Контрольная работа
«Методы оптимизации при решении уравнений»

Задание №1
Определить, существует ли кривая , доставляющая функционалу экстремум и, если существует, то найти ее уравнение.

Решение: Составим уравнение Эйлера и найдём его общее решение:


Используем краевые условия:

Решаем систему уравнений и получаем:

Таким образом, экстремаль имеет уравнение вида

Так как


то функционал на прямой  достигает минимума.
Задание №2
Найти, используя уравнение Эйлера-Лагранжа, оптимальное управление , минимизирующее функционал  для системы, описываемой уравнениями
,
при начальных и конечных условиях соответственно:

A	B	t0	tf	x0	xf	a	b
0 1 0 0	0 1	0	1	1 0	0 0	0	1

Решение
Формируем задачу по исходным данным:
                                 (1)

                                    (2)

Составим функцию Лагранжа и гамильтониан:

и соответственно уравнения Эйлера-Лагранжа (здесь для Н):
                                      (3)
                            (4)
Используя замену (3), подставим выражения (4) во второе уравнение динамики в (1):

и находим общее решение
                                       (5)
Подставим его в первое уравнение (1):


и находим общее решение:
                                            (6)
Для  из (6) и  из (5) используем начальные и конечные условия и получаем систему уравнений для констант С₁, С₂, С₃, С₄,:

Таким образом, решение имеет вид:

которое удовлетворяет начальным и конечным условиям.

Задание №3
Для системы, описываемой уравнениями
 
с заданными условиями на начальное  и конечное  значение координат, найти оптимальное управление , минимизирующее функционал

A	B	t0	tf	x0	xf	g0	a	b
0 1 0 0	0 1	0	t	1 0	x1(tf) = -tf2	0	0	1

Решение. Формулируем задачу по исходным данным
                                 (1)
                                        (2)
т.е. , подвижна на правом конце, координата  - свободна на правом конце,


Составим функцию Гамильтона Н (или функцию Лагранжа L)
                                        (3)
и соответствующие уравнения Эйлера-Лагранжа:
                                                 (4)
                     (5)
                                (6)
Составим вспомогательную функцию
,      
где . Таким образом:
.                                                 (7)
Поскольку  и  подвижны, то используем условия трансверсальности:


                                               (8)
                               (9)
Так как не фиксирован момент времени , то используем условие трансверсальности

Найдем значение  при  из (3), но учтем, что , а  из (9). Тогда, учитывая (4):

и используя (10) получим:
                                    (11)
Подставляя (4), (5) и (6) в (2), а потом в (1) и интегрируя получим:
                               (12),

                  (13)
Используя начальные условия, можем записать:

Запишем условие  с учетом (13). Тогда:
                                          (14)
Уравнения (9), (11) и (14) составляют систему уравнений с тремя неизвестными С₁, С₂ и :

Подставляя 1-е уравнение во 2-е, получим:
,
а подставляя 1-е в третье, получим:


Таким образом, решение имеет вид:

Задание №4
Используя метод динамического программирования найти оптимальное уравнение для системы

A	B	t0	tf	F	a	b
0 1 0 0	0 1	0	∞	0	1 0 0 2	1

Решение:
Формируем задачу по исходным данным.
                       (1)

 – не ограничено, то есть .

Составим уравнение Беллмана с учетом того, что  (S-функция Беллмана)
                             (2)
                                    (3)
                                               (4)
Из (3) находим:
                                        (5)
Подставим (5) в (4)
                  (6)

Представим функцию Беллмана в виде квадратичной формы
                                    (7)
причем это должна быть положительно определенная квадратичная форма, а значит
                                              (8)
т.е. матрица должна быть положительно определённой.
Вычисляя выражения:
                                   (9)
подставим их в (6) и обратим коэффициенты при ,  и  в ноль, т.к. справа у нас ноль:

Отсюда:
                                    (10)

                        (11)
                           (12)
Если , то  Þ S < 0, что нельзя допустить. Тогда:
 
а следовательно а₁₂ и а₂₂ должны быть одного знака, так как а₁₁ > 0.
Тогда а₁₂ = 1/2, а₂₂ = 1, а₁₁ = 1. Таким образом, решение имеет вид (из (5) и (9)):

Задача 5
Используя принцип максимума Понтрягина найти оптимальное управление для линейной системы

в задаче:

А	В	t0	tf	х0	xf	|u|
0 1 0 0 0 1 0 0 0	0 0 1	0	1	0 0 0	x1®max 0 0	£1

Решение:
Формируем задачу по исходным данным:

   
                                         (4)
Составим функцию Гамильтона

Уравнения Эйлера-Лагранжа имеет вид:
                                      (5)
                                (6)
                         (7)

Поскольку  – подвижна, то используем условие трансверсальности:
 
Но из (5) видно, что y₁ = С₁Þ С₁ = 1. Тогда из (7) видно, что y₃ = t²/2-C₂t+C₃, - то есть это квадратичная парабола ветвями вверх, которая может дважды пересечь уровень y₃ = 0 и возможных порядок следования интервалов знакопостоянства следующий: +, -, +.
Из принципа максимума следует:
,
а следовательно:

Тогда, поскольку y₃ меняет знак дважды, (пусть в моменты t₁ и t₂) можем записать
                                                        (8)
Подставим  в (3) и получим, проинтегрировав уравнение (3)

                                   (9)
Используя начальные и конечные условия для х₃ и условия непрерывности  в t₁ и t₂ получим:
                (10)
Подставим (9) и константы из (10) в (2) и проинтегрируем. Получим:
                               (11)
Используя начальные и конечные условия для х₂ и условия непрерывности в t₁ и t₂, получим:

Используем непрерывность  при  и :

                  
           
Собрав уравнения (10) и полученное уравнение составим систему уравнений:
                            (12-14)

 

Подставив (12) в (13), получим уравнение

.
Подставим (13) в полученное уравнение (вместо ):

Тогда t₁ из (12) равно


и, наконец,

Подставим (11), с учетом найденных констант в (1):
                                (15)
Исходя из начального условия и условия непрерывности получим:

Таким образом: моменты переключения: t₁=1/4, t₂=3/4, а  заданы уравнениями(15), (11), (9) и (8) с известными константами.
Задание №6
Установить управляемость и наблюдаемость линейной системы:


где
.
Решение:
Для оценки управляемости составим матрицу управляемости (учтем, что n=3);
         Y = (B, AB, A²B):                                                       

Таким образом

Взяв минор из 1,2 и 3 столбцов можно видеть, что
.

Следовательно, rang(Y)=3=n и система вполне управляема.
Для оценки наблюдаемости системы составим матрицу наблюдаемости (n=3):
H=(C^T, A^TC^T, (A^T)² C^T);

.
Таким образом

Взяв минор из 1, 2 и 3 столбцов можно видеть, что

Таким образом rang(H) = 3 = n, а следовательно система вполне наблюдаема.

Задание №7
Для линейной системы и квадратичного критерия

выполнить синтез оптимального управления с обратной связью

A	B	Q	R
0 1 1 0	1 0	1 0 0 0	1

Решение: Требуется выполнить синтез стационарного регулятора. Для этого воспользоваться алгебраическим матричным уравнением Риккати:

где
,
причем матрица l>0 (положительно определена).


Сравнивая коэффициенты матрицы слева и справа, стоящих на одинаковых местах получим систему уравнений:

Решая систему уравнений с учетом положительной определенности матрицы l, получим:

Тогда для уравнения, которое имеет вид

получим: