Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя, начальное положение системы показано на рис. 1. Учитывая сопротивление качению тела 3, катящегося без скольжения, пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми, определить скорость тела 1 в тот момент времени, когда пройденный путь станет равным s.
В задании приняты следующие обозначения: m₁, m₂, m_3, m₄ – массы тел 1, 2, 3, 4; R₃ – радиус большой окружности; δ – коэффициент трения качения.
Необходимые для решения данные приведены в таблице 1. Блоки и катки считать сплошными однородными цилиндрами. Наклонные участки нитей параллельны соответствующим наклонным плоскостям.
Таблица 1.
Решение
Применим теорему об изменении кинетической энергии системы:
 (1)
где T₀ и T – кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях; - сумма работ внешних сил, приложенных к системе; - сумма работ внутренних сил системы.
Для рассматриваемых систем, состоящих из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями,


Так как в начальном положении система находится в покое, то Т₀=0.
Следовательно, уравнение (1) принимает вид:
     (2)
Кинетическая энергия рассматриваемой системы Т в конечном ее положении (рис.2) равна сумме кинетических энергий тел 1, 2, 3 и 4:
Т = Т₁ + Т₂ + 4Т₃ + Т₄. (3)
Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно,
     (4)
Кинетическая энергия барабана 2, совершающего вращательное движение,
,  (5)
где J_2x – момент инерции барабана 2 относительно центральной продольной оси:
, (6)
w₂ – угловая скорость барабана 2:

.(7)
После подстановки (6) и (7) в (5) выражение кинетической энергии барабана 2 принимает вид:
.   (8)
Кинетическая энергия колеса 3, совершающего плоскопараллельное движение:
,         (9)
где V_C3 – скорость центра тяжести С₃ барабана 3, J_3x – момент инерции барабана 3 относительно центральной продольной оси:
, (10)
w₃ – угловая скорость барабана 3.
Мгновенный центр скоростей находится в точке С_V. Поэтому
, (11)
.       (12)
Подставляя (10), (11) и (12) в (9), получим:
. (13)
Кинетическая энергия груза 4, движущегося поступательно
. (14)
Кинетическая энергия всей механической системы определяется по формуле (3) с учетом (4), (8), (13), (15):

Подставляя и заданные значения масс в (3), имеем:

или
.  (15)
Найдем сумму работ всех внешних сил, приложенных к системе, на заданном ее перемещении (рис. 3).
Работа силы тяжести :
 (16)
Работа силы тяжести :
        (17)
Работа пары сил сопротивления качению :
        (18)
где
 (19)
       (20)
      (21)
Подставляя (19), (20) и (21) в (18), получаем:
 (22)
Работа силы тяжести :
 (17)
Работа силы тяжести :
 (23)
Сумма работ внешних сил определится сложением работ, вычисляемых по формулам (17) – (24):
.
Подставляя заданные значения, получаем:

Или
.       (24)
Согласно теореме (2) приравняем значения Т и , определяемые по формулам (16) и (24):
,
откуда выводим
м/с.
Дано:
R₂=30; r₂=20; R₃=40; r₃=40
X=C₂t²+C₁t+C₀
При t=0 x₀=7 =0
t₂=2 x₂=557 см
X₀=2C₂t+C₁
C₀=7
C₁=0
557=C₂ *5²+0*5+7
25C₂=557-7=550
C₂=22
X=22t²+0t+7
=V=22t
a= =22
V=r_{2 2}
R_{2 2}=R_{3 3
3}=V*R₂/(r₂*_R3)=(22t)*30/20*40=0,825t
₃= ₃=0,825
V_m=r₃* ₃=40*(0,825t)=33t
a^t_m=r₃
=0,825t
a^t_m=R₃ =40*0,825t=33t
aⁿ_m=R₃ ²₃=40*(0,825t)²=40*(0,825(t)²
a=
***********************************
Дано :R₂=15; r₂=10; R₃=15; r₃=15
X=C₂t²+C₁t+C₀
При t=0 x₀=6 =3
t₂=2 x₂=80 см
X₀=2C₂t+C₁
C₀=10
C₁=7
80=C₂ *2²+3*2+6
4C₂=80-6-6=68
C₂=17
X=17t²+3t+6
=V=34t+3
a= =34
V=r_{2 2}
R_{2 2}=R_{3 3
3}=V*R₂/(r₂*_R3)=(34t+3)*15/10*15=3,4t+0,3
₃= ₃=3,4
V_m=r₃* ₃=15*(3,4t+0,3)=51t+4,5
a^t_m=r₃
=3,4t
a^t_m=R₃ =15*3,4t=51t
aⁿ_m=R₃ ²₃=15*(3,4t+0,3)²=15*(3,4(t+0,08)²
a=
Решение второй задачи механики
Дано:
m=4.5 кг;   V₀=24 м/с;
R=0.5V H;
t₁=3 c;
f=0.2;
Q=9 H;       F_x=3sin(2t) H.

Определить:      x = f(t) – закон движения груза на участке ВС

Решение:
1) Рассмотрим движение на промежутке АВ
 
учитывая, что R=0.5V H;


Разделяем переменные и интегрируем

2) Рассмотрим движение на промежутке ВС (V₀=V_B)



Дано:
m=36 кг
R=6 см=0,06 м
H=42 см=0,42 м
y_C=1 см=0,01 м
z_С=25 см=0,25 м
АВ=52 см=0,52
М=0,8 Н·м
t₁=5 с
Найти реакции в опорах А и В.
Решение
Для решения задачи используем систему уравнений, вытекающую из принципа Даламбера:
 (1)
Для определения углового ускорения ε из последнего уравнения системы (1) найдем момент инерции тела относительно оси вращения z по формуле
, (2)
где J_z1− момент инерции тела относительно центральной оси С_z1, параллельной оси z; d – расстояние между осями z и z₁.
Воспользуемся формулой
, (3)
где α, b, g - углы, составленные осью z₁ с осями x, h, z соответственно.
Так как α=90º, то
. (4)
Определим моменты инерции тела ,  как однородного сплошного цилиндра относительно двух осей симметрии h, z
;
.
Вычисляем
;
.
Определяем угол g из соотношения
;
;
.
Угол b равен
;
.
По формуле (4), вычисляем
.
Момент инерции тела относительно оси вращения z вычисляем по формуле (2):
,
где d=y_C;
.
Из последнего уравнения системы (1)

;
.
Угловая скорость при равноускоренном вращении тела
,
поэтому при ω₀=0 и t=t₁=5 c
.
Для определения реакций опор следует определить центробежные моменты инерции  и  тела. , так как ось х, перпендикулярная плоскости материальной симметрии тела, является главной осью инерции в точке А.
Центробежный момент инерции тела  определим по формуле
,
где , т.е.
.

Тогда
.
Подставляя известные величины в систему уравнений (1), получаем следующие равенства



Отсюда




Ответ: , , , .
Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения
Задание: по заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени t = t1 (с) найти положение точки на траектории, ее скорость, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.
Исходные данные:
x=5cos(pt²/3);      y= -5sin(pt²/3);     (1)
t1=1 (x и y – в см, t и t1 – в с).
Решение:
Уравнения движения (1) можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки. Получим уравнения траектории в координатной форме.
x² + y² = (5cos(pt²/3))² + (-5sin(pt²/3))²;
Получаем x² + y² = 25, т. е. траекторией точки является окружность, показанная на рис. 1.
Вектор скорости точки
         (2)

Вектор ускорения точки

Здесь V_x , V_{y ,} a_x, a_y – проекции скорости и ускорения точки на соответствующие оси координат.
Найдем их, дифференцируя по времени уравнения движения (1)
             (3)    
По найденным проекциям определяем модуль скорости:
V=Ö(V_x² + V_y²);    (4)
и модуль ускорения точки:
а = Ö(а_х² +а_у²).    (5)
Модуль касательного ускорения точки
а_t=|dV/dt|,  (6)
а_t= |(V_xa_x+V_ya_y)/V| (6’)
Знак “+” при dV/dt означает, что движение точки ускоренное, знак “ - “ - что движение замедленное.
Модуль нормального ускорения точки
а_п= V²/p; (7)
p – радиус кривизны траектории.
Модуль нормального ускорения точки можно найти и следующим образом:
a_n = Ö(а² -a_t²); (8)
После того как найдено нормальное ускорение по формуле (8), радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения:
p=V²/ a_n.     (9)
Результаты вычислений по формулам (3)-(6), (8), (9) для момента времени t1=1с приведены ниже в таблице
Ниже на рисунке показано положение точки М в заданный момент времени.


Дополнительное задание:
z=1.5t x=5cos(pt²/3); y= -5sin(pt²/3); t1=1 (x и y – в см, t и t1 – в с).
Найдем скорости и ускорения дифференцируя по времени уравнения движения



По найденным проекциям определяем модуль скорости:
V=Ö(V_x² + V_y²+V_z²);
и модуль ускорения точки:
а = Ö(а_х² +а_у²+ а_z²).
V= ;
a=24.3 см/с;
Касательное ускорение точки
а_t= |(V_xa_x+V_ya_y+ V_za_z)/V|
a_t=(-9.069*(-20.04)+(-5.24)*13.76+1.5*0)/10.58=10.36 см/с
Модуль нормального ускорения точки можно найти и следующим образом:
a_n = Ö(а² -a_t²);
a_n=21.98 см/с².
Радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения:
p=V²/ a_n.     р=5.1 см
Результаты вычислений для момента времени t1=1с приведены ниже в таблице
Задание: точка М движется относительно тела D. По заданным уравнениям относительного движения точки М и движения тела D определить для момента времени t=t1 абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М.
Дано:
ОМ=Sr=120pt² см;
j_е=8t² – 3t рад ;
t1=1/3 c;     R=40 см.
Решение:
1) Положение точки М на теле D определяется расстоянием S_r=ОМ
при   t=1/3 c        S_r=120p/9=41.89 см.

При t=1/3с V_r=80p=251.33 см/с.
a_rt=d²S_r/dt²           a_rt=240p=753.98 см/с²
a_rn=V_r²/R              a_rn=(80p)²/40=1579.14 см/с²
2) V_e=w_er ,  где r- радиус окружности, описываемой той точкой тела, с которой в данный момент совпадает точка М.
a=OM/R.   r=R*sina=40*sin(p/3)=34.64 см.   
w_е=dj_e/dt=16t-3  при t=1/3   w_е=7/3=2.33 с^-1
V_e=80.83 см/с.
а_е^ц=w_e² r      а_е^ц=188.6 см/с².
а_е^в=e_еr         e_е= d²j_e/dt²=16 с^-2                        а_е^в=554.24 см/с².
3)
а_с=2*w_еV_rsin(w_е, V_r)               sin(w_е, V_r)=90-a=p/6    a_c=585.60 см/с²
4)
V=Ö(V_e²+V_r²)       V=264.01 см/с
Модуль абсолютного ускорения находим методом проекций.
a_x=a_е^в+а_с
a_y=a_rncos(p/3)+a_rtcos(p/6)
a_z=-а_е^ц - a_rncos(p/6)+a_rtcos(p/3)
а=Ö(a_x²+a_y²+a_z²)  
Результаты расчетов сведены в таблицу

Определение реакций опор твердого тела
Дано:
Q=10 kH;
G=5 kH;
a=40 см; b=30 см; c=20 см;
R=25 см; r=15 см.
Задание:
Найти реакции опор конструкции.
Решение:
Для определения неизвестных реакций составим уравнения равновесия.


Из уравнения (4) определяем P, а затем находим остальные реакции опор. Результаты вычислений сведем в таблицу.
Проверка.
Составим уравнения относительно точки В.