Дискретні динамічні системи
Завдання №1

Динаміка національного доходу Y_t визначається рівнянням
 (1.1.0)
де с=0,25; А =1; а=2. Знайти залежність Y_t, якщо Y₀=1
Рішення

1. Варіант початкових даних Y₀=1.

Рішення рівняння (1.1.0) проводимо в пакеті MAPLE7:

> rsolve({y(n)=1/4*y (n‑1)+1*(2^n), y(0)=1}, y(n));

>



> R3:=simplify(%);


Результат:






Завдання №2

Динаміка національного доходу Y_t визначається рівнянням Самуельсона-Хікса [6]

 (1.2.0)

де а=2; b =1,25; c=1. Знайти залежність Y_t, якщо Y₀=0, Y₀=1

Рішення:

1. Динаміка об'єктів різної природи часто описується лінійнимикінцево-різницевими рівняннями виду

x_t = F (xt‑1, x_t-2,…, xt-n), (1.2.1)

Характеристичний стан об'єкта x_t у будь-який момент часу t зі станами в попередні моменти часу. Рішення рівняння (1.2.1) n‑го порядку визначено однозначно, якщо задані n так званих початкових умов. Звичайно як початкові умови розглядаються значення x_t при t = 0, 1,…, n – 1.

Підставляючи початкові значення xn‑1,…, x₁, x₀ і t = n як аргументи функції в правій частині (1.2.1), знаходимо x_n; використовуючи знайдене значення й підставляючи тепер x_n, xn‑1,…, x₂ x₁ і t = n + 1 як аргументи функції, знаходимо x_n+1, і т. д. Процес може бути продовжений доти, поки не будуть вичерпані всі досліджуємі значення t.

У моделі економічних циклів Самуельсона-Хікса використовуються кінцево-різницеві рівняння виду x_t = a_{1 xt-}1 + a_{2 xt-}2 + f(t) – лінійні кінцево-різницеві рівняння другого порядку, що є приватним видом рівняння (1.2.1).

2. Варіант початкових даних Y₀=0.

Рішення рівняння (1.2.0) проводимо в пакеті MAPLE7 [4]:

> rsolve({f(n)=(2*f (n‑1) – (1*1/4)*f (n‑2)+2), f(0)=0}, f(n));



Ø     Samuelson_Hiks3:=simplify(%);

Як показує аналіз рішення для вирішення рівняння моделі Самуельсона-Хікса потрібно 2 послідовні точки початкових умов національного доходу (n‑1, n), тобто 0 та 1 значення для кінечно-різницевої моделі. Тільки тоді з’являється можливість розрахування послідовних значень для точки (n+1). Якщо є тільки одна початкова точка (n‑1), то отриманне рівняння моделі залежить не тільки від значення n, але і від значення Y(1).

3. Варіант початкових даних Y₀=1.

Рішення рівняння (1.2.0) проводимо в пакеті MAPLE7:
> rsolve({f(n)=(2*f (n‑1) – (1*1/4)*f (n‑2)+2), f(0)=1}, f(n));


> Samuelson_Hiks3:=simplify(%);



Як показує аналіз рішення для вирішення рівняння моделі Самуельсона-Хікса потрібно 2 послідовні точки початкових умов національного доходу (n‑1, n), тобто 0 та 1 значення для кінечно-різницевої моделі. Тільки тоді з’являється можливість розрахування послідовних значень для точки (n+1). Якщо є тільки одна початкова точка (n‑1), то отримане рівняння моделі залежить не тільки від значення n, але і від значення Y(1).

4. Варіант початкових даних Y₀=0, Y₁=1.

Рішення рівняння (1.2.0) проводимо в пакеті MAPLE7:

> rsolve({f(n)=(2*f (n‑1) – (1*1/4)*f (n‑2)+2), f(0)=0, f(1)=1}, f(n));

Ø     Samuelson_Hiks3:=simplify(%);

Завдання №3

Попит D та пропозиція S як функції ціни p задаються виразами


 (1.3.0)
Знайти стаціонарну ціну p_D=S(при умові D=S – вирівнювання попиту та пропозиції) та з’ясувати чи вона є стійкою.
Рішення:

1. Аналіз стійкості рівноважної ціни p_D=S, якщо попит D та пропозиція S завдані функціями:
 (1.3.1)
виконується для дискретного підходу за наступним алгоритмом [1].

Нехай ціна близька до рівноважної, при якій попит D дорівнює пропозиції S:
 (1.3.2)
Тоді рівняння (1.3.1) в кінцевих різницях можна представити як:
 (1.3.3)


З умови рівноваги попиту та пропозиції та умови (1.3.2), маємо наступне перетворення рівнянь (1.3.3):
 (1.3.4)
а оскільки
 (1.3.5)
то рівняння (1.3.4) трансформується до вигляду:

 (1.3.6)

Який перетворюється до наступної форми:
 (1.3.7)
Для приросту ціни ∆p_i отримане рівняння (1.3.7) є характеристичним однорідним різницевим рівнянням з сталим коефіцієнтом. Умова стійкості його розв’язку має вигляд [1]:


 (1.3.8)
2. Для системи рівнянь (1.3.0) пошук рівноважної ціни P_D=S виконується за схемою:
 (1.3.9)

Рішення рівняння (1.3.9) в пакеті MAPLE7 дає рішення:

> solve (– (sqrt(L)*sqrt(L))+sqrt(L)+2=0);



тобто p=4.

3. Знаходимо похідні  в точці рівноваги р=4:
 (1.3.10)
Оскільки умови стійкості для отриманих значень похідних в точці рівноваги не виконуються (1.3.11), то рівноважне рішення р=4 є нестійким


 (1.3.11)



Неперервні динамічні системи
Завдання №1

Найти розв’язок рівняння Харода-Домара

з початковою умовою Y (t=0) =Y₀; s, A, і – const;

Позначення (згідно з моделлю Харода – Домара роста національного доходу держави у часі) [6]:

Y(t) – рівень національного доходу держави у часі;

 – схильність населення до заощаджень (0< s < 1,0), тобто частка національного доходу, яка відкладується в заощадження;

t – час;

i – коефіцієнт індукованих інвестицій при зміні національного доходу ∆Y(t), тобто частка приросту національного доходу, яка йде на інвестування економіки;

А – рівень незалежних сталих інвестицій
Рішення:

1. У загальному вигляді модель економічного зростання складається із системи п’яти рівнянь [6]:

1) формула виробничої функції, якою передається обсяг потенційного випуску, тобто випуску продукції за умов повної зайнятості;

2) основна макроекономічна тотожність Y_t
=C
_t
+I
_t показує, що вимірник випуску (доходу) Y поділяється в теорії зростання на споживання С та інвестиції І; вимірники державних витрат G і чистого експорту NX окремо в таких моделях не вирізняються, а розподіляються на споживання та інвестиції держави й інших країн світу (тобто вводяться в компоненти С та І);

3) формула розрахунку динаміки обсягу капіталу з урахуванням інвестицій та амортизації основного капіталу (за умови нульового інвестиційного лагу) має вигляд:


K
_t
=K
_t-1
+I
_t
–W
_t,

де K_t – запас капіталу наприкінці періоду t;

І
_t – інвестиції за весь період t;

W
_t, – амортизація капіталу за період t.

Наведена формула вказує на те, що кількість капіталу зростає на величину інвестицій та зменшується на величину амортизаційних відрахувань;

4) формула для розрахунку вибуття капіталу (амортизації) має вигляд:

де  – постійна (незмінна) норма амортизації, яка задається екзогенно отже, вважається, що вибуття капіталу є пропорційним до величини його запасу;

5) щодо інвестицій, то передбачається, що вони складають постійний процент від випуску I_t
= s
_*
Y
_t, де s – норма інвестицій (частка інвестицій у сукупному продукті (доході). Норма інвестицій s збігається з нормою заощадження, оскільки сукупні заощадження S_t дорівнюють сукупним інвестиціям І_t. Відповідно, Y_t
=C
_t
+S
_t
=C
_t
+I
_t.


Таким чином, модель економічного зростання у загальному вигляді складається із системи п’яти наведених рівнянь, які містять сім змінних (Y, K, L, C, I, , s), три із яких задаються екзогенно:

—               затрати праці L (зростають із постійним темпом n);

—               норма амортизації основного капіталу ;

—               норма заощадження s (задається безпосередньо або ж у вигляді певних умов, наприклад, максимізація споживання).

Мета дослідників – з’ясувати питання про те, як змінюються ендогенні змінні в моделі економічного зростання (Y, C та І) і який із чинників є визначальним фактором довгострокового економічного зростання.

Модель економічного зростання Харода–Домара

Це найпростіша модель економічного зростання, і була вона розроблена наприкінці 40‑х рр. Модель описує динаміку доходу (Y), який є сумою споживчих (С) та інвестиційних (І) витрат. Економіка вважається закритою, тому чистий експорт (NX) дорівнює нулю, а державні витрати (G) в моделі не вирізняються. Основним фактором зростання є нагромадження капіталу.

Основні передумови моделі:

– постійна продуктивність капіталу MPK = dY/dK;

– постійна норма заощадження s = I/Y;

– відсутній процес вибуття капіталу W = 0;

– інвестиційний лаг дорівнює нулеві, тобто інвестиції миттєво переходять у приріст капіталу. Формально це означає, що dK(t) = I(t);

– модель не враховує технічного прогресу;

—               випуск не залежить від затрат праці, оскільки праця не є дефіцитним ресурсом;

—               використовується виробнича функція Леонтьєва, яка передбачає неможливість взаємозаміни акторів виробництва – праці і капіталу.

Припускається, що швидкість доходу пропорційна інвестиціям: dY = MPK *
I(t) = MPK
*
s
*
Y, а темп приросту доходу dY/Y *
dt є постійним і дорівнює s *
MPK. Він прямо пропорційний нормі заощаджень та граничній продуктивності капіталу. Інвестиції (І) та споживання (С) в моделі Харода-Домара зростають з таким же постійним темпом (s *
MPK).

2. Рішення проводимо в пакеті MAPLE7, використовуючи функцію вирішення диференційного рівняння з початковими умовами Y (t=0)=Y₀:

> L6:=diff (y(t), t)=(s/i*y(t) – A/i*t);

Ø     ans1:= dsolve({L6, y(0)=Y0}, y(t));

Таким чином, розв’язком рівняння Харода-Домара у вигляді

з початковою умовою Y (t=0) =Y₀; s, A, і – const;

є функція:


Завдання №2

Попит D та пропозиція S як функції змінної в часі ціни p=F(t) та її похідних задаються виразами
 (2.2.0)


Знайти стаціонарну ціну рівноваги попиту та пропозиції p_D=S(t) – при умові D=S – вирівнювання попиту та пропозиції, як функцію часу, та з’ясувати чи вона є стійкою (оцінити рівень динаміки похідної ).

Рішення:

1. Якщо попит D та пропозиція S є функціями ціни p(t) та її першої та другої похідних , то їх рівняння в загальному вигляді можна представити наступним чином [1]:
 (2.2.1)
2. В умовах пошуку точок рівноваги попиту та пропозиції:
 (2.2.2)
рівняння (2.2.1), віднімаючи перше від другого, перетворюємо у наступне рівняння
 (2.2.3)
яке має наступні початкові умови:
 (2.2.4)


Загальний розв’язок рівнянь (2.2.1) – (2.2.4) має вигляд [1]:
 (2.2.5)
де С1 та С2 – довільні сталі;

 – корені характеристичного рівняння:
 (2.2.6)
Після вирішення рівняння (2.2.6), отримані  – корені характеристичного рівняння в рівнянні (2.2.5) характеризують стаціонарність рівноважної ціни p(t) наступним чином:

1) Якщо обидва корені  – є дійсними від’ємними або комплексними з від’ємною дійсною частиною, то рівняння (2.2.5) перетворюється до вигляду:
 (2.2.7)
та з наростанням t рівноважна ціна p(t) буде прямувати до ціни рівноваги попиту D та S – P_D=S, оскільки 1 та другий член рівняння (2.2.7) будуть наближатися до нуля.

2) Якщо обидва корені  – є дійсними позитивними, або один з них має позитивний знак, або комплексними з позитивною дійсною частиною, то згідно рівнянь (2.2.5), (2.2.7) з наростанням t рівноважна ціна p(t) буде віддалятися від до ціни рівноваги попиту D та S – P_D=S, оскільки або перший, або другий член рівняння (2.2.5) будуть наближатися до .

3. В точці рівноваги попиту та пропозиції D=S, рівняння (2.2.0) перетворюються в наступне диференційне рівняння другого порядку похідних:
 (2.2.8)
Для пошуку точок стаціонарної ціни рівноваги p_D=S враховуємо умови дорівнювання нулю першої та другої похідної в цих точках:
 (2.2.9)
тоді рівняння (2.2.8) перетворюється до вигляду, який дозволяє розрахувати значення стаціонарної ціни рівноваги попиту та прозиції:
 (2.2.10)
Для рівняння (2.2.8) характеристичне рівняння має наступний вигляд:
 (2.2.11)
а корені його рішення, розраховані в пакеті MAPLE7, дорівнюють
> solve (L*L‑7*L‑30);




Оскільки корені характеристичного рівняння (2.2.11)  дійсні та мають різні знаки – рішення рівняння (2.2.10) є нестійким.
Завдання №3

Знайти стаціонарні точки динамічної системи
 (2.3.0)
та дослідити їх стійкість в лінійному наближенні.
Рішення:

1. Положення рівноваги вихідної динамічної системи (стаціонарні точки динамічної системи) визначається наступними умовами:
 (2.3.1)
звідкіля маємо систему рівнянь рівноваги
 (2.3.2)
Рішення системи рівнянь рівноваги (2.3.2) в пакеті MAPLE7 дає наступні 4 пари коренів – стаціонарних точок рівноваги динамічної системи (2.3.0):


> eqp1:=-x*x+2*x-x*y=0;

> eqp2:=-y*y+6*y‑2*x*y=0;

>

> solve({eqp1, eqp2}, {x, y});





 _(2.3.3)
2. Для дослідження стійкості кожного з отриманих рішень, складаємо системи першого наближення в околицях точок рівноваги за допомогою розкладення в ряд Тейлора. Формула Тейлора для функції двох змінних x, y у першому наближенні (тільки рівень 1 похідних) для функції  в околицях точки x₀, y₀ має наступний вигляд [7]:

 (2.3.4)

Побудову систем рівнянь першого наближення системи (2.3.2) виконуємо за допомогою пакета MAPLE7 [4]:
> DxDt:=-x*x+2*x-x*y;



> mtaylor (DxDt, [x=0, y=0], 2);

> mtaylor (DxDt, [x=2, y=0], 2);

> mtaylor (DxDt, [x=4, y=-2], 2);

> mtaylor (DxDt, [x=0, y=6], 2);







 _(2.3.5)

> DyDt:=-y*y+6*y‑2*x*y;

> mtaylor (DyDt, [x=0, y=0], 2);

> mtaylor (DyDt, [x=2, y=0], 2);

> mtaylor (DyDt, [x=4, y=-2], 2);

> mtaylor (DyDt, [x=0, y=6], 2);

>









 _(2.3.6)
6. Використовуючи отримані результати (2.3.5), (2.3.6), дослідження стійкості рішення для 4‑х пар коренів проводимо в наступній послідовності [5]:

6.1. 1 пара коренів – x=0, y=0

Cистема характеристичних рівнянь 1‑го наближення ряду Тейлора відносно точки (x=0, y=0) має вигляд:




<sub>Для знаходження умов стійкості будуємо характеристичну матрицю:

     

 

Звідки характеристичне рівняння

Корені рішення цього рівняння  та  є дійсні та мають однакові знаки, що відповідає стійкості рішення рівноваги [5] в точці (x=0, y=0).</sub>

Пара коренів – x=2, y=0

Cистема характеристичних рівнянь 1‑го наближення ряду Тейлора відносно точки (x=2, y=0) має вигляд:



Виконуючи заміну змінних в системі () на

отримуємо модифіковану систему рівнянь:




<sub>Для знаходження умов стійкості будуємо характеристичну матрицю:

                 



 



Звідки характеристичне рівняння







Вирішуємо рівняння () в пакеті MAPLE7</sub>
> L2:=a*a+0*a‑2=0;

>



> solve(L2);


_{Корені рішення цього рівняння  та  є дійсні та мають різні знаки, що відповідає нестійкості рішення рівноваги [5] в точці (}x=2, y=0_).

3 пара коренів – x=4, y=-2

Cистема характеристичних рівнянь 1‑го наближення ряду Тейлора відносно точки (x=0, y=6) має вигляд:

Виконуючи заміну змінних в системі () на

отримуємо модифіковану систему рівнянь:




<sub>Для знаходження умов стійкості будуємо характеристичну матрицю:



                 

 




Звідки характеристичне рівняння







Вирішуємо рівняння () в пакеті MAPLE7</sub>
> solve (L*L+2*L+8);





_{Корені рішення цього рівняння  та  є комплексні та мають однакові негативні знаки при дійсній частині, що відповідає стійкості рішення рівноваги [5] в точці (}x=4, y=-2_).

Пара коренів – x=0, y=6

Cистема характеристичних рівнянь 1‑го наближення ряду Тейлора відносно точки (x=4, y=-2) має вигляд:

Виконуючи заміну змінних в системі () на

отримуємо модифіковану систему рівнянь:



<sub>Для знаходження умов стійкості будуємо характеристичну матрицю:



                 

 



Звідки характеристичне рівняння




Корені рішення цього рівняння  та  є дійсними та мають знак (–) при дійсній частині, що відповідає асимптотичній стійкості рішення рівноваги [5] в точці (</sub>x=4, y=-2_).