КУРСОВАЯ  РАБОТА

На тему:
Решение уравнений, неравенств, систем с параметром.
(алгебра и начала анализа)
Исполнитель: Бугров С К.
Руководитель: Рокова Н.Б.

Москва, 2003

Оглавление
  "1-3" Введение                                                                                       3
§1. Основные определения                                                              4
§2. Алгоритм решения.                                                                    6
II. Неравенства с параметрами.                                                    18
§1. Основные определения                                                            18
§2. Алгоритм решения.                                                                  19
Литература                                                                                26

Введение

Изучение многих физических процессов  и геометрических закономерностей  часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их  системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается  только на немногочисленных факультативных занятиях.
Готовя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. На мой взгляд графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и неравенств с параметрами.
В моём реферате рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, неравенств и их систем, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов и при поступлении а ВУЗ.
 

§1. Основные определения

Рассмотрим уравнение
¦(a, b, c, …, k, x)=j(a, b, c, …, k, x),                  (1)
где a, b, c, …, k, x -переменные величины.

Любая система значений переменных

а = а₀, b = b₀, c = c₀, …, k = k₀, x = x₀,
при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, …, k, x. Пусть А – множество всех допустимых значений а, B – множество всех допустимых значений b, и т.д., Х – множество всех допустимых значений х, т.е. аÎА, bÎB, …, xÎX. Если у каждого из множеств A, B, C, …, K выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, …, k и подставить их в уравнение (1), то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным.
Переменные a, b, c, …, k, которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры.
Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …, k, l, m, n  а неизвестные – буквами x, y,z.
Решить уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.
Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:
а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;
б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.

§2. Алгоритм решения.

            Находим область определения уравнения.
             Выражаем a как функцию от  х.
             В системе координат хОа строим график функции а=¦(х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.
 Находим точки пересечения прямой а=с, где сÎ(-¥;+¥) с графиком функции а=¦(х).Если прямая а=с пересекает график а=¦(х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=¦(х) относительно х.
      Записываем ответ.

I. Решить уравнение
                                                     (1)
Решение.
Поскольку х=0 не является корнем уравнения, то можно разрешить уравнение относительно а :
   или
График функции – две “склеенных” гиперболы. Количество решений исходного уравнения определяется количеством точек пересечения построенной линии и прямой у=а.
Если а Î (-¥;-1]È(1;+¥)È  , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в одной точке. Абсциссу этой точки найдем  при решении уравнения   относительно х.
Таким образом, на этом промежутке уравнение (1) имеет решение   .
Если а Î ,  то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в двух точках. Абсциссы этих точек можно найти из уравнений     и  , получаем
   и  .
Если а Î  , то прямая у=а не пересекает график уравнения (1), следовательно решений нет.
 Ответ:
Если а Î (-¥;-1]È(1;+¥)È , то  ;
Если а Î ,  то   ,  ;
Если а Î  , то решений нет.
II. Найти все значения параметра а, при которых уравнение  имеет три различных корня.
Решение.
Переписав уравнение в виде    и рассмотрев пару функций                                                                                                                      , можно заметить, что искомые значения параметра  а  и только они будут соответствовать тем положениям графика функции , при которых он имеет точно три точки пересечения с   графиком функции .    
В системе координат хОу построим график функции ). Для этого можно представить её в виде   и, рассмотрев четыре возникающих случая, запишем эту функцию в виде

Поскольку график функции   – это прямая, имеющая угол наклона к оси Ох, равный  , и пересекающая ось Оу в точке с координатами (0 , а), заключаем, что три указанные точки пересечения можно получить лишь в случае, когда эта прямая касается графика функции  . Поэтому находим производную   
Ответ: .
III.  Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений

имеет решения.
Решение.
Из первого уравнения системы получим  при  Следовательно, это уравнение задаёт семейство “полупарабол” - правые ветви параболы   “скользят” вершинами по оси абсцисс.
Выделим в левой части второго уравнения полные квадраты и разложим её на множители
 
Множеством точек плоскости , удовлетворяющих второму уравнению, являются две прямые
                 и                
Выясним, при каких значениях параметра а кривая из семейства “полупарабол” имеет хотя бы одну общую точку с одной из полученных прямых.
Если вершины полупарабол находятся правее точки А, но левее точки В (точка В соответствует вершине той “полупараболы”, которая касается
прямой ), то рассматриваемые графики не имеют общих точек. Если вершина “полупараболы” совпадает с точкой А, то .
Случай касания “полупараболы” с прямой  определим из условия существования единственного решения системы

В этом случае уравнение

имеет один корень, откуда находим :

Следовательно, исходная система не имеет решений при , а  при  или   имеет хотя бы одно решение.
Ответ: а Î (-¥;-3] È( ;+¥).
IV. Решить уравнение
            
Решение.
Использовав равенство , заданное уравнение перепишем в виде

Это уравнение равносильно системе

Уравнение  перепишем в виде
.                            (*)                          
Последнее уравнение проще всего решить, используя геометрические соображения. Построим графики функций   и  Из графика следует, что при   графики не пересекаются и, следовательно, уравнение не имеет решений.
Если , то при  графики функций совпадают и, следовательно, все значения   являются решениями уравнения (*).
При  графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой . Таким образом, при  уравнение (*) имеет единственное решение - .
Исследуем теперь, при каких значениях  а  найденные решения уравнения (*) будут удовлетворять условиям

Пусть , тогда . Система примет вид

Её решением будет промежуток хÎ (1;5). Учитывая, что  , можно заключить, что при  исходному уравнению удовлетворяют все значения  х  из промежутка [3; 5).
Рассмотрим случай, когда  . Система неравенств примет вид
 
Решив эту систему, найдем аÎ (-1;7). Но , поэтому при аÎ (3;7) исходное уравнение имеет единственное решение .
Ответ:
если аÎ (-¥;3), то решений нет;
если а=3, то хÎ [3;5);
если aÎ (3;7), то ;
если aÎ [7;+¥), то решений нет.
V. Решить уравнение
 , где  а - параметр.                 (5)
Решение.
1.    При любом а :
2.    Если , то ;
если , то .
3.    Строим график функции  , выделяем ту его часть , которая соответствует . Затем отметим ту часть графика функции  , которая соответствует  .
4.    По графику определяем, при каких значениях а уравнение  (5)  имеет  решение и при каких – не имеет решения.
Ответ:
если , то   
если , то ;
если , то решений нет;
если , то ,   .
VI. Каким условиям должны удовлетворять те значения параметров   и , при которых системы
                                    (1)
и
                               (2)
имеют одинаковое число решений ?
Решение.
С учетом того, что  имеет смысл только при , получаем после преобразований систему
                                                  (3)
равносильную системе (1).
Система (2) равносильна системе
               (4)        
Первое уравнение системы (4) задает в плоскости хОу семейство прямых, второе уравнение задает семейство концентрических окружностей с центром в точке А(1;1) и радиусом  
Поскольку , а , то , и, следовательно, система (4) имеет не менее четырех решений. При  окружность касается прямой  и система (4) имеет пять решений.
Таким образом, если , то система (4) имеет четыре решения, если , то таких решений будет больше, чем четыре.
Если же иметь в виду не радиусы окружностей, а сам параметр а, то система (4) имеет четыре решения в случае, когда , и больше четырех решений, если .
Обратимся теперь к рассмотрению системы (3). Первое уравнение этой системы задаёт в плоскости хОу семейство гипербол, расположенных в первом и втором квадрантах. Второе уравнение системы (3) задает в плоскости хОу семейство прямых.
При фиксированных положительных а  и  b система (3) может иметь два, три, или четыре решения. Число же решений зависит от того, будет ли прямая, заданная уравнением  , иметь общие точки с гиперболой  при  (прямая  всегда имеет одну точку пересечения с графиком функции  ).
Для решения этого рассмотрим уравнение
,
которое удобнее переписать в виде

Теперь решение задачи сводится к рассмотрению дискриминанта D  последнего уравнения:
*                    если , т.е. если , то система (3) имеет два решения;
*                    если , то система (3) имеет три решения;
*                    если , то система (3) имеет четыре  решения.
Таким образом, одинаковое число решений у систем (1) и (2) – это четыре. И это имеет место, когда .
Ответ:

II. Неравенства с параметрами.

§1. Основные определения

Неравенство
¦(a, b, c, …, k, x)>j(a, b, c, …, k, x),                  (1)
где a, b, c, …, k – параметры, а  x – действительная переменная величина, называется неравенством с одним неизвестным, содержащим параметры.
Любая система значений параметров а = а₀, b = b₀, c = c₀, …,  k = k₀, при некоторой функции
¦(a, b, c, …, k, x)  и
j(a, b, c, …, k, x
имеют смысл в области действительных чисел, называется системой допустимых значений параметров.
называется допустимым значением х, если
¦(a, b, c, …, k, x)  и
j(a, b, c, …, k, x
принимают действительные значения при любой допустимой системе значений параметров.
Множество всех допустимых значений х называется областью определения неравенства (1).
Действительное число х₀ называется частным решением неравенства (1), если неравенство 
¦(a, b, c, …, k, x₀)>j(a, b, c, …, k, x₀)
верно при любой системе допустимых значений параметров.
Совокупность всех частных решений неравенства (1) называется общим решением этого неравенства.
Решить неравенство (1) – значит указать, при каких значениях параметров существует общее решение и каково оно.
Два неравенства
¦(a, b, c, …, k, x)>j(a, b, c, …, k, x)  и        (1)
z(a, b, c, …, k, x)>y(a, b, c, …, k, x)           (2)
называются равносильными, если они имеют одинаковые общие решения при одном и том же множестве систем допустимых значений параметров.

§2. Алгоритм решения.

1.    Находим область определения данного неравенства.
2.    Сводим неравенство к уравнению.
3.    Выражаем а как функцию от х.
4.    В системе координат хОа строим графики функций а =¦ (х) для тех значений х, которые входят в область определения данного неравенства.
5.    Находим множества точек, удовлетворяющих данному неравенству.
6.    Исследуем влияние параметра на результат.
·     найдём абсциссы точек пересечения графиков.
·     зададим прямую а=соnst  и будем сдвигать её от -¥  до+¥
7.    Записываем ответ.
Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с параметрами, с использованием системы координат хОа. Возможны и другие методы решения, с использованием стандартной системы координат хОy.
§3. Примеры
I. Для всех допустимых значений параметра  а  решить неравенство

Решение.
В области определения параметра а, определённого системой неравенств

данное неравенство равносильно системе неравенств

Если , то решения исходного неравенства заполняют отрезок  .
Ответ: , .
II. При каких значениях параметра а имеет решение система

Решение.
Найдем корни трехчлена левой части неравенства  –
                             (*)
Прямые, заданные равенствами (*), разбивают координатную плоскость аОх на четыре области, в каждой из которых квадратный трехчлен

сохраняет постоянный знак. Уравнение (2) задает окружность радиуса  2  с центром в начале координат. Тогда решением исходной системы будет пересечение заштрихован
ной области с окружностью, где , а значения  и  находятся из системы

а значения  и  находятся из системы

Решая эти системы, получаем, что

Ответ:
III. Решить неравенство  на  в зависимости от значений параметра а.
Решение.
     Находим область допустимых значений –
     Построим график функции в системе координат хОу.
·    при  неравенство решений не имеет.
·    при  для  решение х удовлетворяет соотношению , где

Ответ: Решения неравенства существуют при 
, где  , причем при  решения ; при  решения  .
IV. Решить неравенство

Решение.
     Находим ОДЗ или линии разрыва (асимптоты)
                                        

     Найдем уравнения функций, графики которых нужно построить в ПСК; для чего перейдем к равенству :
 

Разложим числитель на множители.

т. к.    то

Разделим обе части равенства на  при . Но  является решением : левая часть уравнения равна правой части и равна нулю при .



3. Строим в ПСК хОа  графики функций
 
и нумеруем  образовавшиеся области (оси роли не играют). Получилось девять областей.
4. Ищем, какая из областей подходит для данного неравенства, для чего берем точку из области и подставляем в неравенство.
Для наглядности составим таблицу.
5. Найдем точки пересечения графиков

6. Зададим прямую а=сonst и будем сдвигать её от  -¥ до +¥.
Ответ.
при                                                    
при                                                    
при                                           
при                                                 решений нет
при                                                 

Литература

                   1.     Далингер В. А. “Геометрия помогает алгебре”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1996 г.
                   2.    Далингер В. А. “Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных экзаменах по математике”. Издательство Омского педуниверситета. Омск 1995 г.
                   3.    Окунев А. А. “Графическое решение уравнений с параметрами”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1986 г.
                   4.    Письменский Д. Т. “Математика для старшеклассников”. Издательство “Айрис”. Москва 1996 г.
                   5.    Ястрибинецкий Г. А. “Уравнений и неравенства, содержащие параметры”. Издательство “Просвещение”. Москва 1972 г.
                   6.    Г. Корн и Т.Корн “Справочник по математике”. Издательство “Наука” физико–математическая литература.  Москва 1977 г.  
                   7.    Амелькин В. В. и Рабцевич В. Л. “Задачи с параметрами” . Издательство “Асар”. Москва 1996 г.