Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"ВЛАДИМИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ"
Кафедра: Функциональный анализ и его приложения
Самостоятельная работа по математике
Владимир 2009

Задача 1. Коллинеарность векторов
а = { 2; -1; 6 }     в = { -1; 3; 8 }
c₁=5a – 2b = {5*2 – 2*(-1); 5*(-1) – 2*3; 5*6-2*8 } = {12; -11; 14 }
с₂=2а – 5в = {2*2 – 5*(-1); 2*(-1) – 5*3; 2*6-5*8 } = {9; -17; -28 }
 ≠  ≠-
12/9 ≠ 11/17 ≠ -14/28
Ответ: не коллинеарны.
Задача 2. Косинус угла между векторами АВ и АС
А (3; 3; -1 ) B (5; 1; -2 ) C (4; 1; -3 )
 = {2; -2; -1 } | | =  =
 = {1; -2; -2 } | | =  =
cos ( € ) = =
Задача 3. Площадь параллелограмма построенного на векторах а и в.
а=5p-q       b=p+q        |p|=5 |q|=3  (p€q) = 5
S=|5p - q|*|p + q|=|5p*p + 5p*q - q*p - q*q|=|5p*q + p*q| =6*|p*q|=6|p|*|q|*sin(p€q)=
=6*5*3*sin5
sin5 =    90* =45

Задача 4. Компланарность векторов а, в, с.
а = { 1; -1; 4 } в = { 1; 0; 3 } с = { 1; -3; 8 }

1*(0*8 - 3*(-3)) - (-1)*(1*8 - 1*3)+4(1*(-3) - 1*0)=9 + 5 - 12=2
2≠0 - не компланарны.
Задача 5. Объем тетраэдра с вершинами в точках А₁ А₂ А₃ А₄ и его высоту, опущенную из вершины А₄на грань А₁ А₂ А₃.
А₁ = { 0; -3; 1 } А₂ = { -4; 1; 2 } А₃ = { 2; -1; 5 } А₄ = { 3; 1; -4 }
₌ { -4; 4; 1 }
₌ { 2; 2; 4 }
₌ { 3; 4; -5 }

= * |(-4)*(2*(-5) - 4*4) - 4*(2*(-5) - 3*4) + 1*(2*4 - 3*2)=
= |40 + 64 + 40 + 48 + 8 - 6|= 194=32,33

= |i*(4*4 - 1*2) - j*((-4)*4 - 2*1)+k*((-4)*2 - 2*4)= |14i + 18j - 16k|=
= √14²+18²-16²= √264= *16,25=8,125
h= =11,94
Задача 6. Расстояние от точки М₀ до плоскости, проходящей через три точки
.
М₁ (1; 2; 0 ) М₂ (3; 0; -3 ) М₃ (5; 2; 6 ) М₀ (-13; -8; 16 )

(х-1) * ((-2)*6 - 0*(-3)) - (у-2)*(2*6 - 4*(-3)) + (z - 0)*(2*0 - 4*(-2))=0
(-12)*(х - 1) - 24*(у - 2) + 8*(z - 0) = 0
(-3)*(х - 1) - 6*(у - 2) + 2*(z - 0)=0
-3х - 6у + 2Z + 15 = 0
d= =
Задача 7. Уравнение плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно вектору .
А (-3; -1; 7 ) B (0; 2; -6 ) C (2; 3; -5 )
={2; 1; 1}
2*(х + 3) + 1*(у + 1) + 1*(z - 7)=0
2х + у + z = 0
Задача 8. Угол между плоскостями
2у + z - 9=0
х - у + 2z - 1=0
п₁={0; 2; 1 }
п2={1; -1; 2 }
cosφ= = =90
Задача 9. Координаты точки А, равноудаленной от точек В и С.
А (х; 0; 0 ) B (4; 5; -2 ) C (2; 3; 4 )
АВ= = =
АС= = =
=
=х² - 4х+29
х² - х² - 8х + 4х=29 – 45
-4х=-16
х=4
А (4; 0; 0 )
Задача 10. Канонические уравнения прямой
х - 3у + z + 2 = 0
х + 3у + 2z + 14 = 0

= i*((-3)*2 - 3*1)-j*(1*2 - 1*1)+k*(1*3 - 1*(-3) = -9i -j + 6k=
= { -9; -1; 6}

 (-8; 0; 0 )          =  =
Задача 11. Точка пересечения прямой и плоскости
 =  =
3х – 2у + 5z – 3 = 0
 =  =  = t

3*(1 + 6t) - 2*(3 + t) + 5*((-5) + 3t) – 3 = 0
3 + 18t – 6 - 2t – 25 + 15t – 3 = 0
31t – 31 = 0
31t = 31
t = 1
х = 1 + 6*1 у = 3 + 1    z = (-5) + 3*1
х = 7 у = 4 z = -2
( 7; 4; -2 )