Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО

СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Факультет: Механической технологии древесины

Кафедра: Технологии композиционных материалов и древесиноведения

Планы второго порядка. Реализация В₃-плана

Реферат

В данном курсовом проекте содержится разработка метода планирования второго порядка на примере В₃-плана, получение и исследование математической модели объекта в виде полинома второго порядка, статистический анализ полученного уравнения и построение поверхностей отклика.

Пояснительная записка содержит: листов машинописного текста, 7 таблиц, рисунков, 1 библиографического наименования.

Содержание

Реферат

Введение

1 Расчетная часть

1.1 Значение и анализ выходной величины

1.2 Статистический анализ полученных данных

1.2.1. Проверка на наличие грубых измерений

1.2.2 Проверка однородности дисперсий

1.2.3 Расчет дисперсии воспроизводимости

2 Построение математической модели

2.1 Расчет коэффициентов регрессии

2.2 Расчет дисперсий коэффициентов регрессии

2.3 Проверка значимости коэффициентов регрессии

2.4 Проверка модели на адекватность

2.5 Построение графической зависимости

Заключение

Список использованных источников

Введение

Важное место в повышении уровня исследований в деревообрабатывающей промышленности занимают вопросы математического планирования эксперимента.

Математическая теория эксперимента предполагает многофакторный, системный, вероятностно-статистический подход исследований процессов и явлений.

Научный подход к обработке результатов наблюдений составляет предмет изучения математической статистики. Математическая статистика - это наука о математических методах обработки, систематизации и использовании результатов наблюдений для научных и практических выводов.

Методы математической статистики в настоящее время проникли во все области научных исследований, от физики и химии до экономики и социологии. Это объясняется тем, что каждая наука нуждается в анализе и обработке добытых ею факторов.

Роль математической статистики в исследовании лесной и деревообрабатывающей промышленности особенно велика. Для предмета труда этой области промышленности – древесины - характерно большое разнообразие характеристик. Поэтому, проведение научных исследований в лесной и деревообрабатывающей промышленности всегда связано с большим числом наблюдений, результаты которых обрабатывают при помощи методов математической статистики.

Цель курсовой работы: получение и исследование математической модели объекта в виде полинома второго порядка, статистический анализ полученного уравнения и построение поверхностей отклика.

1 Расчетная часть

1.1 Значение и анализ выходной величины.

Исследование зависимости посылки по мощности привода от некоторых технологических факторов.

В рассматриваемом частном случае реализации В₃ – плана участвуют три основных фактора, каждый из которых имеет диапазон варьирования:

X_1min<X₁<X_1max

X_2min<X₂<X_2max (1.1)

X_3min<X₃<X_3max

Основной уровень или середину диапазона выравнивания находим из соотношения:

. (1.2)

Уровни варьирования переменных факторов занесем в таблицу 1.1

Таблица 1.1 – Переменные факторы и уровни их варьирования

Наименование факторов	Обозначения факторов	Уровни варьирования
		верхний +1	основной 0	нижний -1
1. Диаметр распиливаемых бревен, d, см	X1	56	48	40
2. Толщина бруса, Н, мм	X2	225	175	125
3. Количество сечений, m, шт	X3	9	7	5

В результате проведенных опытов получены значения выходных величин и проведен первичный анализ.

Среднее значение выходной величины рассчитывается по формуле:

_j=, (1.3)

где n – количество опытов.

Выборочные дисперсии по каждому опыту рассчитываются по следующей формуле:

S_j²=. (1.4)

Среднеквадратическое отклонение:

S_j=. (1.5)

Полученные данные занесем в таблицу 1.2

Таблица 1.2 – Значения выходных величин

Номер опыта	Заданные значения выходной величины					Анализ выходной величины
	Y1j	Y2j	Y3j	Y4j	Y5j	Yjj	Sjj2	Sij
1	17	15.6	17.7

14.5

15.3

16.02

1.697

1.30269

2

29.4

38.5

37.4

33.8

29.2

33.66

18.868

4.343731

3

14.9

11.2

14.9

12.8

11.7

13.1

3.035

1.742125

4

28.7

26.6

27.9

24

29.6

27.36

4.743

2.177843

5

35

33

38.5

28.7

31.7

33.38

13.427

3.664287

6

67.5

51.8

52.9

62.3

62.1

59.32

45.322

6.732162

7

36.8

31.6

39

33.9

32.5

34.76

9.493

3.081071

8

53.3

58.1

53.5

62.3

56.9

56.82

13.772

3.711065

9

20.8

19.5

21.1

18

17.7

19.42

2.427

1.557883

10

35.4

42.7

42.5

37.3

36.9

38.96

11.548

3.398235

11

33.1

35

32.3

26.2

26.3

30.58

16.587

4.072714

12

28.1

24.7

28.8

26.1

27.8

27.1

2.785

1.668832

13

23.9

24.8

25.7

23.3

20.4

23.62

4.067

2.01668

14

48.2

46.2

45.9

55

48.9

48.84

13.493

3.673282

1.2 Статистический анализ полученных данных

1.2.1 Проверка на наличие грубых измерений

Наличие дублированных опытов можно оценить имеющиеся выборки по каждому опыту на предмет грубых измерений (табл. 1.3). Для этого сомнительный результат исключают из выборки.

По оставшимся данным вычисляют (табл. 1.4):

среднее арифметическое:

, (1.6)

где i=1…4; j=1…14.

оценка дисперсии:

S_j²=. (1.7)

Таблица 1.3 – Проверка на наличие промахов

Номер опыта	Заданные значения выходной величины					Анализ выходной величины
	Y1j	Y2j	Y3j	Y4j	Y5j	Yjj	Sjj2	Sij
1	17	15.6	17.7	14.5	15.3	16.02	1.697	1.30269
2	29.4	38.5	37.4	33.8	29.2	33.66	18.868	4.343731
3	14.9	11.2	14.9	12.8	11.7	13.1	3.035	1.742125
4	28.7	26.6	27.9	24	29.6	27.36	4.743	2.177843
5	35	33	38.5	28.7 31.7 33.38 13.427 3.664287 6 67.5 51.8 52.9 62.3 62.1 59.32 45.322 6.732162 7 36.8 31.6 39 33.9 32.5 34.76 9.493 3.081071 8 53.3 58.1 53.5 62.3 56.9 56.82 13.772 3.711065 9 20.8 19.5 21.1 18 17.7 19.42 2.427 1.557883 10 35.4 42.7 42.5 37.3 36.9 38.96 11.548 3.398235 11 33.1 35 32.3 26.2 26.3 30.58 16.587 4.072714 12 28.1 24.7 28.8 26.1 27.8 27.1 2.785 1.668832 13 23.9 24.8 25.7 23.3 20.4 23.62 4.067 2.01668 14 48.2 46.2 45.9 55 48.9 48.84 13.493 3.673282 Затем, определяется расчетное значение t – критерия Стьюдента для сомнительного результата tрасч=. (1.8) Таблица 1.4 – Результаты проверки наличия промахов Номер опыта Сомнительный элемент Статистики для усеченной выборки Расчетное значение критерия Стьюдента, tрасч Yjj Sjj2 Sjj 1 17.7 15.6 1.086666667 1.042433051 2.01451786 2 38.5 32.45 15.39666667 3.923858645 1.54184963 3 11.2 13.575 2.5425 1.594521872 -1.489474708 4 29.6 26.8 4.233333333 2.057506582 1.360870495 5 38.5 32.1 6.98 2.641968963 2.422435725 6 67.5 57.275 32.54916667 5.705187698 1.792228502 7 36.8 34.25 10.92333333 3.305046646 0.771547356 8 62.3 55.45 5.85 2.418677324 2.83212644 9 17.7 19.85 2.003333333 1.415391583 -1.519014261 10 42.7 38.025 9.569166667 3.093406968 1.51127868 11 35 29.475 13.97583333 3.738426585 1.477894476 12 24.7 27.7 1.313333333 1.146007563 -2.617783772 13 25.7 23.1 3.62 1.902629759 1.366529661 14 55 47.3 2.18 1.476482306 5.215098053 По выбранному уровню значимости (q=0,05) и числу степеней свободы (f=3) находим табличное значение критерия (tqf) [1. табл. Д1]. tтабл=3,18 tрасч.<tqf . 1.2.2 Проверка однородности дисперсий Проверку однородности дисперсий при полученном виде дублирования проводят с помощью G – критерия Кохрена: Gрасч=, (1.11) где - сумма всех дисперсий; S2max – наибольшая из всех найденных дисперсий. Gрасч=13,98/112,22= 0,125 При q=0,05 и f=n-1=3, Gтабл=0,29 [1. табл. Ж1]. Так как Gрасч <Gтабл, то гипотеза об однородности дисперсии опытов принимается. 1.2.3 Расчет дисперсии воспроизводимости Дисперсия воспроизводимости определяется по формуле: S2 , (1.12) где N- число опытов. S2{y}=112,22/14= 8,02 Число степеней свободы для данной процедуры: fy=N(n-1) (1.13) fy=3*14=42. 2 Построение математической модели 2.1 Расчет коэффициентов регрессии По результатам В3-план построим математическую модель: Y=b0+b1*x1+b2*x2+b3*x3+b11*x12+b22*x22+b33*x32+b12*x1*x2+b13*x1*x3+b23*x2*x3 Таблица 2.1 – Матрица для расчета коэффициентов регрессии № опыта X0 X1 X2 X3 X11 X22 X33 X12 X13 X23 Yij Ŷij 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 16.02 15.92 2 1 -1 1 1 1 1 1 -1 -1 1 33.66 33.60 3 1 1 -1 1 1 1 1 -1 1 -1 13.1 12.95 4 1 -1 -1 1 1 1 1 1 -1 -1 27.36 27.00 5 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1 -1 33.38 33.74 6 1 -1 1 -1 1 1 1 -1 1 -1 59.32 59.47 7 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 1 34.76 34.82 8 1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 56.82 56.92 9 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 19.42 19.25 10	1	-1	0	0	1	0	0	0	0	0	38.96	39.13
11	1	0	1	0	0	1	0	0	0	0	30.58	30.22
12	1	0	-1	0	0	1	0	0	0	0	27.1	27.46
13	1	0	0	1	0	0	1	0	0	0	23.62	24.29
14	1	0	0	-1	0	0	1	0	0	0	48.84	48.17

Используя матрицу базисных функций, табл. 2.1, коэффициенты регрессии определяем по следующим формулам:

- свободного члена:

b₀=-; (2.1)

- линейных коэффициентов регрессии:

b_i= ; (2.2)

- квадратичных коэффициентов:

b_ii = ; (2.3)

- коэффициентов при парных взаимодействиях:

b_iu= . (2.4)

2.2 Расчет дисперсий коэффициентов регрессии

Формулы для определения дисперсий: - дисперсия оценки свободного члена:

S²{b₀}= ; (2.5)

S²{b₀}=3,26

- дисперсия оценки линейных коэффициентов регрессии:

S²{b_i}= ; (2.6)

S²{b_i}=0,80

- дисперсия оценки квадратичных коэффициентов регрессии:

S²{b_ij}=; (2.7)

S²{b_ii}=3,26

- дисперсия оценки коэффициентов при парных взаимодействиях:

S²{b_iu}= . (2.8)

S²{b_iu}=1,00

2.3 Проверка значимости коэффициентов регрессии

Для оценки значимости регрессии используем t – критерий Стьюдента. По следующим формулам определяются расчетные значения t – критерия Стьюдента:

t_расчi=, (2.9)

где S{b_i}= - среднеквадратическое отклонение соответствующих дисперсий коэффициентов регрессии;

t_расчii=, (2.10)

t_расчiu=. (2.11)

Таблица 2.2 - Проверка значимости коэффициентов регрессии

обозначение коэффициентов регрессии	значение коэффициентов регрессии	Расчетные значения t-критерия Стьюдента
b0	29.98	9
b1	-9.94	-12
b2	1.38	2
b3	-11.94	-15
b11	-0.79	0
b22	-1.14	0
b33	6.25	2
b12	-0.91	-1
b13	2.01	2
b23	1.01	1

По t – критерию Стьюдента, по заданному уровню значимости (q=0,05) и числу степеней свободы (f_y=42), связанному с дисперсией воспроизводимости, находим табличное значение t – критерия Стьюдента [1. табл. Д1]:

t_табл =2,02

Если t_расч, > t_табл, то соответствующий коэффициент регрессии значим. Незначимые коэффициенты регрессии должны быть исключены из математической модели. Однако, в данной расчетной части с целью сохранения единообразия расчетов процедура исключения не проводится.

Получена следующая математическая модель в нормализованных обозначениях факторов:

Y=101,65+42,425х₁+2,9х₂+15,5х₃+8,4х₁₁-2,98х₂₂-2,46х₃₃₊2,22х1х2+6,28х1х3+1,11х₂х₃

2.4 Проверка модели на адекватность

Для проверки адекватности модели используют дисперсию адекватности S²_aq, процедура расчета которой зависит от вида дублирования опытов. Так как в нашем случае дублирование равномерное, то дисперсия адекватности рассчитывается по формуле:

(2.12)

где f_aq=N-p=14-10=4,

где p – число оцениваемых коэффициентов;

S²_aq= 0,39

Затем, по F – критерию Фишера для уровня значимости q=0,05 проверяется однородность S²_aq дисперсии адекватности (с числом степеней свободы f_aq):

F_расч= (2.13)

F_расч= 0,39/8,02=0,049

По таблице значения F - критерия Фишера [1. табл. Е1]:

F_табл=2,84. Так как F_табл.>F_расч, следовательно, найденную модель можно считать адекватной.

Таблица 2.3 – Математическая модель

Номер опыта	Факторы в натуральных обозначениях			Значение выходной величины
	X1, d, см	X2, Н, мм	X3 , m, шт	опытное	модельное
1	56	225	9	15.9055	15.9220
2	40	225	9	32.0175	33.6000
3	56	125	9	13.7255	12.9480
4	40	125	9	26.3175	26.9960
5	56	225	5	33.0255	33.7440
6	40	225	5	57.4575	59.4720
7	56	125	5	34.8455	34.8200
8	40	125	5	55.7575	56.9180
9	56	175	7	19.3855	19.2460
10	40	175	7	37.8975	39.1340
11	48	225	7	29.1295	30.2220
12	48	125	7	27.1895	27.4580
13	48	175	9	24.0095	24.2940
14	48	175	5	47.2895	48.1660

Уравнение регрессии в натуральных обозначениях факторов следующее:

Y=193,2-0,53d+0,23H-35,65m-0,012d²-0,0005H²+1,56m²-0,0022dH+0,13dm+0,01Hm

Таблица 2.4 – Значения выходной величины.

X1X2	40	44	48	52	56
125	162.738	155.4855	147.85	139.83	131.426
150	162.85	155.378	147.522	139.282	130.658
175	162.338	154.6455	146.57	138.11	129.266
200	161.2	153.288	144.992	136.312	127.248
225	159.438	151.3055	142.79	133.89	124.606

Таблица 2.5 – Значения выходной величины.

X1X3	40	44	48	52	56
5	-90.45	-99.202 -108.34 -117.86 -127.76 6 -148.46 -157.732 -158.03 -177.43 -187.85 7 -209.59 -219.382 -207.72 -240.12 -251.06 8 -273.84 -284.152 -257.41 -305.93 -317.39 9 -341.21 -352.042 -307.1 -374.86 -386.84 Таблица 2.6 – Значения выходной величины. X2X3 125 150 175 200 225 5 81.1375 84.7 87.6375 89.95 91.6375 6 63.8975 67.71 70.8975 73.46 75.3975 7 49.7775 53.84 57.2775 60.09 62.2775 8 38.7775 43.09 46.7775 49.84 52.2775 9 30.8975 35.46 39.3975 42.71 45.3975 2.5 Построение графической зависимости Рисунок 2.1 – Зависимость посылки по мощности привода от диаметра распиливаемых бревен и толщины бруса. Рисунок 2.2 – Зависимость посылки по мощности привода от диаметра распиливаемых бревен и количества сечений. Рисунок 2.3 – Зависимость посылки по мощности привода от толщины бруса и количества сечений. Рисунок 2.4 – График зависимости посылки по мощности привода от некоторых технологических факторов. Заключение В ходе выполнения курсовой работы мы изучили методы планирования второго порядка на примере В3 плана, получили и исследовали математическую модель объекта в виде полинома второго порядка, провели статистический анализ полученного уравнения. Анализируя полученную модель, получаем, что значимыми являются все три фактора. Полученная модель позволяет предсказать значения выходной величины для любой точки внутри области варьирования факторов. В результате расчета было получено, что различие между дисперсиями незначимо, следовательно, можно считать найденную модель объекта адекватной. Список использованных источников Л.Л. Кротова и др. Научные исследования в деревообработке. Планы второго порядка. Реализация В3 плана. Учебное пособие по выполнению курсовой работы студентов специальности 250200 всех форм обучения/Л. Л. Кротова, А. А. Филлиповч, В. Ю. Буданов. - Красноярск: СибГТУ, 2003.-36с. 1. Курсовая на тему Девиантное поведение подростков 2. Реферат на тему William Wordsworth 2 Essay Research Paper William 3. Реферат на тему Gold Essay Research Paper Gold was discovered 4. Статья Загадочные циклы в жизни человека 5. Реферат Сравнительный анализ диалога внешней непогрешимости авторитета между РПЦ и РКЦ 6. Реферат Судебная речь жанр ораторского искусства 7. Реферат Исследование личности современных руководителей 8. Курсовая Система обязательного медицинского страхования в РФ 9. Реферат на тему The Guilty Party Essay Research Paper The 10. Реферат Материя в дробноразмерном пространстве Bukvasha Правила Контакты