Министерство образования и науки Украины
кафедра прикладной математики
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине "Эконометрия"
Харьков, 2008 г.

Задание № 1.

По заданным статистическим данным с помощью пакета "Excel":
построить диаграмму рассеивания и подтвердить гипотезу о линейной зависимости
Y = b₀ + b₁ * X;
определить параметры b₀ и b₁;
вычислить коэффициенты детерминации R² и коэффициент корреляции r;
сделать прогноз Y в указанной точке X_р.
Решение:
1. Набираем исходные данные в таблицу 1:
Таблица 1
2. На основе данных таблицы1 строим диаграмму рассеивания.

Визуально можно предположить, что между данными существует линейная зависимость, то есть их можно аппроксимировать линией.
Y = b₀ + b₁X
3. Найдем параметры b₀ и b₁.
Опишем полученный результат:
в первой строке находятся оценки параметров регрессии b₁, b₀;
во второй строке находятся средние квадратичные отклонения s_b1, s_b0.
в третьей строке в первой ячейке находится коэффициент детерминации R², а во второй ячейке оценка среднего квадратичного отклонения показателя s_е.
в четвертой строке в первой ячейке находится расчетное значение F - статистики, во второй ячейке находится k - число степеней свободы;
в пятой строке в первой ячейке находится сумма квадратов отклонений расчетных значений показателя от его среднего значения, а во второй ячейке - сумма квадратов остатков.

Полученные результаты заносим в таблицу 2.
Таблица 2.
По данным таблицы 2 можем записать модель:
Y = 5,277335 + 1,958977Х
Коэффициент детерминации R² = 0,967063 - близок к 1, следовательно, модель адекватна.
4. Найдем прогноз в заданной точке X_p = 10,1. Для этого подставим X_p в модель. Получим
Y_p = 5,277335 + 1,958977 * 10,1 = 25,063.
Все полученные результаты запишем в таблицу 3.
Таблица 3.

Y = 5,277335 + 1,958977Х R2 = 0,967063

5. Диаграмма примет вид:
6. Вычислим коэффициент корреляции r. В результате расчета получим коэффициент корреляции r = 0,9834.
r =  = √0,967063 = 0.9834

Задание № 2.

По заданным статистическим данным с помощью пакета "Excel":
построить диаграмму рассеивания и подтвердить гипотезу о криволинейной связи между Х и Y;
произвести линеаризацию;
определить параметры a и b;
сделать прогноз в указанной точке;
Решение:
Набираем исходные данные в таблицу 1:
Таблица 1.
На основе данных таблицы 1 строим диаграмму рассеивания.

	beax

 

Визуально можно предположить, что зависимость не линейная. Исходная модель имеет вид Y = be^ax. Делаем линеаризующую подстановку: V = Y, U = lnX.

Полученные данные заносим в таблицу 2.
Таблица 2.
Строим корреляционное поле:


Визуально можно предположить, что между данными существует линейная зависимость, то есть их можно аппроксимировать линией
Y = b₁X + b₀
Диаграмма примет вид:
3. Найдем параметры b₀ и b₁.

Y = 0,436791 – 0,2297X R2 = 0,995364

Полученные результаты заносим в таблицу 3.
Таблица 3.
Параметры модели b₀ = 0,436791, b₁ = - 0,2297. Коэффициент детерминации R² = 0,995364 - близок к 1, следовательно, модель адекватна.
Находим параметры исходной нелинейной модели:
а = е^b1 = e^-0,2297 = 0,79477
b = e^b0 = e^0,436791 = 1,54773
Исходная нелинейная модель примет вид: Y = 1,54773e^0,79477X
5. Вычислим прогнозируемое Y_p в то X_p = 6,5:
Y_p = 1,54773e ^0,79477*6,5 = 271,18

Задание № 3

По заданным статистическим данным с помощью пакета "Excel":
построить корреляционную матрицу;
по корреляционной матрице проверить факторы X₁, X₂, X₃ на мультиколинеарность, и, если она есть, устранить ее, исключив один из факторов;
проверить гипотезу о наличии линейной связи между показателем Y и оставшимися факторами;
определить параметры линейной связи;
вычислить коэффициент детерминации;
сделать прогноз в указанной точке.
Решение:
Набираем исходные данные в таблицу 1:
Таблица 1.
2. По исходным данным строим корреляционную матрицу (таблица 2):
Таблица 2.
Визуально можно предположить, что между данными X₂ и X₃ и X₁ и X₃ есть зависимость, значит, фактор X₃ исключаем из модели, так как между ним и Y связь меньше, чем между Y и X₂ (0,96548 < 0,9700431). Модель будет иметь вид:
Y = b₀ + b₁X₁ + b₂X₂;
3. Строим график зависимости между X₁, X₂ и Y: визуально можно предположить, что зависимость между X₁, X₂ и Y линейная, коэффициент детерминации R² = 0,9416518 - близок к 1, следовательно, модель адекватна.
4. Найдем параметры b₀, b₁ и b₂. Полученные результаты заносим в таблицу 3:

Y = 6,29 + 0,91X1 R2 = 0,9416518

Y = -10,55 + 1,71X2 R2 = 0,9416518

Таблица 3.
 5. По данным таблицы можем записать модель:
Y = - 7,0318824 + 0, 1954415X₁ + 1,344552X₂;
Коэффициент детерминации R² = 0,9416518 - близок к 1, следовательно, модель адекватна.
6. Найдем прогноз в заданной точке. Для этого достаточно подставить X_p в модель.
Y_p = - 7,0318824 + 0, 1954415 * 35,97 + 1,344552 * 29,15 = 39, 19

Задание №4.

Предположим, что между показателем Y - объем выпущенной продукции и факторами X₁ - трудовые затраты, X₂ - объем основных фондов, существует зависимость типа
Y = AX  × X
(производная функция Кобба-Дугласа). По приведенным статистическим данным с помощью пакета "Excel":
определить коэффициенты А, б₁, б ₂;
вычислить прогноз в указанной точке;
определить коэффициент эластичности по каждому из факторов в точке прогноза.
Решение:
1. Набираем исходные данные в таблицу 1:
Таблица 1.
Так как модель не линейная, перейдем к линейной с помощью замены:
V = lnY, U₁ = lnX₁, U₂ = lnX₂, b₀ = lnA, b₁ = б₁
получим линейную модель:
V = b₀ + b₁U₁ + b₂U₂
Полученные результаты заносим в таблицу 2.
Таблица 2.
2. Найдем параметры b₀, b₁ и b₂. Полученные результаты заносим в таблицу 3:
Таблица 3.
3. По данным таблицы можем записать модель:
V = 4,6556 + 0,5235U₁ + 1,2964U₂
4. Найдем параметры исходной модели:
А = e^bo = e^4.655595 = 105.1723; a₁ = b₁ = 0,5234561; a₂ = b₂ = 1,296429.
Исходная модель имеет вид:
Y = 105.1723 * X₁^0.5235 * X₂^1.2964
5. Найдем прогноз в заданной точке:
Y = 105.1723 * 77.5^0.5235 * 67.2^1.2964 = 239856.97;
Вычислим коэффициент эластичности, который показывает, на сколько% увеличится (если Е_х > 0) или уменьшится (если Е_х < 0) показатель Y, если фактор X изменится на 1%.
E_X1 = (X₁ * ∂y) / (y * ∂x₁) = (X_1/ (105.1723 * X₁^0.5235 * X₂^1.2964)) * ( (∂ (105.1723 * X₁^0.5235 * X₂^1.2964)) / ∂x₁) = (X_1/ (105.1723 * X₁^0.5235 * X₂^1.2964)) * (105.1723 * X₂^1.2964 * (∂ (X₁^0.5235)) / ∂x₁) = (X_1/X₁^0.5) * 0.5X₁^-0.5 = 0.5X₁^1-0.5-0.5 = 0.5X₁⁰ = 0.5

Вывод

Для модели Кобба-Дугласа коэффициент эластичности - это показатели степени a₁ и a₂, при чем a₁ = 0.5235 - коэффициент эластичности по трудозатратам, а a₂ = 1.2964 - коэффициент эластичности по объему основных фондов.

Литература

1.                Лук`яненко І.Г., Краснікова Л.І. Економетрика. Підручник. - К. Товариство “Знання”. - 1998. - 494 с.
2.                Грубер Й. Эконометрия: учебное пособие для студентов экономических специальностей. - К. 1996. - 400 с.
3.                Методические указания и контрольные задания по дисциплине "Эконометрия" для студентов экономического направления заочного факультета. / Сост. В.Н. Черномаз, Т.В. Шевцова, - Харьков: 2006 г. - 32 с.
4.                Конспект лекций по курсу "Эконометрия"