МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РФ»

ФАКУЛЬТЕТ УЧЁТА И АУДИТА

Кафедра «Экономический анализ и аудит»

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине

«Аудит»

на тему:

«Выборка и её применение в аудиторских проверках»

Выполнила:

студентка группы У4-2

Макеенкова Е.Д.

Проверила:

к.э.н., доц. Макальская М.Л.

Москва – 2008

Содержание

Введение

1. Понятие и этапы выборочной аудиторской проверки

1.1. Понятие выборочной аудиторской проверки

1.2. Этапы выборочной аудиторской проверки

2. Проведение выборочного исследования

2.1. Методы выборочного аудита

2.2. Определение объёма выборки

3. Оценка результатов и выводы по выборочной проверке

3.1. Качественное выборочное исследование

3.2. Количественное выборочное исследование

Заключение

Список литературы

Приложения

Введение

Выборочная аудиторская проверка играет важную роль в современном аудите в связи с увеличивающими масштабами деятельности организаций и множеством осуществляемых операций. Выборочный метод проведения аудита используется в настоящее время как многими международными и зарубежными аудиторскими фирмами, так и отечественными. В российских условиях применение выборочной аудиторской проверки затруднено отсутствием достаточной нормативной базы, которая определяла бы чётко алгоритм и методы проведения аудиторской проверки, в связи, с чем становятся актуальными работы, посвящённые вопросам проведения выборочных аудиторских проверок, включающие в себя и практические примеры.

Нормативным документом, регулирующим вопросы проведения выборочной аудиторской проверки в Российской Федерации, является правило (стандарт) № 16 «Аудиторская выборка». В стандарте даются лишь общие рекомендации по проведению выборочного исследования и отсутствуют конкретные примеры и алгоритмы проведения выборки. Поэтому при написании настоящей курсовой работы широко использовались учебники по аудиту (как зарубежные, так и российские), а также различные статьи и Интернет-ресурсы.

Целью настоящей работы является изучение применения выборочных методов в аудите как с теоретической точки зрения, так и при помощи рассмотрения практических примеров. В соответствии с поставленной целью можно выделить несколько задач:

Изучить сущность выборочной проверки и её значение при проведении аудита;

Выделить основные этапы проведения аудиторской проверки;

Рассмотреть основные методы выборочного аудита, возможность применения каждого метода в зависимости от целей аудита и особенностей проверяемой организации, а также показать порядок применения рассматриваемых методов на примерах;

Изучить порядок определения объёма выборки документов для их последующей проверки;

Рассмотреть основные способы оценки результатов выборочной проверки.

В первой главе работы определяется сущность выборочного исследования и его значение для проведения аудита, даётся краткая характеристика стандарта «Аудиторская выборка», рассматриваются основные понятия, связанные с проведением выборочной аудиторской проверки (например, такие как представительность выборки, риск выборки). Далее проводится разделение выборочной проверки на этапы и приводится краткое описание каждого этапа. Наиболее важные и сложные этапы проведения выборки рассматриваются в последующих двух главах.

Во второй главе описываются основные методы выборочного аудита, рассматриваются действия аудитора при выборе того или иного метода, приводятся примеры, помогающие лучше понять сущность каждого метода. В этой главе большое внимание уделяется также вопросам определения объёма выборки.

В третьей главе работы рассматриваются способы оценки результатов выборочного исследования и формулирование выводов по результатам проведения аудиторской проверки.

Понятие и этапы выборочной аудиторской проверки

Понятие выборочной аудиторской проверки

В силу того, что время аудиторской проверки ограничивается, а масштабы деятельности организации могут быть очень значительными, аудиторы зачастую не в состоянии проверить все массивы документов и операций. Сплошные проверки могут проводиться в наиболее важных сферах, а проверка основной массы операций производится выборочно, что ускоряет и удешевляет аудит. Выборочный аудит может применяться в том случае, когда у аудитора имеется обоснованная уверенность в надёжности системы внутреннего контроля проверяемой организации, причём чем выше эта оценка, тем меньший объём выборки потребуется.

Порядок проведения выборочного аудита регламентируется в Российской Федерации правилом (стандартом) № 16 «Аудиторская выборка», который был одобрен Комиссией по аудиторской деятельности при Президенте РФ 25 декабря 1996 года. В основу российского стандарта был положен соответствующий международный стандарт. Содержание стандарта включает общие положения, виды выборок, порядок построения выборки и оценка её результатов. В тексте стандарта нет каких-либо конкретных рекомендаций, которые позволили бы аудиторам чётко и однозначно определить порядок своих действий при подготовке и проведению выборочной проверки. Также отсутствуют в тексте стандарта рекомендации по определению объёма выборки и прочие алгоритмы, которыми мог бы воспользоваться аудитор, не прибегая к специальной математической или методической литературе. Российский стандарт «Аудиторская выборка» регулирует лишь общие вопросы проведения выборочной проверки.

Понятие «выборочный метод аудита» можно определить как применение аудиторской процедуры менее, чем к 100% объектов совокупности проверяемых элементов. Стандартом устанавливаются случаи, когда рекомендуется сплошная проверка [, п. 2.3]:

Если число элементов проверяемой совокупности настолько мало, что применение статистических методов неправомерно;

Если применение аудиторской выборки менее эффективно, чем проведение сплошной проверки.

Обычно выборочный аудит подразделяют на две части:

Выборочная проверка системы внутреннего контроля;

Проверка верности отражения в бухгалтерском учёте оборотов и сальдо по счетам.

Когда аудитор производит выборку, он должен быть уверен, что произведённая им выборка будет представительной (репрезентативной). Требование репрезентативности выборки содержится в п. 2.1 российского стандарта «Аудиторская выборка»: «обычно выборка должна быть репрезентативной, т.е. представительной. Это требование предполагает, что все элементы изучаемой совокупности должны иметь равную вероятность быть отобранными в выборку». Для обеспечения этого требования необходимо использовать либо случайный отбор, либо систематический, либо комбинированный отбор, представляющий собой комбинацию методов систематического и случайного отбора.

Неотъемлемым элементом выборочного исследования является выборочный риск, который возникает из-за того, что тестируется не вся совокупность элементов, т.е. всегда есть вероятность того, что выборка всё-таки была непредставительной. Например, если при проведении выборочного исследования аудитор отобрал 100 документов из 1000 и обнаружил, что в 3 документах содержатся ошибки, это не обязательно значит, что во всей совокупности будет 30 документов с ошибками.

Понятие выборочного риска (риска выборки) содержится в п. 3.6 российского стандарта: «Риск выборки заключается в том, что мнение аудитора по определённому вопросу, составленное на основе выборочных данных, может отличаться от мнения по тому же самому вопросу, оставленному на основании изучения всей совокупности». В стандарте также даются определения рисков для тестов системы внутреннего контроля и проверки верности оборотов и сальдо по счетам.

Риск первого рода – риск отклонить верную гипотезу, когда результат выборки свидетельствует, что система контроля ненадёжна (проверяемая совокупность содержит существенную ошибку), в то время как система надёжна (совокупность свободная от такой ошибки).

Риск второго рода – риск принять неверную гипотезу, когда результат выборки свидетельствует, что система ненадёжна (проверяемая совокупность не содержит существенной ошибки), в то время как система контроля не обладает необходимой надёжностью (совокупность содержит существенную ошибку).

При возникновении риска первого рода, когда аудитор решит, что система внутреннего контроля ненадёжна и совокупность содержит существенные ошибки, потребуется расширить область аудита. В результате такого расширения всё равно будет сделано верное аудиторское заключение, но в то же время потребуется больше затрат труда и времени аудиторов на проведение расширенного аудита.

Риск второго рода связан с эффективностью проводимого аудита. Если выбранные аудитором элементы не будут отражать свойств всей совокупности, то ошибка не будет определена, что увеличит риск появления искажений в финансовой отчётности и приведёт к составлению ошибочно аудиторского заключения. Риск может быть уменьшен путём увеличения объёма выборки и использования подходящего метода отбора.

Учитывая вышеописанные риски, аудитору следует сначала определить целесообразность проведения выборочной аудиторской проверки применительно к конкретной совокупности документов или объектов. Аудиторская выборка – процесс, который требует планирования, тщательного анализа и последующего распространения результатов на всю проверяемую совокупность, а также обязательного документирования. Поэтому аудитору следует определить, что менее трудоёмко и более эффективно в каждом конкретном случае: аудиторская проверка выборочным методом или сплошная проверка.

Этапы выборочной аудиторской проверки

Выборочная проверка – процесс, состоящий из нескольких этапов (Рисунок 3).

Рисунок 3. Этапы выборочной аудиторской проверки.

Рассмотрим каждый этап более подробно.

1. Конкретизация направлений проверки (постановка задач). На начальном этапе аудитор определяет общую цель аудита хозяйствующего субъекта, особенности отдельных проверяемых объектов. Исходя из цели аудита, определяются задачи, которые преследует аудитор, проверяя конкретный участок учёта. Например, аудитор проверяет расчёты по налогу на добавленную стоимость (НДС) и ставит конкретную задачу – выявить необоснованно взятые к зачёту суммы НДС с помощью выборки и тестирования соответствующих записей из журнала операций. После выработки направления (постановки задачи) аудита все последующие действия проверяющего аудитора будут направлены на решение этой задачи.

2. Определение критериев отклонения. До того, как начать процедуры тестирования, необходимо определить критерии, по которым будут выявляться отклонения (ошибки, погрешности). Например, при проверке расчётов по НДС аудитор может определить следующие критерии, указывающие на неправомерность принятия к зачёту сумм НДС:

Отсутствие первичных документов, необходимых для зачёта НДС (счёт-фактура, накладная и пр.);

Недействительность указанных документов из-за отсутствия необходимых реквизитов (подписей, печатей и др.);

Наличие в первичных документах арифметических ошибок либо ошибочный перенос сумм в журнал операций.

При проведении количественного выборочного исследования также важно решить, как рассматривать суммовые отклонения различных знаков (положительные и отрицательные). Так, в рассматриваемом примере с НДС необходимо решить, как будут рассматриваться не отнесённые и излишне отнесённые в зачёт суммы НДС. В данном случае возможно несколько вариантов решений:

И положительные, и отрицательные суммовые отклонения считать нарушениями и брать их по модулю;

Положительные и отрицательные суммовые отклонения взаимно компенсируются, и тогда они остаются при своих знаках (если аудитора интересует общая сумма не зачтённого или излишне зачтённого НДС);

Во внимание принимаются только положительные или только отрицательные отклонения (если аудитора интересует лишь сумма излишне зачтённого НДС, но не сумма налога, которую можно было бы зачесть).

Выбор одного из вариантов решений зависит от поставленной задачи аудита и проверяемого объекта.

3. Определение генеральной совокупности. Генеральная совокупность – это все документы или операции, которые проверяет аудитор путём отбора и изучения части этих документов или операций (выборочной совокупности). Например, при аудите зачтённых сумм НДС генеральная совокупность состоит из всех операций, имеющих корреспонденцию счетов: Дт 68 Кт 19.

Определение генеральной совокупности является очень важным этапом, так как аудиторское заключение должно быть сделано только о генеральной совокупности. Например, если аудитор провёл отбор и проверку документов только за первый квартал года, то и вывод он может распространять только на совокупность документов за первое полугодие, которая будет являться генеральной совокупностью, но нельзя в таком случае распространять выводы на совокупность документов за полугодие или девять месяцев.

4. Выбор метода отбора. В зависимости от целей аудита и особенностей конкретной организации и проверяемых объектов отбор элементов из генеральной совокупности может осуществляться с помощью методов вероятностного (случайного) или невероятностного отбора. Методы отбора будут более подробно рассмотрены в п. . «Методы выборочного аудита» настоящей работы.

5. Определение объёма выборки. К определению объёма выборки - количество элементов генеральной совокупности, отобранных для проверки – следует подходить очень внимательно, так как от этого во многом зависит эффективность и трудоёмкость аудита. Определение такого объёма выборки, который обеспечил бы качественный аудит при небольшой трудоёмкости, является сложной задачей. Этому вопросу посвящён п. . «» настоящей работы.

6. Получение выборки и выявление отклонений. На этом этапе аудитор получает выборку, используя выбранный ранее метод выборки и определённый на предыдущем этапе объём выборки. Отобрав элементы из генеральной совокупности, аудитор исследует их на наличие ошибок, нарушений, отклонений и т.д. После отбора из генеральной совокупности и исследования элементов найденные отклонения (нарушения, ошибки, замечания, недочёты) должны быть отражены в рабочей документации аудитора.

7. Анализ обнаруженных отклонений. Перед распространением найденных отклонений на всю генеральную совокупность и формулированием окончательных выводов по выборочной проверке аудитор должен рассмотреть и определить характер каждой обнаруженной ошибки (недочёта, отклонения). На этом этапе необходимо выяснить:

Чем обусловлено найденное отклонение: неправильным пониманием персоналом нормативных актов, беспечностью персонала, умышленным искажением или злоупотреблением, изъянами в системе внутреннего контроля и т.д.;

Является ли найденное отклонение случайным или систематическим (т.е. присущим всем документам и операциям по исследуемому участку учёта), например, вследствие неправильного понимания бухгалтером требований законодательства;

Как найденное нарушение скажется на других объектах учёта и финансовых результатах деятельности организации в целом (например, излишнее начисление амортизации повлечёт за собой завышение и, как следствие, занижение начисленного и уплаченного налога на прибыль, а также недоплату налога на имущество).

Проведя анализ найденных отклонений, аудитор даёт рекомендации по ведению бухгалтерского учёта и совершенствованию системы внутреннего контроля. Аудитор также может принять решение об увеличение объёма выборки и проведении дополнительного исследования.

8. Оценка результатов и выводы по выборочной проверке. На последнем этапе аудитор проводит статистическую или нестатистическую оценку результатов (выбор метода оценки будет зависеть от использованного метода отбора). Задача аудитора на этом этапе – распространить найденные в выборке ошибки на всю генеральную совокупность. Оценка может быть получена либо в виде профессионального суждения аудитора об этой ошибке, либо в виде конкретного суммового интервала, в пределах которого с определённой степенью надёжности лежит ошибка. Этот этап подробнее рассматривается в п. «» настоящей работы.

2. Проведение выборочного исследования

Методы выборочного аудита

Различают два основных метода получения выборки – вероятностный и невероятностный (Рисунок 3).

Рисунок 3. Методы отбора элементов генеральной совокупности.

Вероятностные методы основываются на случайном отборе. При случайном отборе все элементы генеральной совокупности имеют равные шансы быть отобранными. Можно выделить три основных вероятностных метода (Рисунок 3).

Несистематический случайный отбор. При использовании этого метода отбора используются таблицы случайных чисел специально разработанные или полученные при помощи генератора случайных чисел Excel. Также могут использоваться специальные компьютерные программы.

Использование таблицы случайных чисел состоит из следующих этапов:

Выбор начальной точки.

Установление маршрута использования таблицы.

Установление соответствия между таблицей случайных чисел и совокупностью.

Обычно аудитор имеет совокупность, состоящую из пронумерованных документов, причём нумерация не обязательно начинается с единицы. Для установления соответствия между таблицей случайных чисел и совокупность можно воспользоваться следующей формулой:

,

где Нд – номер отбираемого документа

Н – начальное значение диапазона

К – конечное значение диапазона

Ч – случайное число

Если документы нумеруются, начиная с единицы, а конечное значение диапазона больше единицы в 100 раз и более, то используется формула:

На каждом этапе необходимо документировать способ применения таблицы. Данные рабочей документации могут быть полезны для перепроверки, повторного просмотра полученного ряда чисел, расширения выборки и т.п.

□ Аудитору следует проверить совокупность документов с номерами от 746 до 1083. Нужно отобрать 10 документов. Пусть аудитор случайным образом выбирает 3-й столбец и 38-ю строку из таблицы случайных чисел, сгенерированную в Excel (Приложения, Табл. 12). Аудитор определяет маршрут использования таблицы сверху вниз и выписывает в рабочую таблицу (Табл. 12) случайные числа. Когда заканчивается 3-й столбец, аудитор берёт ещё два числа из 1-й и 2-й строки 4-ого столбца.

Табл. 12. Выборка элементов при помощи таблицы случайных чисел.

Порядковый номер элемента проверки	Случайное число	Номер проверяемого документа
1	0,2635	835
2	0,4536	899
3	0,0261	755
4	0,1179	786
5	0,0321	757
6	0,1465	795
7	0,0321	757
8	0,9606	1070
9	0,7498	999
10	0,08	773

Номер проверяемого документа определяется по вышеприведённой формуле, например, номер первого проверяемого документа получается следующим образом: (1083-746)×0,2635+746=835.

Систематический случайный отбор предполагает, что элементы отбираются через определённый интервал, начиная со случайно выбранного первого элемента. При применении систематического немонетарного отбора аудитор работает с номерами документов, определяя стартовый номер документа, величину интервала и номера последующих документов. Величину интервала можно получить по формуле:

,

где И – интервал выборки

Э – количество элементов выборки.

Стартовая точка выборки (С) может быть определена по формуле:

Первый элемент определяется номером стартовой точки, каждый последующий – как предыдущий, увеличенный на значение интервала выборки.

□ Воспользуемся исходными данными предыдущего примера. Интервал выборки будет равен: . Далее аудитор выбирает случайное число, например, на пересечении 7-ого столбца 15-ой строки, которое будет равно 0,5699, и определяет стартовую точку: . Номера документов, подлежащий проверке, аудитор находит путём прибавления к стартовому значению одинарного, двукратного, трёхкратного и т.д. интервала значений ().

Табл. 12. Выборка элементов при использовании систематического немонетарного отбора.

Порядковый номер элемента проверки	Номер проверяемого документа
1	765
2	799
3	833
4	867
5	901
6	935
7	969
8	1003
9	1037
10	1071	■

Для построения выборки с использованием метода систематического монетарного отбора изучаемые объекты должны иметь стоимостное выражение, а также должна существовать возможность определить стоимость нарастающим итогом. Интервал выборки рассчитывается по формуле:

,

где О – общий объём проверяемой совокупности в денежном выражении.

Стартовое значение определяется по формуле:

Стартовое значение задаётся не в виде номера документа, а в денежном выражении. Числовое значение для первого элемента равно стартовому значению, для последующих элементов – предыдущему значению, увеличенному на значение интервала выборки. Отбираются элементы, в диапазон стоимости которых попадёт соответствующее значение (стоимость рассчитывается нарастающим итогом).

Пусть нужно отобрать 3 элемента из 10 (правила статистики неприменимы к таким малым количествам элементов, но целью данного примера является просто иллюстрация процедуры отбора). Исходные данные приведены Табл. 12 (столбец 2). В 3-ем столбце аудитор подсчитывает стоимость элементов нарастающим итогом.

Табл. 12. Выборка элементов при использовании систематического монетарного отбора.

Номер элемента	Числовые значения проверяемых элементов, руб..	Стоимость элементов нарастающим итогом, руб.	Ключевые точки
1	7830	7830	4538
2	8275	16105
3	2028	18133
4	3857	21990	18850
5	2305	24295
6	8470	32765
7	830	33595	33162
8	280	33875
9	4024	37899
10	5038	42937

Далее определяется интервал выборки: руб. Для нахождения стартовой точки ищется случайное число, например, для 10-й строки и 28 столбца оно составляет 0,3171. Стартовая точка имеет значение: руб. На основе полученных расчётов нужно определить ключевые точки:

Первая – 4538 руб.

Вторая – 4538+14312=18850 руб.

Третья – 18850+14312=33162 руб.

Первая точка занимает диапазон до 7830 руб, поэтому в выборку попадёт 1-й документ. Вторая точка занимает диапазон от 18133 руб. до 21990 руб., и в выборку попадает 4-й документ. Третья точка занимает диапазон от 32765 руб. до 33595 руб, и в выборку отбирается 7-й документ.

На практике могут возникать ситуации, при которых применение вероятностных методов нежелательно, и поэтому применяются невероятностные методы. Среди подобных ситуаций могут быть:

Проверка операций, совершённых:

В тех структурных подразделениях организации, где ниже уровень внутрихозяйственного контроля;

Определёнными лицами, о ошибках и злоупотреблениях которых имеются аудиторские свидетельства;

В определённые месяцы (как правило, в периоды повышенного риска), например, при проверке заключительных проводок по балансу за год или квартал;

С дочерними и зависимыми предприятиями или собственным персоналом, т.к. в этих операциях могут скрываться следы завуалированных злоупотреблений (как персонала, так и администрации);

В небольшом количестве тех операций, которые имеют важное значение и высокий уровень существенности (например, покупка и продажа другого предприятия, земли, зданий, другие нетипичные операции);

Отдельные остатки по счетам (например, проверка просроченной дебиторской задолженности);

Проверяемая совокупность явно неоднородна: перед проведением выборки целесообразно применить метод группировки;

Отдельные статьи отчётности, к которым в соответствии с требованиями международных учётных стандартов должны прилагаться пояснения (например, заработная плата администрации, затраты на рекламу, представительские расходы).

Различают несколько невероятностных методов отбора элементов генеральной совокупности. (Рисунок 3).

Блочный отбор представляет собой отбор последовательности нескольких элементов, при котором выбор первой единицы блока предопределяет все остающиеся блоки (например, отбор первичных документов какого-либо раздела учета, относящихся к одному конкретному месяцу).

□ Необходимо отобрать 200 элементов из совокупности счетов-фактур по реализации блочным методом. Аудитор может отобрать сразу 200 документов подряд за тот период, в котором, по его мнению, отражены все характерные особенности совокупности. Аудитор может разбить этот период на 10 периодов и отобрать блоки по 20 документов (что повысит объективность экспертизы). Можно также отобрать по 40 документов за 5 периодов, по 25 документов за 8 периодов и т.д.

Количество блоков не регламентируется. Практика сложилась так, что приемлемым количеством блоков можно считать 9-10 блоков.

Бессистемный отбор. Сущность метода заключается в том, что при исследовании совокупности аудитор формирует выборку вне зависимости от ее объема и характеристик, опираясь на свой профессиональный опыт и интуицию. Применение метода в значительной мере зависит от уровня профессиональной подготовки аудитора и его профессиональных привычек. В результате бессистемного отбора определённые единицы совокупности всегда имеют большую вероятность попадания в выборку по сравнению с другими, что усиливает необъективность аудита.

Оценочные методы используются аудиторами в случаях, когда небольшой объём совокупности не гарантирует объективность и представительность случайной выборки. Наиболее опытные аудиторы при отборе единиц для проверок предпочитают ориентироваться на свою способность к профессиональным суждениям. Особое внимание при применении оценочных методов уделяется нетипичным операциям, так как именно они с большой вероятностью могут неправильно быть отражены в учёте.

Следует иметь в виду, что если выборка элементов из совокупности производилась методами нестатистического подхода, то к ней нельзя в дальнейшем применять технику статистических измерений. Любые невероятностные методы изначально запрограммированы на получение нерепрезентативных выборок. В отличие от беспристрастной статистической выборки произвольная выборка пристрастна, и аудитор должен быть осторожным при ёё использовании.

Определение объёма выборки

Определение объёма выборки является одной из серьёзнейших проблем выборочного аудита. Проблема заключается в том, что для вычисления количества элементов, обеспечивающего репрезентативность выборки, нужно иметь представление об имеющихся в генеральной совокупности ошибках. Однако до проведения непосредственной проверки документов аудитор может лишь предполагать наличие (или отсутствие) и размер ошибок. Если объём выборки будет недостаточным, велика вероятность не обнаружения ошибок или занижения размера этих ошибок. Если же объём выборка будет слишком большим, это увеличит трудозатраты на проведение аудита и сведёт практически к нулю эффективность проведения выборочного исследования.

До того, как аудитор начнёт выбирать элементы случайным образом, бывает полезным разбить всю совокупность на взаимоисключающие подсовокупности и впоследствии проводить выборочную проверку по каждой подсовокупности отдельно. Такое разбиение называется стратификацией. Стратификация может позволить повысить эффективность аудиторской проверки, так как если совокупность поддаётся разбивке на группы, состоящие из относительно однородных элементов, то можно использовать меньший объём выборки.

Исходя из опыта работы аудиторских фирм, бывает целесообразно разбивать проверяемую совокупность на три следующие группы:

Элементы наибольшей стоимости. В качестве примера можно привести проверку основных средств. Из всего массива основных средств обычно выделяют в отдельную совокупность здания и строения, так как они зачастую обладают наибольшей стоимостью.

Элементы, в которых наиболее высока вероятность ошибки (ключевые элементы). Например, в отдельную группу можно выделить транспортные средства, так как их выбытие в связи со списанием может сопровождаться злоупотреблениями, в физическом наличии транспортных средств не всегда можно убедиться и т.д. Также в эту группу можно включить документы какого-либо участка ведения учёта, если в отчётном периоде сменился бухгалтер, отвечающий за этот участок, изменился порядок учета каких-либо операций или компьютерная программа, с помощью которой проводилась обработка этих операций и т.д.

Прочие элементы, т.е. не вошедшие в первые две группы.

Можно также использовать стратификацию элементов по стоимости. Такую стратификацию целесообразно использовать, если на предприятии учёт ведётся с использованием компьютерных программ, позволяющих получать списки операций, где элементы расположены по порядку в соответствии с возрастанием стоимости. Стратификация элементов по стоимости без помощи компьютера, скорее всего, не оправдает себя в связи с увеличением трудозатрат на составление списков.

□ Необходимо проверить приходные кассовые ордера (ПКО) на общую сумму 500 000 руб., в 12 из которых сумма составляет 10 000 руб. Эти 12 ордеров следует рассматривать отдельно, поскольку сумма в каждом ордере превышает сумму допустимой ошибки в 8 000 руб., ранее установленную аудитором. Далее совокупность делится на четыре группы, каждая из которых имеет общую сумму 95 000 руб. Результат стратификации представлен в .

Табл. 12. Результат стратификации элементов по стоимости.

№ группы	Сумма ПКО, руб.	Количество ПКО	Общая сумма, руб.	Выборка (количество элементов)
1	> 10 000	12	120 000	12
2	650-9999	77	95 678	21
3	350-649	167	94 422	21
4	150-349	341	94 844	23
5	1-149	912	95 056	23
Итого		1509	500 000	100	■

Учитывая специфику деятельности организации и исходя из своего профессионального опыта, аудитор принимает решение о применении или неприменении стратификации, В случае применения стратификации для каждой сформированной группы независимо от других определяется порядок проверки, степень выборочности, аудиторские риски, допустимые ошибки и способ анализа результатов.

Рассмотрим два основных способа определения объёма выборки:

Использование специальных таблиц;

Математические расчёты.

Определение объёма выборки с использованием специальных таблиц. Для определения объёма выборки необходимо установить риск выборки, допустимую ошибку и ожидаемую ошибку.

Риск выборки заключается в том, что мнение аудитора по определённому вопросу, составленное на основе выборочных данных, может отличаться от мнения по тому же самому вопросу, составленному на основании изучения всей совокупности [, п. 3.6]. Риск выборки связан с уровнем уверенности (надёжности):

Риск выборки, % = 1 – Уровень уверенности (надёжности), %

Уровень уверенности (надёжности) – это вероятность, с которой аудитор может быть уверен в правильности своего вывода, сделанного по итогам выборочного исследования.

Допустимая ошибка – это максимальное искажение баланса или класса операций в денежном выражении, которое не ведёт к существенному искажению финансовых отчётов. Допустимая ошибка определяется на стадии планирования аудита в соответствии с выбранным аудитором уровнем существенности. Чем меньше размер допустимой ошибки, тем больше должен быть объём аудиторской выборки [, п. 3.9].

Ожидаемая ошибка – это та ошибка, которую, по мнению аудитора, содержит генеральная совокупность. При определении ожидаемой ошибки аудитору следует исходить из результатов проверки системы внутреннего контроля организации, профессионального опыта, результатов прошлых проверок данной организации (если такие проводились).

После определения всех трёх указанных выше критериев (надёжность определяется на основании риска выборки) аудитор определяет объём выборки на основании таблиц, специально разработанных с применением теории статистики. Пример такой таблицы приведён в Приложении (Табл. 12).

□ Аудитор установил допустимую ошибку 4% и ожидаемую ошибку 1%. При этом аудитор желает быть уверен на 95%, что реальная ошибка, которая содержится в генеральной совокупности, не превысит установленную допустимую ошибку. Объём выборки будет определяться по таблице, составленной для надёжности 95%, (Приложения, Табл. 12) на пересечении соответствующих граф и составит 160 элементов. ■

При использовании этого способа определения объёма выборки игнорируется объём генеральной совокупности. Это обусловлено тем, что в теории статистики доказано, что для большинства типов совокупностей их объём несущественен при определении объёма выборки. Однако при желании можно скорректировать объём выборки на объём генеральной совокупности, используя формулу:

,

где n – пересмотренный объём выборки после учёта влияния объёма генеральной совокупности;

n’ – объём выборки до учёта влияния объёма генеральной совокупности;

N – объём генеральной совокупности.

□ Скорректируем объём выборки, полученный в предыдущем примере, при условии, что объём генеральной совокупности составляет 1000 элементов:

элементов.

Определение объёма выборки путём математических расчётов. В данном случае необходимо рассмотреть два случая:

В генеральной совокупности не ожидается ошибок или ожидаются очень незначительные ошибки.

В генеральной совокупности ожидаются существенные ошибки.

Если в генеральной совокупности не ожидается ошибок или ожидаются очень незначительные ошибки, объём выборки можно найти по формуле:

,

где О – общий объём проверяемой совокупности в денежном выражении;

ФУ – фактор уверенности;

ДСИ – допустимая сумма искажения.

Фактор уверенности берётся из таблицы в соответствии с уровнем надёжности (Табл. 12).

Табл. 12. Определение фактора уверенности.

Уровень надёжности, %	80	90	95	97,5	99	99,5
Риск выборки, % (1-Уровень надёжности)	20

	10	5	2,5	1	0,5
Фактор уверенности (ФУ)	1,61	2,31	3	3,69	4,61	5,3

□ Общий объём генеральной совокупности составляет 576 400 руб. Аудитор хочет быть уверен на 95%, что обнаружит искажения в генеральной совокупности, если они превышают 10 000 руб. По Табл. 12 определяем фактор уверенности, который при уровне надёжности 95% составит 3 и рассчитываем объём выборки:

элемента.

Если в генеральной совокупности ожидаются существенные ошибки, то в дополнение к вышеупомянутым факторам необходимо рассмотреть также ожидаемую сумму искажения (ОСИ) и применять следующую формулу:

Фактор уверенности можно определять по Табл. 12, однако для уровней уверенности 97,5% и выше рекомендуется использовать .

Табл. 12. Определение фактора уверенности для уровня надёжности 97,5% и выше.

Уровень надёжности, %	97,5	99	99,5
Риск выборки, % (1-Уровень надёжности)	2,5	1	0,5
Фактор уверенности (ФУ)	3,84	5,43	6,63

□ Воспользуемся условиями предыдущего примера. Предположим, аудитор ожидает, что искажение достигнет 3000 руб. Тогда объём выборки составит:

элемента. ■

Данная формула применима в случаях, когда ожидаемая ошибка (ОСИ) меньше допустимой (ДСИ). На практике аудитор может рассматривать возможность применения этой формулы, если ОСИ не превышает ДСИ/2.

В действительности существует больше способов определения объёма выборки. Однако часто аудиторы вообще не рассчитывают специальным образом объём выборки, а берут его, руководствуясь своим опытом и учитывая следующие соотношения:

Чем меньше доверие к системе внутреннего контроля, тем меньше выборка;

Чем меньше допустимая ошибка, тем больше выборка;

Чем выше необходимая степень надёжности, тем больше выборка;

Чем больше генеральная совокупность, тем больше выборка;

Если используется стратификация, уменьшается выборка.

Определяемый объём выборки часто называют начальным, так как по результатам проверки аудитор может пересмотреть начальный объём и провести дополнительное исследование.

Оценка результатов и выводы по выборочной проверке

Качественное выборочное исследование

Качественное выборочное исследование обычно применяется для проверки системы внутреннего контроля организации и является статистическим методом, который используется для оценки доли единиц совокупности, содержащих определённую характеристику или атрибут. Эта доля называется нормой появления и выражается как отношение единиц, содержащих атрибут, к общему количеству единиц. Норма появления, как правило, выражается в процентах. Например, пусть определённая аудитором характеристика – наличие подписи руководителя организации (или уполномоченного им лица) на документах по операциям с денежными средствами. Из 1000 документов аудитор отобрал и проверил 150 документов. На 6 из отобранных документов подписи не оказалось. Тогда напрашивается вывод, что норма появления составляет 4% (6/150×100%), и в генеральной совокупности содержится 4%, т.е. 40 неподписанных документов (1000×4%). Однако возможно, что неподписанных документов на самом деле 38, 41 или 43, так как существует ошибка выборки. Поэтому для оценки нормы появления необходимо использовать более сложные методы, разработанные на основе математической статистики. Статистические методы для оценки результатов можно применять, если элементы были получены путём случайного отбора из генеральной совокупности.

В результате качественного выборочного исследования вывод может быть сформулирован аудитором в следующем виде: с определённой вероятностью (уверенностью) Р % аудитор может утверждать, что норма появления определённого признака в генеральной совокупности не превышает k %. Процесс получения данного вывода состоит из нескольких этапов:

1. Расчёт точечной оценки, которая показывает наиболее вероятную величину появления признака в генеральной совокупности. Точечная оценка рассчитывается по формуле:

,

где D – точечная оценка,

m – число элементов, содержащих искомый признак,

n – объём выборки.

2. Установление уровня уверенности (надёжности). Чем больше выбранный аудитором уровень уверенности, тем лучше, но при этом будет получен больший интервал возможных значений.

3. Расчёт пределов уверенности. Верхний (нижний) предел уверенности (ВПУ и НПУ) – это максимальная (минимальная) предполагаемая с определённым уровнем уверенности норма появления признака в генеральной совокупности. Для расчёта пределов уверенности необходимо знать факторы верхнего и нижнего пределов уверенности (ФВП и ФНП), определяемые на основе специально разработанных таблиц (Приложения, , Табл. 12). Тогда верхний предел уверенности можно будет определить по формуле:

Нижний предел уверенности определяется по формуле:

10□ Проверяются документы по операциям с денежными средствами. Выборка составила 150 документов из 1000. На 6 документах отсутствует подпись руководителя.

Рассчитываем точечную оценку: .

Аудитор определил уровень уверенности (надёжности) 95%.

По (Приложения) определяется фактор верхнего предела, который составляет 11,85 (для m=6, уровня уверенности 95%), и фактор нижнего предела (Приложения, Табл. 12), который составляет 2,61. На основании полученных данных рассчитываются верхний и нижний предел уверенности:

На основе произведённых расчётов можно сделать следующие выводы:

с уверенностью 95% можно утверждать, что доля неподписанных руководителем документов в генеральной совокупности не превышает 15,8%;

с уверенностью 95% можно утверждать, что доля неподписанных руководителем документов в генеральной совокупности составляет как минимум 3,48%.

Таким образом, с уверенностью 90% (100%-5%-5%) можно утверждать, что доля неподписанных документов находится в пределах от 3,48% до 15,8%. ■

Во всех расчётах не учтён объём генеральной совокупности. При желании можно скорректировать полученные величины ВПУ и НПУ, используя формулы:

□ Скорректируем ВПУ и НПУ, полученные в предыдущем примере:

По результатам расчётов видно, что скорректированный результат незначительно отличается от исходного.

Качественное выборочное исследование обычно применяется при проверке системы внутреннего контроля организации

Количественное выборочное исследование

В отличие от качественного выборочного исследования, которое обычно применяется при проверке системы внутреннего контроля организации, количественное выборочное исследование используется при изучении счетов и операций, где требуется получить конкретные результаты завышения или занижения в суммовом выражении.

В основе оценки результатов при количественном выборочном исследовании лежит теория нормального распределения. Теория состоит в том, что, если произвести множество одинаковых по объёмы выборок из одной и той же генеральной совокупности и рассчитать в каждой из выборок среднюю сумму элементов, то частота распределения сумм элементов будет выглядеть следующим образом (Рисунок 3):

Рисунок 3. Нормальное распределение.

Подобное распределение называется нормальным и описывается математически, на основе чего становится возможной оценка результатов, полученных при статистическом выборочном исследовании.

Процесс оценки результатов при количественном исследования можно разделить на несколько этапов:

Нахождение дисперсии (разброс) выявленных отклонений:

,

где - дисперсия;

i = 1, 2, 3, …, n – порядковый номер элементов выборки, содержащих отклонения;

n – количество элементов выборки;

- сумма выявленного отклонения i-ого элемента;

- среднее отклонение (рассчитывается как отношение суммарной величины отклонений к количеству элементов выборки)

Нахождение средней ошибки выборки:

,

где - средняя ошибка выборки;

N – количество элементов генеральной совокупности.

3. Оценка суммарной величины отклонений в генеральной совокупности. На этом этапе аудитор в зависимости от целей проверки выбирает один из следующих вариантов:

а) Если требуется определить, в каких пределах лежит суммарная величина отклонений (S), используется формула:

,

где t – коэффициент доверия для двухстороннего интервала. Он берётся из специальной таблицы в зависимости от уровня уверенности (надёжности) (Приложения, Табл. 12);

б) Если требуется определить только верхний предел, используется формула:

,

где z – коэффициент доверия для одностороннего интервала. Он берётся из специальной таблицы в зависимости от уровня уверенности (надёжности) (Приложения, Табл. 12);

в) Если нужно посчитать вероятность того, что сумма искажения не превысит определённый предел, определяется z по формуле:

,

где L – установленный предел.

Затем по Табл. 12 (Приложения) определяется искомый уровень уверенности (надёжности).

□ Аудитор проверяет правильность начисления налога на доходы физических лиц (НДФЛ). Для этого проводится выборочное исследование путём отбора 100 человек из 1200 работников предприятия. В результате проверки были найдены 11 человек, из заработка которых НДФЛ был удержан неверно:

№ п/п	Сумма отклонения, руб.
1	364
2	710
3	-400
4	600
5	954
6	-345
7	77
8	844
9	663
10	-780
11	514
Итого	3201

В ходе проверки аудитор поставил цель оценить недоплаченную в бюджет сумму налога, и поэтому при подсчёте итоговой суммы отклонения недоплаченные суммы налога компенсируются переплаченными (по строке «Итого» сложены все суммы со своими знаками).

1. Среднее отклонение составит руб.

Находим дисперсию:

.

2. Находим среднюю ошибку выборки:

.

3. а) Аудитор желает с уровнем уверенности (надёжности) 95% определить, в каком интервале лежит сумма недоплаченного налога. Риск выборки составляет 100%-95%=5%=0,05. Находим это значение в Табл. 12 и определяем, что она находится на пересечении строки со значением 1,9 и строки со значением 0,06. Значит, коэффициент доверия t=1,96. Сумма недоплаченного налога по всем работникам предприятия (S) лежит в интервале:

-7511 < S < 84311 руб.

б) Аудитору необходимо узнать только максимальную величину возможной недоплаты. По Табл. 12 находим z=1,65. Тогда аудитор на 95% может быть уверен, что сумма недоплаченного подоходного налога по всем работникам не превысит:

руб.

в) Аудитор установил максимальную сумму недоплаченного налога в 65000 руб., и ему нужно посчитать вероятность того, что сумма недоплаченного налога не превысит этот предел. Рассчитывается коэффициент доверия z:

Для z=1,14 определяется по Табл. 12 уровень уверенности (надёжности), равный 0,8729, или 87,3%. Таким образом, существует вероятность 12,7% (100%-87,3%) того, что сумма недоплаченного налога превысит допустимый предел в 65000 руб.

Заключение

Выборочная проверка занимает важное место при проведении аудита, во многих случаях помогает сэкономить время и силы на проведение аудита. В то же время применение выборочных методов в аудите может быть затруднено в связи с наличием следующих ограничений:

Отсутствие в российском законодательстве чётких инструкций и алгоритмов, нашедших отражение лишь в международном стандарте;

Для использования выборочного метода зачастую требуется знание аудиторами основ математической статистики, где разброс знаний аудиторов колеблется от свободного владения до полного незнания;

Выборочная проверка позволяет сэкономить время за счёт проверки меньшего объёма документов, но вместе с тем требует времени на такие зачастую сложные и трудоёмкие процессы, как планирование проверки, определение объёма выборки, выбор подходящего метода отбора и последующее распространение результатов выборочной проверки на генеральную совокупность. Все эти процедуры требуют тщательных математических расчётов;

Проведение выборочной проверки всегда связано с наличием некоторого риска выборки.

Вышеперечисленные ограничения могут быть преодолены следующими способами:

Изучение аудиторами положений международных стандартов, касающихся вопросов выборочного аудита, а также специальной литературы, посвящённой вопросам применения выборочных методов в аудите;

Разработка внутрифирменных аудиторских стандартов, регламентирующих порядок действий аудитора при проведении выборочного аудиторского исследования, алгоритмы расчётов и формы документации, используемые в ходе проведения проверки и позволяющие проводить в них необходимые расчёты;

Время, которое требуется на определение объёма выборки, отбор документов в соответствии с выбранным методом, распространение оценки результатов может быть сокращено путём использования специально разработанных компьютерных программ или, при их отсутствии, возможностей Excel;

В ходе планирования аудиторской проверки необходимо определить, на каких участках учёта применение аудиторской выборки будет рационально, а на каких участках эффективнее будет применить сплошную проверку.

Список литературы

Правило (стандарт) аудиторской деятельности № 16 «Аудиторская выборка». Одобрено Комиссией по аудиторской деятельности при Президенте РФ 25 декабря 1996 года, протокол № 6.

Аренс А., Лоббек Дж. Аудит: Пер. с англ. – М., 1995.

Аудит: Учебник / В.И. Подольский, Г.Б. Поляк, А.А. Савин, Л.В. Сотникова. – М., 2004.

Аудит Монтгомери / Ф.А. Дефлу, Г.Р. Дженик, В.М. Рейтли, М.Б. Хирли. – М., 1997.

Газарян А.В. Методы аудиторской выборки // Бухгалтерский учёт, 2000, № 15 (август), с. 47-49.

Елисеева И.И., Терехов А.А. Статистические методы в аудите. – М., 1998.

Робертсон Дж. Аудит: Пер. с англ. – М., 1993.

Сухарева О.А. Планирование аудиторской выборки // Вестник МГУ; Сер. 6: Экономика. – М., 2002, № 2, с. 104-119.

Шеремет А.Д., Суйц В.П. Аудит: Учебник. – М., 2002.

www.audit-it.ru

www.consultant.ru

www.gaap.ru

Приложения

Табл. 12. Таблица случайных чисел Excel.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	0,7880	0,0241	0,0945	0,7498	0,3615	0,3676	0,6266	0,5374	0,5222	0,5834
2	0,8451	0,7885	0,4107	0,0800	0,4637	0,2934	0,0433	0,4873	0,7606	0,2937
3	0,9490	0,3511	0,1441	0,2945	0,4417	0,5704	0,6240	0,8892	0,6013	0,9458
4	0,6872	0,2825	0,1598	0,8214	0,4543	0,2185	0,8476	0,1284	0,2459	0,2967
5	0,7490	0,7615	0,8351	0,4613	0,3819	0,5346	0,6757	0,1370	0,1084	0,0977
6	0,4482	0,7146	0,0331	0,3498	0,2494	0,3259	0,3099	0,9058	0,6192	0,6083
7	0,8945	0,4559	0,8114	0,1148	0,0222	0,9354	0,0457	0,2854	0,4121	0,6264
8	0,6541	0,3695	0,8305	0,3868	0,1440	0,0844	0,2245	0,6946	0,1066	0,1069
9	0,7007	0,6774	0,0408	0,9089	0,4791	0,9210	0,8409	0,8154	0,4023	0,8644
10	0,3701	0,5696	0,2693	0,2256	0,9302	0,9445	0,1028	0,1074	0,7207	0,8184
11	0,5563	0,2328	0,7517	0,6689	0,3523	0,4073	0,5481	0,2644	0,0223	0,1778
12	0,9726	0,7165	0,9967	0,5219	0,2099	0,2948	0,4351	0,2837	0,0276	0,0926
13	0,1115	0,9311	0,9343	0,7195	0,7767	0,6714	0,7212	0,0494	0,5499	0,2253
14	0,7412	0,1359	0,7325	0,0340	0,7516	0,4634	0,2317	0,7709	0,7461	0,7385
15	0,6947	0,7110	0,2619	0,5136	0,0299	0,6215	0,5699	0,8816	0,6904	0,3838
16	0,4232	0,0046	0,5325	0,7432	0,1068	0,1788	0,2468	0,1962	0,8576	0,2306
17	0,6759	0,7589	0,1321	0,5606	0,8746	0,8078	0,9764	0,9249	0,6154	0,4092
18	0,9769	0,8235	0,1010	0,4426	0,6064	0,0328	0,2485	0,0012	0,2872	0,8492
19	0,9262	0,1573	0,8394	0,8019	0,3699	0,8580	0,3652	0,9765	0,1840	0,4922
20	0,6881	0,2476	0,4111	0,5772	0,2604	0,2921	0,9018	0,5361	0,3873	0,6555
21	0,8318	0,1106	0,6187	0,4015	0,6534	0,1801	0,8007	0,2654	0,6983	0,7219
22	0,1590	0,9842	0,2116	0,3559	0,8619

0,2238

0,1049

0,9974

0,1886

0,4106

23

0,5580

0,0659

0,4689

0,7204

0,1848

0,7965

0,1717

0,4066

0,8092

0,2250

24

0,0849

0,8985

0,6588

0,9017

0,1726

0,1088

0,5002

0,1858

0,6084

0,5474

25

0,3062

0,9357

0,9605

0,8308

0,4567

0,3359

0,3604

0,2306

0,3646

0,5857

26

0,0761

0,0643

0,0065

0,8619

0,4965

0,1032

0,4804

0,1562

0,4820

0,6057

27

0,3334

0,0321

0,6786

0,9116

0,1166

0,1976

0,1609

0,9274

0,5518

0,9623

28

0,5098

0,6410

0,7326

0,8189

0,0619

0,5947

0,0208

0,4469

0,3400

0,3171

29

0,7196

0,5972

0,1027

0,8879

0,2861

0,3998

0,0295

0,4363

0,6141

0,6729

30

0,6839

0,7446

0,6959

0,2387

0,2622

0,4550

0,1965

0,3376

0,8609

0,7781

31

0,4657

0,0750

0,0867

0,3296

0,7487

0,7052

0,2249

0,7387

0,6083

0,9577

32

0,0567

0,0023

0,8593

0,3243

0,1796

0,9970

0,2681

0,7021

0,0375

0,8734

33

0,2631

0,3557

0,7518

0,4645

0,6650

0,7470

0,6714

0,7604

0,2074

0,4377

34

0,0008

0,8444

0,9192

0,0725

0,3032

0,3386

0,7391

0,8536

0,7286

0,9798

35

0,5263

0,8742

0,2974

0,9512

0,1364

0,6528

0,6394

0,8480

0,1857

0,7476

36

0,2394

0,8396

0,9209

0,0709

0,8150

0,2881

0,6559

0,7496

0,0858

0,5376

37

0,0513

0,6348

0,7050

0,6133

0,1765

0,8866

0,3911

0,5354

0,0423

0,6315

38

0,6639

0,9028

0,2635

0,5850

0,8207

0,6344

0,3341

0,5899

0,0164

0,3734

39

0,5620

0,6356

0,4536

0,7866

0,6237

0,1274

0,5293

0,4976

0,4308

0,1013

40

0,0083

0,7572

0,0261

0,0848

0,4992

0,4633

0,6270

0,8042

0,8740

0,6163

41

0,0164

0,8523

0,1179

0,4967

0,4801

0,7350

0,3182

0,3912

0,6677

0,1820

42

0,2804

0,4986

0,0321

0,9968

0,9304

0,1333

0,4509

0,8003

0,2297

0,6224

43

0,9097

0,3595

0,1465

0,5591

0,0795

0,8539

0,2207

0,7450

0,5053

0,9872

44

0,9378

0,1118

0,0321

0,9109

0,9869

0,4739

0,1892

0,7005

0,4582

0,8079

45

0,5319

0,9383

0,9606

0,4045

0,8758

0,5471

0,4191

0,6229

0,1970

0,7728

Табл. 12. Определение объёма выборки (для надёжности 95%).

Ожидаемая ошибка, %	Допустимая ошибка, %
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	12	14
0,00	300	150	100	75	60	50	45	40	35	30	25	20
0,50	*	320	160	120	95	80	70	60	55	50	40	35
1,0	*	*	260	160	95	80	70	60	55	50	40	35
2,0	*	*	*	300	190	130	90	80	70	50	40	35
3,0	*	*	*	*	370	200	130	95	85	65	55	35
4,0	*	*	*	*	*	430	230	150	100	90	65	45
5,0	*	*	*	*	*	*	480	240	160	120	75	55
6,0	*	*	*	*	*	*	*	*	270	180	100	65
7,0	*	*	*	*	*	*	*	*	*	300	130	85
8,0	*	*	*	*	*	*	*	*	*	*	200	100

* - выборка слишком велика, чтобы быть экономичной.

Табл. 12. Факторы верхнего предела, m отклонений или искажений в выборке.

Табл. 12. Факторы нижнего предела, m отклонений или искажений.

Табл. 12. Определение коэффициента доверия t для нормального распределения.

Табл. 12. Интегральное стандартное нормальное распределение.

z	0	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09
0	0,5000	0,5040	0,5080	0,5120	0,5160	0,5199	0,5239	0,5279	0,5319	0,5359
0,1	0,5398	0,5438	0,5478	0,5517	0,5557	0,5596	0,5636	0,5675	0,5714	0,5753
0,2	0,5793	0,5832	0,5871	0,5910	0,5948	0,5987	0,6026	0,6064	0,6103	0,6141
0,3	0,6179	0,6217	0,6255	0,6293	0,6331	0,6368	0,6406	0,6443	0,6480	0,6517
0,4	0,6554	0,6591	0,6628	0,6664	0,6700	0,6736	0,6772	0,6808	0,6844	0,6879
0,5	0,6915	0,6950	0,6985	0,7019	0,7054	0,7088	0,7123	0,7157	0,7190	0,7224
0,6	0,7257	0,7291	0,7324	0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 1 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767 2 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890 2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936 2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981 2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 3 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993 3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995 3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997 3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 1. Диплом на тему Грохот вибрационный ГВ-06 2. Реферат Конструкции элементов полупроводниковых микросхем на МДП-транзисторах 3. Реферат на тему Творчество Антонио Ринальди 4. Реферат Социальная типичность эмоций и эмотивные языковые средства 5. Реферат Налог на прибыль 2 Налог на 6. Реферат Российский вариант перехода к рыночной экономике 7. Контрольная работа по Финансовому вычисления 8. Контрольная работа Механизмы психологического влияния Внушение и убеждение 9. Биография Констанция Французская дочь Людовика VI 10. Курсовая Водоснабжение и водоотведение города Bukvasha Правила Контакты