№ п/п

Марка

Y

Х₁

Х₂

1

Civic VII

379

5

121

2

Civic VII

399

4

74

3

Civic VII

429

4

88

4

Civic VII

393

3

95

5

Civic VII

397

3

60

6

Civic VII

430

3

54

7

Civic VII

459

3

46

8

Civic VIII

455

2

107

9

Civic VIII

467

2

47

10

Civic VIII

468

2

97

11

Civic VIII

552

Интервальный ряд для Х ₁

Х ₁

F ₁

Ср. цена тыс.руб.

Приведем графическое отображение ряда для Х₁ в виде гистограммы и кумуляты:

Вычислим среднюю арифметическую, моду и медиану интервального ряда распределения для X₁. Формула для вычисления среднего арифметического:

где – средняя по ряду распределения;

– средняя по i-му интервалу;

– частота i-го интервала (число автомобилей в интервале).

Мода – это наиболее часто встречающееся значение признака. Для интервального ряда мода определяется по формуле:

где – значение моды;

X₀ – нижняя граница модального интервала;

h – величина модального интервала (1 год);

– частота модального интервала;

– частота интервала, предшествующая модальному;

– частота послемодального интервала.

Модальный интервал определяется по наибольшей частоте. Для ряда X1 наибольшее значение частоты равно 21, т.е. это будет интервал 0 лет , тогда значение моды:

Медиана – значение признака, лежащее в середине упорядоченного ряда распределения.

Номер медианы определяется по формуле:

где

n – число единиц в совокупности

т.к. медиана с дробным номером не бывает, то полученный результат указывает, что медиана находится между 25-й и 26-й величинами совокупности.

Значение медианы можно определить по формуле:

где – значение медианы;

– нижняя граница медианного интервала;

- номер медианы;

- накопленная частота интервала, предшествующая медианному;

- частота медианного интервала.

По накопленной частоте определяем, что медиана будет находиться в интервале от 1 года до 2-х лет , тогда значение медианы:

Для вычисления дисперсии воспользуемся следующей формулой:

где – дисперсия;

– среднее по i-му интервалу;

– среднее по ряду распределения;

– частота i-го интервала;

n – размер выборки (n=50).

Среднее квадратическое отклонение вычислим по следующей формуле:

где – дисперсия;

– среднее квадратическое отклонение;

Вычислим коэффициент вариации

где – коэффициент вариации;

– среднее квадратическое отклонение;

- среднее по ряду распределения.

Вычислим значения коэффициента ассиметрии:

где ;

– коэффициент ассиметрии;

– среднее квадратическое отклонение;

– среднее по i-му интервалу;

– среднее по ряду распределения;

– частота i-го интервала;

n – размер выборки (n=50).

Вычислим значения коэффициента эксцесса:

где

- коэффициент эксцесса;

– среднее квадратическое отклонение;

– среднее по i-му интервалу;

– среднее по ряду распределения;

– частота i-го интервала;

n – размер выборки (n=50).

Исследуем статистическое распределение признаков Х₂ с помощью интервального вариационного ряда.

Для построения ряда распределения необходимо определить число групп и величину интервала. Для определения числа групп воспользуемся формулой Стерджесса:

гдеm – число групп (всегда целое);

n – число единиц в выборке, в нашем случае n= 50.

Вычислим m:

Величину интервала определим по формуле:

где Хmax – максимальное значение признака;

Хmin - минимальное значение признака;

m – число групп.

На основании полученных данных построим интервальный ряд для Х₂:

Приведем графическое отображение ряда для Х₂ в виде гистограммы и кумуляты:

Вычислим среднюю арифметическую, моду и медиану интервального ряда распределения для X₂. Формула для вычисления среднего арифметического:

где – средняя по ряду распределения;

– средняя по i-му интервалу;

– частота i-го интервала (число автомобилей в интервале).

Мода – это наиболее часто встречающееся значение признака. Для интервального ряда мода определяется по формуле:

где – значение моды;

– нижняя граница модального интервала;

h – величина модального интервала (1 год);

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующая модальному;

- частота послемодального интервала.

Модальный интервал определяется по наибольшей частоте. Для ряда X₁ наибольшее значение частоты равно 25, т.е. это будет интервал 0 до 21 тыс. км., тогда значение моды:

Медиана – значение признака, лежащее в середине упорядоченного ряда распределения.

Номер медианы определяется по формуле:

где

n – число единиц в совокупности

т.к. медиана с дробным номером не бывает, то полученный результат указывает, что медиана находится между 25-й и 26-й величинами совокупности.

Значение медианы можно определить по формуле:

где– значение медианы;

– нижняя граница медианного интервала;

- номер медианы;

- накопленная частота интервала, предшествующая медианному;

- частота медианного интервала.

По накопленной частоте определяем, что медиана будет находиться в интервале от 21 до 42 тыс. км., тогда значение медианы:

Для вычисления дисперсии воспользуемся следующей формулой:

где – дисперсия;

– среднее по i-му интервалу;

– среднее по ряду распределения;

– частота i-го интервала;

n – размер выборки (n=50).

Среднее квадратическое отклонение вычислим по следующей формуле:

где – дисперсия;

– среднее квадратическое отклонение;

Вычислим коэффициент вариации

где – коэффициент вариации;

– среднее квадратическое отклонение;

- среднее по ряду распределения.

Вычислим значения коэффициента ассиметрии:

где

– коэффициент ассиметрии

– среднее квадратическое отклонение;

– среднее по i-му интервалу;

– среднее по ряду распределения;

– частота i-го интервала;

n – размер выборки (n=50).

Вычислим значения коэффициента эксцесса:

где;

- коэффициент эксцесса;

– среднее квадратическое отклонение;

– среднее по i-му интервалу;

– среднее по ряду распределения;

– частота i-го интервала;

n – размер выборки (n=50).

Исследуем статистическое распределение признаков Y с помощью интервального вариационного ряда.

Величину интервала определим по формуле, используя полученное ранее значение m:

где Хmax – максимальное значение признака;

Хmin - минимальное значение признака;

m – число групп.

На основании полученных данных построим интервальный ряд для Y:

Приведем графическое отображение ряда для Y в виде гистограммы и кумуляты:

Вычислим среднюю арифметическую , моду и медиану интервального ряда распределения для Y. Формула для вычисления среднего арифметического:

где – средняя по ряду распределения;

– средняя по i-му интервалу;

– частота i-го интервала (число автомобилей в интервале).

Мода – это наиболее часто встречающееся значение признака. Для интервального ряда мода определяется по формуле:

где – значение моды;

Y₀ – нижняя граница модального интервала;

h– величина модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующая модальному;

- частота послемодального интервала.

Модальный интервал определяется по наибольшей частоте. Для ряда Y наибольшее значение частоты равно 12, т.е. это будет интервал 551-594, тогда значение моды:

Медиана – значение признака, лежащее в середине упорядоченного ряда распределения.

Номер медианы определяется по формуле:

где ;

n – число единиц в совокупности;

т.к. медиана с дробным номером не бывает, то полученный результат указывает, что медиана находится между 25-й и 26-й величинами совокупности.

Значение медианы можно определить по формуле:

где – значение медианы;

– нижняя граница медианного интервала;

– номер медианы;

– накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

- частота медианного интервала;

По накопленной частоте определяем, что медиана будет находиться в интервале 551-594 , тогда значение медианы:

Для вычисления дисперсии воспользуемся следующей формулой:

где – дисперсия;

– среднее по i-му интервалу;

– среднее по ряду распределения;

– частота i-го интервала;

n – размер выборки (n=50).

Среднее квадратическое отклонение вычислим по следующей формуле:

где – дисперсия;

– среднее квадратическое отклонение;

Вычислим коэффициент вариации

где – коэффициент вариации;

– среднее квадратическое отклонение;

- среднее по ряду распределения.

Вычислим значения коэффициента ассиметрии:

где

– коэффициент ассиметрии;

– среднее квадратическое отклонение;

– среднее по i-му интервалу;

– среднее по ряду распределения;

– частота i-го интервала;

n – размер выборки (n=50).

Подставив значения, получим, что:

Вычислим значения коэффициента эксцесса:

где ;

- коэффициент эксцесса;

– среднее квадратическое отклонение;

– среднее по i-му интервалу;

– среднее по ряду распределения;

– частота i-го интервала;

n – размер выборки (n=50).

Проверка однородности и нормальности

Проверим интервальные распределения на однородность:

следовательно, совокупность для Х₁ является неоднородной.

следовательно, совокупность для Х₂ является неоднородной.

следовательно, совокупность для Y является однородной.

Исследуем нормальность распределения факторного признака Х₁:

Таким образом, сопоставляя гр.3 и гр.4 делаем вывод: распределение Х₁ относительно близко к нормальному, но не подчиняется ему.

Исследуем нормальность распределения факторного признака Х₂:

Таким образом, сопоставляя гр.3 и гр.4 делаем вывод: распределение Х₂ близко к нормальному, но не подчиняется ему.

Таким образом, проведя анализ на нормальность распределения мы можем отобрать данные не попадающие в диапазон 3х σ. Для ряда Х₁ таких значений нет. Для ряда Х₂ исключаем значение с пробегом 150 тыс. км.

С учетом отфильтрованных по правилу 3х сигм составим интервальные ряды для Х₁, Х₂, Y.

Вывод зависимостей результирующего-признака от факторов-признаков

Проведем аналитические группировки продаваемых автомобилей по времени эксплуатации и пробегу и определим групповые средние.

Построим график Y(X₁)

Зависимость цены от времени эксплуатации существует и носит линейный характер, чем больше время эксплуатации, тем дешевле автомобиль.

Построим график Y(X₂)

Зависимость цены от пробега существует и носит линейный характер, чем больше пробег автомобиля, тем дешевле автомобиль.

Группировка

На основании данных статистического наблюдения выделим три типа автомобилей:

• по времени эксплуатации:

  • новые автомобили от 0 до 1 года – 34 шт.

  • средние автомобили от 2 до 3 лет – 13 шт.

  • старые автомобили от 3 до 5 лет – 3 шт.

• по пробегу:

  • новые автомобили от 0 до 50 тыс. км. – 36 шт.

  • средние автомобили от 50 до 100 тыс.км. – 11 шт.

  • старые автомобили от 100 до 150 тыс.км. – 3 шт.

• по цене:

  • новые автомобили от 581 до 683 тыс. руб. – 19 шт.

  • средние автомобили от 480 до 581 тыс. руб. – 12 шт.

  • старые автомобили от 379 до 480 тыс. руб. – 12 шт.

Определение доверительного интервала

Определим доверительный интервал, в котором заключена средняя цена всех продаваемых автомобилей, с вероятностью 0,9.

При вероятности 0,9 t = 1,64

Следовательно:

Таким образом, с вероятностью 0,9 можно утверждать, что средняя цена автомобиля равна:

Определим доверительный интервал, в котором заключена средняя цена всех продаваемых автомобилей, с вероятностью 0,95.

При вероятности 0,95 t = 1,96

Следовательно:

Таким образом, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что средняя цена автомобиля равна:

Определим необходимую численность выборки при определении средней цены продаваемых автомобилей, чтобы с вероятностью 0,95 предельная ошибка выборки не превышала 10 тыс. руб.

Вычисление линейных коэффициентов корреляции, вывод уравнения регрессии

На основании выборочного наблюдения оценим степень тесноты связи и проведем оценку ее существенности:

Для определения степени тесноты парной линей зависимости используем линейный коэффициент корреляции(r) :

Для вычисления линейных коэффициентов корреляции составим вспомогательную таблицу:

36,15

509,8

1,4

17,85

-79,8

-111,72

-1424,43

24,99

3

46

459

1,6

36,15

509,8

1,4

9,85

-50,8

-71,12

-500,38

13,79

2

107

455

1,6

36,15

509,8

0,4

70,85

-54,8

-21,92

-3882,58

28,34

2

47

467

1,6

36,15

509,8

0,4

10,85

-42,8

-17,12

-464,38

4,34

2

97

468

1,6

36,15

509,8

0,4

60,85

-41,8

-16,72

-2543,53

24,34

2

60

552

1,6

36,15

509,8

0,4

23,85

42,2

16,88

1006,47

9,54

2

41

565

1,6

36,15

509,8

0,4

4,85

55,2

22,08

267,72

1,94

2

57

570

1,6

36,15

509,8

0,4

20,85

60,2

24,08

1255,17

8,34

2

30

579

1,6

36,15

509,8

0,4

-6,15

69,2

27,68

-425,58

-2,46

2

150

597

1,6

36,15

509,8

0,4

113,85

87,2

34,88

9927,72

45,54

1

75

441

1,6

36,15

509,8

-0,6

38,85

-68,8

41,28

-2672,88

-23,31

1

30

466

1,6

36,15

509,8

-0,6

-6,15

-43,8

26,28

269,37

3,69

1

15

500

1,6

36,15

509,8

-0,6

-21,15

-9,8

5,88

207,27

12,69

1

26

524

1,6

36,15

509,8

-0,6

-10,15

14,2

-8,52

-144,13

6,09

1

22

530

1,6

36,15

509,8

-0,6

-14,15

20,2

-12,12

-285,83

8,49

1

32

539

1,6

36,15

509,8

-0,6

-4,15

29,2

-17,52

-121,18

2,49

1

62

555

1,6

36,15

509,8

-0,6

25,85

45,2

-27,12

1168,42

-15,51

1

14

560

1,6

36,15

509,8

-0,6

-22,15

50,2

-30,12

-1111,93

13,29

1

30

575

1,6

36,15

509,8

-0,6

-6,15

65,2

-39,12

-400,98

3,69

1

88

575

1,6

36,15

509,8

-0,6

51,85

65,2

-39,12

3380,62

-31,11

1

18

600

1,6

36,15

509,8

-0,6

-18,15

90,2

-54,12

-1637,13

10,89

1

18

600

1,6

36,15

509,8

-0,6

-18,15

90,2

-54,12

-1637,13

10,89

1

40

615

1,6

36,15

509,8

-0,6

3,85

105,2

-63,12

405,02

-2,31

1

14

680

1,6

36,15

509,8

-0,6

-22,15

170,2

-102,12

-3769,93

13,29

0

18

510

1,6

36,15

509,8

-1,6

-18,15

0,2

-0,32

-3,63

29,04

0

0

533

1,6

36,15

509,8

-1,6

-36,15

23,2

-37,12

-838,68

57,84

0

0

533

1,6

36,15

509,8

-1,6

-36,15

23,2

-37,12

-838,68

57,84

0

0

541

1,6

36,15

509,8

-1,6

-36,15

31,2

-49,92

-1127,88

57,84

0

0

541

1,6

36,15

509,8

-1,6

-36,15

31,2

-49,92

-1127,88

57,84

0

0

561

1,6

36,15

509,8

-1,6

-36,15

51,2

-81,92

-1850,88

57,84

0

29

570

1,6

36,15

509,8

-1,6

-7,15

60,2

-96,32

-430,43

11,44

0

0

585

1,6

36,15

509,8

-1,6

-36,15

75,2

-120,32

-2718,48

57,84

0

0

590

1,6

36,15

509,8

-1,6

-36,15

80,2

-128,32

-2899,23

57,84

0

0

606

1,6

36,15

509,8

-1,6

-36,15

96,2

-153,92

-3477,63

57,84

0

0

616

1,6

36,15

509,8

-1,6

-36,15

106,2

-169,92

-3839,13

57,84

0

0

640

1,6

36,15

509,8

-1,6

-36,15

130,2

-208,32

-4706,73

57,84

0

0

640

1,6

36,15

509,8

-1,6

-36,15

130,2

-208,32

-4706,73

57,84

0

0

640

1,6

36,15

509,8

-1,6

-36,15

130,2

-208,32

-4706,73

57,84

0

0

643

1,6

36,15

509,8

-1,6

-36,15

133,2

-213,12

-4815,18

57,84

0

10

650

1,6

36,15

509,8

-1,6

-26,15

140,2

-224,32

-3666,23

41,84

0

0

650

1,6

36,15

509,8

-1,6

-36,15

140,2

-224,32

-5068,23

57,84

0

0

Тогда

Таким образом, значение линейного коэффициента корреляции = -0,84 свидетельствует о наличии обратной и тесной связи между временем эксплуатации и ценой автомобиля.

Таким образом, значение линейного коэффициента корреляции = -0,63 свидетельствует о наличии обратной и тесной связи между пробегом и ценой автомобиля.

Таким образом, значение линейного коэффициента корреляции = 0,89 свидетельствует о наличии прямой и тесной связи временем эксплуатации и пробегом автомобиля.

Проведем анализ матрицы парных коэффициентов корреляции:

Составим матрицу парных коэффициентов корреляции:

Так как оба условия не соблюдаются, то для составления уравнения регрессии будем использовать наиболее значимый (весомый) факторный признак, т.е. – X1 (время эксплуатации), т.к. .

Составим уравнение регрессии:

В качестве регрессионной модели выберем линейную модель, которая имеет вид:

Вычислим коэффициенты регрессионного уравнения:

Таким образом, уравнение регрессии примет вид:

Заключение

В ходе исследования были выявлены следующие характеристики взаимосвязи стоимости автомобиля с факторными признаками:

• Стоимость автомобиля линейно зависит от пробега и времени эксплуатации причем эта зависимость обратная для обоих случаев. При увеличении пробега (времени эксплуатации) стоимость автомобиля уменьшается;

• Основным фактором, влияющим на конечную стоимость, является время эксплуатации;

• Выявлена зависимость стоимости автомобиля от времени эксплуатации, которая имеет следующий вид:

Список источников

1. Сайт www.auto.ru.

2. Ефимова М.Р., Ганченко О.И., Петрова Е.В. Практикум по общей теории статистики: Учеб. пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2005. – 336 с: ил. ISBN 5-279-02555-0.