Задача 1.5
            Продукция двух видов (краска для внутренних (I) и наружных (E) работ) поступает в продажу. Для производства красок используются два исходных продукта – A и B. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6 и 8 тонн соответственно. Расходы продуктов A и B на1 1 т соответствующих красок приведены в таблице.

Исходный продукт	Расход исходных продуктов на тонну краски, т		Максимально возможный запас, т
	Краска T	Краска I
A	1	2	6
B	2	1	8

            Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску I никогда не превышает спроса на краску T более чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на краску I никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны 3000 ден. ед. для краски T и 2000 ден. ед. для краски I. Какое количество краски каждого вида должны производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?
Решение:

Сформулируем экономическо-математическую модель задачи. Обозначим через x₁ количество краски для наружных работ (в тоннах), x₂ – количество краски для внутренних работ (в тоннах). Необходимо максимизировать доход от реализации краски:

            max f(x) = 3000x₁ + 2000x₂,

при ограничениях

x₁ + 2x₂ ≤ 6

2x₁ + x₂ ≤ 8

x₂ – x₁ ≤ 1

            x₂ ≤ 2

            x₁, x₂ ≥ 0
Полученная задача – задача линейно программирования. Построим ОДР задачи.
Прямые ограничения означают, что область решений будет лежать в первой четверти Декартовой системы координат.

Функциональные ограничения (неравенства) определяют область, являющуюся пересечением полуплоскостей с граничными прямыми:
I.     x₁ + 2x₂ = 6

II.   2x₁ + x₂ = 8

III.    x₂ – x₁ = 1

IV.    x₂ = 2

Пересечение указанных полуплоскостей в первой четверти представляет собой полуплоскость - заштрихованная общая область для всех ограничений задачи ОДР.

1. Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент, соединив его вершину Ñ(3, 2) с началом координат O (0, 0).

2. Построим некоторую линию уровня 3000x₁ + 2000x₂ = a. Пусть, например, a = 12666,67. На рисунке такой линии уровня отвечает прямая OX, перпендикулярная вектор - градиенту.

3. При максимизации ЦФ необходимо перемещать линию уровня OX в направлении вектор - градиента, а при минимизации – в противоположном направлении.

Максимум функции будет находиться в точке пересечения прямых x₁ + 2x₂ = 6 и 2x₁ + x₂ = 8. Таким образом, максимума функции (12666,67) достигается при x₁ = 10/3, x₂ = 4/3. Если решать задачу на минимум, то минимум функции будет равен 0, так как функция ограничена снизу осями Ox1 и Ox2.

Задача 2.5
            На основании информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации готовой продукции.

Вид ресурсов	Нормы расхода ресурсов на ед. продукции			Запасы ресурсов
	I вид	II вид	III вид
I	1	4	3	200
II	1	1	2	80
III	1	1	2	140
Цена изделия	40	60	80

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теоремы двойственности.
3. Пояснить нулевые  значения переменных в оптимальном плане.
4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

·        проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

·        определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья на 18 единиц;

·        оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 70 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида ресурсов.
Решение:

1. Обозначим через x₁, x₂, x₃, x₄ – количество четырех видов продукции соответственно и запишем математическую модель задачи критерию «максимум стоимости»:

            max (40x₁ + 60x₂ + 80x₃)

            x₁ + 4x₂ + 3x₃ ≤ 200

            x₁ + x₂ + 2x₃ ≤ 80

            x₁ + x₂ + 2x₃ ≤ 140

            x_j ≥ 0, j = 1, 2, 3.
Приведем задачу к каноническому виду

max (40x₁ + 60x₂ + 80x₃)

x₁ + 4x₂ + 3x₃ + x₄ = 200

x₁ + x₂ + 2x₃ + x₅ = 80

            x₁ + x₂ + 2x₃ + x₆ = 140

x_j ≥ 0, j = 1-6.
Решим каноническую задачу симплекс-методом.

Базис	Z	x1	x2	x3	x4	x5	x6	Реш	b/aij	Комм
z	1	-40	-60	-80	0	0	0	0		не опт
x4	0	1	4	3	1	0	0	200	66,67
x5	0	1	1	2	0	1	0	80	40	x3 в Baz
x6	0	1	1	2	0	0	1	140	70
z	1	0	-20	0	0	40	0	3200		не опт
x4	0	-0,5	2,5	0	1	-1,5	0	80	32	x2 в Baz
x3	0	0,5	0,5	1	0	0,5	0	40	80
x6	0	0	0	0	0	-1	1	60
z	1	-4	0	0	8	28	0	3840		не опт
x2	0	-0,2	1	0	0,4	-0,6	0	32
x3	0	0,6	0	1	-0,2	0,8	0	24	40	x1 в Baz
x6	0	0	0	0	0	-1	1	60
z	1	0	0	6,67	6,67	33,33	0	4000		опт
x2	0	0	1	0,33	0,33	-0,33	0	40
x1	0	1	0	1,67	-0,33	1,33	0	40
x6	0	0	0	0	0	-1	1	60

Задача решена, получена оптимальная симплекс-таблица.
z = 4000 – максимальное значение целевой функции. Решение x₁ = 40, x₂ = 40, x₃ = 0.
            В этой модели функциональные ограничения отражают условия ограниченности запасов ресурсов используемых в производстве продукции.

            Проверим, как удовлетворяется система функциональных ограничений планом X* = (x₁ = 40, x₂ = 40, x₃ = 0):
            40 + 40 ∙ 4 + 0 ∙ 3 = 200

            40 + 40 + 2 ∙ 0 = 80                                       (*)

            40 + 40 + 2 ∙ 0 = 80 ≤ 140
Значение целевой функции на этом плане равно
            f(X) = 40 ∙ 40 + 60 ∙ 40 + 80 ∙ 0 = 4000
2. Двойственная задача имеет вид:
            min (200y₁ + 80y₂ + 140y₃)

            y₁ + y₂ + y₃ ≥ 40

            4y₁ + y₂ + y₃ ≥ 60

            3y₁ + 2y₂ + 2y₃ ≥ 80

            y_j ≥ 0.
            Для нахождения оценок y₁, y₂, y₃ используем вторую теорему двойственности. Поскольку первое и второе ограничение в (*) выполняется как строгое неравенство, то y₃ = 0. Так как x₁ > 0 и x₂ > 0 , то

            y₁ + y₂ + y₃ = 40

            4y₁ + y₂ + y₃ = 60.
Итак, для получения двойственных оценок имеем систему линейных уравнений:

            y₃* = 0

            y₁ + y₂ + y₃ = 40

            4y₁ + y₂ + y₃ = 60,

т.е. y₁* = 20/3, y₂* = 100/3, y₃* = 0.

Вычислим значение целевой функции двойственной задачи:
            φ(Y) = 200 ∙ 20/3 + 80 ∙ 100/3 + 140 ∙ 0 = 4000, т.е. f(X) = φ(Y) = 4000.
3. Значение переменной x₃ в оптимизационном плане равно нулю. Это говорит о том, что изделие третьего вида невыгодно изготавливать.
4. По первой теореме двойственности мы можем утверждать, что действительно найдены оптимальные значения двойственных переменных.

·        Экономико-математический анализ оптимальных решений базируется на свойствах двойственных оценок. В пределах устойчивости двойственных оценок имеют место следующие свойства.

1.      Величина двойственной оценки того или иного ресурса показывает, насколько возросло бы максимальное значение целевой функции, если бы объем данного ресурса увеличился на одну единицу.

В рассматриваемом примере увеличение запасов сырья I типа привело бы к увеличению общей стоимости на 20/3 у.е. (y₁ = 20/3), увеличение запасов сырья II типа привело бы к увеличению общей стоимости на 100/3 у.е. (y₂ = 100/3), а увеличение запасов сырья III типа не повлияет на оптимальный план выпуска продукции и на общую стоимость.

2.      Двойственные оценки отражают сравнительную дефицитность различных видов ресурсов в отношении принятого в задаче показателя эффективности. Оценки показывают, какие ресурсы являются более дефицитными, какие менее дефицитные и какие совсем не дефицитными.

В нашем примере недефицитным ресурсом является сырье III поскольку y₃ = 0.

Острее ощущается дефицитность сырья II (y₂ = 100/3) – он более дефицитен, чем сырье I (y₁ = 20/3).

3.      Двойственные оценки позволяют определять своеобразные «нормы заменяемости ресурсов». В нашем примере относительная заменяемость ресурсов определяется соотношением 1 : 5.
·        Определим, как изменится выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья на 18 ед.

Предполагая, что эти изменения проходят в пределах устойчивости двойственных оценок, имеем:
            x₁ + 4x₂ + 3 ∙ 0 = 200

            x₁ + x₂ + 2 ∙ 0 = 98
            Отсюда определяется план выпуска в новых производственных условиях – X = (x₁ = 64, x₂ = 34, x₃ = 0) соответственно прибыль составит 4600 у.е., т.е. увеличится на 600 у.е.
·        Решим вопрос о целесообразности включения в план изделий четвертого вида ценой 70 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида ресурсов.
20/3 ∙ 2 + 100/3 ∙ 2 +  0 ∙ 2 – 70 = 10 > 0 – невыгодно.

Предприятия (виды продукции	Коэффициенты прямых затрат aij			Конечный продукт Y
	1	2	3
I	0,2	0,3	0,0	120
II	0,3	0,1	0,2	250
III	0,1	0,0	0,3	180

Межпродуктовый баланс производства и распределения продукции
Производящие структуры	Потребляющие структуры			Конечный продукт	Валовой продукт
	1	2	3
1	64	135	0	120	319
2	96	45	61	250	451
3	32	0	91	180	303
Итого	192	181	151	550	1074

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Yt	5	7	10	12	15	18	20	23	26

	t	Yt	t∙Yt	t2
	1	45	45	1
	2	43	86	4
	3	40	120	9
	4	36	144	16
	5	38	190	25
	6	34	204	36
	7	31	217	49
	8	28	224	64
	9	25	225	81
Сумма	45	320	1455	285
Среднее	5	35,6	162	31,7

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9
x	5	7	10	12	15	18	20	23	26

						Сумма
x	1	2	3	4	5	15
y	5	7	10	12	15	49
x2	1	4	9	16	25	55
xy	5	14	30	48	75	172

Получили a₀(0) = 2,30, a₁(0) = 2,50.

Возьмем α = 0,4, k = 1 и β = 1 – α = 1 – 0,4 = 0,6.

Будем находить последующие значения a₀(t) и a₁(t) по формулам

a₁(t) = a₁(t – 1) + (1 – β)² ∙ (Y(t) – Y_p(t))        и         a₀(t) = a₀(t – 1) + a₁(t – 1) + (Y(t) – Y_p(t)) ∙ (1 – β²),

где Y_p(t) = a₀(t – 1) + a₁(t – 1)k.
Таблица 3.

                                 ___________________

u(1) = 1,12 ∙ 0,48 ∙ √1 + 1/9 + (9 + 1 – 5)²/60 ≈ 3,25

                        k = 1 (t = 10).

Нижняя граница: 28,51 – 0,66 = 27,85

Верхняя граница: 28,51 0,66 = 29,17

                                  ___________________

u(2) = 1,12 ∙ 0,48 ∙ √1 + 1/9 + (9 + 2 – 5)²/60 ≈ 3,44

                        k = 2 (t = 10).

Нижняя граница: 31,19 – 0,70 = 30,49

Верхняя граница: 31,19 + 0,70 = 31,89
Проверим адекватность модели.

Проверка случайности ряда остатков по критерию пиков дает результат 7 больше 2 (критическое число поворотных точек).

Вычислим d по формуле
        ∑(ε_t – ε_t-1)²      3,95

d = ————— = —— = 2,48

            ∑ ε_t²            1,59
При проверке независимости уровней ряда остатков друг от друга значение d′ = 4 – 2,48 = 1,52 при уровне значимости a = 0,025 больше d₂ = 1,36, т.е. модель адекватна.

Соответствие ряда остатков нормальному распределению установим с помощью формулы
R/S = (ε_max – ε_min)/S_n,

          _______________       _____

            S_n = √ ∑(ε_t – ε_ср)²/(n – 1) = √1,44/8 = 0,42
            R/S = (0,62 – (-0,46))/0,42 = 2,55

            Для n = 9 и a = 0,05 найдем критический интервал: [2,7; 3,7]. Вычисленное значение 2,55 не попадает между табулированными границами с заданным уровнем вероятности. Значит, закон нормального распределения не выполняется.

Результаты аппроксимации и прогнозирования по адаптивной модели Брауна при α = 0,4.


Возьмем α = 0,7, k = 1 и β = 1 – α = 1 – 0,7 = 0,3.
Будем находить последующие значения a₀(t) и a₁(t) по формулам
a₁(t) = a₁(t – 1) + (1 – β)² ∙ (Y(t) – Y_p(t))        и         a₀(t) = a₀(t – 1) + a₁(t – 1) + (Y(t) – Y_p(t)) ∙ (1 – β²),

где Y_p(t) = a₀(t – 1) + a₁(t – 1)k.
Таблица 4.



                                 ___________________

u(1) = 1,12 ∙ 0,61 ∙ √1 + 1/9 + (9 + 1 – 5)²/60 ≈ 0,85

                        k = 1 (t = 10).
Нижняя граница: 28,83 – 0,85 = 27,98
Верхняя граница: 28,83 + 0,85 = 29,68

                                  ___________________

u(2) = 1,12 ∙ 0,61 ∙ √1 + 1/9 + (9 + 2 – 5)²/60 ≈ 0,90

                        k = 2 (t = 10).

Нижняя граница: 31,69 – 0,90 = 30,79

Верхняя граница: 31,69 + 0,90 = 32,59
Проверим адекватность модели.

Проверка случайности ряда остатков по критерию пиков дает результат 7 больше 2 (критическое число поворотных точек).
Вычислим d по формуле
        ∑(ε_t – ε_t-1)²     8,08

d = ————— = —— = 3,06

            ∑ ε_t²           2,64
При проверке независимости уровней ряда остатков друг от друга значение d′ = 4 – 3,06 = 0,94 при уровне значимости a = 0,025 меньше d₁ = 1,08, т.е. модель неадекватна.

Соответствие ряда остатков нормальному распределению установим с помощью формулы
R/S = (ε_max – ε_min)/S_n,

          _______________       _____

            S_n = √ ∑(ε_t – ε_ср)²/(n – 1) = √2,58/8 = 0,57
            R/S = (0,57 – (-0,81))/0,57 = 2,54

            Для n = 9 и a = 0,05 найдем критический интервал: [2,7; 3,7]. Вычисленное значение 2,54 не попадает между табулированными границами с заданным уровнем вероятности. Значит, закон нормального распределения не выполняется.
Результаты аппроксимации и прогнозирования по адаптивной модели Брауна при α = 0,7.



           

Очевидно, что лучше взять α = 0,4.
4. Для того чтобы оценить параметры и качество этой модели (адекватность и точность), а также построить точечный и интервальный прогнозы, заполним следующую таблицу:
Таблица 5.



            В первой нижней строке под таблицей записаны суммы соответствующих граф, во второй – соответствующие средние значения.
Наличие тренда, то есть меру связи между переменными t и Y_t оценим по коэффициенту корреляции. Построим вспомогательную расчетную таблицу:

Таблица 6.



Коэффициент корреляции:

     ____   _   __

     t ∙ Y_t – t ∙ Y_t

r = ————

        s_t ∙ s_y



где       s_t  = √∑(t – t_ср)²/n
s_y = √∑( Y_t – Y_ср)²/n
t_ср = ∑t / n
Y_tср = ∑ Y_t / n
t_ср = 45/9 = 5
Y_tср = 136/9 = 15,11
s_t = √60/9 = 2,58
s_y = √416,89/9 = 6,81
r = (93,11 – 5 ∙ 15,11)/(2,58 ∙ 6,81) = 0,999
            Оценим полученный коэффициент корреляции по статистике Стьюдента. То есть проверим гипотезу о ненулевом коэффициенте корреляции генеральной совокупности. Для проверки гипотезы установим значения t_a и F_a и сравним с заданными табличными значениями.

         r²(n – 2)      0,999²(9 – 2)

t_a = ———— = ————— = 3542,19

           1 – r²          1 – 0,999²
Для уровня значимости a = 0,05 при числе степеней свободы m = 9 t_табл = 2,262. Так как t_a > t_табл, то гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции генеральной совокупности отвергаем.

Для проверки адекватности модели в соответствии и видом формул
       |ε_ср|       _                        ∑(ε_t – ε_t-1)²

ť = —— ∙ √n              d = —————                     r₁ = (∑ε_t∙ε_t-1) : ∑ ε_t².

        S_∑                                   ∑ ε_t²

организуем заполнение граф 9 – 13.

• Легко убедиться, что математическое ожидание ряда остатков равна нулю, т.е. |ε_ср| = 0.
• Проверка случайности ряда остатков по критерию пиков дает результат: 5 (сумма графы 9) больше 2 (критическое число поворотных точек).

 __________         _____

      / ∑ (ε_t – ε_ср)²              / 0,82

S_∑ =   / ————— =   / ——— = 0,32

        √        n – 1          √         8
       |ε_ср|        _     0,00      _

ť = —— ∙ √n = —— ∙ √9 = 0,00

        S_∑              0,32

           

• Вычислим d по формуле

        ∑(ε_t – ε_t-1)²     1,88

d = ————— = —— = 2,28

            ∑ ε_t²            0,82
При проверке независимости уровней ряда остатков друг от друга значение d = 2,28 при уровне значимости a = 0,025 больше d₂ = 1,36, т.е. ряд остатков не коррелирован. Воспользоваться формулой
r₁ = (∑ε_t∙ε_t-1) / ∑ ε_t² = – 0,27/0,82 = – 0,33.
Сопоставляя это число с табличным значением первого коэффициента автокорреляции 0,36, взятым для уровня значимости a = 0,01 и n = 9, увидим, что расчетное значение по модулю меньше табличного. Это означает, что с ошибкой в 1 % ряд остатков можно считать некоррелированным, т.е. свойство взаимной независимости уровней остаточной компоненты подтверждается.

• Соответствие ряда остатков нормальному распределению установим с помощью формулы

R/S = (ε_max – ε_min)/S_n,

          _______________      _____

            S_n = √ ∑(ε_t – ε_ср)²/(n – 1) = √0,82/8 = 0,32
            R/S = (0,42 – (-0,48))/S_n = 2,81
            Для n = 9 и a = 0,05 найдем критический интервал: [2,7; 3,7]. Вычисленное значение 2,81 попадает между табулированными границами с заданным уровнем вероятности. Значит, закон нормального распределения выполняется, и можно строить доверительный интервал прогноза.

• Так как модель оказалась адекватной, оценим ее точность. Рассчитаем среднюю относительную ошибку по формуле

      1      |ε_t|                      1

E_отн = — ∑ —— ∙ 100% = — ∙ 0,23 ∙ 100% = 2,6 %.

            n      |Y_t|                     9
Такую ошибку можно считать приемлемой.
6. Экстраполяция уравнения Y_t* = 1,94 + 2,63t вперед дает прогнозное значение равное Y₁₀ = = 28,28 и равное Y₁₁ = 30,91.

Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. Примем значение уровня значимости a = 0,3, а значит, доверительную вероятность – 70 %. В этом случае критерий Стьюдента (при n = n – 2 = 7) равен t_a,n = 1,12. Вычислив среднеквадратическую ошибку тренда, с учетом значения t_a,n получим интервальный прогноз:

                                 ____________________

u(1) = 1,12 ∙ 0,34 ∙ √1 + 1/9 + (9 + 1 – 5)²/60 ≈ 0,47

                        k = 1 (t = 10).

Нижняя граница: 28,28 – 0,47 = 27,80

Верхняя граница: 28,28 + 0,47 = 28,75

                                  ___________________

u(2) = 1,12 ∙ 0,34 ∙ √1 + 1/9 + (9 + 2 – 5)²/60 ≈ 0,50

                        k = 2 (t = 10).

Нижняя граница: 30,91 – 0,50 = 30,41

Верхняя граница: 30,91 + 0,50 = 31,41

Таким образом, построенная модель является полностью адекватной динамике фактических показателей. Поэтому с вероятностью 70% можно утверждать, что при сохранении сложившихся закономерностей развития значение показателя, прогнозируемое на 10 наблюдение с помощью линейной модели роста, попадет в промежуток, образованный нижней и верхней границей доверительного интервала.
7. Представим графически фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования.