Контрольная работа по Общей теории систем и системный анализ

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Имя

Выберите тип работы:

Курсовая работа Дипломная работа Контрольная работа Реферат Отчет по практике Эссе Доклад Решение задач Научно-исследовательская работа Монография Аспирантский реферат Магистерская работа Научная статья Публикация статьи в ВАК Публикация статьи в Scopus Дипломная работа MBA Бизнес-план Тест/экзамен online Чертеж Рецензия

Принимаю Политику конфиденциальности

Продолжить

Скидка 25% при заказе до 23.11.2024

ВВЕДЕНИЕ

    – множество элементов, входящих в систему;

    – множество элементов, выходящих из системы.

1.       Определения и сокращения

2.       Построение оптимальных систем

3.       Проблема поликритериальности и конкуренции многих целей

3.1  Принятие решений на основе количественной информации об относительной важности критериев

Прежде всего, должен быть задан набор решений, из которого следует осуществлять выбор. Обозначим его  и будем называть множеством возможных решений. Природа самих решений при этом не играет никакой роли; это могут быть проектные решения, варианты поведения, политические или экономические стратегии и т.д.

Собственно выбор (или принятие) решений состоит в указании среди всех возможных такого решения, которое объявляется выбранным (наилучшим, или оптимальным), хотя в некоторых случаях происходит выбор не одного, а целого набора решений, являющегося определенным подмножеством множества возможных решений .

Обозначим множество оптимальных (выбранных) решений . Оно и представляет собой решение задачи выбора. Решить задачу выбора – означает найти множество , являющееся определенным подмножеством множества возможных решений, т.е.  (см. рисунок 1). В частности,  может быть и одноэлементным множеством.

4.       Практические подходы к решению задачи синтеза сложных систем методами векторной оптимизации (ранжирование целей, использование целей в качестве ограничений, Паретооптимальные решения)

4.1   Методы безусловной и условной оптимизации

4.2   Задача 1.

где

4.3   Задача 1

в точках   решения уравнений (1).

4.4   Задача 2.

Найти стороны прямоугольника максимальной площади, вписанного в круг: . Площадь А прямоугольника можно записать в виде: А = 4ху, тогда

4.5   Задача 3.

4.6   Задача 3а.

4.7   Симплекс-метод

4.8   Транспортная задача.

Пусть в пунктах  находятся склады, в которых хранятся товары в количестве соответственно. В пунктах  находятся потребители, которым необходимо поставить эти товары в количествах соответственно. Обозначим cij стоимость перевозки единицы груза между пунктами

Исследуем операцию перевозки потребителями товаров в количествах, достаточных, чтобы удовлетворить потребности потребителей. Обозначим через  количество товара, перевозимого из пункта аi в пункт bj.

Тогда задача о перевозках формулируется как задача линейного программирования: определить величины , удовлетворяющие ограничениям (13), (14) и доставляющие функции (15) минимальное значение. Ограничение (14) – это условие баланса; условие (13) можно назвать целью операции, ибо смысл операции в том и состоит, чтобы обеспечить запросы потребителей.

ограничениям (13), (14). Если  (то есть суммарные потребности не совпадают с суммарными запасами продуктов на складах), то вводится в рассмотрение фиктивный пункт потребления  или фиктивный склад  со стоимостью перевозок, равными нулю. Для новой задачи суммарное количество товаров на складах совпадает с суммарной их потребностью. Затем каким-нибудь методом (например, наименьшего элемента или северо-западного угла) находится первоначальный план. На следующем шаге процедуры полученного плана строится система специальных характеристик – потенциалов. Необходимым и достаточным условием оптимального плана является его потенциальность. Процедура уточнения плана производится до тех пор, пока он не станет потенциальным (оптимальным).

4.9   Задача 3б.

Для решения этой задачи используются так называемые релаксационные методы. Процесс построения последовательности точек  называется релаксационным, если:

4.10                Методы спуска (общая схема).

где в качестве величины  выбирают любое число, удовлетворяющее неравенству

где число  – любое такое число, когда  

4.11                Метод градиентного спуска.

Поскольку антиградиент –  указывает направление наискорейшего убывания функции f(x), то естественным является перемещение из точки хk по этому направлению. Метод спуска, в котором  называется методом градиентного спуска. Если , то релаксационный процесс называется методом скорейшего спуска.

4.12                Метод сопряженных направлений.

В линейной алгебре этот метод известен как метод сопряженных градиентов решения систем линейных алгебраических уравнений АХ=b, а следовательно, как метод минимизации квадратичной функции

Если  = 0, то эта схема превращается в схему метода скорейшего спуска. Соответствующий выбор величины tk гарантирует сходимость метода сопряженных направлений со скоростью того же порядка, что и в методах градиентного спуска и обеспечивает конечность числа итераций в квадратичном спуске (например ).

4.13                Покоординатный спуск.

где  координатный вектор

На начальном этапе процесса минимизации можно использовать метод циклического покоординатного спуска, когда сначала спуск осуществляется по направлению е1, затем по е2 и т. д. вплоть до еп, после чего весь цикл повторяется снова. Более перспективным по сравнению с предыдущим является покоординатный спуск, в котором направления спуска выбираются случайным образом. При таком подходе к выбору направления существуют априорные оценки, гарантирующие для функции f(x) с вероятностью, стремящейся к единице при , сходимость процесса со скоростью порядка 0(1/m).

4.14                Метод случайного спуска.

На n-мерной единичной сфере с центром в начале координат выбирается случайная точка sk, подчиняющаяся на этой сфере равномерному распределению, и затем по вычисленному на k-м шаге процесса элементу хк определяется :

4.15                Релаксационные методы математического программирования.

4.16                Метод условного градиента.

В этом методе идея выбора направления спуска состоит в следующем: в точке хк линеаризуют функцию f(x), строя линейную функцию  и затем, минимизируя f(x) на множестве х, находят точку yk. После этого полагают  и далее вдоль этого направления осуществляют спуск , так, чтобы

4.17                Метод возможных направлений.

X называется возможным, если существует такое число , что  для всех . Для нахождения возможного направления необходимо решить задачу линейного программирования, либо простейшую задачу квадратичного программирования:

Пусть  – решение этой задачи. Условие (24) гарантирует, что направление – – возможное. Условие (25) обеспечивает максимальность величины (, то есть среди всех возможных направлений – s, направление –обеспечивает самое быстрое убывание функции f(x). Условие (26) избавляет от неограниченности решения задачи. Метод возможных направлений устойчив к возможным вычислительным ошибкам. Однако скорость его сходимости оценить в общем случае сложно и эта задача пока остается нерешенной.

4.18                Метод случайного поиска.

На n-мерной единичной сфере с центром в начале координат выбирается случайная точка rk, подчиняющаяся на этой сфере равномерному распределению, и затем направление спуска – sk из условий  ,

В качестве начального приближения выбирается  . По вычисленной на каждой итерации точке xk строится (k + 1)-я точка xk+1:

В качествевыбирается любое число из  = , удовлетворяющее неравенству:

4.19               Векторный критерий и отношение предпочтения

Обычно считается, что оптимальным является такое возможное решение, которое наиболее полно удовлетворяет желаниям, интересам или целям ЛПР. Стремление ЛПР достичь определенной цели нередко удается в математических терминах выразить в виде максимизации (или минимизации) некоторой числовой функции, заданной на множестве

Нижеследующее рассмотрение посвящено ситуации, когда имеется несколько числовых функций ,

, определенных на множестве . В зависимости от содержания задачи выбора эти функции называют критериями оптимальности, критериями эффективности, целевыми функциями, показателями или критериями качества.

Проиллюстрируем введенные термины, рассмотрев задачу выбора наилучшего проектного решения. В этой задаче множество  состоит из нескольких конкурсных проектов (например, строительства нового предприятия), а критериями оптимальности могут служить стоимость реализации проекта  и величина прибыли , которую обеспечит данное проектное решение (т.е. построенное предприятие). Если ограничить рассмотрение данной задачи лишь одним критерием оптимальности, практическая значимость решения такой задачи окажется незначительной. В самом деле, при использовании только первого критерия будет выбран самый дешевый проект, но его реализация может привести к недопустимо малой прибыли. С другой стороны, на строительство самого прибыльного проекта, выбранного на основе второго критерия оптимальности, может просто не хватить имеющихся средств. Поэтому в данной задаче необходимо учитывать оба указанных критерия одновременно. Если же дополнительно стараться минимизировать нежелательные экологические последствия строительства и функционирования предприятия, то к двум указанным следует добавить еще один – третий критерий и т.д. Что касается ЛПР, осуществляющего выбор проекта, то в данной задаче таковым является глава администрации района, на территории которого будет построено предприятие, при условии, что это предприятие является государственным. Если же предприятие – частное, то в качестве ЛПР выступает глава соответствующей фирмы.

Указанные выше числовые функции  образуют векторный критерий

который принимает значения в -мерном арифметическом пространстве . Это пространство называют критериальным пространством или пространством оценок, а всякое значение  векторного критерия  при определенном  именуют векторной оценкой возможного решения . Все векторные оценки образуют в пространстве  множество возможных оценок

.

Задачу выбора, содержащую множество возможных решений  и векторный критерий , обычно называют многокритериальной задачей.

Предположим, что данные компоненты задачи выбора сформированы, четко описаны и зафиксированы. Опыт показывает, что в терминах критерия  чаще всего не удается выразить всю гамму «пристрастий», «вкусов» и предпочтений данного ЛПР. С помощью векторного критерия лишь намечаются определенные цели, которые нередко оказываются весьма противоречивыми. Эти цели одновременно, как правило, достигнуты быть не могут, и поэтому требуется определенная дополнительная информация для осуществления компромисса. Иначе говоря, если ограничиться лишь указанными выше двумя компонентами – множеством возможных решений и векторным критерием, то задача выбора оказывается «недоопределенной». Эта «недоопределенность» сказывается затем в слабой логической обоснованности выбора оптимального решения на основе векторного критерия. Многочисленные процедуры выбора (процедуры построения множества ), предлагаемые в литературе по принятию решений, основанные лишь на знании векторного критерия, как правило, содержат элементы эвристики, и потому не имеют строгого логического обоснования.

Рассмотрим два возможных решения  и . Предположим, что после предъявления ЛПР этой пары решений, оно выбирает (отдает предпочтение) первому из них. В этом случае пишут

Знак  служит для обозначений предпочтений данного ЛПР и называется отношением строгого предпочтения, или короче – отношением предпочтения.

Следует отметить, что не всякие два возможных решения  и  связаны соотношением , либо соотношением . Иначе говоря, не из любой пары решений ЛПР может сделать окончательный выбор. Вполне могут существовать такие пары, что ЛПР не в состоянии отдать предпочтение какому-то одному решению этой пары, даже если это

Прежде всего, следует напомнить, что отношение предпочтения  по своей сути является отношением строгого предпочтения в том смысле, что выполнение соотношения  невозможно ни для какого возможного решения , поскольку ни одно решение не может быть лучше самого себя.

Рассмотрим ситуацию, когда первое решение предпочтительнее второго, а оно, в свою очередь, предпочтительнее некоторого третьего решения. В таком положении здравомыслящий человек при сравнении первого и третьего решения всегда выберет первое. Здесь происходит то же самое, что и при сравнении чисел с помощью строгого неравенства >. Например, если  и , то непременно выполнено . В терминах возможных решений это может быть сформулировано следующим образом: для любой тройки возможных решений  из выполнения соотношений  и  обязательно следует справедливость соотношения . Это свойство отношения предпочтения называют свойством транзитивности. Далее будем предполагать, что отношение предпочтения  обладает свойством транзитивности.

4.20               Множество недоминируемых решений

·        множество возможных решений

·        векторный критерий  вида (27)

·        отношение предпочтения .

Как указано выше, решение задачи многокритериального выбора заключается в отыскании множества оптимальных решений . Выясним, каким образом сведения об отношении предпочтения могут быть использованы в процессе решения задачи многокритериального выбора.

Рассмотрим два произвольных возможных решения  и . Для них имеет место один и только один из следующих трех случаев:

·        справедливо соотношение , а соотношение  не выполняется;

·        справедливо соотношение , а соотношение  не выполняется;

·        не выполняется ни соотношение , ни соотношение .

Следует заметить, что четвертый случай, когда оба участвующих здесь соотношения  и  выполняются, невозможен, поскольку из этих соотношений благодаря транзитивности отношения  сразу вытекает противоречие .

При выполнении соотношения  (т.е. в первом случае) говорят, что решение  доминирует решение , или что  доминируется решением.

не существует , такого, что

.

4.21               Множество Парето^[1]

Вернемся к задаче многокритериального выбора. В ней кроме множества возможных решений

 и отношения предпочтения

 присутствует также векторный критерий

. Компонента

 векторного критерия характеризует определенную цель ЛПР, а стремление достичь этой цели в математических терминах выражается в максимизации или минимизации этой компоненты на множестве

. Для определенности всюду далее будем считать, что ЛПР заинтересовано в получении по возможности бóльших значений каждой компоненты

Выбрав произвольное возможное решение  и вычислив значение векторного критерия  на этом решении, получим набор  чисел, образующий векторную оценку  данного решения . Таким образом, каждое возможное решение имеет свою собственную векторную оценку.

Теперь рассмотрим два произвольных возможных решения  и  вместе с соответствующими им оценками  и . Допустим, что эти оценки связаны соотношением

которое означает справедливость покомпонентных неравенств

для всех номеров , причем , т.е. хотя бы для одного номера  верно строгое неравенство

Выполнение неравенства (29) означает, что по всем компонентам первая векторная оценка «не хуже» (точнее говоря, не меньше) второй векторной оценки, причем, по крайней мере, какая-та одна компонента первой оценки «лучше» (строго больше) соответствующей компоненты второй оценки. Поскольку, как принято выше, ЛПР заинтересовано в достижении максимального возможного значения по каждому критерию, то в имеющейся ситуации ЛПР из двух представленных ему на выбор решений  и  явно выберет первое.

Иначе говоря, стремление ЛПР максимизировать каждую компоненту векторного критерия можно выразить в терминах следующего требования: отношение предпочтения  и векторный критерий  подчиняются аксиоме Парето, т.е. всякий раз из выполнения неравенства (29) следует справедливость соотношения :

обозначается  и определяется равенством

 =  не существует , такого, что .

Установим теперь взаимосвязь между недоминируемыми и парето-оптимальными решениями. Если решение  не является парето-оптимальным, то для некоторого возможного решения  выполнено неравенство (3). Согласно аксиоме Парето отсюда следует, что , а значит,  – доминируемое решение. Таким образом, всякое решение, не являющееся парето-оптимальным, – доминируемое. Отсюда следует, любое недоминируемое решение должно быть парето-оптимальным. На теоретико-множественном языке этот факт можно выразить в виде включения . С учетом (28) отсюда получаем следующую связь между введенными выше множествами:

В результате формализации конкретных практических задач выбора становятся известными множество возможных решений  и векторный критерий . Знание векторного критерия и множества возможных решений позволяет найти множество Парето (решений и/или оценок). К настоящему времени свойства множества Парето изучены достаточно подробно, разработаны методы и алгоритмы его построения и все специалисты в области принятия решений единодушно полагают, что наилучшие решения многокритериальной задачи следует искать именно среди множества Парето. Поэтому построение множества Парето нередко считают первым необходимым шагом в решении любой многокритериальной задачи.

Из рассмотрения простых примеров следует, что множество парето-оптимальных решений в одном крайнем случае может состоять из одного-единственного элемента, а в другом – каждое возможное решение будет парето-оптимальным. Если парето-оптимальное решение единственно, то в такой задаче оптимальным может быть только это парето-оптимальное решение. В общем случае, чем ýже множество Парето, тем более простым представляется последующее нахождение множества . Однако, практика показывает, что в реальных задачах множество Парето оказывается достаточно широким и его построение полностью не решает задачу принятия решений. Необходимы методы, которые позволили бы сузить область дальнейшего поиска оптимальных решений. Именно такого рода метод разработан в рамках теории относительной важности критериев.

4.22               Начальные понятия теории относительной важности критериев

На примере задачи выбора с тремя критериями (

) рассмотрим следующие две оценки

 и

. Оценка

 по первому критерию «лучше» оценки

 (так как 4 > 2), а по второму критерию – «хуже» (1 < 2), тогда как по третьему критерию данные оценки равнозначны. Тем самым, при переходе от оценки

 к оценке

. Спрашивается, каким образом можно объяснить сделанный ЛПР выбор? Почему ЛПР предпочло добавить две единицы по первому критерию, несмотря на потерю одной единицы по второму критерию?

Приведенные выше рассуждения для трехмерных оценок ведут к следующим общим определениям, в которых для множества номеров критериев принято обозначение .

-й критерий  является более важным, чем

-й критерий  (

положительными числовыми параметрами  и ,

если для всех , таких, что

   для всех , кроме  и ,

выполняется соотношение .

Заметим, что в данном определении присутствует отношение предпочтения , связанное с ЛПР. У каждого ЛПР свое собственное отношение предпочтения, а значит, если для одного ЛПР

-го с положительными параметрами  (). Число

-м; и наоборот, чем ближе  к 0, тем меньше указанная степень важности. В «среднем» случае  ЛПР для получения «прибавки» по

 единиц готово пожертвовать тем же количеством  по

-у критерию. Подобным образом можно дать интерпретацию любого числового значения коэффициента .

-го критерия с коэффициентом относительной важности

4.23               Использование информации об относительной важности критериев в процессе принятия решений

-го с коэффициентом относительной важности . Спрашивается, каким образом учесть эту дополнительную информацию о критериях в процессе принятия решений?

Вспомним установленное ранее включение (30), из которого следует, что наилучшие решения находятся среди парето-оптимальных. После того, как ЛПР дополнительно сообщило указанную информацию об относительной важности критериев, можно надеяться, что с помощью этой информации будет построено более узкое множество, ограничивающее , чем . Иными словами, дополнительная информация позволит удалить из множества Парето  какие-то заведомо «негодные» решения и, тем самым, сузить область дальнейшего поиска множества оптимальных решений.

Действительно, при достаточно общих предположениях относительно  имеет место следующий результат.

-го с коэффициентом относительной важности  

(). Тогда для вектор-функции  вида

                                     для всех , кроме ,

В соответствии с приведенной теоремой учет указанной количественной информации об относительной важности критериев производится следующим образом. Сначала менее важный критерий  в наборе критериев  заменяется новым

, вычисленным в соответствии с формулой (31). Тем самым, образуется новый векторный критерий . Затем с помощью известных методов и алгоритмов находится множество Парето  относительно векторного критерия . Если это множество оказывается достаточно узким (в том смысле, что все решения, входящие в него, практически одинаково предпочтительны для ЛПР), то в качестве наилучшего выбирается любое решение из . В противном случае следует попытаться получить от ЛПР новую дополнительную информацию об относительной важности какой-то другой пары критериев и учесть ее, построив еще более узкое множество, чем  и т.д.

Пример.

Проиллюстрируем сказанное простым примером. Для этого обратимся к описанной ранее задаче выбора наилучшего проектного решения.

Пусть имеется, скажем, три проекта, которыехарактеризуются следующими данными: стоимость строительства первого проекта составляет 15, второго – 13 и третьего – 10 млн. руб., а планируемая среднегодовая прибыль построенных предприятий равна 5, 3 и 2 млн. руб., соответственно.

Этой задаче отвечает следующая модель многокритериального выбора:,, где  , . Заметим, что первые компоненты векторов оценок получили отрицательные значения, так как критерий  (стоимость проекта) подлежит минимизации.

Легко видеть, что в данном случае . Предположим, что ЛПР стеснено в средствах, и поэтому считает первый критерий важнее второго с коэффициентом относительной важности . В соответствии с приведенной выше теоремой

,      .

Тогда нетрудно вычислить , , . Следовательно, , так как  > ,  > , и в соответствии с (6) получаем

Отсюда следует, что оптимальным может быть лишь третье решение.

5.       Адаптивность как свойство реальных сложных систем

5.1  Саморегулирование систем

5.2  Самоорганизующиеся системы.

6.       Принцип удовлетворения Месаровича

7.       Классификация целей организаций и индивидов

7.1  Значение целей в деятельности организации.

7.2  Функции целей организации.

7.3  Типы целей в организации.

7.4  Показатели успешной деятельности организации

7.5  Классификация во временной области.

7.6  Построение дерева целей.

8.       Стратегические цели

В общем виде цели организации представляют собой определенные результаты и итоги, которые необходимо достичь в заданные сроки для реализации стратегического видения организации. Их формулировка позволяет перевести теоретическую часть — выработку стратегического видения — в плоскость практического применения.

Цели формируются во всех сферах деятельности организации, где важен результат. А.А. Томпсон и А.Дж. Стрикленд выделяют в качестве основных две такие области — финансовуюи стратегическую. Достижение приемлемых финансовых показателей жизненно необходимо, т.к. в противном случае состояние организации вызовет беспокойство у кредиторов и акционеров, что плохо скажется на финансировании новых инициатив и поставит под угрозу само существование организации. Достижение стратегических целей необходимо для укрепления конкурентоспособности и положения компании на рынке в долгосрочной перспективе. Примеры общих формулировок финансовых и стратегических целей организации представлены в таблице 1.

Таблица 1

Общие формулировки финансовых и стратегических целей организации

Финансовые цели организации	Стратегические цели организации
Рост доходов	Увеличение доли рынка
Рост прибыли	Сокращение периода от разработки до выведения на рынок нового товара
Увеличение дивидендов	Превосходство над конкурентами по качеству товаров
Повышение рентабельности	Превосходство над конкурентами по издержкам
Увеличение собственного капитала	Лидерство по имиджу
Увеличение активов	Лидерство по технологиям

Формулировки целей организации должны содержать количественные или измеримые показатели, которых необходимо достичь, а также время их достижения. Это позволяет:

·        избежать распыления усилий;

·        определить действия, необходимые для реализации стратегических решений;

·        выделить показатели, по которым можно судить о производительности и развитии компании.

Пример:

Компания «Motorola» (стратегическая цель)

В течение полугода увеличить долю рынка на 5% за счет снижения цены аппарата и создания разветвленной сети продажи предоплаченных телефонных карт.

Корпорация «Ford» (финансовая цель)

Достичь в течение года роста рентабельности собственного капитала — на 20—25%, привлеченного капитала — не ниже 27%.

В зависимости от времени достижения цели организации можно разделить на две категории:

1) краткосрочные цели организации направлены на достижение текущих улучшений и результатов, их успешная реализация способствует достижению долгосрочных целей;

2) долгосрочные цели организации — на укрепление положения фирмы и улучшение показателей ее работы в долгосрочной перспективе.

Цели формулируются как для организации в целом (общие цели), так и для отдельных ее подразделений. При этом очень важно, чтобы они были тщательно согласованы между собой.

Цели должны быть сформулированы таким образом, чтобы их достижение требовало напряжения сил всех работников организации. При этом возможно, чтобы на начальном этапе цели обеспечивали хотя бы незначительное увеличение производительности. Впоследствии они должны устанавливаться на уровне, позволяющем значительно улучшить положение организации относительно ее ближайших конкурентов и требующем максимально полной мобилизации внутреннего потенциала.

9.       Алгоритм поиска компромиссов

Примером алгоритма поиска компромиссов является сортировка подсчётом

Сортировка подсчётом — алгоритм сортировки, в котором используется диапазон чисел сортируемого массива (списка) для подсчёта совпадающих элементов. Применение сортировки подсчётом целесообразно лишь тогда, когда сортируемые числа имеют (или их можно отобразить в) диапазон возможных значений, который достаточно мал по сравнению с сортируемым множеством, например, миллион натуральных чисел меньших 1000. Эффективность алгоритма падает, если при попадании нескольких различных элементов в одну ячейку, их надо дополнительно сортировать. Необходимость сортировки внутри ячеек лишает алгоритм смысла, так как каждый элемент придётся просматривать более одного раза.

Предположим, что входной массив состоит из n целых чисел в диапазоне от 0 до k − 1, где . Далее алгоритм будет обобщён для произвольного целочисленного диапазона. Существует несколько модификаций сортировки подсчётом, ниже рассмотрены три линейных и одна квадратичная, которая использует другой подход, но имеет то же название.

9.1  Простой алгоритм

Это простейший вариант алгоритма. Создать вспомогательный массив Count[0..k - 1], состоящий из нулей, затем последовательно прочитать элементы входного массива A, для каждого A[i] увеличить Count[A[i]] на единицу. Теперь достаточно пройти по массиву Count[], для каждого в массив A последовательно записать число j Count[j] раз. Введение дополнительного массива Count2, обусловленно тем, что при расстановке значений позиций, ещё не использованные данные затираются новыми.

Proc SimpleCountingSort

 For i=0 to k-1 do

   Count[i]=0;

 For i=0 to n-1 do

   Count[A[i]]=Count[A[i]]+1;

 For i=0 to k-1 do

   Count2[i]:=Count[i];

 Sum=0;

 For i=1 to k-1 do

 Begin

   Sum=Sum+Count2[i-1];

   Count[i]=Sum;

 End;

 For i=0 to n-1 do

 Begin

   c=A[i];

   B[Count[c]]=c;

   Count[c]=Count[c]+1;

 End;

EndProc

9.2  Алгоритм со списком

Этот вариант (англ. pigeonhole sorting, count sort) используется, когда на вход подается массив структур данных, который следует отсортировать по ключам (key). Нужно создать вспомогательный массив C[0..k - 1], каждый C[i] в дальнейшем будет содержать список элементов из входного массива. Затем последовательно прочитать элементы входного массива A, каждый A[i] добавить в список C[A[i].key]. В заключении пройти по массиву C, для каждого в массив A последовательно записывать элементы списка C[j]. Алгоритм устойчив.

ListCountingSort

    for i = 0 to k - 1

        C[i] = NULL;

    for i = 0 to n - 1

        C[A[i].key].add(A[i]);

    b = 0;

    for j = 0 to k - 1

        p = C[j];

        while p != NULL

            A[b] = p.data;

            p = p.next();

            b = b + 1;

9.3  Устойчивый алгоритм

В этом варианте помимо входного массива A потребуется два вспомогательных массива — C[0..k - 1] для счётчика и B[0..n - 1] для отсортированного массива. Сначала следует заполнить массив C нулями, и для каждого A[i] увеличить C[A[i]] на 1. Далее подсчитывается число элементов меньше или равных текущему. Для этого каждый C[j], начиная с C[1], увеличивают на C[j - 1]. На последнем шаге алгоритма читается входной массив с конца, значение C[A[i]] уменьшается на 1 и в каждый B[C[A[i]]] записывается A[i]. Алгоритм устойчив.

StableCountingSort

    for i = 0 to k - 1

        C[i] = 0;

    for i = 0 to n - 1

        C[A[i]] = C[A[i]] + 1;

    for j = 1 to k - 1

        C[j] = C[j] + C[j - 1];

    for i = n - 1 to 0

        C[A[i]] = C[A[i]] - 1;

        B[C[A[i]]] = A[i];

9.4  Обобщение на произвольный целочисленный диапазон

Возникает несколько вопросов. Что делать, если диапазон значений (min и max) заранее не известен? Что делать, если минимальное значение больше нуля или в сортируемых данных присутствуют отрицательные числа? Первый вопрос можно решить линейным поиском min и max, что не повлияет на асимптотику алгоритма. Второй вопрос несколько сложнее. Если min больше нуля, то следует при работе с массивом C из A[i] вычитать min, а при обратной записи прибавлять. При наличии отрицательных чисел нужно при работе с массивом C к A[i] прибавлять |min|, а при обратной записи вычитать.

Анализ

В первых двух алгоритмах первые два цикла работают за Θ(k) и Θ(n), соответственно; двойной цикл за Θ(n + k). В третьем алгоритме циклы занимают Θ(k), Θ(n), Θ(k) и Θ(n), соответственно. Итого все три алгоритма имеют линейную временную трудоёмкость Θ(n + k). Используемая память в первых двух алгоритмах равна Θ(k), а в третьем Θ(n + k).

9.5  Квадратичный алгоритм сортировки подсчётом

Также сортировкой подсчётом называют немного другой алгоритм. В нём используются входной массив A и вспомогательный массив B для отсортированного множества. В алгоритме следует для каждого элемента входного массива A[i] подсчитать количество элементов меньших него c1 и количество элементов, равных ему, но стоящих ранее c2 (c = c1 + c2). B[c] присвоить A[i]. Алгоритм устойчив.

SquareCountingSort

    for i = 0 to n - 1

        c = 0;

        for j = 0 to n - 1

            if A[j] < A[i]

                c = c + 1;

        for j = 0 to i - 1

            if A[i] == A[j]

                c = c + 1;

        B[c] = A[i];

Анализ


Очевидно, временная оценка алгоритма равна Θ(n2), память Θ(n).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Необходимым условием возможности использования многокритериального подхода является измерение эффективности пути в одинаковых единицах или наличие способа приведения к этому условию.

Процесс управления сложными иерархическими многоуровневыми системами невозможен без применения информации, которая не может быть выражена количественно. Это семантическая информация, не имеющая количественного выражения, но обладает определенным количественным смыслом.

Критерии эффективности. При реализации систем управления весьма важным вопросом является выбор критерия их эффективности. Под критерием эффективности понимается степень достижения целей системой управления.

Многокритериальные оценки эффективности – независимые, самостоятельные критерии эффективности.

Необходимым условием возможности использования многокритериального подхода является измерение эффективности пути в одинаковых единицах или наличие способа приведения к этому условию.

При принятии решений выработка рационального (оптимального) решения является результатом реализации объективного аналитического процесса.

В процессе реализации рационального подхода к принятию решений решаются задачи поиска, распознавания, классификации, упорядочения и выбора. Для этого могут применяться различные математические методы и модели с целью рационализации (оптимизации) выходных результатов. В целях оказания помощи при подготовке решений могут привлекаться эксперты.

Многокритериальные оценки эффективности – независимые, самостоятельные критерии эффективности. Для многих сложных систем управления выбрать критерии эффективности первого и второго рода, представляющие собой скалярные критерии, не представляется возможным. В этом случае используются векторные критерии, обеспечивающие выбор функций управления, оптимальных по Парето. Множество функций управления, оптимальных по Парето, включают в себя фактически не сравнимые по скалярным критериям функции управления, то есть такие, о которых нельзя сказать, какие из них являются наилучшими.

В этом случае применяются многокритериальные оценки эффективности систем управления с выделением наиболее лучших и наименее эффективных функций управления.

Эта многоплановость реальной жизни имеет важные последствия для системного анализа. С одной стороны, системный анализ имеет междисциплинарный характер. Системный аналитик привлекает к исследованию системы данные из любой отрасли знаний, привлекает экспертов любой специальности, если этого потребуют интересы дела. С другой стороны, перед ним встает неизбежный вопрос о допустимой минимизации описания явления.

Начиная с некоторого уровня сложности, систему легче изготовить и ввести в действие, преобразовать и изменить, чем отобразить формальной моделью, поскольку имеется принципиальная ограниченность формализованного описания развивающихся самоорганизующихся систем.

В соответствии с гипотезой фон Неймана простейшим описанием объекта, достигшего некоторого порога сложности, оказывается сам объект, а любая попытка его строгого формального описания приводит к чему-то более трудному и запутанному.

Адаптивность. В зависимости от степени организованности выделяют классы хорошо организованных систем (их свойства можно описать в виде детерминированных зависимостей), плохо организованных (или диффузных) и самоорганизующихся (включающие активные элементы)

Проблемы и цели. Первые шаги в системном анализе связаны с формулированием проблемы. Хотя необходимость системного анализа возникает тогда, когда проблема уже не только существует, но и требует решения, когда инициатор системного анализа («заказчик») уже сформулировал свою проблему, системный аналитик знает, что первоначальная формулировка – лишь очень приблизительный намек на то, какой именно должна быть действительная рабочая формулировка проблемы. На самом деле любая исходная формулировка проблемы является лишь «нулевым приближением». Системное исследование всякой проблемы начинается с расширения ее до проблематики, то есть нахождения системы проблем, существенно связанных с исследуемой, без учета которых она не может быть решена.

Важность правильно выбранной цели состоит в том, что выбор неправильной цели приводит не столько к решению проблемы, сколько к появлению новых проблем.

Индивидуальный потенциал в связке с целями организации. Самый лучший способ максимизировать эффект от результатов труда отдельных сотрудников на доходность предприятия, это связать этот труд со стратегическими целями организации. Такие связи должны разрабатываться целенаправленно и таким образом, чтобы они впоследствии гарантировали коммерческий успех фирмы.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.   Мыльник В.В., Титаренко Б.П., Волочиенко В.А. Исследование систем управления: Учебное пособие для вузов. – 2-е изд., перераб. и доп. – М: Академический Проект; Екатеринбург: Деловая книга – 2003. – 352 с. – («Gaudeamus»).

2.   Подиновский В.В., Ногин В.Д. Паретооптимальные решения многокритериальных задач. М., Наука, 1982.

3.   Ларичев О.И. Теория  и методы принятия решений. М., 2000.

4.   Ногин В.Д. Использование количественной информации об относительной важности критериев в принятии решений.// «Научно-технические ведомости СПбГТУ», 2000, № 2, с. 89-93.

5.   Психология человека в современном мире. Том 2. Проблема сознания в трудах С. Л. Рубинштейна, Д. Н. Узнадзе, Л. С. Выготского. Проблема деятельности в отечественной психологии. Исследование мышления и познавательных процессов. Творчество, способности, одаренность (Материалы Всероссийской юбилейной научной конференции, посвященной 120-летию со дня рождения С. Л. Рубинштейна, 15–16 октября 2009 г.) / Ответственные редакторы: А. Л. Журавлев, И. А. Джидарьян, В. А. Барабанщиков, В. В. Селиванов, Д. В. Ушаков. – М.: Издво «Институт психологии РАН», 2009. – 404 с.

6.   Анохин Петр Кузьмич. Принципиальные вопросы общей теории функциональных систем 1973 год

7.   Фролов С.С. Цели организации http://www.iteam.ru/articles.php?tid= 2&pid=1&sid=27&id=119


8.   Петухов Д.В. Стратегический менеджмент Часть 1 Учебный курс (учебно-методический комплекс) http://www.e-college.ru/xbooks/xbook103/book/index/index.html?go=part-006*page.htm
Приложения (при необходимости).