Вывод: таким образом, параметр b уравнения регрессии является значимым, а параметр а – незначимым. Фактор х оказывает влияние на величину y, то есть среднесуточная производительность значительно зависит от изменения стоимости основных производственных фондов, но незначительно.

5. Проверим адекватность модели (уравнения регрессии) в целом с помощью F-критерия. Сформулируем вывод.

Н₀ – фактор х не оказывает влияние на результат у;

Н₁ – фактор х оказывает влияние на у.

Рассчитаем фактическое значение F – критерия:



;

;

.



Табличные значения:

F_α=0,05 = 5,32

F ≤ F_=0,05    принимаем гипотезу Н₀.

Вывод: уравнение регрессии является значимым на уровне значимости 0,05связь между признаками есть и описывается полученным уравнением регрессии .






6. Построим таблицу дисперсионного анализа.

Дисперсионный анализ результатов регрессии:

Источники вариации	Число степеней свободы	Сумма квадратов отклонений	Дисперсия на одну степень свободы	F - отношение
				Фактическое	Табличное при  = 0,05
Общая Объяснённая Остаточная	8 1 7	84,8 292,93 -208,1	- 292,9 58,8	- 4,98 1	- 5,32 -

7. Выберем прогнозную точку х^П в стороне от основного массива данных. Используя уравнение регрессии, выполним точечный прогноз величины Y в точке х^П.

Если х^П  = 12 млн. руб.  - стоимость основных производственных фондов, то рассчитаем прогнозное у:

у^П = 112,78 – 2,2125 * 12 = 86,2 тонны – прогноз среднесуточной производительности.
8. Рассчитаем доверительные интервалы для уравнения регрессии и для результативного признака у^П при доверительной вероятности α = 0,95.

Доверительные интервалы среднего значения цены для  рассчитываем по формуле.



где  - соответственно верхняя и нижняя границы доверительного интервала в точке ;

 - значение независимой переменной x₁, для которой определяется доверительный интервал.



 - стандартная ошибка

;

 - остаточная дисперсия уравнения регрессии.

Тогда с учетом данных расчетных таблиц, получаем

;  отсюда  = 0,0781

Подставляем точечный прогноз объема выпуска продукции ^п=86,2 и  в уравнения границ доверительного интервала и,  учитывая =2,306,  получаем интервальный прогноз с доверительной вероятностью 0,95:



, или  ;   тонн.

Доверительный интервал прогноза для уровня значимости 0,05
[86,14; 86,26].


9. Изобразим в одной системе координат: исходные данные: линию регрессии; точечный прогноз; 95% доверительный интервал.

Данные для построения линии регрессии У_х =  

Х = 5 млн.руб. =>Y=112,78 – 2,2125 * 5 = 101,7175 тонны

Х= 10 млн.руб. =>Y= 112,78 – 2,2125 * 10 = 90,655 тонны

Данные для построения точечного прогноза и доверительного интервала:

Прогноз (п.7): Х``=12 млн.руб. =>Y``= 112,78 – 2,2125 * 12 = 86,23  тонны

Доверительного интервал(п.8.) Х=12 млн.руб. =>

Yн=86,17 тонны, Yв = 86,29 тонны
А теперь построим в одной системе координат полученные результаты:

Построим доверительные интервалы для всех исходных данных:

Список использованной литературы

1.        Тимофеев К.С., Фаддеенков А.В. Эконометрика. Часть 1: Учебное пособие. – Новосибирск, 2004. – 73 с.

2.        Магнус Я.Р., . Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. - М.: Дело, 2004.  – 576 с.

3.         Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика,  2006. – 576 с.

4.        Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. – М.: Юнити, 1998. – 1022 с.

5.        Доугерти К. Введение в эконометрию. – М.: МГУ, 1999. – 402 с.