Забайкальский государственный гуманитарно-педагогический университет
им. Н.Г. Чернышевского
Физико-математический факультет
Кафедра математического анализа
Приложение определенного интеграла к решению задач
практического содержания
Курсовая работа
Выполнила: студентка 4 курса ОЗО
ФМФ Ракова Екатерина Викторовна
Научный руководитель: заведующий
кафедрой математического анализа
Степанова Лилия Эдуардовна
Чита, 2007

Оглавление
  Введение. 3
1. Историческая справка. 6
2. Условия существования определенного интеграла. 10
3. Приложение интегрального исчисления. 11
3.1 Общие понятия. 11
3.2 Интегральное исчисление в геометрии. 13
3.2.1 Вычисление длины дуги плоской кривой.. 13
3.2.2 Вычисление объема тела. 16
3.2.3 Вычисление площади поверхности вращения. 18
3.2.4. Вычисление площадей плоских фигур………………………………………. 20
3.3 Механические приложение определенного интеграла. 23
3.3.1 Работа переменной силы.. 23
3.3.2 Путь, пройденный телом.. 24
3.3.3 Давление жидкости на вертикальную пластинку.. 25
3.3.4 Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской кривой   26
3.3.5Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской фигуры   28
3.4 Интегральное исчисление в биологии. 31
3.4.1 Численность популяции. 31
3.4.2................................................................................................. Биомасса популяции……………………………………………………………… 32
3.4.3 Средняя длина пролета. 33
3.5 Интегральное исчисление в экономике. 35
Заключение. 39
Литература. 40

          Введение
Нахождение производной f’(x) или дифференциала df=f’(x)dx функции f(x) является основной задачей дифференциального исчисления. В интегральном исчислении решается обратная задача: по заданной функции f(x) требуется найти такую функцию F(x), что F’(х)=f(x) или F(x)=F’(x)dx=f(x)dx.. Таким образом, основной задачей интегрального исчисления является восстановление функции F(x) по известной производной (дифференциалу) этой функции. Интегральное исчисление имеет многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике. Оно дает общий метод нахождения площадей, объемов, центров тяжести и т. д.
Задача о нахождении  площади
 Определить площадь P криволинейной трапеции ABCD (рис 1)

Рис 1

Разделим основание АВ нашей фигуры произвольным образом на части и проведем ординаты, со­ответствующие точкам деления; тогда криволинейная трапеция разобьется на ряд полосок. Заменим теперь приближенно каждую полоску некоторым пря­моугольником, основание кото­рого то же, что и у полоски, а высота совпадает с одной из ординат полоски, скажем с крайней слева. Таким образом, криволинейная фигура заменится некото­рой ступенчатой фигурой, составленной из отдельных прямоуголь­ников.
Обозначим абсциссы точек деления через
X =  a < X < X  < … < X  < X  < … < X   =  b.
Основание i – го прямоугольника равно разности X  - X  (ΔX ). Высота равна y  = f (X ). Поэтому площадь i – го прямоугольника будет y  ΔX  = f (X ) ΔX .
Просуммировав площади всех прямоугольников, получим приближенное значение площади P криволинейной трапеции
P=  y  ΔX   или  P= f (X ) ΔX  .
Погрешность этого равенства при безграничном убывании всех  ΔX  стремится к нулю. Точное значение площади P получится как предел:
P=Lim  y  ΔX   или  P=Lim f (X ) ΔX ,
В предположении, что все ΔX  одновременно стремятся к 0.
Для обозначения пре­дельного значения  суммы  y ΔX Лейбниц и ввел символ ∫ ydx, где  ydx   напоминает типичное слагаемое суммы, а  ∫ есть сти­лизованная буква S - начальная буква латинского слова “Summa”. Так как площадь, представляющая это предельное значение, в то же время является первообразной для функции у, то тот же символ со­хранился и для обозначения первообразной функции. Впоследствии, с введением функционального обозначения, стали писать
∫ f(x)dx,
если речь идет о переменной площади, и
f(x)dx,
- в случае площади фиксированной фигуры ABCD, отвечающей из­менению х от а до b.
Определение.  Пусть функция f (X ) задана в некотором про­межутке [a, b]. Разобьем этот промежуток произвольным образом на части, вставив между a и b точки деления. Наибольшую из разностей ΔX  = X  - X   (i = 0, 1,2, . ..,n-1) обозна­чим через λ.
Возьмем в каждом из частичных промежутков [X , X ] по про­изволу точку X = ξ
X  ≤  ξ  ≤  X  (i = 0, 1, … , n-1)
и составим сумму
σ = f(ξ ) ΔX
Пусть I конечный предел данной суммы
I = σ.
Конечный предел I суммы σ при называется определенным интегралом функции f(x) в промежутке от a до b и обозначается символом
I = f(x)dx
В случе существования такого предела функция f(x) называется интегрируемой в промежутке [a, b].
Числа a и b носят название, соответственно, нижнего и верхнего пределов интеграла. При постоянных пределах определенный интеграл представляет собой постоянное число.
Приведенное определение принадлежит Риману (B.Riemann), коорый впервые высказал его в общей форме и исследовал область его применения.[7]

1. Историческая справка
Интеграл  (от лат. Integer - целый ) - одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой - измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т. п.
Символ  введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова сумма). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.) . Вероятно, оно происходит от латинского integero , которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. ( Действительно, операция интегрирования “восстанавливает” функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно происхождение слова интеграл иное: слово integer означает целый.
В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли. Тогда же , в 1696г., появилось и название новой ветви математики - интегральное исчисление ( calculus integralis ), которое ввел И. Бернулли.
Другие известные термины, относящиеся к интегральному исчислению, появились значительно позднее. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило более раннее “примитивная функция”, которое ввел Лагранж (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как “начальный”: F(x)=  - начальная (или первоначальная, или первообразная) для функции f(x), которая получается из F(x) дифференцированием.
В современной литературе множество всех первообразных для функции f(x) называется также неопределенным интегралом . Это понятие выделил Лейбниц , который заметил, что все первообразные функции отличаются на произвольную постоянную. А  называют определенным интегралом (обозначение ввел К. Фурье (1768-1830), но пределы интегрирования указывал уже Эйлер).
Самое важное из истории интегрального исчисления
Возникновение задач интегрального исчисления связано с нахождением площадей и объемов. Ряд задач такого рода был решен математиками древней Греции. Античная математика предвосхитила идеи интегрального исчисления в значительно большей степени, чем дифференциального исчисления. Большую роль при решении таких задач играл исчерпывающий метод, созданный Евдоксом Книдским (ок. 408 - ок. 355 до н. э.) и широко применявшийся Архимедом (ок. 287 - 212 до н. э.).
Однако Архимед не выделил общего содержания интеграционных приемов и понятий об интеграле, а тем более не создал алгоритма интегрального исчисления. Ученые Среднего и Ближнего Востока в IX - XV веках изучали и переводили труды Архимеда на общедоступный в их среде арабский язык, но существенно новых результатов в интегральном исчислении они не получили.
Деятельность европейских ученых в это время была еще более скромной. Лишь в XVI и XVII веках развитие естественных наук поставило перед математикой Европы ряд новых задач, в частности задачи на нахождение квадратур (задачи на вычисление площадей фигур), кубатур (задачи на вычисление объемов тел) и определение центров тяжести.
Труды Архимеда, впервые изданные в 1544 (на латинском и греческом языках), стали привлекать широкое внимание, и их изучение явилось одним из важнейших отправных пунктов развития интегрального исчисления . Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления . Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления .
Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод - метод неделимых, который также зародился в Древней Греции. Например, криволинейную трапецию они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной f(x) , которым тем не менее приписывали площадь, равную бесконечно малой величине f(x)dx. В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме S =  бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме - нули, но нули особого рода, которые сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму.
На такой кажущейся теперь по меньшей мере сомнительной основе И. Кеплер (1571 - 1630 гг.) в своих сочинениях “Новая астрономия” (1609 г.) и “Стереометрия винных бочек” (1615 г.) правильно вычислил ряд площадей (например площадь фигуры, ограниченной эллипсом) и объемов (тело резалось на бесконечно тонкие пластинки).
Эти исследования были продолжены итальянскими математиками Б. Кавальери (1598 - 1647 годы) и Э. Торричелли (1608 -1647 годы).
В XVII веке были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П. Ферма уже в 1629 году решил задачу квадратуры любой кривой y =  , где N - целое ( т. е. вывел формулу   ), и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет, фактически опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу (1603-1677 года), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи интегрирования и дифференцирования . Большое значение имели работы по представлению функции в виде степенных рядов.
Однако при всей значимости результатов, полученных математиками XVII столетия, исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи, лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования , дающую достаточно точный алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известный вам под названием формулы Ньютона - Лейбница . Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научиться находить первообразные многих функций, дать логические основы нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано.
Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии (в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И. Бернулли). В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М. В. Остроградский (1801 - 1862 гг.), В. Я. Буняковский (1804 - 1889 гг.), П. Л. Чебышев (1821 - 1894 гг.). Принципиальное значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции.
Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке, Решение этой задачи связано с именами О. Коши , одного из крупнейших математиков немецкого ученого Б. Римана (1826 - 1866 гг.), французского математика Г. Дарбу (1842 - 1917).
Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1826 - 1922 гг.) теории меры.
Различные обобщения понятия интеграла уже в начале 20 столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875 - 1941 гг.) и А. Данжуа (1884 - 1974) советским математиком А. Я. Хичиным (1894 -1959 гг.)

2. Условия существования определенного интеграла
1. Интегрируемая функция необходимо ограничена.
Если бы функция f(x) была в промежутке [a, b] неограниченна, то – при любом разбиении промежутка на части – она сохранила бы подобное свойство хоть в одной из частей. Тогда за счет выбора в этой части точки  можно было бы сделать f( ), а с ней и сумму , - сколь угодно большой; при этих условиях конечного предела для  существовать не могло бы.
2.Для существования определенного интеграла необходимо и достаточно, чтобы было
(S - s) = 0
s = m  ΔX ,                 S = M  ΔX ,
где m  и M  - точные нижняя и верхняя грани. Суммы Дарбу s и S служат точными, соответственно, нижней и верхней границами для интегральных сумм.[7]

3. Приложение интегрального исчисления
3.1 Общие понятия
Пусть требуется найти значение какой – либо геометрической или физической величины A (площадь фигуры, объем тела, давление жидкости на вертикальную пластину и т. д.), связанной с отрезком [a, b] изменения переменной x. Предполагается, что при разбиении отрезка [a, b] точкой с  (a, b) на части [a, c] и [c, b] значение величины A, соответствующее всему отрезку [a, b] равно сумме ее значений, соответствующих [a, c] и [c, b].
Для нахождения этой величины А можно руководствоваться одной из двух схем: I схема (или метод интегральных сумм) и II схема (или метод дифференциала).[5]
Первая схема базируется на определении определенного интеграла.
1. Точками x  = a, x , … ,x  = b  разбить отрезок [a, b] на n частей. В соответствии с этим, интересующая нас величина A разобьется на n “элементарных слагаемых”
Δ A (I = 1, … , n): A = ΔA  + ΔA + … + ΔA
2. Представить каждое “элементарное слагаемое” в виде произве­дения некоторой функции (определяемой из условия задачи), вычислен­ной в произвольной точке соответствующего отрезка на его длину:
Δ A ≈ f(c ) ΔX
При нахождении приближенного значения ДЛ; допустимы некоторые упрощения: дугу на малом участке можно заменить хордой, стягивающей ее концы; переменную скорость на малом участке можно приближенно считать постоянной и т. д.
Получим приближенное значение величины А в виде интегральной суммы:
A≈ f(c ) ΔX + … + F(c )ΔX  = f(c ) ΔX
1.                Искомая величина А равна пределу интегральной суммы, т. е.
A = f(c ) ΔX  = f(x)dx.
Указанный “метод сумм”, как видим, основан на представлении интегра­ла как о сумме бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых.
Схема I была применена для выяснения геометрического и физическо­го смысла определенного интеграла.
Вторая схема представляет собой несколько видоизмененную схему I и называется “метод дифференциала” или “метод отбрасывания беско­нечно малых высших порядков”:
1) на отрезке [а, b] выбираем произвольное значение х и рассматри­ваем переменный отрезок [a, x]. На этом отрезке величина A становится функцией x: А — А(x), т. е. считаем, что часть искомой величины А есть неизвестная функция А(x), где x т.е.  [а, b] -  один из параметров величи­ны А;
2) находим главную часть приращения ΔA при изменении x на малую величину Δx; = dх, т. е. находим дифференциал dA функции A = А(x):dA -  f(x)dx, где f(x), определяемая из условия задачи, функция пере­менной x  (здесь также возможны различные упрощения);
3) считая, что dА ≈ ΔA при Δx  0, находим искомую величину путем интегрирования dA  в пределах от а до b:

3. Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = b, получим
P =   или P =
Пример. Определить величину давле­ния воды на полукруг, вертикально погружен­ный в жидкость, если его радиус R, а центр О находится на свободной поверхности воды (рис 15).[5]
Решение: Воспользуемся полученной форму­лой для нахождения давления жидкости на вер­тикальную пластинку. В данном случае пластинка ограничена линиями у  = - , y , x = 0, x = R.
P =

Рис 15

 3.3.4  Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской кривой
Пусть на плоскости Оху задана система материальных точек М (х ;у ), М₂(х₂;y ), … , M (x ;y ) соответственное массами m ,m , … , m„.
Статическим моментом S_Х системы материальных точек относи­тельно оси Ох называется сумма произведений масс этих точек на их ординаты (т. е. на расстояния этих точек от оси Ох):

         Аналогично определяется статистический момент S  этой системы относительно оси Oy: S = .
Если массы распределены непрерывным образом вдоль некоторой кри­вой, то для выражения статического момента понадобится интегрирова­ние.
Пусть у =f/(х) (a ≤ х ≤ b) — это уравнение материальной кривой АВ. Будем считать ее однородной с постоянной линейной плотностью  (  = const).
Для произвольного х  [а;b] на кривой АВ найдется точка с коорди­натами (х; у). Выделим на кривой элементарный участок длины dl, содер­жащий точку (х;у). Тогда масса этого участка равна . Примем этот участок dl приближенно за точку, отстоящую от оси Ох на расстоянии у. Тогда дифференциал статического момента dS  (“элементарный момент”) будет равен , т.е. .
Отсюда следует, что статический момент S_Х кри­вой АВ относительно оси Ох равен

Аналогично находим S :

Статические моменты S_Х и S_У  кривой позволя­ют легко установить положение ее центра тяжести (центра масс).
Центром тяжести материальной плоской кривой у = f(х), х 6 [а; b] называется точка плоскости, обладающая следующим свойством: если в этой точке сосредоточить всю массу т заданной кривой, то статический момент этой точки относительно любой координатной оси будет равен ста­тическому моменту всей кривой у = f(х) относительно той же оси. Обо­значим через С(х_с;у_с) центр тяжести кривой АВ.
Из определения центра тяжести следуют равенства  и  или  и . Отсюда ,
или
 
Пример. Найти центр тяжести однородной дуги окружности x  + y ⁼ R², расположенной в первой координатной четверти (рис 16).[5]

Рис 16

Решение: Очевидно, длина указанной окружности равна , т.е. . Найдем статистический момент ее относительно оси Ох. Так как уравнение дуги есть  и , то ( )

.
Стало быть,

Так как данная дуга симметрична относительно биссектрисы первого координатного угла, то х_с = у_с =  Итак, центр тяжести имеет координаты ( ; ).

3.3.5  Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской фигуры
Пусть дана материальная плоская фигура (пластинка), ограниченн кривой у = f(х) ≥  0 и прямыми у = 0, х = а, х = b) (рис 17).
Будем считать, что поверхностная плотность пластинки постоянна (  = const). Тогда масса всей пластинки равна  т. е. . Выделим элементарный участок пластинки в виде бесконечно узкой вертикальной полосы и будем приближенно считать его прямоугольником.
Тогда масса его равна . Центр тяжести  прямоугольника лежит на пересечении диагоналей прямоугольника. Эта точка  отстоит от оси Ох на ½y, а от оси Оу на x (приближенно; точнее на расстоянии х+ ½Δx ). Тогда для элементарных статических моментов относительно осей Ох и Оу выполнены соотношения
 и
Следовательно,
, 
По аналогии с плоской кривой получаем, обозначив координаты центра тяжести плоской фигуры (пластинки) через С(x ;y ), что   .
Отсюда
 и
или
x , .
Пример. Найдем координаты центра тяжести полукруга  (  = const) (рис 18).

Рис 18

[5]
Решение: Очевидно (ввиду симметрии фигуры относительно оси Oy), что . Площадь полукруга равна . Находим Sx:


Стало быть,

Итак, центр тяжести имеет координаты С(0; )
3.4 Интегральное исчисление в биологии
3.4.1 Численность популяции.
Число особей в популяции (численность популяции) меняется со временем. Если условия су­ществования популяции благоприятны, то рождаемость превышает смертность и общее число особей в популяции растет со временем. Назовем скоростью роста популяции прирост числа особей в едини­цу времени. Обозначим эту скорость v = v(t). В “старых”, уста­новившихся популяциях, давно обитающих в данной местности, скорость роста v (t) мала и медленно стремится к нулю. Но если популяция молода, ее взаимоотношения с другими местными по­пуляциями еще не установились или существуют внешние причины, изменяющие эти взаимоотношения, например сознательное вмеша­тельство человека, то v (t) может значительно колебаться, умень­шаясь или увеличиваясь.[1]
Если известна скорость роста популяции v t/), то мы можем найти прирост численности популяции за промежуток времени от tо до Т. В самом деле, из определения v(t) следует, что эта функ­ция является производной от численности популяции N (t) в момент t, и, следовательно, численность популяции N (t) является первообраз­ной для v (t). Поэтому
N(t) – N(t ) = .
Известно,   что   в   условиях   неограниченных   ресурсов   питания
скорость роста многих популяций экспоненциальна, т. е. v(t) = ае . Популяция в этом случае как бы “не стареет”. Такие условия можно создать, например, для микроорганизмов, пересаживая время от времени развивающуюся культуру в новые емкости с питательной средой. Применяя формулу (1), в этом случае получим:
N(t) = N(t ) + a  = N(t ) + e  = N(t ) + (e  - e )
По формуле, подобной N(t) = N(t ) + a  = N(t ) + e  = N(t ) + (e  - e )
, подсчитывают, в частности, численность культивируемых плесневых грибков, выделяющих пенициллин.[1]

3.4.2.1                   Биомасса популяции.
Рассмотрим популяцию, в которой масса особи заметно меняется в течение жизни, и подсчитаем общую биомассу популяции.
Пусть  означает возраст в тех или иных единицах времени, а N ( ) — число особей популяции, возраст которых равен . Пусть, наконец, P ( ) — средняя масса особи возраста , а М ( ) — био­масса всех особей в возрасте от 0 до .[1]
Заметив, что произведение N( ) P ( ) равно биомассе всех осо­бей возраста , рассмотрим разность
M(  + Δ ) – M( ),
где Δ >0. Очевидно, что эта разность, равная биомассе всех осо­бей в возрасте от  до  + Δ , удовлетворяет неравенствам:
N ( ) Р ( )Δ  ≤ M (  + Δ ) – M ( ) ≤ N( )P( )Δ ,
где N ( ) Р ( ) — наименьшее, а - N( )P( ) — наибольшее значения функции N ( ) Р ( ) на отрезке [ ,  + Δ ]. Учитывая, что Δ >0, из неравенств  N ( ) Р ( )Δ  ≤ M (  + Δ ) – M ( ) ≤ N( )P( )Δ ,
имеем:
N ( ) Р ( ) ≤ ≤ N( )P( )
Из  непрерывности  функции   N ( ) Р ( )   (ее  непрерывность  следует из непрерывности N ( )  и Р ( ) ) следует, что
[N ( ) Р ( )] =  [N( )P( )] = N ( ) Р ( )
Поэтому будем иметь:
 = N ( ) Р ( )
или
 = N ( ) Р ( )
Следовательно, биомасса М ( ) является перво­образной для N ( ) Р ( ). Отсюда:
M(T) – M(0) =  N ( ) Р ( )dt

Рис 19

где Т — максимальный возраст особи в данной популяции. Так как М (0), очевидно, равно нулю, то окончательно получаем:
М(Т)=  N ( ) Р ( )dt
3.4.3 Средняя длина пролета.
 В некоторых исследованиях необхо­димо знать среднюю длину пробега, или среднюю длину пути при прохождении животным некоторого фиксированного участка. При­ведем соответствующий расчет для птиц. Пусть участком будет круг радиуса R. Будем считать, что R не слишком велико, так что большинство птиц изучаемого вида пересекает этот круг по прямой.
Птица может под любым углом в любой точке пересечь окруж­ность. В зависимости от этого длина ее пролета над кругом может быть равной любой величине от 0 до 2Я,. Нас интересует средняя длина пролета. Обозначим ее через.[1]
Так как круг симметричен относительно любого своего диамет­ра, нам достаточно ограничиться лишь теми птицами, которые ле­тят в каком-нибудь одном направлении, параллельном оси Оу. Тогда средняя длина пролета — это среднее расстоя­ние между дугами АСВ и АС В. Иными словами, это среднее зна­чение функции f (х) — f (х), где у = f (х) — уравнение верхней дуги, а у = f₂(х) — уравнение нижней дуги, т. е.
L =
или   
L = .
Так как

равен площади криволинейной трапеции аАСВb), а

равен площади криволинейной трапеции аАС Вb, то их разность равна площади круга, т. е. R². Разность b — а равна, очевидно, 2R. Подставив это в L = .
, получим:
L =  = R.
Приведенные примеры далеко не исчерпывают возможных приложений определенного интеграла в биологии.[1]
3.5 Интегральное исчисление в экономике
В курсе микроэкономики часто рассматривают так называемы предельные величины, т.е. для данной величины, представляемой некоторой функцией у =f(x), рассматривают ее производную f'x. Например, если дана функция издержек С в зависимости от объема q выпускаемого товара С = С(q), то предельные издержки будут за­даваться производной этой функции МС = С'(q). Ее экономический смысл - это издержки на производство дополнительной единицы выпускаемого товара. Поэтому часто приходится находить функ­цию издержек по данной функции предельных издержек.[6]
Пример. Дана функция предельных издержек МС = Зq² – 48q + 202, 1 ≤ q ≤ 20. Найти функцию издержек С = С(q) и вычис­лить издержки в случае производства 10 единиц товара, если из­вестно, что издержки для производства первой единицы товара со­ставили 50 руб.[4]
Решение. Функцию издержек находим интегрированием:
C(q ) = ,
где константа Со находится из данного условия С( 1) = 50, так что С₀ = 50, поскольку интеграл обращается в нуль. Интегрируя, полу­чим функцию издержек
C(q) = q .
Подставляя q = 10 в полученную формулу, находим искомое значение
С(10) = 670.
Еще одним примером приложения определенного интеграла является нахождение  дисконтированной стоимости денежного потока.
Допустим вначале, что для каждого дискретного момента времени t = 1, 2, 3, ... задана величина денежного потока R((t). Если ставку процента обозначить через р, то дисконтированную стоимость каждой из величин R(1), R(2), R(3), ... найдем по известным формулам:
R(1)(1 + p) , R(2)(1 + p) , R(3)(1 + p) , … .
Тогда дисконтированную стоимость денежного потока найдем, суммируя эти величины:
П = ,
где п - общее число периодов времени.
В непрерывной модели время изменяется непрерывно, т.е. для каждого момента времени 0 ≤ t ≤ Т, где [0, T] - рассматриваемый период времени, задана величина I(t) - скорость изменения денеж­ного потока (т.е. величина денежного потока за промежуток времени от t до t + dt приближенно равна I(t)dt. Для получения ве­личины П изменим формулу П = .А именно, знак суммирования заменим на знак определенного интеграла, формулы вычисления дисконтированной стоимости в дискретном случае заменим на их непрерывный аналог, и тогда формула П = , примет следую­щий вид:
П = .
Пример. Под строительство гидроэлектростанции задан непрерывный денежный поток со скоростью I(t) = -t² +20t +5  (млрд руб./год) в течение 20 лет с годовой процентной ставкой р = 5%. Найти дисконтированную стоимость этого потока. [4]
Решение. По формуле П =  имеем
П = .
Чтобы вычислить этот интеграл, выполним сначала замену переменной:
s = -0,05t,  t = -20s,  dt = -20ds.
При этом новые пределы интегрирования получаются подстановкой старых пределов в формулу замены: s  = 0, s   = -1. Имеем
-
П = -20 (- 400s² – 400s + 5)e  = 20  (- 400s² – 400s +5)e ds.
К последнему интегралу применим формулу интегрирования по частям, полагая и = -400s  - 400s + 5, dи = (-800s - 400)ds, dv = e ds, v= е . Поэтому
П = 20 ((-400s² - 400s + 5)е  + е (800s + 400)ds .
В первом слагаемом подставим пределы интегрирования, а ко вто­рому слагаемому еще раз применим формулу интегрирования по частям, полагая и = 800s + 400, dи = 800ds. Имеем
П = 20 (5 – 5e  + (800s + 400)e 800e ds) =
= 20(5 - 5е - 1 +400 + (800 - 400)e   - 1 - 800 + 800е - 1) =
 = 20(1195е- 1 -395).
Окончательно получим П = 892 (млрд руб.).
Далее рассмотрим некоторую модель экономического роста, предложенную Е.Д. Домаром. Основные допущения этой моде сформулированы ниже.
1 . Всякое изменение величины скорости денежного потока I(t) влияет как на совокупный спрос, так и на изменение объема производства.
2. Скорость изменения величины спроса Y(t) пропорциональна производной скорости денежного потока с коэффициентом пропорциональности K = 1/s, где s - предельная величина накопления. Это предположение можно записать в виде уравнения

3 Экономический потенциал к (т.е. величина стоимости това-которые можно произвести) пропорционален объему оборот-' средств  К с  коэффициентом   пропорциональности  р,  k = рК. Дифференцируя по t, получим
.
В модели Домара предполагается, что весь экономический по­тенциал полностью используется, иными словами, У =  к. Диффе­ренцируя по t, получим
.
Подставляя   и   в , имеем
 = pI, .
Чтобы найти функцию I(t) из уравнения  = pI, , проинтегрируем обе части последнего равенства по t от 0 до t. Получим
, или ln|I(t)|  = pst ,
Откуда ln|I| = ln|I(0)| + pst. Потенцируя последнее равенство, получим окончательное выражение для I(t):
I(t) = I(0)e ,
где I(0) – это скорость денежного потока в начальный момент времени.
Таким образом, для того чтобы поддерживать равновесие между объемом производимых благ и совокупным спросом на них, скорость денежного потока должна расти с экспоненциальной скоростью согласно формуле
I(t) = I(0)e

Заключение
Рассмотренные выше примеры практических задач, дают нам ясное представление значимости определенного интеграла для их разрешимости.
Трудно назвать научную область, в которой бы не применялись методы интегрального исчисления, в общем,  и свойства определенного интеграла, в частности. Так в процессе выполнения курсовой работы нами были рассмотрены примеры практических задач в области физики, геометрии, механики, биологии и экономики. Конечно, это еще далеко не исчерпывающий  список наук, которые используют интегральный метод  для поиска устанавливаемой величины при решении конкретной  задачи, и установлении теоретических фактов.
Также определенный интеграл используется для изучения собственно самой математики. Например, при решении дифференциальных уравнений, которые в свою очередь вносят свой незаменимый вклад в решение задач практического содержания. Можно сказать, что определенный интеграл   - это некоторый фундамент для изучения математики. Отсюда и важность знания методов их решения.
Из всего выше сказанного понятно, почему знакомство с определенным интегралом происходит еще в рамках средней общеобразовательной школы, где ученики изучают не только понятие интеграла и его свойства, но и некоторые его приложения.
Дальнейшая наша работа над данной темой планируется именно в направлении рассмотрения методики и линий изучения определенного интеграла в школе.

Литература
1.                Баврин И.И. Высшая математика – М.: Просвещение, 1993. – 319.
2.                Бермантт А.Ф.  , Араманович И.Г.  Краткий курс математического анализа для втузов - М.: Наука, 1971 . - 736с.
3.                Красс М.C Основы математики и ее приложения в экономическом образовании
4.                Пискунов Н.С.  Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, Том 2 -М. :Наука, 1985.-560с. 
5.                Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике – M.: Айрис – пресс, 2003. – 288 c.
6.                Солодовников А.С., Бабайцев В.А Математика в экономики – M.: Финансы и статистика, 2005. – 560c.
7.                 Фихтенгольц Том 2
8.                Шипачёв В.С. Высшая математика - М: Наука, 2003 – 684c.