Содержание
Задание на курсовую работу ....................................................................... 2
Замечания руководителя .............................................................................. 3
1. Бесселевы функции с любым индексом ................................................... 5
2. Формулы приведения для бесселевых функций ..................................... 10
3. Бесселевы функции с полуцелым индексом ............................................. 13
4. Интегральное представление бесселевых функций с целым индексом .. 15
5. Ряды Фурье-Бесселя ................................................................................. 18
6. Асимптотическое представление бесселевых функций с целым индексом для больших значений аргумента ...................................................................................... 23
Список литературы ...................................................................................... 30

1. Бесселевы функции с любым индексом
Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах
Чтобы объяснить происхождение бесселевых функций, рассмотрим уравнение Лапласа в пространстве:
.                                                                                  (1)
Если перейти к цилиндрическим координатам по формулам:
,   ,   ,
то уравнение (1) примет следующий вид:
.                                                                  (2)
Поставим задачу: найти все такие решения уравнения, которые могут быть представлены в виде произведения трех функций, каждая из которых зависит только от одного аргумента, то есть найти все решения вида:
,
где , ,  предполагаются дважды непрерывно дифференцируемыми.
Пусть  есть решение упомянутого вида. Подставляя его в (2), получим:
,
откуда (после деления на )
.
Записав это в виде:
,
найдем, что левая часть не зависит от , правая не зависит от , ; следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная . Отсюда:
;     ;
;  ;
.
В последнем равенстве левая часть не зависит от , правая не зависит от ; следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная . Отсюда:
,    ;
,    .
Таким образом, , ,  должны удовлетворять линейным дифференциальным уравнениям второго порядка:
,
(3)
,     ,
из которых второе и третье есть простейшие линейные уравнения с постоянными коэффициентами, а первое является линейным уравнением с переменными коэффициентами нового вида.
Обратно, если , ,  удовлетворяют уравнениям (3), то  есть решение уравнения (2). В самом деле, подставляя  в левую часть (2) и деля затем на , получим:
.
Таким образом, общий вид всех трех решений уравнения (2), которые являются произведением трех функций, каждая из которых зависит от одного аргумента, есть , где , ,   – любые решения уравнений (3) при любом выборе чисел , .
Первое из уравнений (3) в случае ,  называется уравнением Бесселя. Полагая в этом случае , обозначая независимую переменную буквой  (вместо ), а неизвестную функцию – буквой  (вместо ), найдем, что уравнение Бесселя имеет вид:
.                                                                    (4)
Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами играет большую роль в приложениях математики. Функции, ему удовлетворяющие, называются бесселевыми, или цилиндрическими, функциями.
Бесселевы функции первого рода
Будем искать решение уравнения Бесселя (4) в виде ряда:
.
Тогда
,
,
,

.
Следовательно, приходим к требованию

или к бесконечной системе уравнений
           ,
которая распадается на две системы:
                         
Первая из них удовлетворится, если взять … Во второй системе  можно взять произвольно; тогда … однозначно определяются (если  не является целым отрицательным числом). Взяв
 ,
найдем последовательно:
,
,
,
и в качестве решения уравнения (4) получим ряд:

Этот ряд, формально удовлетворяющий уравнению (4), сходится для всех положительных значений  и, следовательно, является решением уравнения (4) в области  (в случае целого  в области ).
Функция
                                                                         (5)
называется бесселевой функцией первого рода с индексом . Она является одним из решений уравнения Бесселя (4). В случае целого неотрицательного индекса  получим:
,                                                                        (5`)
и, в частности,
.                                                                         (5``)
Общее решение уравнения Бесселя
В случае нецелого индекса  функции  и  являются решениями уравнения (4). Эти решения линейно независимы, так как начальные члены рядов, изображающих эти функции, имеют коэффициенты, отличные от нуля, и содержат разные степени . Таким образом, в случае нецелого индекса общее решение уравнения Бесселя есть:
.                                                                           (6)
Если  (целое отрицательное число), то функция, определяемая формулой (5) (учитывая, что  равно нулю для …), принимает вид:
                                 (5```)
или, после замены индекса суммирования  на ,
,                                             (7)
откуда видно, что  удовлетворяет вместе с  уравнению Бесселя
.
Но формула (6) в случае целого  уже не дает общего решения уравнения (4).
Полагая
             ( – не целое)                               (8)
и дополняя это определение для  (целое число) формулой:
,                                                                                      (8`)
получим функцию , удовлетворяющую уравнению Бесселя (4) и во всех случаях линейно независимую от  (в случае , где  – целое). Функция  называется бесселевой функцией второго рода с индексом . Общее решение уравнения Бесселя (4) можно записать во всех случаях в виде:
.                                                                            (9)

2. Формулы приведения для бесселевых функций
Имеем:
;          ;
,                 ;
.
Следовательно,
.                                                                             (10)
Таким образом, операция  (состоящая в дифференцировании с последующим умножением на ), примененная к , повышает в этом выражении индекс  на единицу и меняет знак. Применяя эту операцию  раз, где  – любое натуральное число, получаем:
.                                                               (10`)
Имеем:
;

Следовательно,
.                                                                  (11)
Таким образом, операция , примененная к , понижает в этом выражении индекс  на единицу. Применяя эту операцию  раз, получаем:
.                                                           (11`)
Из выведенных формул можно получить некоторые следствия. Используя (10), получим:
;      ;       .
Отсюда, в частности, следует, что . Используя (11), получим:
;    ;     .
Почленное сложение и вычитание полученных равенств дает:
,                                                                                    (12)
.                                                                                (13)
Формула (13) позволяет выразить все бесселевы функции с целыми индексами через , . Действительно, из (13) находим (полагая ):
,                                                                          (13`)
откуда последовательно получаем:
,
, …………………

3. Бесселевы функции с полуцелым индексом
Бесселевы функции, вообще говоря, являются новыми трансцендентными функциями, не выражающимися через элементарные функции. Исключение составляют бесселевы функции с индексом , где  – целое. Эти функции могут быть выражены через элементарные функции.
Имеем:
 ,
,
следовательно,
.
Но , значит:
.                                               (14)
Далее
,
,
следовательно,
.
Но , поэтому
.                                               (15)
С помощью (10`) находим:
,
а учитывая (14)
,
следовательно, при целом положительном
.                                                   (14`)
С помощью (11`) находим:
,
но в силу (15)
,
и, следовательно, при целом положительном
.                                                          (15`)

4. Интегральное представление бесселевых функций с целым индексом
Производящая функция системы функций
Рассмотрим систему  функций  (с любой общей областью определения), пронумерованных с помощью всех целых чисел:

Составим ряд
,
где  – комплексная переменная. Предположим, что при каждом  (принадлежащем области определения рассматриваемых функций) этот ряд имеет кольцо сходимости, содержащее внутри себя единичную окружность . В частности, это кольцо может представлять собой полную плоскость комплексной переменной без точек 0 и ∞.
Функция
                                                                                     (16)
(где x лежит в области определения функций системы ,  – внутри кольца сходимости, соответствующего рассматриваемому значению ) называется производящей функцией системы .
Обратно, пусть задана функция , где  пробегает некоторое множество,  находится внутри некоторого кольца, зависящего от , с центром 0 и содержащего внутри себя единичную окружность. Тогда, если   при каждом  аналитична относительно  внутри соответствующего кольца, то  есть производящая функция некоторой системы  функций. В самом деле, разложив при каждом  функцию  в ряд Лорана по степеням :
,
найдем, что система коэффициентов  этого ряда будет искомой системой .
Формулы для коэффициентов ряда Лорана позволяют выразить функции  рассматриваемой системы через производящую функцию. Применяя эти формулы и преобразовывая затем интеграл вдоль единичной окружности  в простой интеграл, получим:
.                                  (17)
Производящая функция системы бесселевых функций с целыми индексами
Покажем, что для системы бесселевых функций первого рода с целыми индексами  ( …) производящая функция есть:
.
Имеем:
,        ,
откуда после почленного перемножения этих равенств найдем:

(так как в предпоследней внутренней сумме  и  были связаны зависимостью , то мы могли положить , получив суммирование по одному индексу ). В последней внутренней сумме суммирование производится по всем целым , для которых , следовательно, при  это будет ; при  это будет . Таким образом, во всех случаях внутренняя сумма есть  в силу формул (5`) и (5```). Итак,
,                                                                              (18)
но это и доказывает, что  есть производящая функция для системы .
Выведем некоторые следствия из формулы (18). Полагая в ней , получим:
,
откуда после разделения действительной и мнимой части (учитывая, что )
           (18`)
                      (18``)
Заменяя в (18`) и (18``)  на , найдем:
,                               (18```)
.                                 (18````)
Интегральное представление J_n(x)
Так как, по доказанному, при  имеем , то по формуле (17) получаем (используя в преобразованиях формулы Эйлера):

где принято во внимание, что  есть четная функция от  есть нечетная функция от . Итак, доказано, что для любого целого числа
.                                                              (19)
Формула (19) дает представление бесселевых функций с целым индексом в виде определенного интеграла, зависящего от параметра . Эта формула называется интегральным представлением Бесселя для , правая часть формулы называется интегралом Бесселя. В частности, при  найдем:
.                                                                      (19`)

5. Ряды Фурье-Бесселя
Рассмотрим на каком-либо интервале  (конечном или бесконечном) два дифференциальных уравнения
,                           ,                                      (20)
где  и  – непрерывные функции на . Пусть  и  – ненулевые решения этих уравнений. Умножение на  и на  и последующее вычитание дают
.
Пусть  и  принадлежат  и , тогда после интегрирования в пределах от  до  получим
.                                                 (21)
Если  и  – соседние нули решения , то между  и    сохраняет постоянный знак, пусть, например,  на ( , ) (в противном случае следует заменить  на ), тогда ,  (равенство нулю исключено, так как  – ненулевое решение дифференциального уравнения второго порядка). Если на   , то  должна, по крайней мере, раз обращаться в нуль между  и , так как иначе  сохранит постоянный знак на ( , ). Пусть, например,  на ( , ) (в противном случае заменяем  на ), и тогда из (21) получим противоречие, ибо левая часть ≤0, а правая >0. Таким образом доказана теорема сравнения Штурма: если P(x)<Q(x) на рассматриваемом интервале I и если y и z – ненулевые решения уравнений (20), то между каждыми двумя соседними нулями y(x) находится по крайней мере один нуль z(x).
Из теоремы сравнения Штурма вытекают нижеследующие следствия. Если  на , то каждое ненулевое решение уравнения  может иметь на  не более одного нуля (это легко видеть, если положить   и взять ). Если  на  (где ), то для всяких двух соседних нулей  и  ( ) каждого ненулевого решения уравнения  имеем  (это легко видеть, если положить , взять  и заметить, что нулями  будут только числа вида ,  целое). Если  на  (где ), то для всяких двух соседних нулей каждого ненулевого решения уравнения  имеем  (это легко видеть, если положить  и взять ). Из сказанного следует, что если  на , то для всяких двух соседних нулей  и  ( ) каждого ненулевого решения уравнения  имеем .
Изложенное показывает, что если  непрерывна на  и превышает некоторое положительное число вблизи +∞, то каждое ненулевое решение  уравнения имеет на  бесконечно много нулей. Если еще  вблизи  не обращается в нуль, то эти нули образуют бесконечную возрастающую последовательность , имеющую пределом +∞, а если, кроме того, , где , то .

Рассмотрим уравнение Бесселя

на интервале . Подстановка  приводит к уравнению
.
Очевидно,  и  имеют одни и те же нули. Так как , где  – целая функция, то  не имеет нулей на  при достаточно малом , и так как  при , то при каждом  нули  на  образуют бесконечную возрастающую последовательность

причем .
Если , то  удовлетворит уравнению

на интервале (0, +∞). Подстановка  приводит к уравнению

и, следовательно,  удовлетворяет этому уравнению. Таким образом, при любых положительных  и  имеем
, где  ,
, где ,
откуда
,
следовательно,
, где .                                        (22)
Пусть теперь . Разложение  по степеням  начинается с члена, содержащего , разложение  по степеням  начинается с члена, содержащего , так как коэффициент при  равен нулю, что легко видеть, исходя из формулы (5). Следовательно, из (22) при  получим
,
то есть
,                (23)
откуда видно, что если  и  являются разными нулями функции , то
.                                                                        (23`)
Этим доказано, что при  система функций

на интервале  является ортогональной относительно веса .
Переходя к пределу при  в соотношении

и используя правило Лопиталя, получим при всяком
,                       (24)
следовательно, если  является нулем функции , то
.                                                                   (24`)
Таким образом, при каждом  всякой непрерывной функции  на , удовлетворяющей требованию
,
поставлен в соответствие ряд Фурье-Бесселя
,                                                                              (25)
коэффициенты которого определяются формулами
.                                                          (25`)
Можно доказать, что система функций  на , ортогональная относительно веса , замкнутая. В частности, если ряд Фурье-Бесселя (25) равномерно сходится к порождающей его непрерывной функции .
Можно показать, что если  и  непрерывная на  и кусочно-гладкая на  функция, то ряд Фурье-Бесселя этой функции сходится к ней при .

6. Асимптотическое представление бесселевых функций с целым индексом для больших значений аргумента
Пусть  - положительная функция и  - какая-нибудь (вообще комплекснозначная) функция, определенные для достаточно больших значений . Запись
        при
означает, что найдутся такие числа  и M, что при  имеем .
Подобная запись употребляется и в других аналогичных случаях. Например, если  - положительная функция и  - какая-нибудь функция, определенные для достаточно малых положительных значений , то запись
        при   
означает, что найдутся такие числа  и , что  на .
Вспомогательная лемма
Если  дважды непрерывно дифференцируема на , то для функции

имеет место асимптотическое представление
   при .
Докажем эту лемму. Заменяя на , получим:
.     (26)
Рассмотрим интеграл, фигурирующий в первом слагаемом правой части формулы (20). Заменяя  на , найдем:
,
но, заменив на , получим:
.
Если  положительна, убывает и стремиться к нулю при , то  и , а следовательно, и  есть  при , поэтому
      при ,
откуда
    при .
Итак, получаем асимптотическое представление:
    при .                                              (27)
Рассмотрим теперь интеграл, фигурирующий во втором слагаемом правой части формулы (20). Имеем:
,
.
Очевидно,  дважды непрерывно дифференцируема на , но существуют  и , поэтому  становится непрерывно дифференцируема на . Интегрирование по частям дает:
,
где первое слагаемое правой части  есть  при , а интеграл во втором слагаемом несобственный при нижнем пределе мажорируется интегралом
,
который сходится, так как
     при ;
следовательно, второе слагаемое есть тоже  при .
Итак, имеем:
    при .                                           (28)
Из (26), (27), (28) получаем искомое асимптотическое представление:
    при .                            (29)
Из этой формулы, переходя к сопряженным величинам, найдем еще:
   при .                           (29`)
Формулы (29) и (29`) верны и для комплекснозначных функций .
Вывод асимптотической формулы для J_n(x)
Заменяя  на , получим:
  
(учитывая, что  есть четная функция от , а  есть нечетная функция от ). Подстановка  дает:
,
где  есть, очевидно, полином n-й степени (полином Чебышева), так как из формулы Муавра видно, что  есть полином n-й степени относительно . Но

и, заменяя в первом из этих интегралов  на , получим:

Так как  и  на  имеют производные всех порядков, то к двум последним интегралам применимы формулы (29) и (29`), и мы получаем:
;
но ; , следовательно,
.
Итак, имеем искомое асимптотическое представление бесселевой функции первого рода с целым индексом для больших значений аргумента:
   при .                              (30)
Эта формула показывает, что  с точностью до слагаемого порядка  является затухающей гармоникой с волной постоянной длины и амплитудой, убывающей обратно пропорционально квадратному корню из абсциссы.
В частности,
   при ;                                        (30`)
    при .                                    (30``)
Графики этих функций изображены ни рисунках 1 и 2.
Рассмотрим несколько примеров решения уравнения Бесселя.
1. Найти решение уравнения Бесселя при
,
удовлетворяющее начальным условиям при ,  и .
Решение.
На основании формулы (5`) находим одно частное решение:
.
2. Найти одно из решений уравнения:
,         .
Решение.
Сделаем замену
.
При  получим:
.
При  будем искать решение в виде обобщенного степенного ряда:
.
Уравнение на  имеет вид ;
,  ,  ,  , поэтому
,
,   .

Рисунок 1 – График функции y=J₀(x)

Рисунок 2 – График функции y=J₁(x)

Список литературы
1. Пискунов Н. С. «Дифференциальное и интегральное исчисления», учебное пособие для втузов, М: Наука, 1985г., 560 стр.
2. Романовский П. И. «Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа», учебное пособие для втузов, М: Наука, 1983г., 336 стр.