Задача 1

В базе данных магазина, торгующего подержанными автомобилями, содержится информация об их потребительских свойствах и ценах.
Для анализа зависимости цены автомобиля Y от его возраста X₁ и мощности двигателя X₂ из базы данных выбраны сведения о 16 автомобилях. Эти сведения приведены в таблице 1.

Таблица 1

Номер автомобиля i	Цена (тыс.у.е.) yi	Возраст (лет) xi1	Мощность двигателя (л.с.) xi2
1	6,8	6,0	93
2	7,2	4,0	67
3	4,3	6,0	57
4	10,0	4,0	106
5	9,7	5,0	108
6	12,4	4,0	136
7	12,9	4,0	143
8	6,6	7,0	127
9	11,2	3,0	93
10	11,2	4,0	111
11	8,3	6,0	124
12	5,6	6,0	81
13	5,6	6,0	71
14	6,4	6,0	88
15	5,3	7,0	112
16	4,0	7,0	88

2. Множественная зависимость
С помощью коэффициентов парной корреляции проанализировать тесноту линейной связи между ценой и возрастом автомобиля, а также между ценой и мощностью двигателя. Проверить их значимость с надежностью 0,9.
Методом наименьших квадратов найти оценки коэффициентов множественной линейной регрессионной модели

.
Проверить статистическую значимость параметров и уравнения множественной регрессии с надежностью 0,9.
Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей возраста 3 года и мощностью двигателя 165 л.с. с доверительной вероятностью 0,95.
3. Экономическая интерпретация
На основе полученных статистических характеристик провести содержательный экономический анализ зависимости цены автомобиля от его возраста и мощности двигателя.
Расчетная таблица:

№	y	X1	x2	x12	x22	y*x1	y*x2	y2	x1x2
1	6,8	6	93	36	8649	40,8	632,4	46,2	558
2	7,2	4	67	16	4489	28,8	482,4	51,8	268
3	4,3	6	57	36	3249	25,8	245,1	18,5	342
4	10,0	4	106	16	11236	40,0	1060,0	100,0	424
5	9,7	5	108	25	11664	48,5	1047,6	94,1	540
6	12,4	4	136	16	18496	49,6	1686,4	153,8	544
7	12,9	4	143	16	20449	51,6	1844,7	166,4	572
8	6,6	7	127	49	16129	46,2	838,2	43,6	889
9	11,2	3	93	9	8649	33,6	1041,6	125,4	279
10	11,2	4	111	16	12321	44,8	1243,2	125,4	444
11	8,3	6	124	36	15376	49,8	1029,2	68,9	744
12	5,6	6	81	36	6561	33,6	453,6	31,4	486
13	5,6	6	71	36	5041	33,6	397,6	31,4	426
14	6,4	6	88	36	7744	38,4	563,2	41,0	528
15	5,3	7	112	49	12544	37,1	593,6	28,1	784
16	4,0	7	88	49	7744	28,0	352,0	16,0	616
Сумма	127,5	85	1605	477	170341	630,2	13510,8	1141,9	8444

Коэффициенты парной корреляции:
 =  = -0,833
 = = 0,665
Проверка значимости:

(по таблице).
 = 5,63 > 1,761
 = 3,33 > 1,761
Коэффициенты корреляции существенно отличаются от 0.
Найдем матрицы:
 =
 =
Найдем матрицу , обратную к матрице . Определитель

|X^TX| = 16 * 477 * 170341 + 85 * 8444 * 1605 + 1605 * 85 * 8444 – 1605 * 477 * 1605 – 85 * 85 * 170341 – 16 * 8444 * 8444 = 3692086
Алгебраические дополнения:
D₁₁ = (–1)^{1 + 1}  = 477 * 170341 – 8444² = 9951521 и т.д.
Матрица алгебраических дополнений
 =
Присоединенная матрица
(X^TX)^* = D^T =  = D
(матрица D симметрична).
(X^TX)^–1 = (X^TX)^* / |X^TX| =  =
Вектор оценок коэффициентов модели:
A = (X^TX)^-1 (X^TY) =  =

Y = 10,455 – 1,650x₁ + 0,063x₂
Расчетная таблица:

№	y	x1	x2		y -	(y - )2	y -	(y - )2
1	6,8	6,0	93,0	6,38	0,42	0,179	-1,2	1,4
2	7,2	4,0	67,0	8,05	-0,85	0,721	-0,8	0,6
3	4,3	6,0	57,0	4,12	0,18	0,031	-3,7	13,5
4	10,0	4,0	106,0	10,49	-0,49	0,241	2,0	4,1
5	9,7	5,0	108,0	8,97	0,73	0,539	1,7	3,0
6	12,4	4,0	136,0	12,37	0,03	0,001	4,4	19,6
7	12,9	4,0	143,0	12,81	0,09	0,009	4,9	24,3
8	6,6	7,0	127,0	6,86	-0,26	0,065	-1,4	1,9
9	11,2	3,0	93,0	11,33	-0,13	0,016	3,2	10,4
10	11,2	4,0	111,0	10,80	0,40	0,157	3,2	10,4
11	8,3	6,0	124,0	8,32	-0,02	0,000	0,3	0,1
12	5,6	6,0	81,0	5,63	-0,03	0,001	-2,4	5,6
13	5,6	6,0	71,0	5,00	0,60	0,361	-2,4	5,6
14	6,4	6,0	88,0	6,06	0,34	0,113	-1,6	2,5
15	5,3	7,0	112,0	5,92	-0,62	0,379	-2,7	7,1
16	4,0	7,0	88,0	4,41	-0,41	0,171	-4,0	15,8
Сумма	127,5					2,985		125,9

Остаточная дисперсия
S² = ∑ (y_i - _i)² / (n – m – 1) = 2,985 / (16 – 2 – 1) = 0,230
Ковариационная матрица:
S² (X^TX)^-1 = 0,230 *  =
Стандартные ошибки коэффициентов равны квадратным корням из диагональных элементов ковариационной матрицы:
S₀ =  = 0,787
S₁ =  = 0,096
S₂ =  = 0,005
Проверим значимость параметров регрессии.
Табличное значение
t_{1 – α/2, n – 3} = 1,77
t₀ = |a₀| / S₀ = 10,455 / 0,787 = 13,3 > 1,77
t₁ = |a₁| / S₁ = 1,650 / 0,096 = 17,1 > 1,77
t₂ = |a₂| / S₂ = 0,063 / 0,005 = 12,4 > 1,77
Все параметры значимы.
Коэффициент детерминации
 = 1 – 2,985 / 125,9 = 0,976
Табличное значение критерия Фишера
F_т = 3,8
Расчетное значение
F_ф =  =  = 267,7 > 3,8
Уравнение значимо.
Точечный прогноз:
(x^p) = 10,455 – 1,650 * 3 + 0,063 * 165 = 15,83 тыс. у.е.
Интервальный прогноз


Квантиль распределения Стьюдента (по таблице)
 = t_{0,975; 13} = 2,16

где S =  =  = 0,479
x^p (X^TX)^-1(x^p)^T =  =    = 0,633
 = 0,479 *  = 0,381
_В,Н = 15,83 ± 2,16 * 0,381 = 15,83 ± 0,68
_Н = 15,15
_В = 16,51
3. Экономическая интерпретация. Между возрастом автомобиля и его ценой существует тесная отрицательная связь (коэффициент корреляции –0,833): при увеличении возраста на 1 год (при фиксированной мощности двигателя) цена падает в среднем на 1,650 тыс. усл. ед.
Между мощностью двигателя и ценой автомобиля существует менее тесная положительная связь (коэффициент корреляции 0,665): при увеличении мощности на 1 л.с. (при фиксированном возрасте автомобиля) цена увеличивается в среднем на 0,063 тыс. усл. ед.
С вероятностью 0,95 можно утверждать, что цена автомобиля при возрасте 3 года и мощности двигателя 165 л.с. будет находиться в пределах от 15,15 до 16,51 тыс. усл. ед.

Задача 3
1. Для регрессионной модели
 и
с помощью критерия Дарбина-Уотсона проверить наличие или отсутствие автокорреляции на уровне значимости 0,05.
2. Для регрессионной модели

проверить наличие или отсутствие мультиколлинеарности, используя:
а) парный коэффициент корреляции;
б) критерий «хи-квадрат» χ² на уровне значимости 0,05.
Расчетная таблица:

№	et	et-1	et - et-1	(et - et-1)2	(et)2
2	-0,85	0,42	-1,27	1,62	0,72
3	0,18	-0,85	1,03	1,05	0,03
4	-0,49	0,18	-0,67	0,45	0,24
5	0,73	-0,49	1,22	1,50	0,54
6	0,03	0,73	-0,70	0,49	0,00
7	0,09	0,03	0,06	0,00	0,01
8	-0,26	0,09	-0,35	0,12	0,07
9	-0,13	-0,26	0,13	0,02	0,02
10	0,40	-0,13	0,52	0,27	0,16
11	-0,02	0,40	-0,41	0,17	0,00
12	-0,03	-0,02	-0,01	0,00	0,00
13	0,60	-0,03	0,63	0,39	0,36
14	0,34	0,60	-0,26	0,07	0,11
15	-0,62	0,34	-0,95	0,91	0,38
16	-0,41	-0,62	0,20	0,04	0,17
Сумма				7,11	2,81

Статистика Дарбина-Уотсона
 = 7,11 / 2,81 = 2,53
Табличные значения при n = 16, m = 2
d_l = 0,98; d_u = 1,54
Так как 4 – d_u < d < 4 – d_l, вопрос о наличии автокорреляции остается открытым (область неопределенности критерия).
Найдем коэффициент парной корреляции между объясняющими переменными.
r₁₂ =  = -0,169
Проверим значимость коэффициента корреляции.
 =  = 0,643 < 1,761
Коэффициент незначим, т.е. мультиколлинеарность не имеет места.
Определитель матрицы коэффициентов парной корреляции:
Det (r) =  = 1 – 0,169² = 0,971
Табличное значение статистики для df = 1 и α = 0,05 равно
χ²_1;0,05 = 3,84.
Фактическое значение статистики
 = - (16 – 1 – (2 * 2 + 5) / 6) ln 0,971 = 0,39 < 3,84
Мультиколлинеарность не имеет места, т.е. линейной зависимости между объясняющими переменными (возрастом автомобиля и мощностью двигателя) не существует. Это свидетельствует о надежности оценок параметров модели.