Дослідження Ленгмюра були обмежені випадком плазми низького тиску, коли зіткненнями між частинками плазми можна знехтувати. У цьому випадку йому вдалося побудувати відносно просту і внутрішньо погоджену теорію. В даний час ясно, що деякі з припущень теорії Ленгмюра навряд чи виконуються при практичних додатках. Проте результати Ленгмюра і понині лежать в основі будь-якого дослідження, зв'язаного з застосуванням зондів.
Суть методу полягала у вимірі струму заряджених частинок на малий заряджений електрод, поміщений у плазму. Залежність цього струму від потенціалу електрода називається зондовой характеристикою. З зондовой характеристики за певних умов можна обчислити основні параметри плазми — температуру і концентрацію заряджених частинок і потенціал простору. У деяких випадках зондові виміри дозволяють визначити функцію розподілу частинок по енергіям.
Створюючи основи зондовой теорії, Ленгмюр виходив із припущення про рівноважну функцію розподілу заряджених частинок по швидкостях у збуреної плазмі. Він розглядав дві характерні зони: область плазми й область слоя поблизу зонда (або стінки).
Для наближеного визначення ходу потенціалу поблизу зонда були зроблені наступні припущення:
1) в області плазми можна знехтувати об'ємним зарядом частинок через її квазінейтральність;
2) в області слоя при негативному потенціалі зонда можна знехтувати зарядом, створюваним електронами;
3)  утворення іонів в слої і вторинних частинок на поверхні зонда не відбувається;
4) на зовнішній границі слоя об'ємного заряду потенціал плазми   звертається в нуль, тобто плазма за межами слоя не возмушена.
Виходячи з цих припущень легко знайти зв'язок між струмом зонда і параметрами плазми, що приводить до таких співвідношень для великого зонда (R₀>>D) при не дуже високому негативному потенціалі:
                               (1.17)
                     (1.18)
Тут I_i і I_e — струми іонів і електронів  на  зонд  відповідно; T_i і Ті — температури цих частинок; n_i і n_e — їх концентрації в невозмушеной плазмі; М_i і m_e -маса іона й електрона відповідно; U₀ і R₀ — потенціал і радіус зонда; D — дебаєвський радіус екранування; k — стала Больцмана; е — заряд електрона.
Зі співвідношення (1.18) видно, що по нахилі електронної характеристики в напівлогарифмічному масштабі легко визначити електронну температуру Ті. Іонний струм у випадку великого негативного зонда, по Ленгмюру, не залежить від його потенціалу (U<0). Для узгодження виразу (1.17) з експериментальними даними приходилося допускати, що температура іонів у газовому розряді дуже велика. Це допущення не відповідало основним теоретичним представленням і даним інших експериментальних методів вимірів.
У роботах Ленгмюра фактично не було враховане проникнення електричного поля зонда в квазінейтральну плазму, у зв'язку з чим величина потоку частинок, що притягаються, виявилася заниженою.
Згодом Бомом був отриман вираз для іонного струму з урахуванням проникнення поля зонда в плазму. Зневажаючи тепловим рухом частинок, що притягаються, Бом одержав для випадку Te>>Ti досить важливе наближене співвідношення, що широко застосовується при обробці результатів зондових вимірів
                                 (1.19)
де  — густина іонного струму насичення. Відповідно до цього співвідношення, потік іонів на зонд залежить лише від температури електронів і практично не залежить від теплового руху іонів у невозмушеной плазмі.
Найважливішими факторами, що визначають вид зондової характеристики, є середня довжина вільного пробігу заряджених частинок і напруженість магнітного поля в зоні виміру. У зондовій теорії при відсутності магнітного поля розглядають такі співвідношення між довжиною вільного пробігу і розміром зонда:

У першому випадку зіткнення між частинками відіграють незначну роль; у третьому — варто враховувати зіткнення і дифузійні процеси в газі. Другий випадок є проміжним. Магнітне поле викривляє траєкторії частинок і тим самим впливає на величину зондового струму. Коли ларморовський радіус обертання заряджених частинок стає порівнянним або менше розмірів зонда, важливу роль починають грати дифузійні процеси в магнітному полі.
Надалі теорія зондових вимірів розвивалася в роботах Венцеля, Аллена, Бойда і Рейнольдса, Бернштейна і Рабиновича, Кагана і Переля й інших авторів. У деяких з цих робіт задачу про розподіл потенціалу вирішували чисельно у всій збуреній області поблизу зонда. Цей метод рішення більш точний у порівнянні зі штучним прийомом поділу збуреної зони на області слоя і плазми, що спрощує обчислення.
1.4. Конструкція зондів.
Матеріал колекторної частини зонда повинний бути стійкий стосовно розпиленню, нагріванню і хімічним реакціям [8]. Крім того, робота виходу матеріалу зонда повинна бути досить високою, щоб звести до мінімуму вторинні процеси. До числа таких процесів відносяться електронна емісія під дією бомбардування іонами або метастабільними атомами, фотоефект і термоелектронна емісія. Тому у випадку гарячих і щільних плазм широко використовуються молібден, вольфрам і тантал. У холодних же плазмах низької щільності можливо також використання нікелю, нержавіючої сталі і платини. У таблиці перераховані деякі важливі властивості матеріалів для зондів.

Вибір матеріалу для ізоляції держателя зонда визначається головним чином температурою плазми. Ізоляційні матеріали варіюються від простого скла або кварцу у випадку холодних плазм до спеціальних керамічних матеріалів, таких, як спеченний окис алюмінію і різні сполуки магнію, кремнію і цирконію у випадку гарячих плазм.

2. Потенціал електростатичного зонду в плазмовому гетерогенному середовищі.
Зазвичай лінійні розміри зондів, що використовуються для діагностики запиленої плазми лежать в інтервалі [0.1, 10.0] мм та помітно перевищують як дебаєвську довжину електронного компоненту запиленої плазми, так і лінійний розмір конденсованих частинок, що їх ансамбль утворює пиловий компонент запиленої плазми. Так наприклад для плазми продуктів згоряння алюмінізованих пальних [9] параметри гетерогенних плазмових систем лежать в області, де температура Т~2000 K, розмір макрочастинок конденсованої дисперсної фази  см, середньооб’ємна концентація електронного компоненту м^-3. Отже дебаєвська довжина електронів буде
                    (2.1)
В розріджених системах, наприклад космічній запиленій плазмі [1,10], ця нерівність може бути протилежною. Тому зосереджуємо увагу на головному: дослідженні зарядової рівноваги і стабільності зонду, що контактує з гетерогенною плазмовою середою. Будемо розглядати у подальшому модель необмеженої запиленої плазми, яку утворюють електрони, іони та заряджені частинки конденсованої дисперсної фази і яка перебуває в динамічній рівновазі (щодо обміну електронами) з пасивним сферичним металевим зондом радіуса R. Такі характеристики речовини зонду, як енергія Фермі електронів провідності , діелектрична проникність  та робота виходу  металу зонду будемо вважати відомими для заданої температури плазми T . Крім того, внесення пасивного зонду в необмежену гетерогенну плазмову середу ніяк не може вплинути на її характеристики “на нескінченості”: рівноважну концентрацію електронів запиленої плазми n_e, їх електрохімічний потенціал F, середній заряд індивідуальних макрочастинок конденсованої дисперсної фази у плазмі.
Таким чином, у загальному випадку, визначення електрофізичних характеристик зонду (заряду та потенціалу, а також розподілу локального максвелівського електростатичного поля в його околі) буде зводитись до вирішення проблеми зарядової рівноваги індивідуальної сферичної макрочастинки в гетерогенному плазмовому середовищі – запиленій плазмі.  
Згідно з принципом детальної рівноваги [11] в термодинамічній рівновазі, кожен канал зміни зарядового стану зонду: емісія та прилипання газових електронів до зонду;  іонізація та рекомбінація атомів та молекул на його поверхні; перерозподіл заряду між зондом та макрочастинками КДФ - є збалансованим дією протилежного йому каналу, і, загалом, у часі пасивний зонд зберігає з точністю до флуктуацій свій статистично середній заряд  (z - зарядове число, е - модуль елементарного заряда) [12]. Отже, в статистичній рівновазі співвідношення, що виражає факт балансу потоків електронів емісії та прилипання  на поверхні зонду, може бути обраним у якості основного рівняння для опису його зарядової рівноваги з оточуючою запиленою плазмою. Пов’язавши з центром зонду систему координат Лагранжа та здійснюючи в ній статистичне осереднення  миттєвого електростатичного потенціалу, що його визначено миттєвими конфігураціями зарядів у плазмі, отримаємо завдання про розподіл самоузгодженого електростатичного потенціалу та об’ємного заряду в околі та всередині  зонду. Оскільки рівноважні параметри запиленої плазми покладаються відомими, то при вирішенні проблеми основний акцент зосередимо на вирішенні “внутрішньої задачі’ про розподіл самоузгодженого потенціалу та заряду у власному об’ємі зонду. Тоді рівняння Пуасона-Фермі для перенормованого за допомогою енергії Фермі речовини зонда самоузгодженого електростатичного потенціалу  у сферичній, пов’язаній з центром зонду системі координат запишемо як
                                (2.2)
Тут  - густина об’ємного заряду в області зайнятій зондом, у наближенні Томаса-Фермі для електронів провідності металу визначається як
           (2.3)
де  – маса електрона; постійна Планка; F – електрохімічний потенціал електронів запиленої плазми;  електрохімічний потенціал матеріалу зонда (  ).
Враховуючи симетрію завдання та збереження зондом у рівновазі із запиленою плазмою деякого усталеного (осередненого за часом) розподілу  внутрішнього самоузгодженого електростатичного потенціалу , доповнимо  рівняння Пуасона-Фермі (2.2) граничними умовами у центрі
;                                  (2.4)
приходимо кінцево до задачі Коши  (2.2 – 2.4) щодо визначення поля  в об’ємі зонду.
В праву частину рівняння Пуасона-Фермі входить густина об’ємного заряду  (2.3), яка самоузгодженим чином пов’язана з локальними значеннями потенціалу, позаяк його значення безпосередньо входять до граничних умов (2.4). Отже для остаточного визначення розподілу потенціалу в об’ємі зонду необхідно скористуватись умовами зарядової стабільності зонду у плазмі, що, по-перше, випливають із закону збереження заряду та дають умову неперервності нормальної складової електростатичної індукції на поверхні зонду; по-друге, виражають факт балансу потоків електронів через його поверхню. Математично це зводиться до умов спряження самоузгодженого потенціалу на поверхні зондуючого тіла. Поставлене таким чином завдання має єдиний розв’зок щодо розподілу самоузгодженого потенціалу всередині та околі зонду та однозначно вирішує проблему його електростатичної зарядки. Загалом задача Коши (2.2 – 2.4) не має розв’язків у квадратурах і потребує залучення методів обчислювальної математики. Однак, для більшості видів термічної запиленої плазми електростатична енергія електронів в контактному шарі зонду є за модулем набагато меншою енергії Фермі речовин зонду, при цьому потенціал , і вираз (2.3) для об’ємного заряду допускає лінеаризацію за потенціалом. Не обмежуючись у загальному, в наступному розділі розглянемо вирішення проблеми зарядки електростатичного зонду з використанням лінійної апроксимації за потенціалом для правої частини рівняння Пуасона-Фермі.

3. Розв’язок рівняння для потенціалу для електростатичного зонду в гетерогенному плазмовому середовищі.
Запилена плазма є невпорядкованим середовищем, у якому в системі координат зонду розподіли концентрацій заряджених частинок (електронів, іонів, конденсованих частинок) покладаємо підпорядкованими максвел-больцманівській статистиці. Треба зауважити, що у випадку нерівноважних процесів та дії джерел термостату, питання про розподіл зарядів в газовій підсистемі запиленій плазми потребує окремого дослідження. В нерівноважній запиленій плазмі, яка характеризується стаціонарним полем термодинамічних параметрів в об’ємі, виходячи з принципу локальної термодинамічної рівноваги Кубо [13], формули рівноважної термодинаміки необхідно використовувати для областей локальної термодинамічної рівноваги разом з подальшим осередненням (з врахуванням градієнтів) на макрооб’єми.
     Потенціал зонда та концентрація електронів у приповерхневому  шарі його максвел-больцманівської атмосфери пов’язані співвідношенням
                             (3.1)
 – локальна концентрація електронів в областях де самоузгоджений потенціал обертається до нуля (в дебаєвських моделях екранування в запиленій плазмі співпадає з середньооб’ємною); ”зовнішній” потенціал поверхні зонда відрахований від рівня вакууму (рівня потенціальної енергії електрона, що покоїться у вакуумі при відсутності зовнішніх полів). В моделі необмеженої слабкоіонізованої запиленої плазми, утвореної електронами, іонами, ідентичними конденсованими частинками та буферним газом [14], рівняння Пуасона-Больцмана для розподілу самоузгодженого електростатичного потенціалу в зовнішній відносно власного об’єму зонда області має дебаєвський розв’язок
 ,                        (3.2)
де: нормований на енергію Фермі речовини зонда потенціал;
      –                 (3.3)
інвертована дебаєвська довжина зарядів плазми,  відповідно середньооб’ємні зліченні концентрації електронів, іонів та макрочастинок сорту “j”; осереднене зарядове число “j - ї” конденсованої частинки:
    –                           (3.4)
значення потенціалу поверхні зонду, отримане із “зовнішньої задачі” (ze - заряд зонду,  діелектрична проникність буферного газу). В умовах статистичної рівноваги заряд зонду та його потенціал досягають певних  сталих величин, які визначаються тільки параметрами плазми та характеристиками зонду і є незалежними від предісторії їх встановлення. Неперервність самоузгодженого електростатичного потенціалу та нормальної складової електростатичної індукції на поверхні зонда є фізичними умовами, що в кінцевому підсумку дають змогу записати функціональні співвідношення між параметрами запиленої плазми та рівноважними значеннями заряду і потенціалу зонда. Оскільки електрони поверхневого (контактного) шару зонду знаходяться в стані динамічної рівноваги з електронним компонентом запиленої плазми, то, згідно з відомим положенням статистичної теорії [15], локальний електрохімічний потенціал електронної підсистеми повинен бути однорідним впродовж запиленої плазми і мати певне усталене значення F. Концентрація електронів на нескінченості, де їх потенціальна енергія покладається нульовою, буде
                      (3.5)
Поблизу поверхні зонда у відповідності з больцманівським розподілом (3.1)
                      (3.6)
Поверхнева концентрація електронів газової фази (3.6) утворює потік електронів прилипання, який врівноважується електронами емісії, що інжектуються поверхнею зонду у газову фазу. Динамічна рівновага цих потоків реалізується для певного значення заряду зонда Z, і є умовою його зарядової стійкості.
Розв’язок задачі Коши  (2.2 – 2.4) з використанням лінійної апроксимації для правої частини рівняння Пуасона-Фермі (2.2) за “внутрішнім потенціалом”  доцільно проводити в термінах допоміжних змінних
        (3.7)
В  (3.7) і далі позначкою “~” відмічаємо нормування “енергетичних” величин на .  У змінних (3.7) задача Коши для розподілу самоузгодженого потенціалу в об’ємі зонда має вид
                      (3.8)
Загальний розв’язок (3.8) буде
                                             (3.9)
Таким чином, повертаючись до  вихідних змінних  , запишемо
                           (3.10)
Функція (3.10) описує розподіл самоузгодженого електростатичного потенціалу всередині зонду. Із умови спряження для нормальної похідної потенціалу Ф на поверхні сферичного зонду отримаємо
  (3.11)
Формула (3.11) встановлює зв’язок між потенціалом   в центрі зонду та  його зарядовим числом Z. З умови неперервності електростатичного потенціалу на поверхні  зондуючого тіла (умови спряження “зовнішнього” – (3.3), та “внутрішнього” – (3.10), потенціалів  після підстановки  з (3.11) в (3.10) ) кінцево отримуємо трансцендентне рівняння для потенціалу поверхні зонду як функції заряду та визначальних параметрів запиленої плазми