Вариант 1
Задание 1
Дан треугольник АВС: А(5;4), В(2;0), С(8;3). Найти:
1)                длину стороны АВ;
2)                внутренний угол А с точностью до градуса;
3)                уравнение и длину высоты, опущенной из вершины С;
4)                точку пересечения высот;
5)                уравнение медианы, проведенной из вершины С;
6)                систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.
Сделать чертеж.
 SHAPE  \* MERGEFORMAT

A

B

C

K

H

P

M

Решение:
1)                Найдем координаты вектора :
.

Длина стороны АВ равна
.
2)                Внутренний угол А будем искать как угол между векторами  и :
.
Тогда угол .
3)                Прямая  проходит через точку С(8;3) и имеет нормалью вектор .
По формуле  получим уравнение высоты:
, ,
 - уравнение СК.
Длину высоты  будем искать как расстояние от точки С до прямой АВ. Эта прямая проходит через точку А и имеет направляющий вектор . По формуле  получим
, ,
 - уравнение прямой АВ.
Воспользуемся формулой .

.
4)                Известно, что высоты треугольника пересекаются в одной точке Р. Уравнение высоты СК найдено. выведем аналогичным способом уравнение высоты ВН, проходящей через точку В перпендикулярно вектору .
, .
Координаты точки Р найдем как решение системы:
, , .
Р(4;6).
5)                Координаты основания медианы будут:
6)                 
, ,
М(3.5;2).
Уравнение медианы найдем, используя формулу , как уравнение прямой, проходящей через две точки: С и М.
, , ,
 - уравнение медианы СМ.
7)                Треугольник АВС задается пересечением трех полуплоскостей, определяемых через уравнения прямых АВ, ВС, АС.
Найдем уравнения ВС и АС по формуле .
, , ,
 - уравнение ВС.
, , ,
 - уравнение АС.
 - уравнение АВ.
Чтобы определить полуплоскость, в которой лежит треугольник АВС относительно прямой АВ, подставим координаты точки С в уравнение АВ:
 4∙8-3∙3-8=32-9-8=15≥0.
Тогда полуплоскость, в которой лежит треугольник АВС относительно прямой АВ, определяется неравенством: .
Аналогично для прямых ВС и АС.
; .
; .
Таким образом, треугольник АВС определяется системой неравенств:
.
Ответ003A
1) ;
2) ;
3) ; ;
4) Р(4;6);
5) ;
6) .
Задание 2
Даны векторы . Доказать, что векторы  образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора  в этом базисе.
Решение:
 - система из четырех четырехмерных векторов. Следовательно, чтобы доказать, что она является базисом пространства , достаточно доказать ее линейную независимость.
Составим и вычислим определитель матрицы, столбцами которой являются векторы :
.
Для вычисления этого определителя, разложим его по четвертому столбцу:
.
Определитель Δ≠0, следовательно  - линейно независимая система из четырех четырехмерных векторов, то есть базис пространства .
Для нахождения координат вектора  в этом базисе, разложим вектор  по базису :
 .3
Найдем  - координаты вектора  в этом базисе.
.
Решим эту систему методом Гаусса.
Поменяем местами первое и третье уравнение:

Первое уравнение, умноженное последовательно на (-1) и (2), прибавим соответственно ко второму и третьему уравнениям системы:

Поменяем местами второе и четвертое уравнения, третье разделим на 5:


Прибавим к третьему уравнению второе:

Поменяв местами третье и четвертое уравнение, получим систему треугольного вида:
 
Система имеет единственное решение. Решаем снизу вверх:

Вектор  в базисе  имеет координаты .
Задание 3
Найти производные функций:

а)  
 
   и

 
.
б)  
 
   и
.
в)  
   
.
г)  

 

  
  , 
.
Задание 4

1.                Область определения .
2.                На концах области определения: .
 - значит  - вертикальная асимптота.
Найдем наклонные асимптоты, если они есть:


У функции есть горизонтальная асимптота .
3. Так как область определения не симметрична относительно 0, функция не является ни четной, ни нечетной, т. е. функция общего вида.
4. Функция периодичностью не обладает.
5. Найдем первую производную функции:
.
Решая уравнение , получим две критические точки , еще одна критическая точка .
Результаты исследования на монотонность и экстремум оформим в виде таблицы:

x	(-∞;-2)	-2	(-2;0)	0	(0;1)	1	(1;+∞)
y’	-	0	+	0	-	Не существует	-
y	Убывает	-80/27 min	Возрастает	0 max	Убывает	Не существует	Убывает

6. Находим вторую производную функции:

Решая уравнение , получим ,
 - это критические точки. Еще одна критическая точка .
Результаты исследования на выпуклость и точки перегиба оформим в виде таблицы:

x						1	(1;+∞)
y”	-	0	+	0	-	Не существует	+
y	Выпукла	-2.63 перегиб	Вогнута	-0.71 перегиб	Выпукла	Не существует	Вогнута

7. Учитывая результат пункта 2 и непрерывность функции при , значения функции заполняют промежуток (-∞;+∞).
8. Пересечение с осью Ох: , , точка (0;0). Она же – точка пересечения с Оу.
9. Необходимости в дополнительных точках нет.

Задание 5
Применяя таблицу интегралов и метод замены переменных, найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

Произведем замену переменной: , тогда



Проверка:


Произведем замену переменной: , тогда

Проверка:

Применяя метод интегрирования по частям, найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

Возьмем
Применяя формулу интегрирования по частям: , получим:

Проверка:

Применяя метод интегрирования рациональных алгебраических функций, найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

Подынтегральное выражение представляет собой неправильную дробь. Выделим целую часть, деля числитель на знаменатель.

Следовательно:
Разложим многочлен .

, тогда

.
Умножим обе части этого тождества на , получим

, тогда
. Решая эту систему, получим А=1.225; В=0.4.
Таким образом:

Проверка:
 
Ответ: ; ; ;
.

Задание 6
Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций
Находим координаты точек пересечения двух парабол, решая систему уравнений:
  . Приравнивая правые части, получим квадратное уравнение:
. Его решения . Тогда координаты точек пересечения А(0;-1), В(1;-1).
, поэтому
 кв. ед.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций
Находим координаты точек пересечения прямой и параболы, решая систему уравнений:
. Приравнивая правые части, получим квадратное уравнение:
. Его решения . Тогда координаты точек пересечения А(-1;1), В(0;-1).
, поэтому
 кв. ед.