Введение

Логарифмы были придуманы для ускорения и упрощения вычислений. Идея логарифма, т. е. идея выражать числа в виде степени одного и того же основания, принадлежит Михаилу Штифелю. Но во времена Штифеля математика была не столь развита и идея логарифма не нашла своего развития. Логарифмы были изобретены позже одновременно и независимо друг от друга шотландским учёным Джоном Непером(1550-1617) и швейцарцем Иобстом Бюрги(1552-1632) Первым опубликовал работу Непер в 1614г. под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов», теория логарифмов Непера была дана в достаточно полном объёме, способ вычисления логарифмов дан наиболее простой, поэтому заслуги Непера в изобретении логарифмов больше, чем у Бюрги. Бюрги работал над таблицами одновременно с Непером, но долгое время держал их в секрете и опубликовал лишь в 1620г. Идеей логарифма Непер овладел около1594г. хотя таблицы опубликовал через 20 лет. Вначале он называл свои логарифмы «искусственными числами» и уже потом предложил эти «искусственные числа» называть одним словом «логарифм», который в переводе с греческого- «соотнесённые числа», взятые одно из арифметической прогресси, а другое из специально подобранной к ней геометрической прогресси. Первые таблицы на русском языке были изданы в1703г. при участии замечательного педагога 18в. Л. Ф Магницкого. В развитии теории логарифмов большое значение имели работы петербургского академика Леонарда Эйлера. Он первым стал рассматривать логарифмирование как действие, обратное возведению в степень, он ввёл в употребление термины «основание логарифма» и «мантисса» Бригс составил таблицы логарифмов с основанием 10. Десятичные таблицы более удобны для практического употребления, теория их проще, чем у логарифмов Непера. Поэтому десятичные логарифмы иногда называют бригсовыми. Термин «характеристика» ввёл Бригс.

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово "аль-джебр" из арабского названия этого трактата – "Китаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга о восстановлении и противопоставлении") – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово "алгебра", а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

Логарифмические уравнения и неравенства

1. Логарифмические уравнения

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании, называется логарифмическим уравнением.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида

log_a x = b. (1)

Утверждение 1. Если a > 0, a ≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = a^b.

Пример 1. Решить уравнения:

a) log₂ x = 3, b) log₃ x = -1, c)

Решение. Используя утверждение 1, получим a) x = 2³ или x = 8; b) x = 3^-1 или x = ¹/₃; c) или x = 1.

Приведем основные свойства логарифма.

Р1. Основное логарифмическое тождество:

где a > 0, a ≠ 1 и b > 0.

Р2. Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей:

log_a N₁·N₂ = log_a N₁ + log_a N₂ (a > 0, a ≠ 1, N₁ > 0, N₂ > 0).

Замечание. Если N₁·N₂ > 0, тогда свойство P2 примет вид

log_a N₁·N₂ = log_a |N₁| + log_a |N₂| (a > 0, a ≠ 1, N₁·N₂ > 0).

Р3. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя

(a > 0, a ≠ 1, N₁ > 0, N₂ > 0).

Замечание. Если , (что равносильно N₁N₂ > 0) тогда свойство P3 примет вид

(a > 0, a ≠ 1, N₁N₂ > 0).

P4. Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа:

log_a N ^k = k log_a N (a > 0, a ≠ 1, N > 0).

Замечание. Если k - четное число (k = 2s), то

log_a N ^2s = 2s log_a |N| (a > 0, a ≠ 1, N ≠ 0).

P5. Формула перехода к другому основанию:

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, N > 0),

в частности, если N = b, получим

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1). (2)

Используя свойства P4 и P5, легко получить следующие свойства

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (3)

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (4)

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (5)

и, если в (5) c - четное число (c = 2n), имеет место

(b > 0, a ≠ 0, |a| ≠ 1). (6)

Перечислим и основные свойства логарифмической функции f(x) = log_a x:

1. Область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел.

2. Область значений логарифмической функции - множество действительных чисел.

3. При a > 1 логарифмическая функция строго возрастает (0 < x₁ < x₂ log_a x₁ < log_a x₂), а при 0 < a < 1, - строго убывает (0 < x₁ < x₂ log_a x₁ > log_a x₂).

4. log_a 1 = 0 и log_a a = 1 (a > 0, a ≠ 1).

5. Если a > 1, то логарифмическая функция отрицательна при x (0;1) и положительна при x (1;+∞), а если 0 < a < 1, то логарифмическая функция положительна при x  (0;1) и отрицательна при x (1;+∞).

6. Если a > 1, то логарифмическая функция выпукла вверх, а если a (0;1) - выпукла вниз.

Следующие утверждения (см., например, [1]) используются при решении логарифмических уравнений.

Утверждение 2. Уравнение log_a f(x) = log_a g(x) (a > 0, a ≠ 1) равносильно одной из систем (очевидно, выбирается та система, неравенство которой решается проще)

	f(x) = g(x),			f(x) = g(x),
	f(x) > 0,			g(x) > 0.

Утверждение 3. Уравнение log_h(x) f(x) = log_h(x) g(x) равносильно одной из систем

	f(x) = g(x),			f(x) = g(x),
	h(x) > 0,			h(x) > 0,
	h(x) ≠ 1,			h(x) ≠ 1,
	f(x) > 0,			g(x) > 0.

Нужно подчеркнуть, что в процессе решения логарифмических уравнений часто используются преобразования, которые изменяют область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения. Следовательно, могут появиться "чужие" решения или могут быть потеряны решения. Например, уравнения

f(x) = g(x) и log_a f(x) = log_a g(x)

или

log_a [f(x)·g(x)] = b и log_a f(x) + log_a g(x) = b

вообще говоря, неравносильны (ОДЗ уравнений справа уже).

Следовательно, при решении логарифмических уравнений полезно использовать равносильные преобразования. В противном случае, проверка полученных решений является составной частью решения. Более того, необходимо учитывать и преобразования, которые могут привести к потере корней.

2. Использование определения логарифма

Пример 1. Решить уравнения

a) log2(5 + 3log2(x - 3)) = 3,	c) log(x - 2)9 = 2,
b)	d) log2x + 1(2x2 - 8x + 15) = 2.

Решение. a) Логарифмом положительного числа b по основанию a (a > 0, a ≠ 1) называется степень, в которую нужно возвести число a, чтобы получить b. Таким образом, log_ab = c, b = a^c и, следовательно,

5 + 3log₂(x - 3) = 2³

или

3log₂(x - 3) = 8 - 5, log₂(x - 3) = 1.

Опять используя определение, получим

x - 3 = 2¹, x = 5.

Проверка полученного корня является неотъемлемой частью решения этого уравнения:

log₂(5 + 3log₂(5 - 3)) = log₂(5 + 3log₂2) = log₂(5 + 3) = log₂8 = 3.

Получим истинное равенство 3 = 3 и, следовательно, x = 5 есть решение исходного уравнения.

b) Аналогично примеру a), получим уравнение

откуда следует линейное уравнение x - 3 = 3(x + 3) с решением x = -6. Сделаем проверку и убедимся, что x = -6 является корнем исходного уравнения.

c) Аналогично примеру a), получим уравнение

(x - 2)² = 9.

Возведя в квадрат, получим квадратное уравнение x² - 4x - 5 = 0 с решениями x₁ = -1 и x₂ = 5. После проверки остается лишь x = 5.

d) Используя определение логарифма, получим уравнение

(2x² - 8x + 15) = (2x + 1)²

или, после элементарных преобразований,

x² + 6x-7 = 0,

откуда x₁ = -7 и x₂ = 1. После проверки остается x = 1.

3. Использование свойств логарифма

Пример 3. Решить уравнения

a) log3x + log3(x + 3) = log3(x + 24),

b) log4(x2 - 4x + 1) - log4(x2 - 6x + 5) = -1/2

c) log2x + log3x = 1

Решение. a) ОДЗ уравнения есть множество x  (0;+) которое определяется из системы неравенств (условия существования логарифмов уравнения)

	x > 0,
	x+3 > 0,
	x+24 > 0.

Используя свойство P2 и утверждение 1, получим

log3x + log3(x + 3) = log3(x + 24) 	log3x(x + 3) = log3(x + 24), x > 0, 
 x(x + 3) = x + 24, x > 0,	 x2 + 2x - 24 = 0, x > 0,  x1 = -6, x2 = 4, x > 0,  x = 4.

b) Используя свойство P3, получим следствие исходного уравнения

откуда, используя определение логарифма, получим

или

x² - 4x + 1 = ¹/₂(x² - 6x + 5),

откуда получаем уравнение

x² - 2x - 3 = 0

с решениями x₁ = -1 и x = 3. После проверки остается лишь x = -1.

c) ОДЗ уравнения: x  (0;+). Используя свойство P5, получим уравнение

log₂x(1 + log₃2) = 1,

откуда или или log₂x = log₆3. Следовательно,

Логарифмические неравенства

Неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании называется логарифмическим неравенством. В процессе решения логарифмических неравенств часто используются следующие утверждения относительно равносильности неравенств и учитываются свойства монотонности логарифмической функции.

Утверждение 1. Если a > 1, то неравенство log_a f(x) > log_a g(x) равносильно системе неравенств

	f(x) > g(x),
	g(x) > 0.

Утверждение 2. Если 0 < a < 1, то неравенство log_a f(x) > log_a g(x) равносильно системе неравенств

	f(x) < g(x),
	f(x) > 0.

Утверждение 3. Неравенство log_h(x) f(x) > log_h(x) g(x) равносильно совокупности систем неравенств

		h(x) > 1,
		f(x) > g(x) > 0,
		0 < h(x) < 1,
		0 < f(x) < g(x).

Подчеркнем, что в неравенстве log_a f(x) > log_a g(x) вместо знака > может фигурировать любой из знаков ≥ , < , ≤ . В этом случае утверждения 1-3 соответственно преобразуются.

Пример 1. Решить неравенства

a) log3(x2 - x) ≥ log3(x + 8);
b)
c)

Решение. a) Используя утверждение 1 , получим

log3(x2 - x) ≥ log3(x + 8)

x2 - x ≥ x + 8,

x2 - 2x - 8 ≥ 0,

x+8 > 0,

x > -8,

		x ≤ -2,
		x ≥ 4,	x (-8;-2][4;+∞).
		x > -8,

b) Основание логарифма число между нулем и единицей, поэтому, используя утверждение 2, получим

c) Запишем 0 = log₂1 и, используя утверждение 1, получим

Запишем и, используя утверждение 2, получим

Показательные уравнения и неравенства

1. Показательные уравнения

Показательным называется уравнение, в котором неизвестное содержится только в показателе степени при постоянных основаниях.

Простейшим показательным уравнением является уравнение вида

Это уравнение равносильно алгебраическому уравнению

Пример 1. Решить уравнение

.

Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 2:

.

Перейдем теперь к равносильному алгебраическому уравнению:

Если после введения новой переменной показательное уравнение сводится к алгебраическому, дробно-рациональному или другому уравнению от переменной y, то сначала находят корни этого уравнения, а потом выражают x через y, используя решение простейшего показательного уравнения.

2. Показательные неравенства

Показательными называются неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени.

При решении показательных неравенств используются следующие утверждения:

A.1. Если a > 1, неравенство

a ^f(x) > a ^g(x)

равносильно неравенству

f(x) > g(x).

Аналогично, a ^f(x) < a ^g(x) ; f(x) < g(x).

A.2. Если 0 < a < 1, неравенство

a ^f(x) > a ^g(x)

равносильно неравенству

f(x) < g(x).

Аналогично, a ^f(x) < a ^g(x) ; f(x) > g(x).

A.3. Неравенство

[h(x)] f(x) > [h(x)] g(x)

(1)

равносильно совокупности систем неравенств

h(x) > 1, f(x) > g(x), 0 < h(x) < 1, f(x) < g(x). Замечание.. Если знак неравенства (1) нестрогий, дополнительно рассматривается и случай h(x) = 1, x  D(f); D(g), где D(f) (D(g)) означает область определения функции f (g). A.4. Если b ≥ 0, неравенство af(x) < b не имеет решений (следует из свойств показательной функции). A.5. Если b ≤ 0, множеством решений неравенства af(x) > b является x D(f). A.6. Если a > 1, b > 0, неравенство af(x) > b равносильно неравенству f(x) > logab. Аналогично, a f(x) < b ; f(x) < logab. A.7. Если 0 < a < 1, b > 0, неравенство a f(x) > b равносильно неравенству f(x) < logab. Аналогично, a f(x) < b ; f(x) > logab. Упражнение 1. Решить неравенства: a) b) (0.3)|2x-3| < (0.3)|3x+4|, c) Решение. a) Так как 2 > 1, используя утверждение A.1, получаем равносильное неравенство которое решается методом интервалов, b) Так как 0 < 0.3 < 1 используя утверждение A.2, получаем равносильное неравенство |2x-3| > |3x+4|, которое решается, используя свойства модуля (|a| > |b|  (a-b)(a+b) > 0): |2x-3| > |3x+4| ((2x-3)-(3x+4)) ((2x-3)+(3x+4)) > 0 (-x-7)(5x+1) > 0 Решив последнее неравенство методом интервалов, получим x (-7;-1/5). c) Используя утверждение A.3, получим 4x2+2x+1 > 1, x2-x > 0, 4x2+2x+1 < 1, 4x2+2x+1 > 0, x2-x < 0 x > 0, x < -12, x > 1, x < 0, x (-12;0), x R, x(0;1). x (-; -12) (1;+), x x (-;- 12) (1;+). Заключение Математика, как и любая другая наука не стоит на месте, вместе с развитием общества меняются и взгляды людей, возникают новые мысли и идеи. И XX век не стал в этом смысле исключением. Появление компьютеров внесло свои корректировки в способы решения уравнений и значительно их облегчило. Но компьютер не всегда может быть под рукой (экзамен, контрольная), поэтому знание хотя бы самых главных способов решения уравнений необходимо знать. Использование уравнений в повседневной жизни – редкость. Они нашли свое применение во многих отраслях хозяйства и практически во всех новейших технологиях. Список литературы Курош А.Г. «Курс высшей алгебры» Москва 1975 Штейн Е.А. «Большая школьная энциклопедия» том 1; Москва 2004 М. Д. Аксенова. «Энциклопедия для детей». Том 11. Математика. – Аванта+, 1998. Цыпкин А. Г. Под ред. С. А. Степанова. «Справочник по математике для средней школы». – М.: Наука, 1980 Г. Корн и Т. Корн. «Справочник по математике для научных работников и инженеров». – М.: Наука, 1970 1. Диплом на тему Учет собственного капитала и анализ эффективности его использования 2. Реферат на тему Mccarthism Essay Research Paper Poli Sci 2304Prof 3. Реферат на тему TS Eliot Essay Research Paper The Life 4. Курсовая Субъекты инвестиционной деятельности и их правовое положение 2 5. Реферат Банковские услуги 5 6. Реферат Становление и развитие белорусской школы иконописи 7. Реферат на тему Beowulf And Grendel Craving For The Queen 8. Курсовая Диверсификация как метод снижения риска 9. Реферат на тему Full Employment And Gdp Essay Research Paper 10. Курсовая Предпринимательские риски и их классификация Bukvasha Правила Контакты