ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРАВА
ФАКУЛЬТЕТ УПРАВЛЕНИЯ

 

Контрольная работа
По «Экономико-математическим методам»
Фисай А.А.
студента2-го курса
заочной формы обучения
Москва 2009г

Вариант 2.
№1.
Исследовать методом Жордана - Гаусса систему линейных уравнений, в случае совместности системы найти общее решение, некоторое частое небазисное решение, все базисные решения, указав при этом опорные решения:
х₁+х₂-х₃+2х₄=2
-х₁+х₂-3х₃-х₄=1
3х₁-х₂+5х₃+4х₄=3.
Решение:

		х1	х2	х3	х4	вi
		1	1	-1	2	2
		-1	1	-3	-1	1
		3	-1	5	4	3
		1	1	-1	2	2
		0	2	-4	1	3
		0	-4	8	-2	-3
		1	0	1
		0	1	-2
		0	0	0	0	3

 +II;∙ (-3)+III
   ∙ 2+III; :2

Получим эквивалентную систему уравнений

Последнее уравнение системы не имеет решений, исходная система несовместна, т.е. не имеет решений.
№2
Решить графическим методом следующие задачи линейного программирования: min f(x) = -6x₁+9x₂

х₁, х₂ ≥0.
Решение.
                 (*)
х₁, х₂ ≥0.
Построим граничные прямые

(1)                 х₁     0     3
                                        х₂     3     2
(2)                  х₁     0    1
                                        х₂     5    7
(3)                      х₁       0    0
                                      х₂       0    2

Выбираем нужные полуплоскости (смотри (*))
Получим область решений Д.
Построим =(-6;9);  - линия уровня, . Параллельным переносом линии уровня определяем точки, в которых функция достигает минимума. Это все точки луча АВ прямой (3).
Задача имеет бесконечное множество решений. При этом значение функции ограничено и для любого X*  составляем величину, равную 0.
Ответ:  (3;2) + (6;4), ; min

№3.
Решить симплексным методом следующие задачи линейного программирования min f( ) = - 2x₁ - 3x₂

Решение.
f( ) = - 2x₁ - 3x₂ + 0х₃ + 0х₄ +0х₅  min

x_j 0,     j =

Все полученные оценки не положительны. План оптимален.
X* = (х₁ = 3; х₂ = 2)
f min = f (X*) = -2 ∙ 3 – 3 ∙ 2 = -12,
f min = -12.
Ответ:        X* = (х₁ = 3; х₂ = 2);
f min = f (X*) = -12.
№4.
Решить следующие транспортные задачи (здесь А - вектор мощностей поставщиков, В – вектор мощностей потребителей, С - матрица транспортных издержек на единицу груза):
А = (300; 350; 160; 200), С =     ;
В = (400; 400; 200),

Решение
н₁=0    н₂=1    н₃=-1

вj aj	400	400	200
300	4	300 1	2
350	50   3	100  4	200 2
150	150  1	3	1
200	200  1	4	3

 

u₁ = 0
u₂ = 3
u₃ = 1
u₄ = 1

Опорное решение получили по правилу «минимальных издержек». Занятых клеток должно быть m + n – 1 = 4 + 3 – 1 = 6.
Определим потенциалы:
u₁ + н₂ = 1;           u₂ + н₁ = 3;           u₂ + н₂ = 4;           u_{2 +} н₃ = 2;
u₃ + н₁ = 1;           u₄ + н₁ = 1.
Пусть u₁ = 0, тогда   u₂ = 3;   u₁ = 0;   u₃  = -1;   u₃ = 1;   u₄ = 1.
Оценки свободных клеток
Ѕ₁₁=4-(0+0)>0;     Ѕ₁₃=2-(0-1)>0; Ѕ₃₂=3-(1+1)>0;
Ѕ₃₃=1-(1-1)>0;      Ѕ₄₂=4-(1+1)>0;     Ѕ₄₃=3-(1-1)>0.
План оптимален, т.к. все оценки положительны. Получим план перевозок

X* =     ;
минимальная стоимость Z min = Z (X*) = 300∙1 + 50∙3 + 100∙4 + ∙200∙2 +  + 150∙1 + 200∙1 =∙1600.
№5.
Для выпуска четырех видов продукции требуются затраты сырья, рабочего времени и оборудования. Исходные данные приведены в таблице:
Сформулировать экономико-математическую модель задачи на максимум прибыли и найти оптимальный план выпуска продукции.
Решение.
Обозначим через х₁, х₂, х₃, х₄ объем выпуска каждого из четырех видов продукции. Модель задачи примет вид: max Z = 30х₁ + 25х₂ + 8х₃ + 16х₄

х_j 0            (j = ).

Перейдем к задаче в каноническом виде:

х_j 0            (j = ).

	i	АБ	СБ	В	30	25	8	16	0	0	0
					А1	А2	А3	А4	А5	А6	А7
	1 2 3	А5 А6 А7	0 0 0	60 400 128	3 22 10	5 14 14	2 18 8	4 30 16	1 0 0	0 1 0	0 0 1	20 12,8
	m+1			0	-30	-25	-8	-16	0	0	0

min

Z (X) = 30х₁ + 25х₂ + 8х₃ + 16х₄ + 0х₅ +0х₆ +0х₇  max

	i	АБ	СБ	В	30	25	8	16	0	0	0
					А1	А2	А3	А4	А5	А6	А7
	1 2 3	А5 А6 А7	0 0 30	21,6 118,4 12,8	0 0 1	0,8 -16,8 1,4	-0,4 0,4 0,8	-0,8 -5,2 1,6	1 0 0	0 1 0	-0,3 -2,2 0,1
	m+1			384	0	17	16	32	0	0	3

Теперь все оценки не отрицательны. План оптимален.
Получили оптимальный план выпуска продукции X* = (12,8;  0;  0;  0). При этом максимальная прибыль составит
max Z = Z(X*) = 30∙12,8 + 25∙0 + 8∙0 + 16∙0 = 384.
Ответ: Следует выпускать только продукцию первого вида в количестве 12,8 ед. Максимальная прибыль составит 384 ден. ед.