ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЛУЖБА ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ РОССИИ

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ



Кафедра Прикладной математики
Курсовая работа

защищена с оценкой
________________________
профессор Монсик В.Б.
_________________________

(подпись руководителя, дата)
Курсовая работа по дисциплине

“Теория вероятностей и математическая статистика”
Вариант №39
Тема: Первичная статистическая обработка информации.

Статистическая проверка гипотез
Выполнил студент группы ПМ 2-2

Митюшин М.С.
______________________________

                                                                                                                  (дата, подпись)   
Москва - 2002

СОДЕРЖАНИЕ
Исходные данные                                                                                                                       3

Задание                                                                                                                                        3

Выполнение первого задания                                                                                                    4

Выполнение второго задания                                                                                                    8

Литература                                                                                                                                 13
 1. Исходные данные: исследуются трудозатраты на выполнение комплекса доработок на                                 объекте (в человеко-часах). Результаты независимых измерений трудозатрат на 100 объектах приведены в таблице 1.
Таблица 1

431	394	362	436	343	403	483	462	395	467
420	411	391	397	455	412	363	449	439	411
468	435	313	486	463	417	369	377	409	390
389	386	409	379	412	370	391	421	459	390
415	415	366	323	469	399	486	393	361	407
392	353	432	406	409	391	371	401	321	359
472	352	446	367	384	371	426	487	454	371
394	401	408	393	373	327	429	360	401	412
392	338	398	461	403	418	520	448	440	433
362	406	342	441	391	390	432	374	280	395

Путем статической обработки результатов измерений выполнить следующие пункты задания:
Задание 1. Первичная статистическая обработка информации.
1.      Построить вариационный статистический ряд.

2.      Определить размах колебаний вариант.

3.      Построить эмпирическую функцию распределения.

4.      Выбрать число и длины разрядов (интервалов) и построить сгруппированный статистический ряд.

5.      Построить статистический ряд распределения.

6.      Построить полигон частот.

7.      Построить гистограмму (эмпирическую плотность вероятности).
Задание 2. Статистическое оценивание параметров распределений. Статистическая проверка гипотез.



1.      Вычислить точечные и интервальные оценки математического ожидания и дисперсии (с.к.о.) по данным таблицы 1 при доверительной вероятности 0,95.

2.      Подобрать и построить на графике гистограммы сглаживающую кривую плотности вероятности, используя “метод моментов”.

3.      Проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона (“хи-квадрат”) при уровне значимости 0,10.

4.      Построить на графике эмпирической функции распределения сглаживающую кривую нормальной функции распределения, используя “метод моментов”.

5.      Проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Колмогорова (“ламбда-критерий”) при уровне значимости 0,10.

6.      Вычислить вероятность попадания случайной величины (трудозатраты на выполнение комплекса доработок на объекте) на интервал [МО - с.к.о.; МО + 2*с.к.о.].












2. Выполнение первого задания.



2.1. Для построения вариационного ряда необходимо результаты измерений трудозатрат расположить в порядке возрастания от  до  (по “ранжиру”). Этот ряд представлен в таблице 2.

Таблица 2

280	359	371	390	393	401	411	421	440	463
313	360	371	390	394	403	411	426	441	467
321	361	371	390	394	403	412	429	446	468
323	362	373	391	395	406	412	431	448	469
327	362	374	391	395	406	412	432	449	472
338	363	377	391	397	407	415	432	454	483
342	366	379	391	398	408	415	433	455	486
343	367	384	392	399	409	417	435	459	486
352	369	386	392	401	409	418	436	461	487
353	370	389	393	401	409	420	439	462	520

2.2. Размах колебаний вариант равен разности максимального и минимального значений трудозатрат:
= 520 – 280 = 240 (ч.час.)
2.3. Эмпирическая функция распределения F*(x) (рис.1) строится с использованием вариационного ряда на основании соотношения:
,
где  – число точек, лежащих левее точки х.
2.4. Для построения сгруппированного статистического ряда размах J колебаний значений х делится на число разрядов – m, которое оценивается по формуле:
m =  +1, где n – число измерений.
M =
 + 1 = 6
Сгруппированный статистический ряд приведен в таблице 3.
Таблица 3

Разряды {	[280..320]	(320..360]	(360..400]	(400..440]	(440..480]	(480..520]
Числа попаданий с.в. в разряды	2	10	36	33	14	5

Рис.1.
2.5. Статистический ряд распределения строится на базе сгруппированного ряда. Для этого вычисляются частоты попадания значений x в соответствующие разряды по формуле:

Статистический ряд распределения представлен в таблице 4.
Таблица 4

Разряды	[280..320]	(320..360]	(360..400]	(400..440]	(440..480]	(480..520]
Частоты	0.02	0.10	0.36	0.33	0.14	0.05

2.6. Графической иллюстрацией статистического ряда распределения является “полигон частот”, представленный на рис.2.
Рис.2.
2.7. Статистический ряд распределения является основой для вычисления и построения эмпирической плотности вероятности (рис.3). Гистограмма строится в виде прямоугольников, основания которых равны длинам разрядов, а высоты определяются из соотношения:


где  длина j-го разряда (j=1..
m).
Результаты расчетов по оценке эмпирической плотности вероятности   приведены в таблице 5, а гистограмма на рис.3.  (dx = 40)
Таблица 5

Разряды	[280..320]	(320..360]	(360..400]	(400..440]	(440..480]	(480..520]
Значения	0.050	0.250	0.900	0.825	0.350	0.125

Рис.3.

3. Выполнение второго задания.



3.1. Вычислим точечные и интервальные оценки математического ожидания (выборочного среднего значения) и дисперсии (выборочной исправленной дисперсии) по данным таблиц 1 и 2. сначала определим точечные оценки.



Интервальную оценку математического ожидания (доверительный интервал) при заданной доверительной вероятности (надежности)  и числе наблюдений (объеме выборки) n =100 определим по формуле:
,
где  - точность вычисления МО по результатам наблюдений при заданных значениях n и .  , где  определяется по таблицам Стьюдента:
==1,984

Интервальная оценка (доверительный интервал) для МО равна:

Этим отрезком с вероятностью 0,95 накрывается истинное (неизвестное) значение МО.

Интервальная оценка среднего квадратического отклонения (доверительный интервал) определяется по формуле:
,

где q определяется по таблице
q =
q(100;0,95)=0,143


Доверительный интервал для оценки с.к.о. равен
42,493(1-0,143)<  <42,493(1+0,143)
36,42<<48,57

Этим отрезком с вероятностью 0,95 накрывается истинное (неизвестное) значение с.к.о.
3.2. На основании изучения гистограммы (рис.3) выдвинем гипотезу  о нормальном распределении генеральной совокупности случайных величин X  - трудозатрат на доработки на объекте. Нулевую гипотезу подвергнем статистической проверке на противоречивость данным, полученным из опыта (табл.1) по критериям - Пирсона и - Колмогорова.

В соответствии с методом моментов положим параметры нормального распределения равным оценкам:

3.3. На графиках гистограммы и эмпирической функции распределения (рис.1,3) построим сглаживающие функции (теоретические кривые) плотности вероятности и функции распределения в соответствии с их выражениями:


Для построения сглаживающих кривых используем таблицы нормированной нормальной плотности вероятности

и нормированной нормальной функции распределения

Для входа в таблицы нормируем случайную величину Х по формуле:

Значения нормированных величин  на границах разрядов, численные значения сглаживающих кривых на границах разрядов приведены в таблице 6.
Таблица 6

Границы разрядов	280	320	360	400	440	480	520
	-2,92	-1,98	-1,04	-0,10	0,84	1,78	2,73
	0,0056	0,0562	0,2341	0,3970	0,2803	0,0818	0,0096
	0,013	0,132	0,55	0,93	0,66	0,19	0,023
	0	0,024	0,14917	0,4602	0,79955	0,96246	0,99683

3.4. Статистическую проверку гипотезы  о нормальном распределении случайной величины Х по выборке из 100 значений осуществим по двум различным критериям.
1) Критерий  - Пирсона.



Суммарная выборочная статистика - Пирсона рассчитывается по результатам наблюдений по формуле:
,
где  - числа попаданий значений х в j – й разряд (табл.3);

n – число наблюдений (объем выборки);

m – число разрядов;

 - вероятность попадания случайной величины Х в j – й интервал, вычисляемая по формуле:
,
где ,  - границы разрядов;

Ф(u) – функция Лапласа.
Результаты расчетов выборочной статистики  приведены в таблице 7.
Таблица 7

№		[280..320]	(320..360]	(360..400]	(400..440]	(440..480]	(480..520]
1		2	10	36	33	14	5
2		0,0221	0,1276	0,3087	0,3393	0,1602	0,0421
3		2,21	12,76	30,87	33,93	16,02	4,21
4	-	-0,21	-2,76	5,13	-0,93	-2,02	0,79
5		0,0441	7,6176	26,3169	0,8649	4,0804	0,6241
6	<5>:<3>	0,02	0,597	0,853	0,025	0,2547	0,1482
7

Проверяем гипотезу   о нормальном распределении генеральной совокупности значений Х:

1). По таблице - распределения по заданному уровню значимости =0,10 и числу степеней свободы k=
m-2-1=3 (m=6 – число разрядов, 2 – число параметров нормального распределения ) определим критическое значение , удовлетворяющее условию:
.
В нашем случае

2). Сравнивая выборочную статистику , вычисленную по результатам наблюдений, с критическим значением , получаем:
,

<- согласуется с данными опыта (принимается).
Вывод: статистическая проверка по критерию - Пирсона нулевой гипотезы о нормальном распределении значений х генеральной совокупности, выдвинутой на основании выборочных данных, не противоречит опытным данным.
2). Критерий - Колмогорова.
Выборочная статистика - Колмогорова рассчитывается по формуле:

где  
модуль максимальной разности между эмпирической  и сглаживающей функциями распределения.

При заданном уровне значимости =0,10 критическое значение распределения Колмогорова  Полученной на основании выражения:

функции распределения статистики - Колмогорова.
Для проверки нулевой гипотезы проведем следующую процедуру:

1). Найдем максимальное значение модуля разности между эмпирической  и сглаживающей F(
x) функциями распределения:
=0,063.
2). Вычислим значение выборочной статистики  по формуле:
=0,063=0,63.
3). Сравнивая выборочную статистику  и критическое значение  получаем:
=0,63<1,224=.
Следовательно, гипотеза  о нормальном распределении случайной величины Х согласуется с опытными данными.
3.5. Вероятность попадания значений случайной величины Х на интервал [МО - с.к.о.; МО + 2*с.к.о.] вычислим по формуле:
P=(X[404,180-42,493;404,180+2*42,493])=P(X[361,7;489,17])=

==Ф(2)+ Ф (1)=

=0,477+0,341=0,818.
ЛИТЕРАТУРА
Монсик В.Б. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: Пособие к выполнению курсовой работы. – М.: МГТУ ГА, 2002. – 24 с..