Задача 4
С помощью метода наименьших квадратов подобрать параметры a и b линейной функции y = a + bx, приближенно описывающей опытные данные из соответствующей таблицы. Изобразить в системе координат заданные точки и полученную прямую.

Решение

Система нормальных уравнений

в задаче
n = 6

Тогда


решая ее получаем .
y = 0,5714x + 0,9476
\s
Задача 5
Найти неопределенный интеграл

Решение

Ответ:
Задача 6
Найти неопределенный интеграл

Решение

Ответ:
Задача 7
Найти неопределенный интеграл, применяя метод интегрирования по частям

Решение

Ответ:
Задача 8
Вычислить площадь, ограниченную заданными параболами

Решение

Точки пересечения по х: х = -1, х = 5.

Площадь фигуры найдем из выражения

Ответ:
Задача 9
Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка
Решение
Разделим переменные


Проинтегрируем






Ответ: 
Задача 10
Найти частное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющее начальному условию
              
Решение:



Запишем функцию  y в виде произведения y = u * v. Тогда находим производную:

Подставим эти выражения в уравнение



Выберем v таким, чтобы


Проинтегрируем выражение

,
Найдем u

 ,
 ,
,
,

Тогда

Тогда
Ответ:
Задача 11
Исследовать на сходимость ряд:
а) с помощью признака Даламбера знакоположительный ряд

Решение

Проверим необходимый признак сходимости ряда

n®¥

n®¥

n®¥

Т. к. , то необходимый признак сходимости ряда не соблюдается, и ряд расходится.
Используем признак Даламбера

Ответ: ряд расходится

б) с помощью признака Лейбница знакочередующийся ряд

Решение

Проверим необходимый признак сходимости ряда

n®¥

n®¥

n®¥

Т. к. , то необходимый признак сходимости ряда соблюдается, можно исследовать ряд на сходимость.
По признаку подобия

данный ряд аналогичен гармоническому ряду начиная с пятого члена, таким образом, т.к. гармонический ряд расходится, то и исходный ряд расходится.
Ответ: ряд расходится
в) Найти радиус сходимости степенного ряда и определить тип сходимости ряда на концах интервала сходимости


Решение
Используем признак Даламбера:

                           

 

При х =5 получим ряд

Ряд знакопостоянный, lim Un = n
Ряд расходится, так как состоит из суммы возрастающих элементов, каждый из которых больше 1.
При х = -5 получим ряд

Ряд знакочередующийся, lim Un = n
|U_n| > |U_n+1| > |U_n+2| … - не выполняется.
По теореме Лейбница данный ряд расходится
Ответ:   Х Î (-5; 5)

Задача 12
Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда

Решение

В разложении функции sin(x) в степенной ряд

заменим . Тогда получим

Умножая этот ряд почленно на   будем иметь

 

Следовательно

Ответ: » 0,006.