МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНСТИТУТДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ
Кафедра «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»
Контрольная работа
по дисциплине: «Математика»


Вариант 1
Выполнил: студент 1 курса группы БУА-5

Проверил:___________________________
Тюмень 2007 год



Содержание

«Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного

переменного……………………………………………………………………2

«Дифференциальное исчисление функций и его приложение……………...6

«Интегральное исчисление функции одного переменного»……………….11



«Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного»

1. Вычислить предел: .

Решение.

При имеем
Следовательно,
.
2. Найти асимптоты функции: .

Решение.

Очевидно, что функция не определена при .

Отсюда получаем, что
Следовательно, – вертикальная асимптота.

Теперь найдем наклонные асимптоты.

.
Следовательно, – горизонтальная асимптота при .
3. Определить глобальные экстремумы: при .

Решение.

Известно, что глобальные экстремумы функции на отрезке достигаются или в критических точках, принадлежащих отрезку, или на концах отрезка. Поэтому сначала находим .
А затем находим критические точки.

.

Теперь найдем значение функции на концах отрезка.

.

Сравнивая значения, получаем:
4. Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции: .

Решение.

Сначала находим .

.

Затем находим критические точки.

.

x		0		1		3
	+	0	+	0	–	0	+
	возрастает	нет экстр.	возрастает	max	убывает	min	возрастает

Отсюда следует, что функция возрастает при , убывает при .

Точка – локальный максимум.

Точка – локальный минимум.
5. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции: .



Решение.

Чтобы найти промежутки выпуклости и точки перегиба, найдем вторую производную функции.

.

.

.

x		2
	–	0	+
	выпуклая	перегиб	вогнутая

Отсюда следует, что функция

выпуклая при ,

вогнутая при .

Точка – точка перегиба.



«Дифференциальное исчисление функций и его приложение»

1. Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции .

Решение.

1) Область определения функции

.

2) Поскольку , функция не является четной или нечетной.

3) Точки пересечения с осями:

а) с оx:

б) с oy .

4) Асимптоты.

а) .

Следовательно, – вертикальная асимптота.

б) Теперь найдем наклонные асимптоты
Отсюда получаем, что

– наклонная асимптота при .

5) Критические точки
К тому же не существует при .



6)
К тому же не существует при

x		0		2		4
	+	0	–	Не сущ.	–	0	+
	–	–	–	Не сущ.	+	+	+
y	возрастает выпуклая	max	убывает выпуклая	не сущ.	убывает вогнутая	min	возрастает вогнутая

Эскиз графика функции
2. Найти локальные экстремумы функции .


Решение.

Сначала найдем частные производные
Известно, что необходимым условием существования экстремума является равенство нулю частных производных.
То есть мы получили две критические точки

. Далее проведем исследование этих точек.

Для чего найдем предварительно частные производные второго порядка
Для точки :
.

Следовательно, точка не является точкой экстремума.


Для точки :
.

Следовательно, точка не является точкой экстремума.

Вывод – локальных экстремумов у функции нет.
3. Определить экстремумы функции , если .

Решение.

Сначала запишем функцию Лагранжа
И исследуем ее
То есть мы получили две критические точки: .

В силу условия нам подходит только точка .



Поэтому будем исследовать эту точку

Вычислим частные производные второго порядка:
Отсюда получаем, что
Теперь продифференцируем уравнение связи
Для точки получаем .

Следовательно,

То есть мы получили положительно определенную квадратичную форму.

Следовательно, является точкой условного локального минимума.



«Интегральное исчисление функции одного переменного»

1–3. Найти неопределенный интеграл
1. .

Решение.
2. .

Решение.
3. .

Решение.
4. Вычислить .

Решение.
5. Определить площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми

.

Решение.
.