Курсовая работа

Министерство науки и высшего образования Республики Казахстан

Алматинский институт энергетики и связи

Кафедра Автоматической электросвязи

г. Алматы, 1999 г.

Задание 1.

Построить огибающую распределения вероятности занятия линии в пучке из V, на каждую из которых поступает интенсивность нагрузки а при условии, что:

а) N >> V;  б) N  V;  в) N, V  

Для каждого используемого распределения рассчитать среднее число занятых линий и их дисперсию.

Для расчета число линий в пучке определить из следующего выражения:

V= ;

целая часть полученного числа, где NN – номер варианта.

Средняя интенсивность нагрузки, поступающей на одну линию:

а = 0,2+0,01 * NN

Примечания:

Для огибающей распределения привести таблицу в виде:

В распределении Пуассона привести шесть – восемь составляющих, включая значение вероятности для  i =  (целая часть А)

А = а * V

Решение:

Случайной называют такую величину, которая в результате эксперимента принимает какое то определенное значение, заранее не известное и зависящее от случайных причин, которые наперед предугадать невозможно. Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Дискретная случайная величина определяется распределением вероятностей, непрерывная случайная величина – функцией распределения  основными характеристиками случайной величины являются математическое ожидание и дисперсия.

Определим исходные данные для расчета:

V=

a = 0.2 + 0.01 * 11 = 0.31 Эрл (средняя интенсивность нагрузки)

А = а * V = 0,31 * 11 = 3,41 » 4 Эрл (нагрузка)

а) Определим вероятности занятия линий в пучке из V = 11, при условии N >> V (N – число источников нагрузки).

Для этого используем распределение Эрланга, представляющее собой усеченное распределение Пуассона, в котором взяты первые V+1 значения и пронумерованы так, чтобы сумма вероятностей была равна единице.

Распределение  Эрланга имеет вид:

Pi(V) =  , ,

где Pi(V) – вероятность занятия любых i линий в пучке из V.

Для определения составляющих распределения Эрланга можно применить следующее реккурентное соотношение:

Математическое ожидание и дисперсия числа занятых линий соответственно равны:

где Pv – вероятность занятости всех линий в пучке из V.

Произведем расчет:

Р0 =

Р1 = Р0 *  = 0,072    Р2 = Р1 *  = 0,144

Р3 = Р2 * = 0,192     Р4 = Р3 * = 0,192

Р5= Р4 * = 0,153     Р6 = Р5 * = 0,102

Р7 = Р6 * = 0,058     Р8 = Р7 * = 0,029

Р9 = Р8 * = 0,012     Р10 = Р9 * = 4,8 * 10-3

Р11 = Р10* = 1,7 * 10-3

M( i ) = 4 * (1 - 1,7 * 10-3) = 3,99

D( i ) = 3,99 – 4 * 1,7 * 10-3 * (11 – 3,99) = 3,94

Данные результаты вычислений сведем в таблицу 1:

Таблица 1

б) Определим вероятность занятия линий в пучке из V=11, при условии N@V. Применим распределение Бернулли (биноминальное распределение), которое имеет вид:

где: Pi(V) – вероятность занятия любых i линий в пучке из V;

 - число сочетаний из V по i (i = 0, V)

 ,

а – средняя интенсивность поступающей нагрузки на одну линию      

V-линейного пучка от N источников.

Для вычисления вероятностей можно воспользоваться следующей рекурентной формулой:

Математическое ожидание и дисперсия числа занятых линий соответственно равны:

M( i ) = V*a;  D( i ) = V * a * (1-a)

Произведем расчет:

;

Р1 = 16,8*10-3*

Р2 = 16,8*10-3*

Р3 = 16,8*10-3*

Р4 = 16,8*10-3*

Р5 = 16,8*10-3*

Р6 = 16,8*10-3*

Р7 = 16,8*10-3*

Р8 = 16,8*10-3*

Р9 = 16,8*10-3*

Р10 = 16,8*10-3*

Р11 = 16,8*10-3*

M( i ) = 11 * 0,31 = 3,41;  D( i ) = 11 * 0,31 * (1 – 0,31) = 2,35

Результаты вычислений сведем в таблицу 2:

Таблица 2

в) Определим вероятность занятия линий в пучке из V=11 , при условии N,V®¥.

Используем распределение Пуассона, как вероятность занятия i линий в бесконечном пучке линий за промежуток времени t:

,  ,

где:  l - параметр потока, выз/час

       lt – средняя интенсивность нагрузки поступающей на пучок линий  (А=lt).

Легко показать, что:

 , 

Произведем расчет:

Р0 =  * е-4 = 0,018    Р1 = 0,018 *  = 0,036

Р4 =  *  0,018 = 0,192    Р6  = 0,018  *   = 0,102

Р8  = 0,018  *   = 0,029   Р10  = 0,018  *   = 0,0052

Р12  = 0,018  *   = 0,0006  

M( i ) = D( i ) = 4

Результаты вычислений сведем в таблицу 3:

Таблица 3

По данным таблиц 1, 2, 3 построим графики огибающей вероятности для трех случаев: а) N>>V, б) N@V, в) N, V ® ¥ ; рис. 1.

Задание 2.

На коммутационную систему поступает простейший поток вызовов с интенсивностью А.

Рассчитать вероятность поступления не менее к вызовов за промежуток времени [ 0, t*]:

Рк(t*), где t* = 0,5; 1,0; 1,5; 2,0

Построить функцию распределения промежутков времени между двумя последовательными моментами поступления вызовов:

F(t*),  t* =  0; 0,1; 0,2; …

Рассчитать вероятность поступления не менее к вызовов за интервал времени [ 0, t*]:

Pi³k(t*),  где t* = 1

Примечание: 1. Для расчета значений A и V взять из задания 1.

2.Число вызовов к определить из выражения: к = [V/2] - целая часть числа.

Для построения графика взять не менее пяти значений  F(t*). Результаты привести в виде таблицы:

Расчет  Pi³k(t*) провести не менее чем для восьми членов суммы.

Решение:

Потоком вызовов называют последовательность однородных событий, поступающих через случайные интервалы времени. Поток вызовов может быть задан тремя эквивалентными способами:

Вероятностью поступления к вызовов за интервал времени [0,t).

Функцией распределения промежутков времени между двумя последовательными моментами поступления вызовов.

Вероятность поступления не менее к вызовов за интервал времени [0,t).

Свойства потоков: станционарность, ординарность и полное или частичное отсутствие последействия. Потоки классифицируются с точки зрения наличия или отсутствия этих свойств.

Основными характеристиками потоков вызовов являются: интенсивность m  и параметр l.

Простейшим потоком называется ординарный стационарный поток без последействия.

Рассчитаем вероятность поступления не менее к вызовов за интервал времени [0,t).

,

где: к = 0, 1, …; 

t* = t /`t ;     где `t – средняя длительность обслуживания вызова.

Определим данные для расчетов:

К = 11/2 = 6;  А = 4;  V = 11;

Производим расчеты для t*  = 0,5 с.

P2(0,5) = 0,13   P3(0,5) = 0,18  P4(0,5) = 0,09

P5(0,5) = 0,03   P6(0,5) = 0,012  

Производим расчеты для t*  = 1,0 с.

P2(1) = 0,14   P3(1) = 0,19  P4(1) = 0,19

P5(1) = 0,15   P6(1) = 0,1  

Производим расчеты для t*  = 1,5 с.

P2(1,5) = 0,044   P3(1,5) = 0,089  P4(1,5) = 0,13

P5(1,5) = 0,16   P6(1,5) = 0,16  

Производим расчеты для t*  = 2 с.

P2(2) = 0,01   P3(2) = 0,028  P4(2) = 0,057

P5(2) = 0,91   P6(2) = 0,122  

Рассчитаем функцию распределения промежутков времени между двумя последовательными моментами поступления вызовов:

где Zk – промежуток времени между ( к-1 )-м и к-м вызовами.

F(0) = 1 – e-4*0 = 0  F(0,1) = 1 – e-4*0,1 = 0,32  F(0,2) = 1 – e-4*0,2 = 0,55

F(0,3) = 0,69  F(0,4) = 0,79   F(0,5) = 0,86

F(0,6) = 0,9   F(0,7) = 0,93

Результаты вычислений занесем в таблицу 4:

Таблица 4

Рассчитаем вероятность поступления не менее к вызовов за промежуток времени [0, t*):

, при t*=1.

  P6³6(1) = 1 – 0,84 = 0,16   P10³6(1) = 1 – 0,005 = 0,995

P7³6(1) = 1 – 0,05 = 0,95   P11³6(1) = 1 – 0,001 = 0,999

P8³6(1) = 1 – 0,02 = 0,98   P12³6(1) = 1 – 0,0006 = 0,9994

P9³6(1) = 1 – 0,013 = 0,987  P13³6(1) = 1 – 0,0001 = 0,9999

Интенсивность простейшего потока вызовов m численно равна параметру l, а при t = `t =1: m = l = А = 4.

Задание 3.

Рассчитать интенсивность поступающей нагрузки на входы I ГИ для АТСКУ – А вх. I ГИ.

Рассчитать средние интенсивности удельных абонентских нагрузок для абонентских лини народно-хозяйственного и квартирного секторов : АНХ и АКВ , а так же среднюю удельную интенсивность нагрузки на абонентскую линию АТС - АИСХ .

Пересчитать интенсивность нагрузки  на выход ступени I ГИ.

Исходные данные, таблица 5:

Таблица 5

Решение:

1. Основными параметрами интенсивности нагрузки являются:

Ni – число источников нагрузки i-й категории.

Ci – среднее число вызовов, поступающих от одного источника i-й категории в ЧНН (час наибольшей нагрузки).

ti – средняя длительность одного занятия для вызова от источника i-й категории.

Различают следующие категории источников нагрузки: абонентские линии народнохозяйственного сектора (НХ), абонентские линии квартирного сектора индивидуального пользования (кв.и.), абонентские линии квартирного сектора коллективного сектора (кв.к.), таксофоны (т). Для расчета используем две категории: абонентские линии народнохозяйственного сектора (НХ) и  абонентские линии квартирного сектора (кв).

Интенсивность поступающей нагрузки:

,

Средняя длительность одного занятия зависит от типа системы коммутации и определяется выражением:

где: Рр – доля вызовов из общего числа, для которых соединения закончились разговором; Рз – доля вызовов из общего числа, для которых соединения не закончились разговором из-за занятости линии вызываемого абонента; Рно – то же из за неответа вызываемого абонента; Рош – то же из-за ошибок в наборе номера; Ртехн - то же из-за технических неисправностей в узлах коммутации (при расчетах Ртехн = 0);  tрi , tз , tно , tош , tтехн – средние длительности занятий соответствующие этим случаям. Их можно определить из следующих выражений:

tPi = ty+ tпв+ Ti+ t0

tз = ty+ tсз+ t0

tно = ty+ tпвн+ t0

tош = 18 с.

где: tу – средняя длительность установления соединения; tпв и tпвн  средняя длительность слушания сигнала «КПВ» (tпв=7 с. в случае разговора между абонентами; tпвн=30 с. в случае неответа вызываемого абонента);

Ti – продолжительность разговора для вызова i-й категории;

tо – продолжительность отбоя;

tсз – продолжительность слушания сигнала “Занято”

tу = 0,5* tМАВИ + tМРИ + tМРИ + tСО + n * tН + tIГИ + tМIГИ + tМСD + tМСD

где tj – время ожидания обслуживания маркером j-й ступени; tj = 0,1 с.

tМАВИ – время установления соединения маркером АВ на ступени АИ при исходящей связи; tМАВИ = 0,3 с.

tМРИ - время установления соединения маркером ступени РИ;  tМРИ = 0,2 с.

tМIГИ - время установления соединения маркером ступени IГИ; tМIГИ = 0,65 с.

tМСD - время установления соединения маркером CD; tМСD = 1 С.

tСО – средняя длительность слушания сигнала «Ответ станции»;  tСО = 3 с.

tН – средняя длительность набора одного знака номера; tН = 1,5 с.

n – значность номера.

Значения tо  и tсз для АТСКУ следующие: tсз = 0,6 с., tо = 0.

РР = 0,6; Рз = 0,2; Рно = 0,15; Рош = 0,05;

tу = 0,5 * 0,3 + 0,1 + 0,2 + 3 + 5 * 1,5 + 0,1 + 0,65 + 0,1 + 1 = 12,8 с.

tрнх = 12.8 + 7 + 100 + 0.6 = 120,4 с.

tркв = 12,8 + 7 + 130 + 0,6 = 150,4 с.

РР* tрнх = 0,6 * 120,4 = 72,24

РР* tркв = 0,6 * 150,4 = 90,24

tз = tу+ tсз+ tо = 12,8+0+0,6 = 13,4 с.

Рз* tз = 0,2*13,4 = 2,68

tно = tу+ tпвн+ tо = 12,8+30+0,6 = 43,4 с.

Рно* tно =0,15*43,4 = 6,51

Рош* tош = 0,05*18 = 0,9

tнх = 72,24+2,68+6,51+0,9+0 = 82,33 с.

tкв = 90,24+2,68+6,51+0,9+0 = 100,33 с.

АВХIГИНХ =  = 434,5 Эрл

АВХIГИКВ =  = 167,2 Эрл

АВХIГИ = 434,5 + 167,2 = 601,7 Эрл

2. Рассчитаем средние интенсивности удельных абонентских нагрузок для абонентских линий народнохозяйственного и квартирного секторов:

, Эрл

, Эрл

Средняя удельная интенсивность нагрузки на абонентскую линию АТС:

, Эрл

АНХ =  = 0,087 Эрл   АКВ =  = 0,042 Эрл

АИСХ =  = 0,07 Эрл

3. Пересчитаем нагрузку со входа ступени I ГИ на ее выход:

 ,

где tвхIГИ и tвыхIГИ – соответственно среднее время занятия входа ступени I ГИ и среднее время занятия выхода ступени I ГИ:

tвыхIГИ = tвхIГИ - Dt,

где Dt – разница между временами занятия на входе и выходе ступени I ГИ. Для АТСКУ:

Dt = 0,5* tМАВИ + tМРИ + tМРИ + tСО + n * tН + tМIГИ + tМIГИ

tВХIГИ = АВХIГИ / Nнх * Снх + Nкв * Скв

Dt = 0,5 * 0,3 + 0,1 + 0,2 + 3 + 5 * 1,5 + 0,1 + 0,65 = 11,7 с.

tВХIГИ =  = 86,6 с.

tВЫХIГИ = tВХIГИ - Dt = 86,6 – 11,7 = 74,9 с.

АВЫХIГИ = 74,9/86,6 * 601,7 = 520,4 Эрл

Задание 4.

Рассчитать и построить зависимость числа линий V и коэффициента использования h (пропускная способность) от величины интенсивности нагрузки при величине потерь Р = 0,0NВ, где NВ – номер варианта.

Результаты расчета представить в виде таблицы при Р = const (постоянная).

Решение:

Вероятность занятия любых i линий в полнодоступном пучке из V при обслуживании простейшего потока вызовов определяется распределением Эрланга:

Различают следующие виды потерь: потери от времени Pt , потери по вызовам Pв , потери по нагрузке Pн . Потери по времени Pt  - доля времени, в течение которого заняты все V линии пучка. Потери по вызовам определяются отношением числа потерянных вызовов Спот к числу поступивших Спост:

Pв = Спот  / Спост

Потери по нагпрузке определяются отношением интенсивности потерянной нагрузки Yпот к интенсивности поступившей А :

Pн = Yпот  / А

При обслуживании простейшего потока вызовов перечисленные выше три вида потерь совпадают Pt = Pв = Pн и равны вероятности занятия V линий в пучке:

РV = Pt = Pв = Pн = EV,V(A) =

Обслуженной нагрузкой называют нагрузку на выходе коммутационной схемы, ее интенсивность определяют из выражения:

Y = F - YПОТ = A * (1 - EV(A))

Среднее использование одной линии в пучке равно:

h = Y / V

При Р = 0,011 (11 вариант), по известным А, используя таблицы вероятности потерь определим соответствующие V и рассчитаем для каждого значения А интенсивность Y и среднее использование h.

А = 1, Эрл  V1=5  Y1=1(1-0,011) = 0,989  h = 0,197

А = 3, Эрл  V3=8  Y3=3(1-0,011) = 2,96  h = 0,986

А = 5, Эрл  V5=11 Y5=5(1-0,011) = 4,94  h = 0,449

А = 10, Эрл  V10=18 Y10=10(1-0,011) = 9,89  h = 0,549

А = 15, Эрл  V15=24 Y15=15(1-0,011) = 14,83  h = 0,617

А = 20, Эрл  V20=30 Y20=20(1-0,011) = 19,78  h = 0,659

А = 25, Эрл  V25=36 Y25=25(1-0,011) = 24,73  h = 0,686

А = 30, Эрл  V30=42 Y30=30(1-0,011) = 29,67  h = 0,706

А = 40, Эрл  V40=53 Y40=40(1-0,011) = 39,56  h = 0,746

А = 50, Эрл  V50=64 Y50=50(1-0,011) = 49,45  h = 0,772

Результаты расчетов занесем в таблицу 6:

Таблица 6

Построим график зависимости числа линий V и коэффициента использования h от величины интенсивности нагрузки Y при величине Р=0,011.

Задание 5.

1. Построить оптимальную равномерную неполнодоступную (НПД) схему, имеющую следующие параметры: V – емкость пучка, g – число нагрузочных групп, d – доступность. Привести матрицу связности.

Исходные данные:

V = 25*Nгр +  NВ

D = 10*Nгр

где Nгр – номер группы , NВ – номер варианта.

  8, если N8=1-10;

g = 10, если N8=11-21

    12, если N8=21-…

2. Рассчитать и построить зависимость числа линий V от величины потерь Р неполнодоступного пучка при значении A и D=10 по формуле Эрланга, О Делла, Пальма-Якобеуса. Результаты привести в виде таблицы и графика:

*- Модифицированная формула Пальма-Якобеуса.

Исходные данные: А – поступающая нагрузка взять в задании 1.

Решение:

Неполнодоступное включение это когда входу доступны не все, а часть выходов (d-определяет количеств