Содержание

Введение....................................................................................................

1. Линейное  или математическое программирование..

1.1 Каноническая задача.............................................................................

1.2 Симплекс - метод ..................................................................................

1.3 М-метод................................................................................................

1.4 Двойственные задачи ........................................................................

2. Задача планирования производства.................................

2.1 Определение оптимального варианта строительств скважин в УБР на планируемый год.......................................................................................

2.2 Двойственная задача..........................................................................

Литература..............................................................................................
Введение
В любом из современных курсов экономики в той или иной степени используется математический аппарат: анализируются графики различных зависимостей, проводится математическая обработка  тех или иных статистических данных и т.д. С переходом отечественной экономики на рыночные отношения роль математических методов многократно возрастает. Действительно, центральная проблема экономики - это проблема рационального выбора. В плановой экономике ( по крайней мере на микроуровне, т.е. на уровне отдельного предприятия) нет выбора, а значит, роль математического подхода сильно принижена. В условиях же рыночной экономики, когда каждой хозяйственной единице надо самостоятельно принимать решение, т.е. делать выбор, становится необходимым математический расчет. Поэтому роль математических методов в экономике постоянно возрастает.

В чем видятся преимущества математического подхода? Отметим лишь два момента.

1. Возрастает необходимость в уточнении понятий. Математика по сути не может оперировать с нечетко, а тем более неконкретно определенными понятиями. Следовательно, если мы хотим использовать математические методы, то должны с самого начала четко сформулировать задачу. В том числе четко сформулировать все сделанные допущения.

2. Сильная продвинутость математических теорий (линейная алгебра, математический анализ, теория вероятностей, корреляционный и регрессионный анализ, дифференциальные уравнения и т.д.) предоставляет к нашим услугам очень мощный и развитый математический аппарат.
Разумеется, в использовании математических методов есть свои слабые стороны. При попытке формализовать экономическую ситуацию может получиться очень сложная математическая задача. Для того чтобы ее упростить, приходится вводить новые допущения, зачастую не оправданные с точки зрения экономики. Поэтому исследователя подстерегает опасность заниматься математической техникой вместо анализа подлинной экономической ситуации. Главное и, по существу, единственное средство борьбы против этого - проверка опытными данными выводов математической теории.

Для изучения различных экономических явлений экономисты используют их упрощенные формальные описания, называемые экономическими моделями. Примерами экономических моделей являются модели потребительского выбора, модели фирмы, модели экономического роста, модели равновесия на товарных, факторных и финансовых рынках и многие другие. Строя модели, экономисты выявляют существенные факторы, определяющие исследуемое явление и отбрасывают детали, несущественные для решения поставленной проблемы. Формализация основных особенностей функционирования экономических объектов позволяет оценить возможные последствия воздействия на них и использовать такие оценки в управлении.

Экономические модели позволяют выявить особенности функционирования экономического объекта и на основе этого предсказывать будущее поведение объекта при изменении каких-либо параметров. Предсказание будущих изменений, например, повышение обменного курса, ухудшение экономической конъюнктуры, падение прибыли может опираться лишь на интуицию. Однако при этом могут быть упущены, неправильно определены или неверно оценены важные взаимосвязи экономических показателей, влияющие на рассматриваемую ситуацию. В модели все взаимосвязи переменных могут быть оценены количественно, что позволяет получить более качественный и надежный прогноз.

Для любого экономического субъекта возможность прогнозирования ситуации означает, прежде всего, получение лучших результатов или избежание потерь,  в том  числе и в государственной политике.

Под экономико-математической моделью понимается математическое описание исследуемого экономического процесса и объекта. Эта модель выражает закономерности экономического процесса в абстрактном виде с помощью математических соотношений. Использование математического моделирования в экономике позволяет углубить количественный экономический анализ, расширить область экономической информации, интенсифицировать экономические расчеты.

Применение экономико-математических методов и моделей позволяет существенно улучшить качество планирования и получить дополнительный эффект без вовлечения в производство дополнительных ресурсов.

1.     Линейное  или математическое программирование.

На практике постоянно встречаются такие ситуации, когда достичь какого-то результата можно не одним, а многими различными способами. В подобной ситуации может оказаться и отдельно взятый человек, например, когда он решает вопрос о распределении своих расходов, и целое предприятие или даже отрасль, если необходимо определить, как использовать имеющиеся в их распоряжении ресурсы, чтобы добиться максимального выхода продукции, и, наконец народное хозяйство в целом. Естественно, при большом количестве решений выбирается наилучшее. Математически это обычно сводится к нахождению наибольшего или наименьшего значения некоторой функции, т.е. к задаче: найти max (min) f (х)  при условии, что переменная х (обычно говорят - точка х) пробегает некоторое данное множество Х. Пишут так:

f(x)
®
max (min), x
Î
X                                    (1.1)

                                 
Определенная таким образом задача называется задачей оптимизации. Множество Х называется допустимым множеством данной задачи, а функция f
(
x
) - целевой функцией.

В подавляющем большинстве случаев точка х задается набором из нескольких чисел:

х = (х₁, х₂, ..., х₃),
т.е. является точкой n- мерного арифметического пространства Rⁿ
.

Соответственно множество Х  есть подмножество в Rⁿ.

Очень многое зависит от того, в таком виде задается допустимое множество Х. Во многих случаях Х выделяется из Rⁿ с помощью системы неравенств (нестрогих):

                              (1.2)
где g
₁
,
g
₂
, ...,
g_n  - какие-то заданные функции в Rⁿ.

Иначе говоря, Х есть множество точек (х₁, х₂,..., х_n
)
Î
Rⁿ
,удовлетворяющих системе неравенств (1.2).

В этом случае задача оптимизации приобретает следующий вид. Даны функция n переменных f
(х₁, х₂, ..., х
_n
)  и система неравенств (1.1). Требуется найти max (min) f при условиях (1.1).

f
(х₁, х₂, ..., х
_n
) ® max (min) при условиях (1.1).
Понятно, что следует найти не только само значение max (min) f, но и точку или точки, если их несколько, в которых это значение достигается. Такие точки называются  оптимальными решениями. Множество всех оптимальных решений будем называть оптимальным множеством и обозначать Х^*.

Задачи подобного рода получили название задачи математического программирования ( не следует путать математическое программирование с машинным). При этом функцию f называют целевой функцией, а неравенства g_i

³
0 (
i
= 1,2,...,
m
) - ограничениями. В большинстве случаев в число ограничений входят условия неотрицательности переменных:

х₁
³
0, х₂
³
0,..., х
_n
³
0

или части переменных, но это, впрочем, не обязательно.

В зависимости от характера функции f, g
₁
, ...,
g_m
 различают разные виды математического программирования. Наиболее простой и часто встречающийся случай, когда эти функции являются линейными, т.е. каждая из них имеет вид

а₁х₁+а₂х₂+ ...+а
_n
х
_n
+
b
.
Дадим теперь общую формулировку задачи линейного программирования.

Пусть
S
- система линейных ограничений ( т.е. линейных уравнений или нестрогих линейных неравенств) с
n
переменными х₁, х₂,..., х
_n , а f
(х) - целевая функция вида

f
(х) = с₁х₁  + с₂х₂ + ...+ с
_n
x_n
+
c.

 

Требуется решить задачу

f
(х) ® max (min) при условиях S.
Обычно система S
включает в себя условия неотрицательности всех переменных:

х₁
³
0, х₂
³
0,..., х
_n
³
0,                          (1.3)
что вытекает из реального смысла чисел х₁, х₂,..., х_n. Будем называть эти условия тривиальными ограничениями.

2.    Задача планирования производства.

2.1    Определение оптимального варианта строительств скважин в УБР на планируемый год.

1. Постановка задачи.

В УБР запланировано строительство скважин нескольких категорий:

I   категории - не более H1;

II  категории - не более Н2;

III категории - не менее (не более) Н3.

При строительстве скважин используются разные материально-технические ресурсы, наличие которых в УБР ограниченно следующим количеством (в тоннах):

обсадные трубы - В1;

химреагенты - В2;

глина и глинопорошок - В3;

талевый канат - В4;

ГСМ - В5.

При строительстве скважин разной категории потребляется различное количество ресурсов каждого вида. Расход материально-технических ресурсов в расчете на одну скважину каждой категории задан таблицей 1.

Таблица 1

категории скважин		виды ресурсов
	Обсадные трубы	Х/реагенты	глина и глинопорошок	Талевый канат	ГСМ
I	450	45	130	20	46
II	300	40	110	16	36
III	200	30	70	15	30

Экономический эффект при строительстве скважины j категории определен Э_j тыс. руб.

Требуется:

1. Определить оптимальный план строительства скважин, при котором в пределах ограниченного объема ресурсов (табл.1) достигается максимальный экономический эффект.

2. Определить двойственные оценки ресурсов и их устойчивость.

3. Провести всесторонний анализ полученных оптимальных решений.
Таблица 2

Н1	Н2	Н3	Э1	Э2	Э3	В1	В2	В3	В4	В5
15	9	не менее 9	186	125	90	4800	600	1610	280	580

Предприятие имеет 5 видов ресурсов, необходимые для строительства  любой из трех категорий скважин. Известны затраты ресурсов на строительство единицы каждой категории скважины, а также экономический эффект при строительстве единицы скважины каждой категории.

Для удобства работы все данные занесем в одну таблицу (табл.3)

Таблица 3. Исходная информация задачи.

Вид	Категории скважин			Объем
ресурсов	I	II	III	Ресурсов
обсадные трубы	450	300	200	4800
хим/реагенты	45	40	30	600
глина и глинопорошок	130	110	70	1610
Талевый канат	20	16	15	280
ГСМ	46	36	30	580
Экономический эффект на единицу скважины, тыс.руб.	186	125	90

Введем переменные:

х_j ³ 0,     j=1,2,3  - количество скважин каждой категории соответственно.
2.
Математическая модель задачи.
f = 186х₁ + 125х₂ +90х₃  ® max
                  
х₁ £ 15;  х₂ £ 9;  х₃ ³ 9                     х_j ³ 0,     j=1,2,3
  3.Экономическое содержание основных и дополнительных переменных.
Основные переменные:

х₁ - количество скважин I категории

х₂ - количество скважин II категории

х₃ - количество скважин III категории
Вводим дополнительные переменные:

х₄ - неиспользованные обсадные трубы

х₅ - остаток неиспользованных хим/реагентов

х₆ - остаток неиспользованных глины и глинопорошка

х₇ - остаток талевого каната

х₈ - остаток ГСМ

х₉ - кол-во скважин I-категории, недостающих до max числа 15;

х₁₀ -кол-во скважин II-категории, недостающих до max числа 9; 

х₁₁ –кол-во скважин III-категории, превышающих min число 9;

  х₁₂ - количество недостроенных скважин по категориям.
4. Канонический вид.
 

 







  f
= 186х₁ + 125х₂ + 90х₃ -М*х₁₂® max
х_j ³ 0,    j=`1;12
5.
Решение симплекс-методом.




Оптимальное решение.
Х^* = (6,5; 0; 9,35; 0,26,5; 109,1; 9,5; 0,8,5; 9; ), по которому достигается максимальный экономический эффект

Э_max (Х^*)=2052,56тыс.руб.

Ответ: Максимальный экономический эффект может достигнуть 2052,56 тыс.руб. если построить скважины так:

I - категории – 6,5

II - категории – 0

III - категории – 9,3

Остатки сырья составят:

1. обсадные трубы -0

2.  Химреагенты– 26,51

3.  Глина и глинопорошок– 109,1

4. Талевый канат –9,5

5. Гсм - 0

При округлении количества скважин по категориям получаем:
I категория - 6 скважины

II категория - 0 скважины

III категория – 9 скважин
f = 186*6+125*0+90*9 = 1926

Максимальный экономический эффект может достигнуть 1926 тыс.руб. следовательно изменятся остатки:
4800-450*6-300*0-200*9=300          Обсадные трубы - 300

600- 45*6-40*0-30*9= 60                   хим/ реагенты - 60

1610-130*6-110*0-70*9=200               глина и глинопорошок - 200

280-20*60-16*0-15*9=25                       талевый канат - 25

580-46*6+36*0+30*9=34                     ГСМ - 34

2.2    Двойственная задача.

Решая двойственную задачу, мы решаем вопрос минимизации общей оценки всего имеющегося количества ресурсов.

6.
Математическая модель двойственной задачи.
Пусть у_i - стоимость единицы i-го ресурса
Z= 4800у₁+600у₂+1610у₃+280у₄+580у₅+15у₆+9у₇-9у₈® min





7.
Экономическое содержание  двойственной задачи.
При каких значениях у_I  стоимости единицы каждого из ресурсов в пределах ограниченного объема ресурсов и заданном Экономическом эффекте Э_j     j-ой  скважины общая стоимость затрат Z будет минимальной ?
8.
Оптимальное решение двойственной задачи.
Оптимальное решение двойственной задачи найдем из последней строки симплекс-таблицы

Y*=(0,33;0 ,0 ;0 ;0,77  )
Z min(Y^*)= 4800*0,33+0+*0+*0+580*0,77=2052,56
Величина двойственной оценки того или оного ресурса показывает, насколько  возросло бы максимальное значение целевой функции, если бы объем данного ресурса увеличился на одну единицу.

Вывод:  можно построить новый оптимальный план, в котором экономический эффект возрастет на 0,33 тыс.руб , если ввести единицу обсадных труб. А если увеличить расход гсм на единицу, то экономический эффект возрастет на 0,77 тыс.руб.
9.
Оценка степени дефицитности ресурсов.
В нашей задаче целью является повышение экономической эффективности плана путем привлечения дополнительных ресурсов, то наш анализ оценок позволит выбрать правильное решение.

Прирост различных ресурсов будет давать неодинаковый эффект, т.е. в избытке  у нас такие ресурсы как : глина и глинопорошок, талевый канат и химреагенты. (Остатки даны в пункте 5)

Дефицитными ресурсами в нашей задаче являются обсадные трубы  у₁= 0,314  и   гсм у₂= 0,77.
10.
Оценить рентабельность производства.
450*0,33+46*0,77=184

200*0,33+30*0,77=89

так как цена не превышает затраты значит предприятие рентабельно.

 
Литература.

1. Замков О.О.,  Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н., Математические методы в экономике. Учебник. - М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, Изд. «ДИС», 1997г.

2. Коршунов Н.И., Плясунов В.С., Математика в экономике. - М.: Изд. «Вита-Пресс», 1996г.

3. Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б., Математическое программирование. - М.: Высшая школа, 1976г.

4. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Брайлов А.В., Математика в экономике. Учебник: В 3-х ч. Ч.1. - М.: Финансы и статистика, 1998г.

5. Юдин Д.Б., Гольштейн Е.Г., Задачи и методы линейного программирования. - М.: Сов. Радио, 1964г.

6.Корманов В.Г. Математическое программирование.Учеб.пособие

3-е издание –М: наука 1986 г.