Контрольная работа
по высшей математике
по теме:
Решения неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Комплексные числа
Выполнила:
Студентка II курса
Экономического факультета
Очного отделения
2007г

I. у″ - 4y′ + 4y = соs4х
у = U + у(_) - общ. реш. н. д. у.
у″ - 4у′ + 4у = 0
k² - 4k + 4 = 0
k_{1; 2} = 2
1) U =?
U = C₁e^2x + С₂е^2х ∙ х
2) у(_) =? у(_) = Acos4x + Bsin4xy(_)′ = - 4Asin4x + 4Bcos4x
y″ = - 16Acos4x - 16Bsin4x
16Acos4x - 16Bsin4x + 16Asin4x + 16Bcos4x + 4Acos4x +4Bsin4x =
= cos4x + 0 ∙ sin4x
12Acos4x - 12Bsin4x + 16Asin4x + 16Bcos4x = cos4x + 0 ∙ sin4x
12A + 16A = 016B - 12B = 0
4A = 04B = 0
A = 4 B = 4
y(_) = 4cos4x + 4sin4x
y = C₁e^2x + C₂e^2x · x + 4cos4x + 4sin4x - общее решение н. д. у.
Найдем частное решение при условии:
у (0) = 1 у′ (0) = 0
у′ = 2С₁e^2x + 2C₂e^2x · x - 16sin4x + 16cos4x
1 = C₁ + C₂ + 4С₁ + С₂ = 3 С₁ + 13 = 3
0 = 2C₁ + 2C₂ + 162С₁ + 2С₂ = 16
С₁ + С₂ = 13
С₁ = - 10С₂ = 13
у = - 10е^2х + 13е^2х · x + 4cos4x + 4sin4x - частное решение при заданных условиях
II. у″ - 4y′ + 4y = 5х² + 3х + 1
у = U + у(_) - общее решение н. д. у.
у″ - 4у′ + 4у = 0
k² - 4k + 4 = 0
k_{1; 2} = 2
1) U =?
U = C₁e^2x + С₂е^2х ∙ х
2) у(_) =? у(_) = Ах² + Вх + Сy(_)′ = 2Ах + В
у″ = 2А
2А - 8В + 4В + 4Ах + 4Вх + 4С = 5х² + 3х + 1
4А = 5А = 5/4 В = 3 С = 1/4
8А + 4В = 3
2А - 4В + 4С = 1
у(_) = 5/4х² + 3 + 1/4
у = C₁e^2x + С₂е^2х ∙ х + 5/4х² + 3 + 1/4 - общее решение н. д. у.
Найдем частное решение при условии:
у (0) = 1 у′ (0) = 0
у′ = 2С₁e^2x + 2C₂e^2x + 5/2х - 1/8
1 = C₁ + C₂ + 5/4 C₁ + C₂ = 1/4
0 = 2C₁ + 2C₂ + 5/22C₁ + 2C₂ = 5/2
C₁ + С₂ = 9/4
C₁ = - 2С₂ = 9/4
у = - 2e^2x + 9/4е^2х ∙ х + 5/4х² + 3 + 1/4 - частное решение при заданных условиях.
III. у″ - 4у′ + 4у = 2е^5х
у = U + у(_) - общее решение н. д. у.
у″ - 4у′ + 4у = 0
k² - 4k + 4 = 0
k_{1; 2} = 2
1) U =?
U = C₁e^2x + С₂е^2х ∙ х
2) у(_) =? у(_) = Ае^5х y(_)′ = 5А^5х
у″ = 25Ае^5х
25Ае^5х - 20Ае^5х + 4А^5х = 2е^5х
9А^5х = 2е^5х
А = 2/9 у(_) = 2/9е^5х
у = C₁e^2x + С₂е^2х ∙ х + 2/9е^{5х -} общее решение н. д. у.
Найдем частное решение при условии:
у (0) = 1 у′ (0) = 0
у′ = 2C₁e^2x + 2С₂е^2х ∙ х + 10/9е^5х
1 = C₁ + С₂ + 2/9C₁ + С₂ = 7/9
0 = 2C₁+ 2С₂+ 10/92C₁+ 2С₂ = 10/9
C₁ + С₂ = 1/3
C₁ + 1/3 = 7/9
С₁ = 4/9 С₂ = 1/3
у = 4/9e^2x + 1/3е^2х ∙ х + 2/9е^{5х -} частное решение при заданных условиях.

Комплексные числа

Ö - 1 = i - мнимое число
 (Ö - 1) ² = i ² i ² = - 1
i ³ = i ² ∙ i = - 1 ∙ i = - i
i ⁴ = i ² ∙ i ² = ( - 1) ∙ ( - 1) = 1
а + вi - комплексные числа, где: а, в - действительные числа или а, в є R
Геометрический смысл комплексного числа:
 в                
                .  (а; в)           
      ρ         в                             ρ =  Ö а 2 + в 2       = çа + вiú
        ) d              а        
             а                                   d = arctg  в/а    –
аргумент комплексного числа 
 (находится с учетом четверти)
                          tg      
                нет                                                           

d	0 0	П/6	П/4	П/3	П/2
tg	0	Ö 3/ 3	1	Ö 3	---

                  -     +      
      0                                0
                  +     - 
                        нет


cosd = a / ρ a = ρcosd
sind = в / ρ в = ρsind
а + вi = ρcosd + i ρsind
а + вi = ρ (cosd + i sind) –
комплексное число в тригонометрической форме
Действия с комплексными числами:
Сложение:

а₁ + в₁i + а₂ + в₂i = а₁ + а₂ + (в₁ + в₂) i
Умножение:
(а₁ + в₁i) (а₂ + в₂i) = а₁а₂ +в₁в₂i ² + а₁в₂i
а₁а_{2 -} в₁в₂ + (в₁а₂ + а₂в₂) i
Формула Эйлера: Комплексное число в показательной форме:
е ^iу = cosу + isinу z = ρе ^{i φ}
Примеры по возведению комплексного числа в степень в тригонометрической и показательной формах:
1) (7 + 3i) (3 + 7i) = 21 + 21i ² + 9i + 49i = 58i
(7 + 3i) = Ö 58 (cosarctg 3/ 7 + isinarctg 3/ 7) = е ^{ln Ö 58 ×} е ^{arctg 3/7} = е ^{ln Ö 58 + i arctg 3/7}
ρ₁ = Ö 58
φ₁ = arctg 3/ 7
(3 + 7i) = Ö 58 (cosarctg 7/ 3 + isinarctg 7/ 3) = е ^{ln Ö 58 ×} е ^{arctg 7/ 3} = е ^{ln Ö 58 + i arctg 7/ 3}
ρ₂ = Ö 58
φ₂ = arctg 7/ 3
Ö 58 (cosarctg 3/ 7 + isinarctg 3/ 7) Ö 58 (cosarctg 7/ 3 + isinarctg 7/ 3) =
= 58 (cos (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3) + i (sin (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3))) =
= е ^{ln 58 ×} е ^{i (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3)} = е ^{ln 58 + i (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3)}
При решении примера использовали формулу:
ρ₁ (cosφ₁ + isinφ₁) ρ₂ (cosφ₂ + isinφ₂) = ρ₁ ρ₂ (cos (φ₁ + φ₂) + i (sin (φ₁ + φ₂))
Проверка:
е ^{ln 58 + i (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3)} = е ^{ln 58 ×} е ^{i (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3)} = 58 (cos (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3) + i (sin (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3)
cos (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3) = cos (arctg 3/ 7) cos (arctg 7/ 3) -
sin (arctg 3/ 7) sin (arctg 7/ 3)
cos (arctg 3/ 7) = 1/ (Ö 1 + tg² (arctg 3/ 7)) = 1/ Ö 1 + (9/49) = 7/Ö 58
cos (arctg 7/ 3) = 3/Ö 58
sin (arctg 3/ 7) = Ö 1 - cos²arctg 3/ 7 = Ö 1 - (7/Ö 58) ² = Ö 9/ 58 = 3/Ö 58 sin (arctg 7/3) = Ö 1 - cos²arctg 7/ 3 = 7/Ö 58
cos (arctg 3/ 7 - arctg 7/ 3) = 7/Ö 58 × 3/Ö 58 - 3/Ö 58 × 7/Ö 58 = 0
sin (arctg 3/ 7 - arctg 7/ 3) = 3/Ö 58× 3/Ö 58 × 3/Ö 58× 3/Ö 58 = 0
Возведение в степень:
(7 + 3i) (3 + 7i) = Ö 58 (cosarctg 3/7 + isinarctg 3/7) = е ^{ln Ö 58 + i arctg 3/7}
(7 + 3i) ² = 49 + 42i + 9i² = 40 + 42i
 (Ö 58 (cosarctg 3/7 + isinarctg 3/7)) ² = 58 (cos2arctg 3/7 + isin2arctg 3/7) =
= е ^{ln Ö 58 + i arctg 3/7}
Проверка:
е ^{ln Ö 58 + i arctg 3/7} = 58 (cos2arctg 3/7 + isin2arctg 3/7)
cos2arctg 3/ 7 = 2cos²arctg 3/7 - 1 = 2 × (7/Ö 58) ² - 1 = 40/58
sin2arctg 3/ 7 = 2sin²arctg 3/ 7 cosarctg 3/ 7 = 2 ∙ (3/Ö 58) ∙ (7/Ö 58) = 42/58
58 (40/58 + 42/58 × i) = 40 + 42i
При решении примера применяли следующие формулы:
(ρ (cosd + i sind)) ^п = ρ ^п (cosпd + i sinпd) п є N
е ^{х + iу} = е ^х (cosу + isinу)
2) (3 + 4i) (4 + 3i) = 12 + 12i ² + 16i + 9i = 25i
(3 + 4i) = 5 (cosarctg 4/ 3 + isinarctg 4/ 3) = е ^{ln 5 ×} е ^{arctg 4/ 3} = е ^{ln 5 + i arctg 4/ 3}
ρ₁ = Ö 25 = 5
φ₁ = arctg 4/ 3
(4 + 3i) = 5 (cosarctg 3/ 4 + isinarctg 3/ 4) = е ^{ln 5 ×} е ^{arctg 3/ 4} = е ^{ln 5 + i arctg 3/ 4}
ρ₂ = 5
φ₂ = arctg 3/ 4
5 (cosarctg 4/ 3 + isinarctg 4/ 3) 5 (cosarctg 3/ 4 + isinarctg 3/ 4) =
= 25 (cos (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4) + i (sin (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4))) =
= е ^{ln 25×} е ^{i (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4)} = е ^{ln 25 + i (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4)}
При решении примера использовали формулу:
ρ₁ (cosφ₁ + isinφ₁) ρ₂ (cosφ₂ + isinφ₂) = ρ₁ ρ₂ (cos (φ₁ + φ₂) + i (sin (φ₁ + φ₂))
Проверка:
е ^{ln 25 + i (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4)} = е ^{ln 25 ×} е ^{i (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4)} = 25 (cos (arctg 4/ 3 +
+ arctg 3/ 4) + i (sin (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4)))
cos (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4) = cos (arctg 4/ 3) cos (arctg 3/ 4) -
sin (arctg 4/ 3) sin (arctg 3/ 4)
cos (arctg 4/ 3) = 1/ (Ö 1 + tg² (arctg 4/ 3)) = 1/ Ö 1 + (16/ 9) = 3/ 5
cos (arctg 3/ 4) = 4/ 5
sin (arctg 4/ 3) = Ö 1 - cos²arctg 4/ 3 = Ö 1 - 9/ 5 = 4/5
sin (arctg 3/ 4) = Ö 1 - cos²arctg 3/ 4 = 3/ 5
cos (arctg 4/ 3 - arctg 3/ 4) = 3/ 5 × 4/5 - 3/ 5 × 4/5 = 0
sin (arctg 4/ 3 - arctg 3/ 4) = 4/ 5 × 3/5 - 4/ 5 × 3/5 = 0
Извлечение корня третий степени из комплексного числа:
Применяем формулу:
 ^пÖ ρ (cosd + i sind) = ^пÖ ρ (cos d + 2Пк / п + i sin d + 2Пк / п) к є (0; 1;...; п - 1)
³Ö 3 +4i = ³Ö 25 (cosarctg 4/3 + 2Пк/3 +isinarctg 4/3 + 2Пк/3)
z₁ = ⁶Ö 25 (cosarctg (4/3) / 3 + isinarctg (4/3) / 3) к = 0
z₂ = ⁶Ö 25 (cosarctg (4/3 + 2П) / 3 + isinarctg (4/3 + 2П) / 3) к = 1
z₃ = ⁶Ö 25 (cosarctg (4/3 + 4П) / 3 + isinarctg (4/3 + 4П) / 3) к = 2