Задача 1

Решить графическим методом типовую задачу оптимизации

Финансовый консультант фирмы «АВС» консультирует клиента по оптимальному инвестиционному портфелю. Клиент хочет вложить средства (не более 25 000 долл.) в два наименования акций крупных предприятий в составе холдинга «Дикси».

Анализируются акции «Дикси – Е» и «Дикси – В». Цены на акции: «Дикси – Е» - 5 долл. за акцию; «Дикси – В» - 3 долл. за акцию.

Клиент уточнил, что он хочет приобрести максимум 6000 акций обоих наименований, при этом акций одного из наименований должно быть не более 5000 штук.

По оценкам «АВС», прибыль от инвестиций в эти акции в следующем году составит: «Дикси – Е» - 1,1 долл.; «Дикси – В» - 0,9 долл.

Задача консультанта состоит в том, чтобы выдать клиенту рекомендации по оптимизации прибыли от инвестиций.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?

Решение:

1. 
   Для решения задачи приведем все вышеперечисленные величины в таблицу:
   

Вид дохода	Наименования акций		Запас средств
	Дикси-Е	Дикси-В
Переменные	Х1	Х2
Стоимость 1 акции	5	3	25000
Прибыль от инвестиции акций в следующем году	1,1	0,9

2) Математическая формализация задачи.

Пусть: X₁ – количество акций «Дикси-Е»,

X₂ – количество акций «Дикси-В».

Тогда стоимость акций будет задаваться целевой функцией:



Экономико-математическая модель задачи имеет вид:



Ограничения по необходимому максимуму количества акций:



3) Для получения решения графическим методом строим прямые:

X1	5000	0
X2	0	8333,3

Построим прямые ограничения (Рис. 1):

(5000; 8333,3)

(3500; 2500)

(5000; 0)

(0; 5000)

и линию уровня:

(0; 0); (4500; -5500)

X1	0	4500
X2	0	-5500

Построим векто-градиент перпендикулярный линии уровня , При перемещении линии уровня в направлении вектора-Градиента получаем точку С, это и есть точка максимума, найдем ее координаты – оптимальное решение.

5х₁ +3 х₂ = 25 000 5х₁ +3 х₂ = 25 000 30000 – 5 х₂ + 3 х₂ = 25000

х₁ + х₂ = 6000; х₁ = 6000 – х₂; х₁ = 6000 – х₂;


- 2 х₂ = -5000 х₂ = 2500

х₁ = 6000 – х₂; х₁ = 3500.

Точка С (3500;2500)

Значение целевой функции в точке С (2500; 3500) равно:



Ответ: чтобы обеспечить оптимальную прибыль от инвестиций необходимо купить: акций Дикси- Е - 3500 шт. и акций Дикси- В - 2500 шт., при этом прибыль от двух видов купленных акций составит – 6100 долл..

Если решать задачу на min то надо двигаться по линии вектора-градиента в обратном направлении линии уровня и иксы поменяют друг с другом свои значения.
Задача 2
Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования

На основании информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации готовой продукции.

Вид сырья	Нормы расхода сырья на ед. продукции			Запасы сырья
	А	Б	В
I II III	18 6 5	15 4 3	12 8 3	360 192 180
Цена изделия	9	10	16

Требуется:

1. 
   Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
   
2. 
   Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
   
3. 
   Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
   
4. 
   На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
   
   • 
     проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
     
   • 
     определить, как изменяется выручка от реализации продукции и план ее выпуска, если запас сырья I вида увеличить на 45 кг, а II – уменьшить на 9 кг;
     
   • 
     оценить целесообразность включения в план изделия «Г» ценой 11 ед., на изготовление которого расходуется 9, 4 и 6 кг соответствующего вида сырья.
     

Решение:
1) Сформулируем экономико-математическую модель исходной задачи на максимум выручки от реализации готовой продукции.

Обозначим переменные:

Пусть х₁ – число единиц продукции A;

х₂ – число единиц продукции Б;

х₃ – число единиц продукции В.

Число ограничений исходной задачи линейного программирования соответствует числу используемых для изготовления изделий типов сырья и равно 3. Зная цены изделий, нормы расхода сырья на их изготовление и запасы сырья, формулируем математическую модель исходной задачи линейного программирования:





Оптимальный план выпуска продукции будем искать с помощью настройки «Поиск решения» MS Excel. Сначала занесем исходные данные:



Теперь будем искать оптимальное решение с помощью настройки «Поиск решения»:


В результате будет получена следующая таблица:



Рисунок 3

Использование надстройки «Поиск решение» программного средства позволило получить значения переменных оптимального плана выпуска изделий x₁ =0; x₂ =8; x₃ =20. Целевая функция имеет максимальное для данных условий задачи значение f(x) = 400.

Таким образом, чтобы получить максимум выручки в размере 400 ден. ед. необходимо изготовить 8 единиц продукции Б и 20 единиц продукции В, а продукция вида А убыточна (x₁ =0) ее можно не производить.
2) Сформулируем двойственную задачу и найдем ее оптимальный план.

Обозначим переменные:

Пусть y₁ – цена единицы ресурса продукции A;

y₂ – цена единицы ресурса продукции Б;

y₃ – цена единицы ресурса продукции В.

Математическая модель двойственной задачи имеет вид:

g(y_1, y_2, y₃)= 360y₁ + 192y₂ + 180y₃ → min



Найдем решение двойственной задачи с помощью теоремы двойственности. Проверим выполнение системы неравенств прямой задачи:



Для нахождения оценок (у₁,у₂,у₃) используем вторую теорему двойственности . Так как третье ограничение выполняется как строгое неравенство, то у₃ =0. Так как х₂ ≠ 0 и х₃ ≠ 0,то получаем систему уравнений:



Двойственная задача имеет оптимальное решение у* = (, , ).

Сырье первого типа имеет цену , сырье второго типа имеет цену , сырье третьего типа имеет цену 0.

Проверим выполнение первой теоремы двойственности:

f(x^*) = 0+10·8+16·20 = 400

g(y^*) = 360 + 192 + 0 = 400 f(x*) = g(y*
)

3) В прямой задаче х₁=0, так как при достаточно высоких затратах производство продукции I приносит небольшую прибыль.

В двойственной задаче у₃=0, так как III вид сырья является избыточным и не расходуется полностью на производство продукции.
4) а) Проанализируем использование ресурсов в оптимальном плане.

Так как цена третьего сырья у₃=0, то сырье третьего типа не дефицитно.

Дефицитное сырье первого и второго типа, так как в оптимальном плане исходной задачи используется полностью. Сырье второго типа более дефицитно (у₂ =), чем сырье первого типа (у₁ =).

б) Определим, как изменится общая стоимость продукции:

Увеличение запасов сырья I типа на одну единицу приведет к росту прибыли на единиц.

Уменьшение сырья II типа на одну единицу приведет к уменьшению прибыли на единиц.

I – возрастает на 45

II – уменьшается на 9

По теореме об оценках



Таким образом, общая прибыль уменьшится на 5 единиц и составит 400 – 5 = 395 ед.

Определим, как изменится план выпуска продукции, если запас сырья I вида увеличить на 45 кг., а II – уменьшить на 9 кг:

Предположим, что изменения производятся в пределах устойчивости двойственных оценок, т. е. не меняется структура оптимального плана.





Так как х₁ = 0, а третье ограничение выполняется как строгое неравенство, то определим изменение плана выпуска из системы уравнений:



То есть оптимальный план выпуска будет иметь вид:

х₁=0 х₂=14,5 х₃=15,625

f(x^*) = 395 (ден.ед)
в) оценим целесообразность включения в план изделия Г вида ценой 11ед., если нормы затрат сырья 9, 4 и 6 кг.

Вычислим величину

Затраты на изготовление единицы изделия Г составят:

,

-2,3 < 0, т.е. затраты на производство изделия Г меньше его цены, следовательно, включать изделие Г в план производства выгодно, так как оно принесет дополнительную прибыль.
Задача 3


Используя балансовый метод планирования и модель Леонтьева, построить баланс производства и распределения продукции предприятий

Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие – продукции второго вила, третье предприятие – продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки а_ij (i = 1,2,3; j = 1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов у_i вектора конечной продукции Y.

Требуется:

1. 
   Проверить продуктивность технологической матрицы А = (а_ij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).
   
2. 
   Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.
   

Предприятия (виды продукции)	Коэффициенты прямых затрат, аij			Конечный продукт, Y
	1	2	3
1	0,3	0,4	0,1	200
2	0,1	0,2	0,4	300
3	0,3	0,4	0,1	200

Решение:

1) Составим матрицу А коэффициентов прямых затрат.

По условию задачи:

0,3 0,4 0,1

А = 0,1 0,2 0,4

0,3 0,4 0,1

200

Составим вектор столбец конечной продукции: Y = 300

200

Модель Леонтьева в матричной форме имеет вид:

X = A·X+Y, где

А – матрица коэффициентов прямых материальных затрат;

Х – вектор столбец валовой продукции по соответствующим отраслям;

Y – вектор столбец конечной продукции.

Находим матрицу (Е – А):

1 0 0 0,3 0,4 0,1 0,7 -0,4 -0,1

(Е – А) = 0 1 0 – 0,1 0,2 0,4 = -0,1 0,8 -0,4

0 0 1 0,3 0,4 0,1 -0,3 -0,4 0,9
Используя формулу , находим матрицу коэффициентов полных материальных затрат с помощью MS Excel:


В результате получаем:

2,000 1,429 0,857

= 0,750 2,143 1,036

1,000 1,429 1,857

Все элементы матрицы коэффициентов полных затрат В неотрицательны, следовательно, матрица А продуктивна.

Найдем вектор Х величин валовой продукции по отраслям используя формулу Х = BY, где

В – матрица коэффициентов полных материальных затрат;

Y – вектор столбец конечной продукции.



Получаем:

2,000 1,429 0,857 200 1000

Х =BY = 0,750 2,143 1,036 * 300 = 1000

1,000 1,429 1,857 200 1000

Приступаем к заполнению таблицы:

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли			Конечный продукт	Валовой продукт
	1	2	3
1 2 3	300,0 100,0 300,0	400,0 200,0 400,0	100,0 400,0 100,0	200 300 200	1000 1000 1000
Условно чистая продукция	300,0	0,0	400,0	700
Валовая продукция	1000,0	1000,0	1000,0		3000

Для определения элементов первого квадранта материального межотраслевого баланса воспользуемся формулой, вытекающей из формулы ; , где

Для получения первого столбца первого квадранта нужно элементы первого столбца заданной матрицы А умножить на величину Х₁= 1000; элементы второго столбца матрицы А умножить на Х₂ = 1000; элементы третьего столбца матрицы А умножить на Х₃= 1000.

Составляющие третьего квадранта (условно чистая продукция) найдем как разность между объемами валовой продукции и суммами элементов соответствующих столбцов найденного первого квадранта.

Четвертый квадрант состоит из одного показателя и служит для контроля правильности расчета: сумма элементов второго квадранта должна в стоимостном материальном балансе совпадать с суммой элементов третьего квадранта.
Задача 4
Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже в таблице

Номер варианта	Номер наблюдения (t=1,2,...,9)
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
6	12	15	16	19	17	20	24	25	28

Требуется:

1. 
   Проверить наличие аномальных наблюдений.
   
2. 
   Построить линейную модель Ŷ(t)=a₀ +a₁ t, параметры которой оценить МНК (Ŷ(t) – расчетные, смоделированные значения временного ряда).
   
3. 
   Построить адаптивную модель Брауна Ŷ(t)=a₀ +a₁k с параметром сглаживания α=0,4 и α=0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания.
   
4. 
   Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7 – 3,7).
   
5. 
   Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
   
6. 
   По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза при доверительной вероятности p=70%).
   
7. 
   Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.
   

Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах.
Решение:

1. 
   Проверяем наличие аномальных наблюдений методом Ирвина:
   

, где среднеквадратическое отклонение рассчитываем, используя следующие формулы:

,

Построим следующий ряд, используя MS Excel:



В результате получаем следующую таблицу:



Анамальных наблюдений во временном ряду нет, так как расчетные значения λ _t меньше табличного λ _t < 1,6 .
2) Построим линейную модель вида Y_р(t) = a₀ + a₁t по методу наименьших квадратов. Коэффициенты а₀ и а₁ линейной модели найдем из решения нормальной системы уравнений:



Известно, что

Построим следующую таблицу, используя MS Excel:


Таким образом, получаем следующие данные:



Уравнение регрессии зависимости Y_t от t_t имеет вид: Y(t) = 10,31 + 1,85t

Также, для получения коэффициентов регрессии можно использовать настройку MS Excel «Анализ данных». Для этого занесем исходные данные в таблицу:



Затем, используя пункт Регрессия настройки - «Анализ данных» оцениваем параметры модели.




Результат регрессионного анализа представлен ниже:


Таким образом, средствами MS Excel получены коэффициенты уравнения регрессии а₀ = 10,31, а₁ = 1,85, стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.

Уравнение регрессии зависимости Y_t от t_t имеет вид: Y(t) = 10,31 + 1,85t
4) Оценим адекватность построенной модели используя MS Excel. Для нахождения необходимых показателей построим таблицу:



ξ_t = 0, значит модель адекватна.

• 
  В нашем примере общее число поворотных точек 6.
  

<sub>Критерий случайности отклонений от тренда при уровне вероятности 0,95 имеет вид:





6 > 2

Неравенство выполняется, следовательно, критерий случайности ряда остатков выполнен.</sub>

• 
  Условие наличия (отсутствия) автокорреляции можно проверить по критерию Дарбина-Уотсона в основе которого лежит расчетная формула:
  

d^/ = 4 – 2,03 = 1,97

Критические значения статистики: d_1kp=1,08 и d_2kp=1,36;

d и d^/ > 1,36 поэтому уровни остатков не зависимы

• 
  Условие соответствия ряда остатков нормальному закону распределения проведен по RS - критерию:
  

1,27



(2,7;3,7), т.е. 3,03(2,7;3,7), значит модель адекватна.
5) Оценим точность построенной модели на основе относительной ошибки аппроксимации, рассчитанной по формуле:



_{Ошибка не превышает 15%, значит, точность модели считается приемлемой.}


6) Строим прогноз по построенным моделям:

Точечный прогноз получается путем подстановки в модель значений времени t, соответствующих периоду упреждения k: t = n+k. Так, в случае трендовой модели в виде полинома первой степени - линейной модели роста - экстраполяция на k шагов вперед имеет вид:



Точечный прогноз на следующие две недели имеет вид:

Y_n+1=10,31+1,85(9+1)=28,81

Y_n+2=10,30+1,85(9+2)= 30,66

Учитывая, что модель плохой точности будем прогнозировать с небольшой вероятностью Р=0,7

Доверительный интервал:

Критерий Стьюдента (при доверительной вероятности р = 0,7; ν = n-2= 9-2=7), равен: t= 1,119













Интервальный прогноз равен U₁₀ = 28,81 ± 1,88

U₁₁= 30,66 ± 1,99

Показатель	Точечный прогноз	Интервальный прогноз
		Нижняя граница	Верхняя граница
10	28,81	26,93	30,69
11	30,66	28,67	32,65

7) Представим графически результаты моделирования и прогнозирования для этого составим таблицу:




Список литературы
1. Экономико-математические методы и модели. Выполнение расчетов в среде Excel / Практикум: Учебное пособие для вузов. – М.: ЗАО, 2000. – 136 с.

2. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование: Учеб. пособие. – М.: Вузовский учебник, 2007. – 365 с.

3. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов/ В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов и др.; под ред. В.В. Федосеева. – М.: ЮНИТИ, 1999. – 391 с.