Q₁= X_Q1 + h ((n+1)/4 – S_-1) / f_Q1, где
X_Q1 – нижняя граница интервала, в которой находится первая квартиль;
S_-1 – сумма накопленных частот интервалов, предшествующих интервалу, в котором находится первая квартиль;
f_Q1 – частота интервала, в котором находится первая квартиль
Q1 =2030,7+70821,7 * (31/4–0)/ 23 = 25894,5
Q2 = 2030,7+70821,7*(31/2–0)/23 = 49758,4
Q3 = 72852,4+70821,7*(31*0,75–23)/23=144443,9
4. Проверим гипотезу о законе распределения с помощью критерия согласия Пирсона χ².
Рассчитаем теоретические частоты попадания количества регионов в соответствующие группы. Х1 и Х2 – соответственно нижние и верхние границы интервалов. Т1 и Т2 – нормированные отклонения для нижней и верхней границ интервала. F1 и F2 – значения интегральной функции Лапласа для Т1 и Т2 – определяем по таблицам Лапласа. Оценка попадания случайной величины Р определяется как разница F(T1) – F(T2). Теоретическая частота f' = Р х 30. Составим таблицу 9.
Таблица 9. Расчет теоретических частот
Проверка показывает, что расчеты сделаны правильно, так как равен итог фактических и теоретических частот.
Рассчитаем значение χ² = ∑ (f – f')² / f', произведя расчеты в таблице
Оставляем 2 группы, объединив 1,2 в 1-ю группу, 3–7 во 2-ю группу. Результаты заносим в таблицу 10.

Таблица 10. Расчет фактического значения по критерию Пирсона
Табличное значение критерия Пирсона при числе степеней свободы 1 и вероятности 0,99 составляет 1,64. Расчетное значение χ² меньше табличного, поэтому гипотеза о близости эмпирического распределения к нормальному не отвергается.

Задание №4
1. По таблице случайных чисел определим порядковые номера и вид выборки. В выборочную совокупность войдут регионы по двум последним цифрам из 30 первых чисел подряд. Получаем:
12; 20; 22; 20; 24; 12.
Объем выборки – 6 единиц.
Получаем случайную повторную выборку. Величина ВРП:
13043,6; 13043,6; 37501,6; 37501,6; 50914,3; 85889,1.
Составим таблицу 11.
Таблица 11. Выборочная совокупность случайных величин
2. Средняя величина по выборочной совокупности
Хср = (13043,6х2+37501,6х2+50914,3+85889,1) / 6 = 39649,0
S² =[(13043,6–39649) ² х2 + (37501,6–39649) ² х2 + (50914,3–39649)² +(85889,1–39649)²] / 6 = 614995184
Среднее отклонение от средней в выборке S =√614995184 = ±24799,1
Средняя ошибка выборки σ_х = ±24799,1 / √6 = ±10126,2
Предельная ошибка выборки (с вероятностью 0,95 по таблице распределения Лапласа) ∆σ_х = 1,96 х 10126,2 = ±19847,4
Генеральная средняя находится в пределах:
39649–19847,4 = 19801,6
39649+19847,4 = 59496,4
Это соответствует расчетам средней арифметической простой 47154,82 и средней арифметической взвешенной 34382,1.

Задание №5
1. Примем стоимость ОПФ за факторный признак Х, Валовой региональный продукт ВРП за результативный Y.
Построим корреляционную таблицу 12
Таблица 12. Корреляционная таблица расчетов средней стоимости ОПФ и ВРП
Увеличение средних значений результативного признака с увеличением значений факторного признака свидетельствует о возможном наличии прямой корреляционной связи.
Используя данные индивидуальных значений построим график «поля корреляции».
3. По сгруппированным данным построим уравнение регрессии
На поле корреляции появилась линия, которая по форме ближе всего к прямой. Поэтому предполагаем наличие прямолинейной связи, которая выражается уравнением Yср = а₀ + а₁ Х., где Х – стоимость ОПФ, Y – валовой региональный продукт. Используя метод наименьших квадратов, определим параметры уравнения, для этого решим систему нормальных уравнений
Рассчитаем значения и данные занесем в таблицу 13.

Таблица 13. Предварительный расчет
n = 3 (количество групп)
Система уравнений примет вид
a₀ n + a₁ ∑X = ∑Y
a₀ ∑X + a₁ ∑X² = ∑XY
или
3a₀+ 859760a₁ = 485623
859760a₀+ 438771407022a₁ = 246592773126
Разделим каждый член обоих уравнений на коэффициенты при a₀
или
a₀+ 286586,7a₁ = 161874,3
a₀+ 510341,7a₁ = 286815,8
Определим a₁ вычитанием уравнений из друг друга
-223755а₁ = -124941,5
a₁ =0,558385
a₀ = 161874,3 -286586,7 х0,558385 = 1848,5
Y = 1848,5 + 0,558385 Х
Подставим в формулу средние фактические значения Х:
Y.₁ = 1848,5 + 0,558385 х 67561 =39573,5
Y₂ = 1848,5 + 0,558385х150725=86011,1
Y₃ = 1848,5 + 0,558385х641474 = 360038,0
Нанесем полученные теоретические значения ВРП на график в п. 2
Между признаками прямая корреляционная взаимосвязь.
4.                Рассчитаем линейный коэффициент корреляции
r = (3х246592773126 – 859760 х 485623) / √ (3х438771407022–859760²) (3 х 139860087107 – 485623²⁾ = (739778319378 – 417519230480) /
√ (1316314221066 – 739187257600) (419580261321 – 235829698129) = 0,9896
Критическое значение для первого уровня значимости при ά=0,05 равно 0,9969. Значит по критерию Фишера коэффициент корреляции не может считаться существенным.
5. Для малого объема выборочной совокупности используется тот факт, что^.
t_расч = r√n-2 / √ (1-r²⁾ = 0.9896 / √ (1–0.9896²⁾ = 6,880
В таблице значений ά – процентных пределов t _ά,к в зависимости от к степеней свободы и заданного уровня значимости ά для распределения Стьюдента при уровне значимости 1 величина ά при t = 6,314 составляет 10%. Это значит, что с вероятностью 90% можно считать, что существует прямая зависимость между изучаемыми признаками.
6. С вероятностью не более 90% можно сказать, что между стоимостью ОПФ и валовым региональным продуктом существует прямая зависимость.

Задание №6
1. Результативный признак – объем валового регионального продукта (ВРП).
Факторные признаки:
– численность занятого населения;
– стоимость основных фондов (ОФ)
Важность факторов с экономической точки зрения и последовательность их включения в уравнение регрессии определим:
1) Стоимость основных фондов
2)    Численность занятого населения
2. Характер связей определим по коэффициентам Фехнера. Средняя по ОФ Х= 103324,2 млн. руб. Средняя по ВР Y = 47154,8 млн. руб.
Таблица 14. Зависимость ВРП от ОФ:
В нашем случае коэффициент Фехнера не имеет практической ценности, т. к. совпадение в 23 случаях, несовпадение в 7 случаях,
К_ф = (23–7) / (23+7) = 0,533
Рассчитаем зависимость ВРП от численности занятого населения.
Примем за Х численность занятого населения.
Средняя численность составляет X = 10545,9 / 30 = 351,53 тыс. чел.
Y= 47154,8

Таблица 15. Зависимость ВРП от средней численности занятого населения
Итог показывает, что совпадений 17, несовпадений – 13.
К_ф = (17–13) / (17+13) = 0,133. Прямой зависимости между исследуемыми признаками не наблюдается.