ГОУ СПО «Кунгурское педагогическое училище»

ПЦК преподавателей естественно-математических дисциплин
Разработка программы факультативного курса по теории вероятностей в курсе математики 8 класса
Допущена к защите

Зам. Директора по учебной работе

Л.А. Патракова, 2009 г.

Председатель ПЦК

естественно-математических дисциплин

Т.А. Трясцына, 2009 г.

Выпускная квалификационная работа

по методике преподавания математики

Михайловой Натальи Анатольевны

специальность 050201 математика группа М-51

отделение: заочное

Руководитель: Янкина Л.Г.,

преподаватель математики

Защита состоялась:
2009


Оглавление
Введение

1. Предмет теории вероятностей

1.1 Основные понятия

1.2 Правила и теоремы теории вероятностей

2. Разработка программы факультативного курса по теории вероятностей в курсе математики 8 класса

2.1 Основные понятия о факультативном курсе

2.2 Методика преподавания теории вероятностей

Заключение

Литература

Приложения




Введение
Теория вероятностей является одним из классических разделов математики. Она имеет длительную историю. Основы этого раздела науки были заложены великими математиками. Назову, например, Ферма, Бернулли, Паскаля. Позднее развитие теории вероятностей определились в работах многих ученых. Большой вклад в теорию вероятностей внесли ученые нашей страны: П.Л. Чебышев, А.М. Ляпунов, А.А. Марков, А.Н. Колмогоров. По словам Б.В. Гнеденко: «Теория вероятностей, подобно другим разделам математики, развилась из потребностей практики; в абстрактной форме она отражает закономерности, присущие случайным событиям массового характера».

Теория вероятностей используется в физике, технике, экономке, биологии и медицине. Особенно возросла ее роль в связи с развитием вычислительной техники.

Например, при бросании монеты нельзя предсказать, какой стороной она упадет, для этого необходимо было бы учесть слишком много различных факторов: работу мышц руки, участвующей в бросании, малейшие отклонения в распределении массы монеты, движение воздуха и т.д. Результат бросания монеты случаен. Но, оказывается, при достаточно большом числе бросаний монеты существует определенная закономерность (герб и цифра выпадут приблизительно поровну).

Закономерности, которым подчиняются случайные события, изучаются в разделах математики, которые называются теорией вероятности.

Можно привести много других примеров случайных величин. Все же и в мире случайностей обнаруживаются определенные закономерности. Математический аппарат для изучения таких закономерностей и дает теория вероятностей. Таким образом, теория вероятностей занимается математическим анализом случайных событий и связанных с ними случайных величин.

В настоящее время теория вероятностей завоевала очень серьезное место в науке и прикладной деятельности. Ее идеи, метода и результаты не только используются, но буквально пронизывают все естественные и технические науки, экономику, планирование, организацию производства, связи, а также такие далекие, казалось бы, от математики науки, как лингвистику и археологию. Сейчас без достаточно развитых представлений о случайных событиях и их вероятностях, без хорошего представления о том, что явления и процессы, с которыми мы имеем дело, подчиняются более сложным закономерностям, невозможно полноценно работать в физике, химии, биологии, управлять производственными процессами. А, следовательно, данная тема актуальна и нуждается в рассмотрении.

Однако теория вероятностей почти не рассматривается в школьном курсе математики, так как в учебниках очень мало заданий. Зато на различных олимпиадах такие задания встречаются часто. Решением данной проблемы может служить создание факультативного курса по теории вероятностей.

Цель: разработать программу факультативного курса по теории вероятностей в курсе математики 8 класса.

Задачи:

·              Изучить методическую и научную литературу по теме;

·              Показать методику работы при использовании элементов теории вероятностей на уроках математики в школе;

·              Подобрать систему задач и упражнений, направленных на изучение данной темы.

Объект исследования - процесс подготовки учителя к обучению школьников элементам теории вероятностей.

Предмет исследования - влияние системы задач на формирование вероятностных понятий у учеников 8 класса.

Контингент – ученики 8-го класса.

1. Предмет теории вероятностей1.1 Основные понятия

Теория вероятностей возникла в середине XVII в. Первые работы по теории вероятностей, принадлежащие французским учёным Б. Паскалю и П. Ферма и голландскому учёному X. Гюйгенсу, появились в связи с подсчётом различных вероятностей в азартных играх. Крупный успех теории вероятностей связан с именем швейцарского математика Я. Бернулли, установившего закон больших чисел для схемы независимых испытаний с двумя исходами (опубликовано в 1713).

Следующий (второй) период истории теории вероятностей (XVIII в., начало XIX в.) связан с именами А. Муавра (Англия), П. Лапласа (Франция), К. Гаусса (Германия) и С. Пуассона (Франция). Это - период, когда теория вероятностей уже находит ряд весьма актуальных применений в естествознании и технике (главным образом в теории ошибок наблюдений, развившейся в связи с потребностями геодезии и астрономии, и в теории стрельбы). К этому периоду относится доказательство первых предельных теорем, носящих теперь названия теорем Лапласа (1812) и Пуассона (1837); А. Лежандром (Франция, 1806) и Гауссом (1808) в это же время был разработан способ наименьших квадратов.

Третий период истории теории вероятностей. (2-я половина XIX в.) связан в основном с именами русских математиков П.Л. Чебышева, А.М. Ляпунова и А.А. Маркова (старшего). Теория вероятностей развивалась в России и раньше. В XVIII в. ряд трудов был написан работавшими в России Л. Эйлером, Н. Бернулли и Д. Бернулли. Во второй период развития теории вероятностей следует отметить работы М.В. Остроградского по вопросам теории вероятностей, связанным с математической статистикой, и В.Я. Буняковского по применениям теории вероятностей к страховому делу, статистике и демографии. Со 2-й половины XIX в. исследования по теории вероятностей в России занимают ведущее место в мире. Чебышев и его ученики Ляпунов и Марков поставили и решили ряд общих задач в теории вероятностей, обобщающих теоремы Бернулли и Лапласа. Чебышев чрезвычайно просто доказал (1867) закон больших чисел при весьма общих предположениях. Он же впервые сформулировал (1887) центральную предельную теорему для сумм независимых случайных величин и указал один из методов её доказательства. Другим методом Ляпунов получил (1901) близкое к окончательному решение этого вопроса. Марков впервые рассмотрел (1907) один случай зависимых испытаний, который впоследствии получил название цепей Маркова.

В Западной Европе во 2-й половине XIX в. получили большое развитие работы по математической статистике (в Бельгии - А. Кетле, в Англии - Ф. Гальтон) и статистической физике (в Австрии - Л. Больцман). Которые наряду с основными теоретическими работами Чебышева, Ляпунова и Маркова создали основу для существенного расширения проблематики теории вероятностей в четвёртом (современном) периоде её развития. Этот период истории теории вероятностей характеризуется чрезвычайным расширением круга её применений, созданием нескольких систем безукоризненно строгого математического обоснования теории вероятностей, новых мощных методов, требующих иногда применения (помимо классического анализа) средств теории множеств, теории функций действительного переменного и функционального анализа. В этот период советская наука продолжает занимать значительное, а в ряде направлений и ведущее положение. В нашей стране новый период развития теории вероятностей открывается деятельностью С. Н. Бернштейна, значительно обобщившего классические предельные теоремы Чебышева, Ляпунова и Маркова и впервые в России широко поставившего работу по применениям теории вероятностей к естествознанию. Позднее (в 30-х гг.) они и Е.Е. Слуцкий заложили основы теории случайных процессов. В. И. Романовский Ташкент и Н. В. Смирнов Москва поставили на большую высоту работу по применениям теории вероятностей к математической статистике [12].

Теория вероятностей изучает закономерности случайных явлений. Она применяется в физике и других разделах естествознания, в экономике, в военном деле, в разнообразных технических дисциплинах и во многих других областях человеческой деятельности.

В последние десятилетия теория вероятностей все глубже проникает в гуманитарные науки. На ней основываются статистические методы, необходимые для работы лингвистов и психологов, социологов и политологов. Знание теории вероятностей необходимо теперь каждому экспериментатору, так как она указывает способы обработки результатов эксперимента, дает рекомендации по его планированию [13]. Поэтому, сейчас так актуально изучать данный раздел математики. Его основа – случайные события.

Случайности подстерегают нас на каждом шагу. Случай поворачивается к человеку своими разными сторонами. Случайность – это прежде всего непредсказуемость, которая является результатом нашего незнания, нашей слабой осведомленности, результатом отсутствия необходимой информации.

С помощью данной работы попытаемся открыть для себя вероятностную природу окружающего нас мира, познакомимся со случайными явлениями, попробуем ориентироваться в мире случайности, используя его величество случай.

Понятие о случайном событии

Опыт, эксперимент, наблюдение явления называется испытанием. Испытаниями являются: бросание монеты, выстрел из винтовки, бросание игральной кости (кубика с нанесенными на каждую грань числом очков - от одного до шести).

Результат, исход испытания, называется событием. Событиями являются выпадение герба или цифры, попадание в цель или промах, появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости. Для обозначения событий используют большие буквы латинского алфавита: А,В, С и т.д.

Два события называют совместимыми, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Испытание - однократное бросание игральной кости. Событие А - появление четырех очков. Событие В - появление четного числа очков. События А и В совместимые.

Два события называют несовместимыми, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании.

Испытание - однократное бросание монеты. Событие А - выпадение герба, событие В - выпадение цифры. Эти события несовместимы, так как появление одного из них исключает появление другого.

Несовместимость более чем двух событий означает их попарную несовместимость.

Испытание - однократное бросание игральной кости. Пусть события А₁ , А₂ , А_3, А₄ , А₅ , А₆, - соответственно выпадение одного очка, двух, трех и т.д. Эти события являются несовместимыми.

Два события А и В называются противоположными, если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно происходит. Событие, противоположное событию А, обозначают через.

Испытание - бросание монеты. Событие А - выпадение герба, событие В - выпадение цифры. Эти события противоположны, так как исходами бросания могут быть лишь они, и появление одного из них исключает появление другого, т.е.
А =  или  = В.
Событие называют достоверным, если в данном испытании оно является единственно возможным его исходом, и невозможным, если в данном испытании оно заведомо не может произойти. Испытание - извлечение шара из урны, в которой все шары белые. Событие А - вынут белый шар - достоверное событие; событие В - вынут черный шар - невозможное событие.

Достоверное и невозможное события в данном испытании являются противоположными.

Событие А называют случайным, если оно объективно может наступить или не наступить в данном испытании.

Событие А₆ - выпадение шести очков при бросании игральной кости - случайное. Оно может наступить, но может и не наступить в данном испытании.

Всякое испытание влечет за собой некоторую совокупность исходов - результатов испытания, т.е. событий. Во многих случаях возможно перечислить все события, которые могут быть исходами данного испытания.

Классическое определение вероятности

Говорят, что совокупность событий образует полную группу событий для данного испытания, если его результатом обязательно становится хотя бы одно из них.

Примеры полных групп событий: выпадение герба и выпадение цифры при одном бросании монеты; попадание в цель и промах при одном выстреле; выпадение одного, двух, трех, четырех, пяти и шести очков при одном бросании игральной кости.

Рассмотрим полную группу попарно несовместимых событий U₁, U₂, ., U_n, связанную с некоторым испытанием. Предположим, что в этом испытании осуществление каждого из событий , (i = 1,2, ..., n) равновозможное, т.е. условия испытания не создают преимущества в появлении какого-либо события перед другими возможными.

События U₁, U₂,..., U_n, образующие полную группу попарно несовместимых и равновозможных событий, называется элементарными событиями.

Вернемся к опыту с подбрасыванием игральной кости. Пусть  - событие, состоящее в том, что кость выпала гранью с цифрой 1. События U₁ , U₂, ... , U₆ образуют полную группу попарно несовместимых событий. Так как кость предполагается однородной и симметричной, то события U₁ , U₂,... , U₆ являются и равновозможными, т.е. элементарными.

Событие А называют благоприятствующим событию В, если наступление события А влечет за собой наступление события В.

Пусть при бросании игральной кости события U₂, U₄,  и U₆ -появление соответственно двух, четырех и шести очков и А - событие, состоящее в появлении четного числа очков; события U₂, U₄ и U₆  благоприятствуют событию А.

Вероятностью Р(А) события А называют отношение   числа элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу всех элементарных событий, т.е.
Р(А)= .
Вычислим вероятность выпадения герба при одном бросании монеты. Очевидно, событие А - выпадение герба и событие В — выпадение  цифры образуют полную группу несовместимых и равновозможных событий  для данного испытания. Значит, здесь n = 2. Событию А благоприятствует лишь одно событие - само А, т.е. здесь m = 1. Поэтому
Р(А) = .
Найти вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет число очков, делящееся на 2 (событие А).

Число элементарных событий здесь 6. Число благоприятствующих элементарных событий 3 (выпадение 2, 4 и 6). Поэтому Р(А)== .

Из приведенного классического определения вероятности вы­текают следующие ее свойства [1, 510].

Свойства классического определения вероятности

1. Вероятность достоверного события равна единице. Действительно, достоверному событию должны благоприятствовать все n элементарных событий, т.е. m = n и, следовательно,
Р(А)= ==1.
2. Вероятность невозможного события равна нулю. В самом деле, невозможному событию не может благоприятствовать ни одно из элементарных событий, т.е. m = 0, откуда
 Р(А)= ==0.
3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных событий. Поэтому в этом случае 0 < m < n и, значит, 0 <  < 1. Следовательно, 0 < Р(А) < 1.

Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству,    0  Р(А)  1 [2, 17].

Статистическое определение вероятности

Классическое определение вероятности не является при­годным для изучения произвольных случайных событий. Так, оно неприемлемо, если результаты испытания не равновозможны. Например, при бросании неправильной игральной кости выпаде­ние ее различных граней не равновозможно.

В таких случаях используется, так называемое, статистическое определение вероятности.

Пусть произведено n испытаний, при этом некоторое событие А наступило m раз (m < n).

Число m называют абсолютной частотой (или просто частотой) события А, а отношение Р*(А) =   называют относительной частотой события А.

При транспортировке из 10 000 арбузов испортилось 26. Здесь m = 26 - абсолютная частота испорченных арбузов, а Р*(А) = = 0,0026   - относительная.

Результаты многочисленных опытов и наблюдений помогают заключить: при проведении серий из n испытаний, когда число сравнительно мало, относительная частота Р*(А) принимает значения, которые могут довольно сильно отличаться друг от друга. Но с увеличением n - числа испытаний в сериях – относительная частота    Р*(А) =  приближается к некоторому числу Р(А), стабилизируясь возле него и принимая все более устойчивые значения.

Было проведено 10 серий бросаний монеты, по 1000 бросаний в каждой. Относительные частоты выпадения герба оказались равными 0,501 0,485; 0,509; 0,536; 0,485; 0,488; 0,500; 0,497; 0,494; 0,484. Эти частота группируются около числа 0,5.

По официальным данным шведской статистики относительные частоты рождения девочек по месяцам 1935 г. характеризуются следующими числами (расположены в порядке следования месяцев, начиная с января): 0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,47. Эти частоты группируются около числа 0,482.

Относительная частота события приближенно совпадает с его вероятностью, если число испытаний достаточна велико. Имеется огромный опытный материал по проверке последнего утверждения. Укажем еще один такой пример с бросанием монеты (приложение 1).

Здесь относительные частоты незначительно отклоняются от числа 0,5, причем тем меньше, чем больше число испытаний. При 4040 испытаниях отклонение равно 0,008, а при 24 000 - 0,0005.

Таких примеров очень много. Возникли целые науки о том, как же эффективно действовать в нашем случайном мире. Их задачей является уменьшение неприятностей от случайного при использовании самой случайности.

Таким образом, было рассмотрено два определения теории вероятностей: классическое и статистическое [6, 210].

Для решения задач по данной теме необходимо использовать основные правила и теоремы теории вероятности.
1.2 Правила и теоремы теории вероятностей
Теорема сложения вероятностей несовместимых событий

Суммой событий А и В называют событие С = А + В, состоящее в наступлении, по крайней мере, одного из событий А или В.

Испытание - стрельба двух стрелков (каждый делает по одному выстрелу). Событие А - попадание в мишень первым стрелком, событие В - попадание в мишень вторым стрелком. Суммой событий А и В будет событие С = А + В, состоящее в попадании в мишень, по крайней мере, одним стрелком.

Аналогично суммой конечного числа событий А₁ , А₂, ..., А_k  называют событие А = А₁ + А₂ + … + А_k, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий A_i (i = 1,..., k).

Произведением событий А и В называют событие С = АВ, состоящее в том, что в результате испытания произошло и событие А и событие В.

Аналогично произведением конечного числа событий А₁ , А₂, ..., А_k  называют событие А = А₁  А₂ …  А_k, , состоящее в том, что в результате испытания произошли все указанные события.

В условиях предыдущего примера произведением событий А и В будет событие С = АВ, состоящее в попадании в мишень двух стрелков.

Из определения непосредственно следует, что АВ = ВА.

Теорема. Вероятность суммы двух несовместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В).                  (1)
Доказательство. Используем классическое определение вероятности. Предположим, что в данном испытании число всех элементарных событий равно n, событию А благоприятствуют k элементарных событий, событию В - I элементарных событий. Так как А и В - несовместимые события, то ни одно из элементарных событий U₁ , U₂,... , U_n не может одновременно благоприятствовать и событию А и событию В. Следовательно, событию А + В будет благоприятствовать k + l элементарных событий. По определению вероятности Р(А)=, Р(В)=, Р(А+В)=  откуда и следует утверждение теоремы.

Совершенно так же теорема формулируется и доказывается для любого конечного числа попарно несовместимых событий.

Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий А и равна единице:
Р(А)+Р()= 1


Так как события А и несовместимы, то по доказанной выше теореме Р(А) + Р() = Р (А + ). Событие А +  есть достоверное событие (ибо одно из событий А или  произойдет). Поэтому Р (А +  ) =1.

В урне 10 шаров: 3 красных, 5 синих и 2 белых. Какова вероятность вынуть цветной шар, если вынимается один шар? Вероятность вынуть красный шар Р(А) = , синий Р(В) = . Так как события А и В несовместимы, то по доказанной выше теореме
Р(А + В)= Р(А) + Р(В) =    +  = 0,8 [3, 25].
Теорема умножения вероятностей

Два события А и В называют независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае события А и В называют зависимыми [5, 19].

Пример 1. Пусть в урне находятся 2 белых и 2 черных шара. Пусть собы­тие А - вынут белый шар. Очевидно, Р(А) = . После первого испытания  вынутый шар кладется обратно в урну, шары перемешиваются и снова вынимается шар. Событие В - во втором испытании вынут белый шар – также имеет вероятность Р(В) = , т.е. события А и В- независимые.

Предположим теперь, что вынутый шар в первом испытании не кладется обратно в урну. Тогда если произошло событие А, т.е. в первом испытании вынут белый шар, то вероятность события В уменьшается Р(В) =  ,если в первом испытании был вынут черный шар, то вероятность события В увеличивается  Р(В) = .

Итак, вероятность события В существенно зависит от того, произошло или не произошло событие А, в таких случаях события А и В - зависимые.

Пусть А и В - зависимые события. Условной вероятностью Р_А(В) события В называют вероятность события В, найденную в предположении, что событие А уже наступило.

Итак, в примере 1 Р_А(В) = .

Заметим, что если события А и В независимы, то Р_А (В )= Р(В).

Теорема 1. Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие уже наступило:
 P(AB)= Р(А)Р_А(В).         (2)
Доказательство.

Пусть из всего числа n элементарных событий k благоприятствуют событию А и пусть из этих k событий l благоприятствуют событию В, а значит, и событию АВ. Тогда Р(АВ)= =.= Р(А)Р_А(В), что и доказывает искомое равенство (2).

Замечание. Применив формулу (2) к событию ВА, получим
Р(ВА) = Р(В)Р_В(А). (3)
Так как АВ = ВА, то, сравнивая (2) и (3), получаем, что
Р(А)Р_А(В) = Р(В)Р_В(А).
Пример 2. В условиях примера 1 берем тот случай, когда вынутый шар в первом испытании не кладется обратно в урну. Поставим следующий вопрос: какова вероятность вынуть первый и второй разы белые шары? По формуле (2) имеем



Теорема 2. Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:



Р(ВА)  = Р(А)Р(В).
Действительно, если А и В - независимые события, то Р_А (В) = = Р(В) и формула (2) превращается в формулу (4).

Пример 3. Вероятность выживания одного организма в течение 20 мин Р = 0,7. В пробирке с благоприятными для существования этих организмов условиями находятся только что родившиеся 2 организма. Какова вероятность того, что через 20 минут они будут живы?

Пусть событие А - первый организм жив через 20 мин, событие В - второй организм жив через 20 мин. Будем считать, что между организмами нет внутривидовой конкуренции, т.е. события А и В независимы. Событие, что оба организма живы, есть событие АВ. По теореме 2 получаем Р(АВ) = 0,7 ∙ 0,7 = 0,49 [7,115].

Теорема сложения вероятностей совместимых событий

Теорема. Вероятность суммы двух совместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ).    (5)
Доказательство. Пусть из всего числа n элементарных событий k благоприятствуют событию А, l - событию В и m -  одновременно событиям А и В. Отсюда событию А + В благоприятствуют к + 1 - m элементарных событий. Тогда




Р(А+В)=  = Р(А) + Р(В) - Р(АВ)
Замечание. Если события А и В несовместимы, то их произведение АВ есть невозможное событие и, следовательно, Р(АВ) = 0, т.е. формула (1) является частным случаем формулы (5).

Пример. В посевах пшеницы на делянке имеется 95% здоровых растений. Выбирают два растения. Определить вероятность того, что среди них хотя бы одно окажется здоровым.

Введем обозначения для событий:

А₁- первое растение здоровое;

А₂ - второе растение здоровое;

А₁+A₂ - хотя бы одно растение здоровое.

Так как события А₁ и А₂ совместимые, то согласно формуле (5)
P(А₁₊ А₂) = P(А₁) + P(А₂) = 0,95 + 0,95 - 0,95 · 0,95 = 0,9975 ≈ 1 [4, 28].
Формула полной вероятности

Теорема. Вероятность события А, которое может нacmупить лишь при условии появления одного из n попарно несовместимых событий В₁,  В₂, ... В_n , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:
       (6)
(формула полной вероятности).

Доказательство. Событие А может наступить лишь при условии наступления одного из событий B₁, В₂, ..., B_n, т.е. А = B₁ А + В₂А + ... +, B_nА причем ввиду несовместимости событий  B₁, В₂ , ..., B_nА события  B₁А, В₂А, ..., B_nА также несовместимы. По этому на основании теорем сложения и умножения вероятностей имеем

Пример 1. Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом находят две белые мыши и одна серая, во втором - три белые и одна серая, в третьей две белые и две серые мыши. Какова вероятность того, что из наугад выбранного ящика будет извлечена белая мышь?

Обозначим:  B₁  - выбор первого ящика, B₂  - выбор второго ящика, В₃ - выбор третьего ящика,  А - извлечение белой мыши. Так как все ящики одинаковы, то P(В₁)= Р(В₂) = Р(В₃) =.

Если выбран первый ящик, то (А) = . Аналогично (А) = , (A) = . Наконец, по формуле (6) получаем     [8, 22].

Формула Бейеса

Пусть в условиях рассуждения, относящегося к формуле полной вероятности, произведено одно испытание, в результате которого произошло событие А. Спрашивается: как изменились (в связи с тем, что событие А уже произошло) ве­личины P(B_k), k = 1,... , п.

Найдем условную вероятность Р_A(В_k).

По теореме умножения вероятностей и формуле (3) имеем:


Отсюда:
Наконец, используя формулу полной вероятности, находим


   (k=1, 2, …, n).         (7)
Формулу(7) называют формулой Бейеса (Байеса)

Пример. Большая популяция людей разбита на две группы одинаковой численности. Диета одной группы отличалась высоким содержанием ненасыщенных жиров, а диета контрольной группы была богата насыщенными жирами. После 10 лет пребывания на этих диетах возникновение сердечнососудистых заболеваний составило в этих группах соответственно 31% и 48%. Случайно выбранный из популяции человек имеет сердечно-сосудистое заболевание. Какова вероятность того, что этот человек принадлежит к контрольной группе?

Введем обозначения для событий:

А - случайно выбранный из популяции человек имеет сердечно-сосудистое заболевание;

B₁ - человек придерживался специальной диеты;

В₂ - человек принадлежал к контрольной группе. Имеем
Р(В₁) = Р(В₂) = 0,5,

 (A) = 0,31,   (A) = 0,48.
Согласно формуле полной вероятности

Р(А) = 0,5 ∙ 0,31 + 0,5  ∙  0,48 = 0,395

и, наконец, в силу формулы (7) искомая вероятность

 [11, 216].

Таким образом, можно привести много разнообразных примеров случайных величин. Все же и в мире случайностей обнаруживаются определенные закономерности. Математический аппарат для изучения таких закономерностей и дает теория вероятностей. Она занимается математическим анализом случайных событий и связанных с ними случайных величин.

Для решения задач по теории вероятностей следует применять следующие теоремы: сложения вероятностей несовместимых событий, умножения вероятностей, сложений вероятностей совместимых событий; формулы: полной вероятности, Бейеса (Байеса).

Одной из форм дифференцированного обучения по курсу теории вероятностей может являться факультативный курс.




2. Разработка программы факультативного курса по теории вероятностей в курсе математики 8 класса
2.1 Основные понятия о факультативном курсе
Возможность 1-2 часа в неделю дополнительно работать со школьниками, проявляющими повышенный интерес и способности к математике, представляет собой одно из проявлений новой формы обучения математике - дифференцированного обучения.

По существу факультативные занятия являются наиболее динамичной разновидностью дифференциации обучения.

Программа основного курса математики вместе с программой факультативных занятий по математике для средней школы составляют программу повышенного уровня по данному предмету для учащихся данного класса.

Программа факультативных занятий по математике составлена так, что все вопросы ее могут изучаться синхронно с изучением основного курса математики в школе. В тех случаях, когда в данном классе основной курс математики ведет один учитель, а факультативный - другой, изучение тем факультатива может проводиться независимо от основного курса программы (в этом случае изучение тем можно проводить с некоторым запозданием по отношению к основному курсу программы).

Для того чтобы факультативные занятия по математике были эффективными, необходимо их организовать там, где есть:

1) высококвалифицированные учителя или другие специалисты, способные вести занятия на высоком научно-методическом уровне;

2) не менее 15 учащихся, желающих изучать данный факультативный курс.

Если школа имеет классы с небольшой наполняемостью (что особенно характерно для некоторых сельских школ), то группы учащихся для факультативных занятий можно комплектовать по параллелям или из учащихся смежных классов (5-6 классы, 8-9 классы и т. п.).

Запись учащихся на факультативные занятия производится на добровольных началах в соответствии с их интересами. Не следует принуждать учащихся обязательно изучать факультативные предметы. Особенно внимательно следует относиться к тем учащимся, которые встречают трудности в изучении математики или совмещают обучение в школе с другими видами занятий (спорт, музыка и т. д.). По окончании факультативного курса учащиеся сдают зачет (с оценкой), о чем делается отметка в аттестате. Учитель математики несет полную ответственность за качество факультативных занятий; факультативные занятия вносятся в расписание и оплачиваются учителю.

Проведение факультативных занятий по математике не означает отказа от других форм внеклассной работы (математические кружки, вечера, олимпиады и т. д.). Они должны дополнять эти формы работы с учащимися, которые интересуются математикой.

Главной целью факультативных занятий по теории вероятностей является углубить и расширить знаний.

Задачи факультативных занятий:

·                    развитие интереса учащихся к предмету, их математических способностей;

·                    привитие школьникам интереса к самостоятельным занятиям математикой;

·                    воспитание и развитие их инициативы и творчества.

Требования к проведению факультативных занятий

1. Преемственность в содержании, методах и формах организации занятий по математике должна определяться целями обучения математики, всестороннего развития и воспитания учащихся.

2. Взаимосвязанное построение уроков и факультативных занятий по математики не должно противоречить дидактическим принципам в обучении математики.

3. Не должно быть противоречий с научно обоснованными психолого-педагогическими требованиями, такими как: изучение новых понятий на основе известных; опора при изучении математических абстракций на конкретные модели; использование практических возможностей приложения математики не только на развивающем этапе изучения данного вопроса, но и в качестве мотива, обосновывающего необходимость изучения этого раздела, вопроса.

4. Не должно быть несогласованности с нормами организации работы общеобразовательной школы. Например, нельзя часы, отведенные на факультативные занятия, использовать для внеклассной работы или дополнительных занятий по математике.

5. Главным критерием эффективности взаимосвязанного построения факультативных занятий по математике должна быть результативность неразрывно связанных друг с другом процессов обучения, развития и воспитания школьников.

6. Факультативных занятия по математике целесообразно проводить учитывая их функции – развивающую, воспитывающую и учебную.

В какой бы форме и какими бы методами не проводились факультативные занятия по математике, они должны строиться так, чтобы быть для учащихся интересными, увлекательными, а подчас и занимательными. Необходимо использовать естественную любознательность школьника для формирования устойчивого интереса к своему предмету. Известный французский физик Луи де Бройль писал, что современная наука - "дочь удивления и любопытства, которые всегда являются ее скрытыми движущими силами, обеспечивающими ее непрерывное развитие".

Основными формами проведения факультативных занятий по математике являются в настоящее время изложение узловых вопросов данного факультативного курса учителем (лекционным методом), семинары, собеседования (дискуссии), решение задач, рефераты учащихся (как по теоретическим вопросам, так и по решению цикла задач), математические сочинения, доклады учащихся и т. д.

Однако учителю не следует отдавать предпочтение какой-либо одной форме или методу изложения. Вместе с тем, памятуя о том, что на факультативных занятиях по математике самостоятельная работа учащихся должна занять ведущее положение, следует все же чаще применять решение задач, рефераты, доклады, семинары-дискуссии, чтение учебной и научно-популярной литературы и т. п.

Одной из возможных форм ведения факультативных занятий по математике является разделение каждого занятия на две части. Первая часть посвящается изучению нового материала и самостоятельной работе учащихся по заданиям теоретического и практического характера. По окончании этой части занятия учащимся предлагается домашнее задание по изучению теории и ее приложений. Вторая часть каждого занятия посвящена решению задач повышенной трудности и обсуждению решений особенно трудных или интересных задач. Эта форма проведения факультативных занятий может способствовать успешному переходу от форм и методов обучения в школе к формам и методам обучения в высших учебных заведениях.

Также при проведении факультативных занятий можно использовать методы изучения (а не обучения) математики, а также проблемную форму обучения.

В частности, ее можно осуществить, если представить изучаемый факультативный курс в виде серии последовательно расположенных задач. Решая последовательно все задачи самостоятельно или при незначительной помощи преподавателя, школьники постепенно изучают курс при большом личном участии, проявляя активность и самостоятельность, овладевая техникой математического мышления.

Теоремы имеют вид задач. Если теорема, которую учащиеся должны доказать, является большой или трудной, то она разбивается на несколько задач так, что решение предыдущей помогает решить последующую. Определения либо включаются преподавателем в текст задачи, либо сообщаются особо. В необходимых случаях преподаватель проводит предварительную беседу или делает обобщения.

Полезно также широко использовать задачи проблемного характера.

В настоящее время факультативные занятия по математике проводятся по двум основным направлениям:

а) изучение курсов по программе "Дополнительные главы и вопросы курса математики";

б) изучение специальных математических курсов.

Содержание программы "Дополнительные главы и вопросы" систематического курса математики позволяет решить и углубить изучение программного материала, ознакомить учащихся с некоторыми общими современными математическими идеями, раскрыть приложение математики в практике, готовит учителя к работе по новой программе.

На самих занятиях качество усвоения теории проверяется в процессе решения задач и примеров. Здесь совершенно недопустимы такие формы работы, которые сковывали бы инициативу учащихся. Занятие начинается с постановки упражнения для всех учащихся. За время, которое отводится на выполнение задачи или примера, учитель успевает проследить, кто и как справляется с заданием. Не следует торопить учащихся. Обычно, если не все, то некоторые из них выполняют задание в запланированное учителем время, а затем начинается разбор и теоретическое обоснование решений. Инициатива в оценке способов решения, в исправлении ошибок, в постановке вопросов представляется самим учащимся. В процессе этой работы достигается логическая точность в формулировках определений понятия или их свойств. В заключительном слове учитель дает мотивированную оценку знаний учащихся. Помимо указанной формы контроля знаний, целесообразно проводить кратковременные 15-20-минутные проверочные работы.

На занятиях полезно практиковать постановку докладов учащихся. При подготовке к докладам учащиеся используют различную дополнительную литературу, указанную учителем. Не следует увлекаться большим количеством докладов, в противном случае у учителя просто не хватит времени для хорошей подготовки докладчиков.

Начальное общее образование призвано помочь учителю реализовать способности каждого ученика и создать условия для индивидуального развития школьников.

Чем разнообразнее образовательная среда, тем легче раскрыть индивидуальность личности ученика, а затем направить и скорректировать развитие школьника с учетом выявленных интересов, опираясь на его природную активность.

Личностно-ориентированное обучение строится на принципе вариативности, т.е. признания разнообразия содержания и форм обучения, выбор которых осуществляется с учетом развития ребенка и его педагогической поддержки. Пытаясь создать условия для личностно ориентированного обучения, школа предоставляет учащимся право выбора предметов по интересам и склонностям.

Таким образом, для формирования и развития математических способностей у школьников и их интереса к математике будет актуальна такой способ обучения как факультативный курс.

Факультативные занятия школьники посещают по желанию, следовательно, педагогу необходимо создать условия, при которых способные ученики смогут реализовать свои возможности, а остальные учащиеся смогут решать посильные для них задачи или, пользуясь помощью учителя, более трудные задания.

Урок. Лабораторная работа «Вероятность равновозможных событий»

Цель:

·  обобщение и систематизирование знаний по теме «Вероятность равновозможных событий»

Оборудование: монета, жестяная крышка

Ход урока

1.      Работа по теме

Опыт

Какова вероятность того, что при подбрасывании крышка упадет дном вверх или вниз Для ответа на поставленный вопрос проведите 100 экспериментов, заполните таблицу результатов, посчи­айте частоту и оцените вероятность указанных событий:

Всего: 100. Сделайте вывод.

Опыт

Сыграйте вдвоем в следующую известную игру: один прячет монету в кулак, а другой угадывает, в каком из кулаков зажата монета. Проведите 50 экспериментов, когда монету прячет один из игроков, а 50 когда другой. Заполните таблицу, найдите частоту и оцените вероятность угадать, в каком кулаке спрятана монета.

Всего: 100

Сделайте вывод. Сравните результаты опытов.

Итог урока

Урок. Вероятность вокруг нас

Цели:

·                    показ вероятности вокруг нас в жизни;

·                    проверка понимания данной темы, используя задания.

Ход урока

Работа по теме

Для обсуждения вам предлагается несколько вероятностных проблем из тех, которые часто встречаются  нашей жизни. Многие из них вы пока не можете решить строго математически. Поэтому хотелось бы, чтобы при обсуждении предложенных ситуаций вы опирались не только на те знания, которые вы уже получили, но  на здравый смысл, жизненный опыт  интуицию.

Задание .Данила на карточке спортлото ( из 49) отметил номера Наташа на своей карточке отметила номера 12, 17, 23, 35, 49. Как вы думаете, выигрыш какого набора чисел более вероятен? Поясните свое мнение.

Задание. Олег уже три месяца участвует в еженедельной лотерее, но ни разу не выиграл. Однако он продолжает играть, утверждая:«Лотерея  случайная игра, иногда выигрываешь, иногда проигрываешь.И уже долго не выигрывал, поэтому  уверен, что обязательно выиграю в одном из следующих розыгрышей» Согласны ли вы с рассуждением Олега?

Задание . Андрей отметил на карточке спортлото ( из 49) номера  11, 15, 29, 38, 40 выиграл. Тогда он решил, что эта комбинация чисел счастливая и он будет отмечать ее во всех тиражах. Действительно ли он увеличит свои шансы на выигрыш? Поясните свой ответ.

Задание 35. Ребята провели опыты по подбрасыванию монеты. Из 100 раз «орел» выпал 46 раз,«решка» 54 раза. Ребята поспорили, что вероятней появится при следующем бросании: «орел» или «решка» вероятней появление «орла» сказал Егор, ведь до этого эксперимента он выпадал реже, чем «решка» значит, теперь должен выпадать чаще» вероятней появление «решки» сказал Лена, раз она выпадала чаще, то и будет выпадать чаще»«Как мы знаем, появление «орла» «решки» равновероятно, сказала Наташа, результат каждого следующего случайного эксперимента не зависит от результатов предыдущих». Скем бы вы согласились  почему?

Задание. За три последних года на реке было два наводнения, последнее из которых было в прошлом году. С каким вариантом ответа на вопрос «Когда будет следующее наводнение? Вы согласны и почему:

 в следующем году;

 через год;

 наводнений не будет несколько лет, так как за последнее время их уже было слишком много;

 не хватает данных, чтобы ответить на вопрос?

Задание. Во многих книгах встречается известный анекдот:

— Доктор, спрашивает пациент, пойдут ли у меня дела на поправку?

— Несомненно, отвечает врач. Статистика говорит, что один пациент из ста выздоравливает при этой болезни.

— Но почему же именно я должен выздороветь?

— Потому что вы как раз и есть мой сотый больной! Верно ли рассуждает доктор, каковы, по вашему мнению, шансы больного?

Задание . Женя купил булочку с изюмом, но изюма в ней не оказалось. Стоит ли Жене подавать в суд на хлебопекарный завод?

Домашняя работа

Придумать и записать две задачи на тему:«Вероятность вокруг нас»

Итог урока.

Урок. Решение задач, используя классическое определение вероятности

Цели:

·                    решение задач, используя классическое определение вероятностей;

·                    представить роль задач при усвоении знаний по теории вероятностей;

·                    показ доступности изучения элементов теории вероятностей.

Оборудование: карточки  незаконченными предложениями.

Ход урока

Работа по теме

Как вы уже знаете, вероятностью события называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию, числу всех равновозможных исходов опыта, в котором может появиться это событие. где число элементарных исходов, благоприятствующих событию

Это определение вероятности называют классическим. Оно возникло на начальном этапе развития теории вероятностей.

Задание 39. Все натуральные числа от 1 до 30 записаны на одинаковых карточках и помещены в урну. После тщательного перемешивания из урны извлекается одна карточка. Какова вероятность того, что число на взятой карточке окажется делящимся на 3

Задание 40. Какова вероятность того, что наудачу в выбранном двузначном числе цифры одинаковы?

Задание. Подбрасывается два игральных кубика, отмечается число очков на верхней грани каждого кубика. Найти вероятность того, что на обоих кубиках выпало одинаковое число очков.

Задание. В урне лежат 16 красных, 12 белых 8 синих шаров. Найти вероятность того, что:  вынут белый шар;  вынут красный шар;  вынут синий шар;  вынут цветной шар.

Итог урока

Урок 18. Решение задач, используя классическое определение вероятности

Цели:

·                    решение задач, используя классическое определение вероятностей;

·                    представить роль задач при усвоении знаний по теории вероятностей;

·                    показ доступности изучения элементов теории вероятностей.

Ход урока

Работа то теме

Задание. Пусть вы забыли одну цифру нужного вам номера телефона и набираете ее наудачу. Какова вероятность того, что вам придется сделать не более двух звонков?

Задание . Задача. В разделе ставки Подбрасывается монета. Первый игрок “набирает” гербы, а второй  решки. Тот, кто первым наберет три единицы, забирает ставку. Игра была прервана, когда у первого игрока имелось два герба, у второго одна решка. Ставка должна быть разделена пропорционально шансам на выигрыш. Как ее разделить?

Итог урока

Урок. Практикум по решению задач теории вероятностей

Цели:

·              показ практического владения знаниями по теории вероятностей;

·              закрепление умений решать задачи.

Ход урока

Работа по теме

Задание. Из восьми сотрудников в июле могут пойти в отпуск три человека. Сколькими способами это можно сделать?

Задание. В шахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причем каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий сыграно на турнире?

Задание. В группе 12 студентов, среди которых 5 отличников. По списку наудачу выбраны 8 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов 3 отличников.

Задание. Какова вероятность того, что наудачу выбранное целое число от 40 до 70 является кратным

Задание. В корзине 10 яблок, из которых четыре зеленых. Наудачу достали три яблока. Найти вероятность того, что хотя бы одно выбранных яблок зеленое.

Итог урока

На листках бумаги напишите что бы вы посоветовали учителю при изучении данного курса.

Урок. Практикум по составлению задач

Цели:

·                    показ уровня овладения материалом;

·                    применение знаний на практике.

Ход урока

Составление задач

Составьте  задач по теории вероятностей и решите их. Напишите отдельно условия задач на карточках (в конце урока они собираются учителем)

Домашняя работа

Повторить материал по всему курсу

Итог урока

Урок . Семинар по решению составленных задач

Цели:

·              показ практического владения знаниями по теории вероятностей;

·              закрепление умений решать задачи.

Оборудование: карточки  задачами.

Ход урока

Работа по теме

Раздаются карточки с задачами (карточку не должен получил автор) Дается 15 минут на решение задач, после чего производится проверка. Ученики выходят к доске и записывают их решения (можно несколько человек сразу) Остальные ученики проверяют задачи на места. За урок ставится две оценки: за составление задач и их решение.

Взаимопроверка

Домашняя работа

Подготовиться к контрольной работе

Итог урока

Урок. Контрольная работа по решению задач теории вероятностей

Цели:

·              систематизирование знаний, умений по данному факультативному курсу;

·              проверка степени усвоения материалом.

Ход урока

Работа по теме

У маленькой Вари две одинаковые пары варежек. Уходя на улицу, она наугад берет две варежки. Какова вероятность того, что они окажутся парными ( на разные руки)

Андрей выписывает по порядке возрастания все пятизначные числа, Сколько чисел он всего выпишет? Какое число будет первым? Какое последним? Какое число он запишет после 20122?  перед ним?

Найдите вероятность того, что снова получится то же самое слово, если перемешать и выложить в ряд буквы слова: МЫЛО; РАМА; МАМА.

Два стрелка сделали по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания для первого стрелка 10, для второго 15, Какова вероятность, что:

 оба промахнутся;

 оба попадут;

 хотя бы один попадет;

 хотя бы один промахнется.

В ящике детали две исправленные две бракованные. Из ящика наугад вынимают по одной детали, пока не извлекут все бракованные. Сколько деталей, вероятнее всего, будут при этом извлечены?

Итог урока

Ответы на задания

 ,  ,03;  ,998; 13.  ,42;  ,50;  ,05; 14.  ,43;  ,10;  ,90; 19. 20.  21. 22. 23. 24. красных   желтых   25. зеленого; 26.  11; 29. 30. 39. , 40. , 41. 42. ( (>(<( 43.    44.    45.     46. , 47. : 48.  25;  24;  49. 50. 51. 53. 54. красное;   55.  56.  12; 57. 58. 56; 59. 105; 60. 61. 62.

Ответы на домашние задания

Урок  Урок   ,   Урок   -  Урок 11.  Урок 12. Урок 17. Урок 18.     Урок 20.  252;  720;