Министерство образования Республики Беларусь

Белорусский Государственный Университет

Экономический факультет

Кафедра Экономической и институциональной экономики


Курсовой проект
По дисциплине «Эконометрика и прогнозирование»
На тему

«Построение эконометрической модели и исследование проблемы гетероскедастичности с помощью тестов Вайта, Бреуша-Пагана-Годфри и Парка»

Выполнила

Студентка третьего курса

Отделения «Экономическая теория»

Волкова Ольга Александровна

Научный руководитель:

Абакумова Юлия Георгиевна
Минск, 2008 г.


Содержание
Введение

Теоретический раздел

Аналитический раздел

Построение базовой регрессионной модели и оценка её качества

Исследование проблемы гетероскедастичности с помощью тестов Вайта, Бреуша-Пагана-Годфри и Парка

Устранение гетероскедастичности в модели

Заключение

Список использованных источников




Введение
Вся история развития человечества неразрывно связана с изменениями динамики численности и воспроизводства населения. Современные очень высокие темпы роста численности населения мира в решающей степени определяются темпами его увеличения в развивающихся странах.

Современный «взрыв» населения в развивающихся странах имеет существенные особенности. Главная особенность заключается в том, что если в Европе быстрый рост населения был обусловлен в первую очередь социально-экономическими изменениями, т.е. следовал за экономическим ростом и изменениями в социальной сфере, то в развивающихся странах мы наблюдаем прямо противоположную картину: быстрый рост населения значительно опережает их экономическое и социальное развитие, усугубляя тем самым и без того ложные проблемы занятости, социальной сферы, обеспечения продовольствием, экологии.

Наряду с наблюдаемым во второй половине XX века демографическим взрывом проявился и демографический кризис, затронувший в первую очередь развитые страны мира.

Суть современного демографического кризиса заключается не только в резком ухудшении развития народонаселения, что выражается в резком уменьшении темпов роста численности населения в развитых странах, а в некоторых из них и снижении этого показателя за нулевую отметку, но и в определенном кризисе института семьи, в некотором ухудшении качества развития населения, в демографическом старении.

Наблюдаемая в развитых странах мира тенденция к резкому падению рождаемости значительно ниже уровня, обеспечивающего простое воспроизводств населения, ведет к значительному демографическому старению, сокращению трудовых ресурсов и увеличению «экономической нагрузки» на экономически активное население, на старение населения или увеличение доли пожилых и старых людей.

Итак, изменение показателя общей численности населения происходит под воздействием целого ряда прямых и косвенных факторов. В своей работе я бы хотела рассмотреть влияние показателей рождаемости, смертности и численности пожилого населения в разных странах мира на общую численность населения этих стран.

Такой выбор обусловлен, в первую очередь, целью моей работы – проверка регрессионной модели на гетероскедастичность (т.к. эта проблема в большей степени присуща пространственным данным и редко встречается во временных рядах).

Таким образом построенная мною модедь содержит следующие объясняющие переменные:
X₁ – численность рожденных детей за 2007г. (чел.),

X₂ – численность умерших за 2007г. (чел),

Х₃ – численность населения в возрасте от 65 лет и старше (чел.), и объясняемую переменную:

Y – общая численность населения на начало 2008г. (чел.).
Статистические данные по странам взяты за период 2007г, влияющие на общую численность населения начала 2008г. (Таблица 1)



Табл. 1




Теоретический раздел
При практическом проведении регрессионного анализ модели с помощью МНК необходимо обращать внимание на проблемы, связанные с выполнимостью свойств случайных отклонений модели, т.к. свойства оценок коэффициентов регрессии напрямую зависят от свойств случайного члена в уравнении регрессии. Для получения качественных оценок необходимо следить за выполнимостью предпосылок МНК (условий Гаусса-Маркова), т.к. при их нарушении МНК может давать оценки с плохими статистическими свойствами.

Одной из ключевых предпосылок МНК является условие постоянства дисперсий случайных отклонений: т.е. D( ε_i ) = D( ε_j ) = σ² для любых наблюдений i и j. Выполнимость данной предпосылки называется гомоскедастичностью (постоянством дисперсии отклонений). Невыполнимость данной предпосылки называется гетероскедастичностью (непостоянством дисперсий отклонений).

Наличие гетероскедастичности может привести к снижению эффективности оценок, полученных по МНК, к смещению дисперсий, к ненадежности интервальных оценок, получаемых на основе соответствующих t- и F-статистик. Таким образом, статистические выводы, получаемые при стандартных проверках качества оценок, могут быть ошибочными и приводить к неверным заключения по построенной модели. Вполне вероятно, что стандартные ошибки коэффициентов будут занижены, а следовательно можно признать статистически значимыми коэффициенты, которые таковыми не являются. Причиной гетероскедастичности могут быть выбросы (резко выделяющиеся наблюдения), ошибки спецификации модели, ошибки в преобразовании данных, ассиметрия распределения какой-либо из объясняющих переменных. Чаще всего, появление проблемы гетероскедастичности можно предвидеть и попытаться устранить этот недостаток еще на этапе спецификации. Однако обычно приходиться решать эту проблему уже после построения уравнения регрессии. Не существует какого-либо однозначного метода определения гетероскедастичности. Существует довольно большое количество тестов и критериев, наиболее популярными и наглядными из которых являются: графический анализ отклонений, тест ранговой корреляции Спирмена, тест Парка, тест Глейзера, тест Голдфельда-Квандта и тест Уайта. Моя работа посвящена исследованию поледних двух тестов.

Тест Уайта

Алгоритм этого теста заключается в том, что сперва оценивается исходная модель и определяются остатки ε_i , затем строится вспомогательно уравнение регрессии и определяется его коэффициент детерминации, произведение n*R^2 сравнивается со значением χ^2- распределения и делается вывод о наличии или об отсутствии гетероскедастичности.

Тест Парка

Парк в свою очередь предложил следующую функциональную зависимость:

Алгоритм теста:

1) Оцениваем исходное уравнение и определяем e_i.

2) Оцениваем уравнение

Проверяем статистическую значимость коэффициента β уравнения на основе статистики




Если β значим, то гетероскедастичность. Если нет, то гомоскедастичность.

Тест Бреуша-Пагана-Годфри

1)     Оценивается исходная модель и определяются остатки

Строится оценка:

2)     Оценивается регрессия


 

Если
При установлении присутствия гетероскедастичности возникает необходимость преобразования модели с целью устранения данного недостатка. Сначала можно попробовать устранить возможную причину гетероскедастичности, скорректировав исходные данные, затем попробовать изменить спецификацию модели, а в случае, если не помогут эти меры, использовать метод взвешенных наименьших квадратов.

Далее в работе проведем довольно полный анализ базовой модели, включая непосредственно тесты на обнаружение гетероскедастичности.




Аналитический раздел
1. Построение базовой регрессионной модели и оценка её качества
По данным Таблицы 1 построим исходную модель с помощью пакета Eviews3.1. Получим следующее уравнение построенной модели:

Где:

Population – общая численность населения на начало 2008г. (чел.),

Birth – численность рожденных детей за 2007г. (чел.),

Mortality – численность умерших за 2007г. (чел),

Old – численность населения в возрасте от 65 лет и старше (чел.).

Проверим на значимость коэффициенты уравнения регрессии. Для этого оценим t-статистику:




Используем в данном случае уровень значимости . Тогда критическое значение t-статистики соответственно:

Значения t-статистик рассматриваемых переменных больше критического значения (критерий Стьюдента), следовательно делаем вывод о их значимости. По анализу исследованных t-статистик и коэффициента детерминации R-квадрат делаем предварительный вывод об адекватности построенной модели.

Продолжая оценивать общее качество модели, используем критерий Фишера:


Н0: R-квадрат=0

Н1: R-квадрат>0

Так как F-наблюдаемое больше F-критического, принимаем гипотезу Н1, согласно которой модель адекватна. Поскольку значение F-наблюдаемого велико, можно сделать предположение о наличии мультиколлинеарности, что будет проверено мною в дальнейшем.

Оценим также распределение остатков в модели:

P (J-B) = 0,06, следовательно присутствует нормальное распределение остатков.

Проверим модель на присутствие автокорреляции. Для этого будем использовать тесты Бреуша-Годфри и Дарбина-Уотсона.

1) Первоначально воспользуемся тестом Бреуша-Годфри и оценим модель на присутствие автокорреляции по трем лагам:

Запишем значение  распределения для последующего сравнения с Obs* R-squared:

Приведем результаты теста с lag = 1:



с lag = 2:



с lag = 3:


Сделаем выводы об отсутствии серийной корреляции, так как во всех трех случаях Obs* R-squared меньше

а P-вероятность статистики Бреуша-Годфри больше уровня значимости
()
2) Воспользуемся также тестом Дарбина-Уотсона:

Приведем значение статистики:

Значения критических точек
при уровне значимости :




Делаем вывод об отсутствии автокорреляции, т.к. значение статистики D-W в данном случае близко к 2.
Выполним проверку регрессионной модели на мультиколлинеарность.

Построим корреляционную матрицу коэффициентов:

Найдем частные коэффициенты корреляции:





Делаем вывод о наличии высокой зависимости (коллинеарности) между переменными в каждом из трех случаев. Следовательно в модели присутствует мультиколлинеарность. Эта проблема оказывает определенное влияние на качество модели, однако ее устранение не является обязательным этапом, поэтому перейдем к дальнейшему исследованию качества регрессионной модели.

2. Исследование проблемы гетероскедастичности с помощью тестов Вайта, Бреуша-Пагана-Годфри и Парка

Переходим непосредственно к основной теме курсвой - проверяем модель на наличие гетероскедастичности. Для этого первоначально проведем тест Вайта и оценим его результаты:








Т.к. значение P- вероятности в обоих случаях теста Уайта (no cross terms/ cross terms) меньше уровня значимости
() и Obs*
R-squared превышает

то принимаем гипотезу о наличии гетероскедастичности в модели.

Дополнительно можно использовать графический анализ ряда остатков, который подтверждает вывод о наличии гетероскедастичности, т.к. график имеет выбросы и не укладывается в полосу постоянной ширины, параллельную оси ОХ (-1000000,1000000).





Таким образом, в этой модели мы имеем две проблемы – мультиколлинеарность и гетероскедастичность, в связи с чем нельзя доверять статистическим выводам и оценкам качества регрессионной модели. Продолжим дальнейший анализ модели с помощью теста Парка. Данный тест не предполагает особой свободы выбора и мы строим три регрессионные модели натуральных логарифмов остатков базовой модели на натуральные логарифмы каждой объясняющей переменной отдельно.

Представим вспомогательную модель 1 теста Парка:

Запишем уравнение вспомогательной модели 1:






Где:

POPUL2=ln (population^2)

BIRTH2=ln(birth).

Оценим значимость коэффициентов уравнения регрессии. Для этого оценим t-статистику:

Найдем критическое значение t-статистики на уровне значимости
()






После проведенного теста можно сделать вывод о наличии гетероскедастичности по переменной Birth в следствие того, что коэффициент  при данной переменной является значимым.

Представим вспомогательную модель 2 теста Парка:

Где:

POPUL2=ln (population^2)

MORTALITY2=ln(mortality).

Запишем уравнение вспомогательной модели 2:

Оценим значимость коэффициентов уравнения регрессии. Для этого оценим t-статистику. Найдем критическое значение t-статистики на уровне значимости ()


После проведенного теста можно сделать вывод о наличии гетероскедастичности по переменной Mortality в следствие того, что коэффициент  при данной переменной является значимым.

Представим вспомогательную модель 3 теста Парка:

Где:

POPUL2=ln (population^2)

OLD2=ln(old).

Запишем уравнение вспомогательной модели 2:



Оценим значимость коэффициентов уравнения регрессии. Для этого оценим t-статистику. Найдем критическое значение t-статистики на уровне значимости ()

После проведенного теста можно сделать вывод о наличии гетероскедастичности по переменной Old в следствие того, что коэффициент  при данной переменной является значимым.

Оценив каждую переменную по тесту парка в отдельности подтверждаем выводы сделанные ранее по тесту Вайта о гетероскедастичности исходной модели.

Теперь используем тест Бреуша-Пагана для окончательного подтвержения гетероскедастичности. Для начала строим временной ряд квадратов остатков, деленных на величину

а затем строим для него саму регрессионную модель.





Находим необходимые для анализа параметры вспомогательной регрессии:





Делаем вывод об очевидном присутствии в модели гетероскедастичности, так как
>>

Устранение гетероскедастичности в модели
После проведения тестов Вайта, Бреуша-Пагана-Годфри и Парка было выявлено очевидное наличие проблемы гетероскедастичности остатков в базовой модели регрессии. Приступим к ее устранению при помощи веса, выбранного соответственно тесту Бреуша-Пагана. Предпологаем форму выявленной гетероскедастичности:


Вес:
Оцененная с помощью метода взвешанных наименьших квадратов базовая регрессия выглядит следующим образом:

Получим следующее уравнение построенной модели-NEW:



Где переменные, скорректированные на вес:
PopulationNEW – общая численность населения на начало 2008г. (чел.),

cNEW – константа базовой модели, деленная на вес,

BirthNEW – численность рожденных детей за 2007г. (чел.),

MortalityNEW – численность умерших за 2007г. (чел),

OldNEW – численность населения в возрасте от 65 лет и старше (чел.).
Проверим на значимость коэффициенты уравнения регрессии. Для этого оценим t-статистику. Используем в данном случае уровень значимости . Тогда критическое значение t-статистики соответственно:

Если значения t-статистик рассматриваемых переменных больше критического значения (критерий Стьюдента), следовательно делаем вывод о их значимости. Лишь одна переменная, являющаяся в прошлой базовой модели константой в данном случае незначима, что логично, ведь она не имеет реального смысла, т.е. не описывает реальным образом объясняемую переменную. По анализу исследованных t-статистик и коэффициента детерминации R-квадрат делаем предварительный вывод об адекватности построенной модели.

Продолжая оценивать общее качество модели, используем критерий Фишера:




Н0: R-квадрат=0

Н1: R-квадрат>0

Так как F-наблюдаемое больше F-критического, принимаем гипотезу Н1, согласно которой модель адекватна.

Проверим модель на присутствие автокорреляции. Для этого будем использовать тесты Бреуша-Годфри и Дарбина-Уотсона.

1) Первоначально воспользуемся тестом Бреуша-Годфри и оценим модель на присутствие автокорреляции по трем лагам:

Запишем значение  распределения для последующего сравнения с Obs* R-squared:

Приведем результаты теста с lag = 1:


с lag = 2:



с lag = 3:


Сделаем выводы об отсутствии серийной корреляции, так как во всех трех случаях Obs* R-squared меньше

а P-вероятность статистики Бреуша-Годфри больше уровня значимости
()
2) Воспользуемся также тестом Дарбина-Уотсона:

Приведем значение статистики:

Значения критических точек
при уровне значимости :



Делаем вывод об отсутствии автокорреляции, т.к. значение статистики D-W в данном случае близко к 2.

Проверим скорректированную модель на наличие гетероскедастичности с помощью теста Вайта

Т.к. значение P- вероятности в обоих случаях теста Уайта (no cross terms/ cross terms) больше уровня значимости
()
и Obs* R-squared превышает



то принимаем гипотезу об отсутствии гетероскедастичности в модели (гомоскедастичность).




Заключение
В моей курсовой работе я построила регрессионную модель по реальным данным. Я разбиралась с моделью зависимости общей численности населения от показателей рождаемости, смертности и численности пожилого населения, их влиянием друг на друга и на объясняемую переменную. Так как целью моей работы являлось проверить, как работают на практике тесты Уайта и Бреуша-Пагана-Годфри и Парка, то я использовала пространственные данные, которые позволяют наиболее наглядно проиллюстрировать проблему гетероскедастичности и способы ее устранения.

В работе достаточно наглядно продемонстрирована работа тестов для выявления гетероскедастичности, также удалось решить задачу с выбором веса для ВНК.

В ходе курсовой работы мне удалось скорректировать модель с помощью метода взвешенных наименьших квадратов, правильно подобрав вес при помощи теста Бреуша-Пагана, поскольку тест Вайта, к примеру, не дает нам точного ответа на вопрос о весе для ВНК. Построенная в конце моего исследования модель-NEW значима и является качественной, остатки ее в свою очередь гомоскедастичны.




Список использованных источников:
1.      Бородич С.А. Вводный курс эконометрики: Учеб. пособие. – Мн.; БГУ, 2000. – 209, 227, 245 с.

2.     Бородич С.А. Эконометрика: Учеб. пособие. – Мн.; Новое знание, 2006. – 237, 238 с.

3.     Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. – М.; ИНФРА-М, 1997.

4.     Данные Eurostat http://epp.eurostat.ec.europa.eu/potal.