Контрольная работа по Эконометрике 3

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Имя

Выберите тип работы:

Курсовая работа Дипломная работа Контрольная работа Реферат Отчет по практике Эссе Доклад Решение задач Научно-исследовательская работа Монография Аспирантский реферат Магистерская работа Научная статья Публикация статьи в ВАК Публикация статьи в Scopus Дипломная работа MBA Бизнес-план Тест/экзамен online Чертеж Рецензия

Принимаю Политику конфиденциальности

Продолжить

Скидка 25% при заказе до 22.11.2024

Вариант №3.
Задача №1.

Территории федерального округа	Валовой региональный продукт, млрд. руб., Y	Среднегодовая численность занятых в экономике, млн. чел., X
1. Респ. Адыгея	5,1	0,157
2. Респ. Дагестан	13,0	0,758
3. Респ. Ингушетия	2,0	0,056
4. Кабардино-Балкарская Респ.	10,5	0,287
5. Респ. Калмыкия	2,1	0,119
6. Карачаево-Черкесская Респ.	4,3	0,138
7. Респ. Северная Осетия – Алания	7,6	0,220
8. Краснодарский край	109,1	2,033
9. Ставропольский край	43,4	1,008
10. Астраханская обл.	18,9	0,422
11. Волгоградская обл.	50,0	1,147
12. Ростовская обл.	69,0	1,812
Итого, S	335	8,157
Средняя	27,917	0,6798
Среднее квадратическое  отклонение ,        s	32,20	0,6550
Дисперсия , D	1036,87	0,4290

 По территориям Южного федерального округа приводятся статистические данные за 2000 год:

                                                                                                                             Таблица №1
Задание:
1. Расположите территории по возрастанию фактора X. Сформулируйте рабочую гипотезу о возможной связи Y и X.

2. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о возможной форме и направлении связи.

3. Рассчитайте параметры а₁ и а₀ парной линейной функции  и линейно-логарифмической функции

4. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции  (r_yx   и η_ylnx) и детерминации (r
²_yx и η
²_ylnx), проанализируйте  их значения.

5. Надёжность уравнений в целом оцените через F -критерий Фишера для уровня значимости a=0,05.

6. На основе оценочных характеристик выберите лучшее уравнение регрессии и поясните свой выбор.

7. По лучшему уравнению регрессии рассчитайте теоретические значения результата (), по ним постройте теоретическую линию регрессии и определите среднюю ошибку аппроксимации - ε'_ср., оцените её величину.

8. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора () составит 1,023 от среднего уровня ().

9. Рассчитайте интегральную и предельную ошибки прогноза (для a=0,05), определите доверительный интервал прогноза (; ), а также диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала (), оцените точность выполненного прогноза.

                                                       

           Решение:
1.Предварительный анализ исходных данных выявил наличие одной территории(Краснодарский край) с аномальными значениями признаков. Эта территория исключена из дальнейшего анализа. Расположим территории по возрастанию фактора X.


Территория федерального округа Среднегодовая численность занятых в экономике, млн. чел., X факт. Валовой региональный продукт, млрд. руб., Y

                                                                                                                                       Таблица №2

Территории федерального округа	Среднегодовая численность занятых  млн. чел., X	Валовый региональный продукт млрд. руб.,  Y
1. Респ. Ингушетия	0.056	2.0
2. Респ.Калмыкия	0.119	2.1
3. Карачаево-Черкесская республика	0.138	4.3
4. Респ. Адыгея	0.157	5.1
5. Респ. Северная Осетия-Алтания	0.220	7.6
6. Кабардино-Балканская Респ.	0.287	10.5
7. Астраханкая обл.	0.422	18.9
8. Респ. Дагестан	0.758	13.0
9. Ставропольский край	1.008	43.4
10. Волгоградская обл.	1.147	50.0
11. Ростовская обл.	1.812	69.0
Итого	8.157	335
Средняя	0.6798	27.917
Среднее квадратическое  отклонение ,        s	0.6550	32.20
Дисперсия , D	0.4290	1036.87

2. Обычно моделирование начинается в построения уравнения прямой: , отражающей линейную форму зависимости результата Y от фактора X.


3. Расчёт неизвестных параметров уравнения выполним методом наименьших квадратов (МНК), построив систему нормальных уравнений и решая её, относительно неизвестных а0 и а1. Для расчёта используем значения определителей второго порядка Δ, Δа0 и Δа1. Расчётные процедуры представим в разработочной таблице, в которую, кроме значений Y и X, войдут X2, X*Y, а также их итоговые значения, средние, сигмы и дисперсии для Y и X. ( см. табл.3)

                                                                                                                                                                                                    Таблица №3

№
А	1	2	3	4	5	6	7	8
1	0,056	2,0	0,003	0,112	0,725	1,275	1, 626	6, 209
2	0, 119	2,1	0,014	0,250	3,218	-1,118	1,249	5,442
3	0,138	4,3	0,019	0,593	3,969	0,331	0,109	1,610
4	0,157	5,1	0,025	0,801	4,721	0,379	0,144	1,845
5	0,22	7,6	0,048	1,672	7,214	0,386	0,149	1,881
6	0,287	10,5	0,082	3,014	9,865	0,365	0,404	3,094
7	0,442	18,9	0,178	7,976	15,206	3,694	13,089	17,475
8	0,758	13,0	0,575	9,854	28,500	-15,506	240,243	75,475
9	1,008	43,4	1,016	43,747	38,391	5,009	25,089	24,396
10	1,147	50,0	1,316	57,350	43,891	6,109	37,324	29,749
11	1,812	69,0	3,283	125,028	70,202	-1,202	1,444	5,851
Итого	6,214	225,900	6,559	250,397	121,2	0,000	321,427	173,536
Средняя	0,557	20,556	—	—	—	—	—	15,776
Сигма	0,535	21,852	—	—	—	—	—	—
Дисперсия, D	0,286	477,502	—	—	—	—	—	—
Δ=	34,650	—	—	—	—	—	—	—
Δа0=	-51,654		-1,491	—	—	—	—	—
Δа1=	1370,950		39,565	—	—	—	—	—

;     .

                                               

                                     

Где k -число факторов в уравнении; n - число изучаемых объектов. Фактическое значение критерия показывает, что факторная вариация результата в 137 раза больше остаточной вариации, сформировавшейся под влиянием случайных причин. Очевидно, что подобные различия не могут быть случайными, а являются результатом систематического взаимодействия оборота розничной торговли и общей суммы доходов населения. Для обоснованного вывода сравним полученный результат с табличным значением критерия: при степенях свободы d.f.1
=k=1 и d.f.
2
=n-k-1=11-1-1=9 и уровне значимости α=0,05.
В силу того, что нулевую гипотезу о статистической не значимости выявленной зависимости валового регионального продукта от среднегодовой численности занятых в экономике и её параметрах можно отклонить с фактической вероятностью допустить ошибку значительно меньшей, чем традиционные 5%.

Определим теоретические значения результата Y
_теор
. Для этого в полученное уравнение последовательно подставим фактические значения фактора X и выполним расчёт.

Например, . См. гр. 5 расчётной таблицы. По парам значений Y
_теор. и X
_факт. строится теоретическая линия регрессии, которая пересечётся  с эмпирической регрессией в нескольких точках. См. график 1.
9. Построим теоретическую линю регрессии, которая пересечётся с эмпирической регрессией в нескольких точках.      



В нашем случае, скорректированная ошибка аппроксимации составляет 15,776%. Она указывает на невысокое качество построенной линейной модели и ограничивает её использование для выполнения точных прогнозных расчётов даже при условии сравнительно небольшого изменения фактора X (относительно его среднего значения

).



Зависимость ВРП от численности занятых

                                                                                                                                         График№1

Оценку качества модели дадим с помощью скорректированной средней ошибки аппроксимации:
В нашем случае, скорректированная ошибка аппроксимации составляет 15,776%. Она указывает на невысокое качество построенной линейной модели и ограничивает её использование для выполнения точных прогнозных расчётов даже при условии сравнительно небольшого изменения фактора X (относительно его среднего значения ).
Построение логарифмической функции предполагает предварительное выполнение процедуры линеаризации исходных переменных. В данном случае, для преобразования нелинейной функции в линейную введём новую переменную, которая линейно связана с результатом. Следовательно, для определения параметров модели будут использованы традиционные расчётные приёмы, основанные на значениях определителей второго порядка.
                      

Построение логарифмической функции предполагает предварительное выполнение процедуры линеаризации исходных переменных. В данном случае, для преобразования нелинейной функции в линейную введём новую переменную , которая линейно связана с результатом. Следовательно, для определения параметров модели  будут использованы традиционные расчётные приёмы, основанные на значениях определителей второго порядка. См. таблицу №4.



                                                                                                                                        Таблица№4

№
А	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	0,056	-2,882	2,000	8,308	-5,765	-12,249	14,249	203,023	69,382
2	0,119	-2,129	2,100	4,531	-4,470	1,550	0,550	0,303	2,680
3	0,138	-1,981	4,300	3,922	-8,516	4,261	0,039	0,001	0,188
4	0,157	-1, 852	5,100	3,428	-9,443	6,623	-1,523	2,318	7,414
5	0,220	-1,514	7,600	2,293	-11,507	12,799	-5,199	27,025	25,314
6	0,287	-1,248	10,500	1,558	-13,107	17,665	-7,165	51,341	234,890
7	0,422	-0,863	18,900	0,744	-16,306	24,722	-5,822	33,901	28,352
8	0,758	-0,277	13,000	0,077	-3,602	35,444	-22,444	503,720	109,288
9	1,008	0,008	43,400	0,000	0,346	40,662	2,738	7,499	13,335
10	1,147	0,137	50,000	0,019	6,857	43,026	6,974	48,632	33,958
11	1,812	0,594	69,000	0,353	41,016	51,397	17,603	309,860	85,715
Итого	6,124	-12,006	225,900	25,234	-24,497	225,900	0,000	1187,624	410,517
Средняя	0,557	-1,091	20,536	—	—	—	—	2,9	10,5
Сигма	0,535	1,050	21,852
Дисперсия, D	0,286	1,103	477,502

;  ;  .

   

 

	Y	X1	X2	X3
Y	1	0,2461	0,0117	0,9313
X1	0,2461	1	0,8779	0,0123
X2	0,8779	0,8897	1	-0,2041
X3	0,9313	0,0123	-0,2041	1
Средняя	13,64	0,2134	22,29	24,69
	4,250	0,1596	2,520	9,628

уровня ().

pea

(от своей средней) оборот розничной торговли увеличивается на 0,235 своей сигмы (

); с увеличением второго фактора на результат увеличивается на 0,928

.

 



В конечном счёте, имеем уравнение: . По значениям коэффициентов регрессии можно судить о том, на какую абсолютную величину изменяется результат при изменении каждого фактора на единицу (от своей средней).
С увеличением первого фактора на 1 единицу результат увеличивается на 6,258 млрд. руб., с увеличением третьего фактора на 1 единицу увеличивается на 0,409 млрд. руб.
Но так как признаки-факторы измеряются в разных единицах, сравнивать значения их коэффициентов регрессии не следует. Точную оценку силы связи факторов с результатом дают коэффициенты эластичности и β - коэффициенты.
4. Для сравнительной оценки силы связи выполним расчёт средних коэффициентов эластичности. С их помощью можно определить, на сколько процентов изменяется результат при изменении фактора на 1% (от своего среднего значения). В нашем случае, расчёт показал, что первого фактора на розничный товарооборот оказалось менее сильным по сравнению с влиянием третьего фактора: с ростом первого фактора на 1% розничный товарооборот увеличивается на 0,098%, а при увеличении третьего фактора на 1% розничный товарооборот уменьшается на 0,74%. Различия в силе влияния весьма значительны: первый фактор влияет на результат в семь с лишним раз слабее, чем третий. Поэтому регулирование величины розничного товарооборота через третий фактор будет более результативным, чем через первый.

 

6. Тесноту выявленной зависимости розничного товарооборота от инвестиций в экономику региона и от численности населения оценивают множественный коэффициент корреляции и детерминации. Расчёт коэффициента корреляции выполним, используя известные значения линейных коэффициентов парной корреляции и β – коэффициентов:  В нашем случае 2-х факторной зависимости расчёт строится следующим образом:





Как показали расчёты, установлена весьма тесная зависимость розничного товарооборота от первого и третьего фактора. Это означает, что 92,2% вариации розничного товарооборота определены вариацией данных факторов. Оставшиеся 7,8% вариации результата сформировались под влиянием прочих причин, роль которых незначительна.
7. Оценка статистической значимости или надёжности установленной формы зависимости, её параметров, оценок её силы и тесноты является важным этапом анализа результатов. Для выполнения оценки формулируется нулевая гипотеза, которая рассматривает предположение о случайной природе полученных результатов. То есть Для проверки выдвинутой нулевой гипотезы используется F-критерия Фишера. Его фактическое значение определяется, исходя из соотношения факторной и остаточной дисперсий и их степеней свободы: d.f.1=k и d.f.2=n-k-1; где: n –число изучаемых единиц; k – число ограничений, которые накладываются на исходные данные при расчёте данного показателя. Здесь k равно числу факторов уравнения, то есть k=2.



В нашем случае, когда рассматривается зависимость результата от двух факторов, расчёт выглядит следующим образом:



Фактическое значение критерия показывает, что детерминация, сформированная под воздействием двух изучаемых факторов, почти в 30 раз больше, чем детерминация, связанная с действием прочих причин. Очевидно, что подобное соотношение случайно сформироваться не может, а является результатом влияния существенных, систематических факторов.
Для принятия обоснованного решения F_фактич. сравнивается с F_табл., которое формируется случайно и зависит степеней свободы факторной (d.f.1 = k) и остаточной (d.f.2 = n-k-1) дисперсий, а также от уровня значимости α=0,05. В нашем примере, где d.f.1=k= 2 и d.f.2=n-k-1 = 8-2-1=5 при α=0,05 Fтабл = 5,79. В силу того, что F_{фактич.} =29,551> F_табл. = 5,79, можно с высокой степенью надёжности отклонить нулевую гипотезу, а в качестве альтернативы – согласиться с утверждением, что проверяемые параметры множественной регрессионной модели неслучайны, что коэффициенты уравнения и показатели тесноты связи не являются случайными величинами.

, подставить их в уравнение и выполнить с ними расчёт прогнозного значения результата - . При этом следует помнить, что требования к точности и надёжности прогноза предъявляют к используемой модели повышенные требования. В нашем случае, прогнозное значение каждого из факторов, то есть  и , получено на основе средней величины:

	Y1	X1	X2		Y2		X3
Y1	1	0,6631	0,7477	Y2	1	0,7863	0,7337
X1	0,6631	1	0,4747		0,7863	1	0,6177
X2	0,7477	0,4747	1	X3	0,7337	0,6177	1
Средняя	115,83	0,1615	3,75	Средняя	23,77	115,83	0,570
	30,0303	0,1400	1,6836		7,2743	30,0303	0,1160

()
влияет на результат - среднегодовую
()
 стоимость основных фондов в экономике слабее, чем второй фактор
()
, т.к.

, а его теоретические значения

; ;и

 
и

объясняют 82,56% вариации среднегодовой стоимости основных фондов в экономике, а 17,44% его вариации определяется влиянием прочих факторов.

и

объясняют 84,72% стоимости валового регионального продукта, а 15,28% изменений зависят от прочих факторов
.

и

 для и

4. Теоретический анализ содержания взаимосвязи, отражённой в уравнении № 3, позволяет рассмотреть варианты возможной корректировки. Во-первых, из правой части может быть исключёна одна из экзогенных переменных. Скорее всего, ею может оказаться x4, так как по своему экономическому смыслу она менее тесно связана со среднемесячным душевым доходом населения региона.
Во-вторых, возможна корректировка путём исключения из правой части уравнения эндогенной переменной Y2.
При корректировке рабочей гипотезы путём удаления x3 уравнение №1 становится точно идентифицированным, а вся система – сверхидентифицированной.



5. Для поиска решений сверхидентифицированной системы уравнений применяются: а) косвенный метод наименьших квадратов (КМНК) для решения точно идентифицированных уравнений и б) двухшаговый МНК (ДМНК) для поиска решений сверхидентифицированных уравнений.

Задача №5.
По территориям Сибирского и Уральского федеральных округов России имеются данные о следующих показателях за 2000 год:

Y
₁ – стоимость валового регионального продукта, млрд. руб.

Y
₂ - розничный товарооборот, млрд. руб.

X
_{1 –} основные фонды в экономике, млрд. руб.

X
₂ - инвестиции в основной капитал, млрд. руб.

X
₃- среднедушевые денежные расходы за месяц, тыс. руб.
Изучения связи социально-экономических показателей предполагает проверку следующих рабочих гипотез:


Для их проверки выполнена обработка фактических данных и получена следующая система приведённых уравнений:


Задание:
1. Постройте систему структурных уравнений и проведите её идентификацию;

2. Проанализируйте результаты  решения приведённых уравнений;

3. Используя результаты построения приведённых уравнений, рассчитайте параметры структурных уравнений (косвенный МНК); проанализируйте результаты;

4. Укажите, каким образом можно применить полученные результаты для прогнозирования эндогенных переменных  и



         _{Решение:}



1. Построение системы структурных уравнений выполняется в соответствии с рабочими гипотезами:



2.В соответствии со счётным правилом оба уравнения и система в целом являются точно идентифицированными и это означает, что они имеют единственное решение, которое может быть получено косвенным МНК (КМНК).

Номер уравнения	Число эндогенных переменных в уравнении, H	Число экзогенных переменных из общего их списка, отсутствующих в уравнении, D	Сравнение параметров H и D +1	Решение об идентификации уравнения
1	2	1	2 = 1+1	точно идентифицировано
2	2	1	2 = 1+1	точно идентифицировано
Система уравнений в целом				точно идентифицирована

3. Процедура КМНК состоит в том, чтобы путём преобразования результатов решения приведённых уравнений получить искомые структурные уравнения. Используемый приём подстановок обеспечивает получение точных результатов только в том случае, если выполняемые преобразования точны и безошибочны. Чтобы получить первое структурное уравнение из первого, приведённого необходимо отсутствующий в структурном уравнении признак выразить через Y2, используя результаты второго приведённого уравнения. То есть:



После подстановки значения в первое приведённое уравнение и преобразования подобных членов, получаем следующий результат:



Как видим, полученный результат соответствует исходной рабочей гипотезе. Анализ показывает, что стоимость ВРП находится в прямой зависимости от розничного товарооборота, от размера инвестиций в экономику и от уровня среднедушевых расходов населения за месяц. Указанные переменные объясняют 94,4% вариации результата, а характеристики установленной зависимости являются статистически значимыми и надёжными, так как
для .
Следовательно, есть основания для отклонения нулевой гипотезы о случайной природе выявленной зависимости.Аналогично выполняем преобразования для определения параметров второго структурного уравнения. Выразим отсутствующий в уравнении через Y1, используя результаты построения первого приведённого уравнения. То есть:


После подстановки значения во второе приведённое уравнение и преобразования подобных членов, получаем следующий результат:





Уравнение описывает линейную зависимость розничного товарооборота от стоимости ВРП, основных фондов в экономике, от уровня среднедушевых расходов населения за месяц. Данный перечень переменных объясняет 96,3% вариации оборота розничной торговли, а соотношение

позволяет отклонить нулевую гипотезу о случайной природе выявленной зависимости.



4. Для выполнения прогнозных расчётов и наиболее простым является вариант, по которому прогнозные значения экзогенных переменных () подставляются в приведённые уравнения. Точность и надёжность прогнозов в этом случае зависит от качества приведённых моделей и от того, как сильно отличаются прогнозные значения экзогенных переменных от их средних значений.
Задача №6.
Имеются сведения о среднем размере земельного участка крестьянского (фермерского) хозяйства – N_t, га, за период с 1993 по 2001 год (на конец года) в Российской Федерации.

Годы	Nt	Годы	Nt
1993	42	1998	54
1994	44	1999	62
1995	47	2000	67
1996	48	2001	75
1997	50

Задание:
1. Постройте график фактических уровней динамического ряда - N_t

2. Рассчитайте параметры уравнения линейного тренда

3. Оцените полученные результаты:

-  с помощью показателей тесноты связи  ( r  и  r² );

-  значимость модели тренда (F -критерий);

-   качество модели через корректированную среднюю ошибку аппроксимации , а также через коэффициент автокорреляции отклонений от тренда -

4. Выполните прогноз до 2003 года, рассчитайте ошибки прогноза, доверительный интервал прогноза и оцените его точность.

5. Проанализируйте полученные результаты.
Решение:
1.Общее представление о форме основной тенденции в уровнях ряда даёт график их фактических значений. Для его построения введём  дополнительные обозначения для комплекса систематически действующих факторов, который по традиции обозначим через t и условно отождествим с течением времени.



2. Параметры рассчитаем с помощью определителей второго порядка, используя формулы, Расчёт определителя системы выполним по формуле:

Расчёт определителя свободного члена уравнения выполним по формуле:

Расчёт определителя коэффициента регрессии выполним по формуле:
                                                                                                                                       Расчёт параметров уравнения регрессии даёт следующие результаты:
; .                                                                                                                         В конечном счёте, уравнение линейного тренда имеет вид:


3.Для оценки тесноты связи рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:;                                                                                         Уравнение линейного тренда детерминирует 91,96% вариации численности занятых.

   Таблица№ 1.

Годы	Nt	t	t2	Nt*t	Nt расч .	DNt	(dNt)2
А	1	2	3	4	5	6	7	8
1993	42	1	1	42	38,533	3,467	12,018	6,380
1994	44	2	4	88	42,483	1,517	2,300	2,791
1995	47	3	9	141	46,433	0,567	0,321	1,043
1996	48	4	16	192	50,383	-2,383	5,680	4,387
1997	50	5	25	250	54,333	-4,333	,778	7,975
1998	54	6	36	324	58,283	-4,283	18,347	7,883
1999	62	7	49	434	62,233	-0,233	0,054	0,429
2000	67	8	64	536	66,183	0,817	0,667	1,503
2001	75	9	81	675	70,133	4,867	23,684	8,957
Итого	489	45	285	2682	489,000	0,000	81,850	41,350
Средняя	54,333	5	—	—	—	—	—	4,594
Сигма	10,635	2,582	—	—	—	—	—	—
Дисперсия, D	113,111	6,667	—	—	—	—	—	—

Средняя ошибка аппроксимации очень невелика (= 4,594%), что указывает на высокое качество модели тренда и возможность её использования для решения прогнозных задач.
Фактическое значение F-критерия и сравнение с 5,59 его табличного значения позволяет сделать вывод о высокой степени надёжности уравнения тренда.
Для дополнительной проверки качества тренда выполним расчёт коэффициента корреляции отклонений фактических уровней от рассчитанных по уравнению тренда. Если будет установлено отсутствие связи отклонений, это укажет на их случайную природу, то есть на то, что тренд выбран, верно, что он полностью исключил основную тенденцию из фактических уровней ряда и что он сформировал случайный значения отклонений.

Выполним расчёт в таблице. Поместим во второй графе фактические отклонения от тренда , для удобства расчёта обозначим их через Y. В соседней графе поместим эти же отклонения, но, сместив их относительно первой строки, на один год вниз; обозначим их через и рассмотрим в качестве фактора X. Линейный коэффициент корреляции отклонений рассчитаем по формуле:



Используем значения определителей второго порядка для расчёта коэффициента регрессии с1, который отражает силу связи отклонений и . Получены следующие значения определителей:



Отсюда . При этом, коэффициент корреляции отклонений составит:

     

В данном случае выявлена заметная связь, существенность которой подтверждает сравнение фактического и табличного значений F- критерия: . Следовательно, нулевая гипотеза о случайной природе отклонений может быть принята, отклонения не связаны между собой и являются случайными величинами.


  Таблица №2

	(Y)	(X)
	3,47	—	—	—
1	1,52	3,47	5,26	12,02
2	0,57	1,52	0,86	2,30
3	-2,38	0,57	-1,35	0,32
4	-4,33	-2,38	10,33	5,68
5	-4,28	-4,33	18,56	18,77
6	-0,23	-4,28	1,00	18,34
7	0,82	0,23	-0,19	0,05
8	4,87	0,82	3,98	0,67
Итого	-3,46	-4,86	38,44	58,16
Средняя	-0,49	-0,69	—	—
Сигма	3,13	2,81	—	—

4. При выполнении прогнозов на 2002 и 2003 годы подставим в уравнение прогнозные значения фактора, 10, 11, что позволяет получить прогнозные значения о среднем размере земельного участка крестьянского (фермерского) хозяйства: 24,38га, 23,36га.

 

Рассчитаем ошибки прогноза, доверительный интервал прогноза и оценим его точность.

Рассчитаем интегральную ошибку прогноза - , которая формируется как сумма двух ошибок: из ошибки прогноза как результата отклонения прогноза от уравнения регрессии - и ошибки прогноза положения регрессии - .

Ошибка положения регрессии составит:  = 0,267(га).
Интегральная ошибка прогноза составит:  =3,428 (га).
Предельная ошибка прогноза, которая не будет превышена в 95% возможных реализаций прогноза, составит:  = 2,37*3,428 = 8,124 ≈ 8,0 (га). Табличное значение t-критерия для уровня значимости α=0,05 и для степеней свободы n-k-1 = 9-1-1=7 составит 2,37. Следовательно, ошибка большинства реализаций прогноза не превысит га.
Это означает, что фактическая реализация прогноза будет находиться в доверительном интервале .

Верхняя граница доверительного интервала составит:
= 78,033 + 8,0 = 86,033(га).
Нижняя граница доверительного интервала составит:

 = 78,033 - 8,0 = 70,033(га).                                                                                           Относительная величина различий значений верхней и нижней границ составит: =1,23 раза. Это означает, что верхняя граница в 1,23 раза больше нижней границы, то есть точность выполненного прогноза достаточно велика и его надёжность на уровне 95% оценивается как высокая.
Задача №7.
Данные о стоимости экспорта () и импорта () Испании, млрд. $, приводятся за период с 1991 по 2000 г.

В уровнях рядов выявлены линейные тренды:

для экспорта -, а для импорта –

По указанным трендам произведено выравнивание каждого ряда, то есть рассчитаны теоретические значения их уровней: и

Годы	Экспорт ( )		Импорт ()
	E факт.	=	G факт. .
1991	60,2	57,5	93,3	82,3
1992	64,3	64,4	99,8	89,6
1993	59,6	71,4	78,6	97,0
1994	73,3	78,3	92,5	104,3
1995	91,7	85,3	115,0	111,7
1996	102,0	92,3	121,8	119,0
1997	104,1	99,2	122,7	126,4
1998	109,2	106,2	133,1	133,7
1999	110,0	113,1	144,0	141,1
2000	113,3	120,1	152,6	148,4

Предварительная обработка исходной информации привела к следующим результатам:

	Et	Pt	t
Et	1	0,5387	0,6468
Pt	0,5387	1	0,2454
t	0,6468	0,2454	1
Итого	887,7	1153,4	55
Средняя	88,8	115,3	5,5
	20,961	22,847	2,872

    Задание:
1. Для изучения связи рядов рассчитайте отклонения фактических значений каждого ряда от теоретических ( и );

2. Для оценки тесноты связи рассчитайте:

    - линейный коэффициент парной корреляции отклонений от линии тренда: ;

    - уровней рядов:  и

    - коэффициент частной корреляции уровней: ; поясните их значения, укажите причины различий значений парных коэффициентов корреляции (пп. 1 и 2) и схожести коэффициентов парной корреляции отклонений и частной корреляции уровней (пп.1 и 3);

3. Постройте уравнение множественной регрессии с участием временной составляющей:



4. Проанализируйте полученные результаты.
    Решение.
1. Изучение связи рядов выполним двумя способами, сравним их результаты и выберем из них правильный. Для оценки тесноты связи рядов через величины отклонений от оптимального тренда рассчитаем значения отклонений:  и  (см. табл. 1)

Годы	E факт.	=	G факт.
1991	60,2	57,5	93,3	82,3	2,7	11,0	29,7	7,3	121,0
1992	64,3	64,4	99,8	89,6	0,7	10,2	7,14	0,5	104,0
1993	59,6	71,4	78,6	97,0	-11,8	-18,4	217,1	139,2	338,6
1994	73,3	78,3	92,5	104,3	-5,0	-11,8	59	25,0	139,0
1995	91,7	85,3	115,0	111,7	6,4	3,3	21,1	41,0	10,9
1996	102,0	92,3	121,8	119,0	9,7	2,8	27,2	94,1	7,8
1997	104,1	99,2	122,7	126,4	4,9	-3,7	-18,1	24,0	327,6
1998	109,2	106,2	133,1	133,7	3,0	-0,6	-8,7	9,0	75,7
1999	110,0	113,1	144,0	141,1	-3,1	2,9	-9,0	9,6	81,0
2000	113,3	120,1	152,6	148,4	-6,8	4,2	-28,6	46,2	818,0
Итого	887,7	—	1153,4	—	0,7	-0,1	296,8	395,9	2023,6
Средняя	88,8	—	115,3	—	0,1	0,0	—	39,6	202,4
Сигма	21,0	—	22,8	—	6,3	8,7	—	—	—
D	439,4	—	522,0	—	39,6	76,2	—	—	—

Выполним расчёт коэффициента корреляции отклонений от трендов через коэффициент регрессии  отклонений с₁,   и .  Но для этого предварительно рассчитаем определители второго порядка по уравнению регрессии отклонений: .









В силу того, что свободный член уравнения регрессии отклонений равен нулю, вид уравнения будет отличаться от традиционного:. С изменением отлонений импорта от своего тренда  на единицу отклонения экспорта от своего тренда изменятся в том же направлении на -0,02 часть своей единицы. В дальнейшем коэффициент с₁  используется для расчёта показателей тесноты связи двух рядов отклонений:

 

Выявлена тесная связь отклонений от трендов, которая означает, что на 58% вариация размеров отклонений по импорту детерминирует  изменения по экспорту, а  на 42% вариация размеров отклонений происходит под влиянием прочих факторов.

Второй вариант оценки связи двух рядов основан на традиционной оценке корреляции их уровней:



Данный подход к решению задачи предполагает традиционный расчёт определителей уравнения регрессии уровней, нахождение коэффициента регрессии а₁ и далее с помощью  и  расчёт коэффициента корреляции. Информация для расчёта представлена в табл. 2.

Расчёт определителей дал следующие результаты:







Значения параметров регрессии: ;   , а уравнение имеет вид:

.

Коэффициенты тесноты связи уровней составят:; . Это значит, что в уровнях существует весьма тесная связь, при которой вариации импорта предопределяет 28,8% вариации экспорта.

Годы
1991	60,2	93,3	3624,04	8704,89	5616,66
1992	64,3	99,8	4134,49	9960,04	6417,14
1993	59,6	78,6	3552,16	6177,96	4684,56
1994	73,3	92,5	5372,89	8556,25	6780,25
1995	91,7	115,0	8408,89	13225,00	10545,50
1996	102,0	121,8	10404,00	14835,24	12423,60
1997	104,1	122,7	10836,81	15055,29	12773,07
1998	109,2	133,1	11924,64	17715,61	14534,52
1999	110,0	144,0	12100,00	20736,00	15840,00
2000	113,3	152,6	12836,89	13286,76	17289,58
Итого	887,7	1153,4	83194,81	128253,04	106904,88
Средняя	88,8	115,3
Сигма	21,0	22,8
D	439,4	522,0

2. Однако, делать подобный вывод было бы глубоко ошибочно потому, что в уровнях и одного, и другого рядов выявлены устойчивые, статистически значимые линейные тренды. В подобных условиях выявленное взаимодействие уровней не является причинной зависимостью, а представляет собой ложную связь, вызванную наличием трендов схожей линейной формы. В силу того, что оба тренда сформированы под влиянием разного комплекса факторов, схожесть их формы могут создавать иллюзию связи рядов. Подобные соображения позволяют отказаться от результатов  изучения связи уровней, содержащих тренд. В подобной ситуации пристального внимания заслуживает связь случайных отклонений от трендов. Именно этот подход позволяет выявить и количественно оценить истинную связь рядов.

В действительности связь рядов существует, оценивается она как тесная; то есть, в ней экспорт на 58% детерминирован вариацией импорта. Фактический F-критерий равен 0,050. Это больше табличного (F

_табл
.=5,32), что доказывает надёжность и значимость истинной связи рядов.

3. Для формализованного представления подобных зависимостей и использования моделей связи динамических рядов в прогнозных расчётах предлагается построить множественную регрессионную модель связи рядов, включая в неё в качестве обязательной составляющей фактор времени t. Речь идёт о построении модели следующего вида: .  В данной задаче в уровнях обоих рядов присутствует линейный тренд. Поэтому включение в модель фактора времени позволит через коэффициент а₂   отразить наличие линейного тренда в уровнях обоих рядов.  Если в уровнях рядов представлены тренды иной, более сложной формы, тогда уравнение множественной регрессии должно через фактор времени отразить эту более сложную форму трендов.

Истинную силу и направление связи рядов отразит коэффициент регрессии а₁  , а тесноту их связи оценит частный коэффициент корреляции: .

Используем для расчёта параметров множественной регрессии матрицу парных коэффициентов корреляции, представленную в исходных данных.

Для построения уравнения в стандартизованном масштабе:  рассчитаем значения -коэффициентов:





Получено следующее уравнение: .

Его параметры позволяют сделать вывод о том, что влияния импорта на экспорт почти в четыре раза сильнее, чем влияние систематических факторов, формирующих линейный тренд:

По значениям -коэффициентов рассчитаем параметры множественной регрессии в естественной форме: ;  

.

Уравнение имеет вид:. С увеличением импорта на 1 млрд. $ экспорт увеличивается на 0,895 млрд.$; под влиянием комплекса систематических факторов (которые условно обозначили через t
) экспорт увеличивается в среднем за год на 2,65 млрд. $.

Оценку тесноты связи рядов, очищенную от влияния комплекса систематических факторов, даёт частный коэффициент корреляции:

;    .

Как видим, получены результаты, совпадающие с оценками тесноты связи по отклонениям от лучших трендов, которыми, в данном случае, являются линейные тренды.

Использование динамической модели в прогнозе заключается в подстановке в её правую часть прогнозных значений фактора Z и  фактора t. То есть,