Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана                       
Курсовая работа по курсу “Нелинейные САУ”

на

тему:

   Применение метода частотных круговых диаграмм к исследованию устойчивости систем с логическими алгоритмами управления.

      Выполнил: ст-т гр. АК4-81

                           Смык В.Л.

Руководитель: профессор

                            Хабаров В.С.
         Реутов 1997 г.
Применение метода частотных круговых диаграмм к исследованию устойчивости систем с логическими алгоритмами управления.
  На ранней стадии развития теории автоматического регулирования требование устойчивости работы системы было первым и обычно единственным и содержание большинства теоретических исследований сводилось к иследованию устойчивости.

  “Термин “устойчивость” настолько выразителен, что он сам за себя говорит”,-отмечают в начале изложения теории устойчивости Ж. Ла Салль и С. Лефшец [1]. Это вполне справедливо, но, несмотря на это, неточности и нелогичности можно встретить как раз не в математических, а в смысловых понятиях и терминах.

  Устойчивостью любого явления в обиходе называю его способность достаточно длительно и с достаточной точностью сохронять те формы своего существования, при утрате которых явление перестает быть самим сабой. Однако не только в обиходе, но и в научной терминалогии устойчивым называют не явление, а систему, в корой оно наблюдается, хотя это не оправдывает логически. Устойчивы ли физические тела - шар или куб? Такой вопрос будет иметь смысл, если речь идет о материале, из которого они сделаны. (Металлический шар

устойчив, шар из дыма нет.) Теорию управления интересует, однако, не эта прочнасная устойчивость. Подразумевается, что система управления как инженерная конструкция заведома устойчива, и в теории изучается устойчивость не самой системы, а ее состояний и функционирования. В одной и той же системе одни состояния или движения могут быть устойчивыми, а другие не устойчивыми. Более того, одно и то же жвижение может быть устойчивым относительно одной переменной и неустойцивым относительно другой - это отмечал еще А.М. Ляпунов [2]. Вращение ротора турбины устойчиво по отношению к угловой скорости и неустойчиво относительно угла поворота вала. Движение ракеты устойчиво относительно траектории и неустойчиво по отношению к неподвижной системе координат. Поэтому нужно оговаривать, устойчивость какого состояния или движения в системе и относительно каких переменных изучается. Так же есть много методов для оценки самой устойчивости. Мы рассмотрим как можно оценить устойчивость системы с логическим алгоритмом управления методом круговых диаграмм.
  Рассмотрим теоретическую часть и посмотрим что из себя представляет круговой критерий. Пусть дана система

                   . 

                   x=Ax+bx
,  
s
=c’x,             (1)
 где x и s - в общем случае векторы (и, следовательно, b и с - прямоугольные матрицы), а матрица А не имеет собственных значений на линейной оси. Предположим , что для некоторого m, £ m £

система (1), дополненая соотношением x=-ms, асимптотически усойчива.

   Для абсолютной экпоненциальной устойчивости системы (1) в классе М() нелинейностей x=j(s,t), удовлетворяющих условию
       £

j
(
s
,
t)/
s

£
                    (2)

достаточно, чтобы при всех w, -¥<w<+¥, выполнялось соотношение
    

        Re{[1+w
)
]
[
1
+
W(j
w
)]}>0.      (3)
  Круговой критерий вытекает из квадратичного критерия для формы F(x,s)=(s-x)(x-s). Действительно, как было показано выше, форма F(jw,x) имеет вид

   F(jw,x)=-Re{[1+W(jw)][1+W(jw)]}|x|   

  Из этой формулы после сокращения на |x| следует (3).

  В (3) ¹-¥ ,  ¹+¥. Случай, когда либо  =-¥, либо  =+¥ рассматривается аналогично.

  Круговой критерий представляет собой распространение линейных частотных критериев устойчивости Найквиста, Михайлова и других на линейные системы с одним линейным или нелинейным, стационарным или нестационарным блоком. Он получается из (3), если вместо передаточной матрицы использовать частотную характеристику линейной части W(jw).

  Обозначая комплексную переменную W(jw)=z, рассмотрим систему с одной нелинейностью, удовлетворяющей одному из следующих условий:

   Re[(1+z)
(
1
+
z)]
£
0, если  ¹-¥ ,  ¹+¥.    (4)

   Re[(1+z)z]£
0, если  ¹-¥ ,  ¹+¥.          (5)

   Re[z(1+z)]£
0, если  ¹-¥ ,  ¹+¥.          (6)
  Пусть С() - облость комплексной плоскости z, определяемая этими условиями. Граница В() области определяемая уравнениями получаемыми из (4)-(6) заменой знаков неравенств равенствами. Для (4) получаем окружность, проходящую через точки -1/, -1/ сцентром на оси абсцисс, причем область С будет внутренностью этой окружности, если >0, т.е. если нелинейные характеристики лежат в 1 и 3 квадрантах, и ее внешностью, если сектор () захватывает два смежных квадранта. Если одна из границ сектора совпадает с осью абсцисс, т.е. если =0 или =0 , то область С будет полуплоскостью, а ее граница - вертикальной прямой, проходящей соответственно через -1/ или -1/. На рисунке 1 показаны границы в плоскости z для различного расположения секторов () в плоскости s, x. Там же изображены кривые W(jw), w>0 для неособого случая, расположенные так, что возможна абсолютная устойчивость. Однако только приемлимого расположения хаоактеристик W(jw) еще недостаточно для суждения об абсолютной устойчивости : кроме этого, нужно еще потребовать, чтобы линейная замкнутоя система была асимптотически устойчивой.

  Круговой критерий обеспечивает также абсолютную устойчивость для системы с любым блоком, вход s и выход x которого удовлетворяют для всех t неравенству

     (s-x)(x-s)³0                            (7)  


                   Рисунок 1, а.
Рассмотрим систему, приведенную на рис. 2.
 

           А          Х    Y    У  (P)         Z

              (-)          

                        G(p)      g






                          Рисунок 2.

  Здесь W(p) - оператор линейной части системы, которая может иметь в общем случае следущий вид:




            W(p)=;                

                                               (8)

         W(p)=;
  Алгоритм регулятора имеет вид:

              y=Yx,

                               

              при gx>0          

      Y=                                     (9)

             - при gx<0,

        g=(

   В форме уравнений Коши рассматриваемая система имеет вид:

                               

         =,             

         =-,                  (10)

                                

  

                    k при g>0

       где    =

                   - k при g<0,        

             

          g=c+; =.

  Соответствие записей системы на рис. 2 достигается, когда при

W(p)= в уравнениях (10) имеем:

                          (11)  
а при W(p)=     имеем:

                         (12)

Причем для обоих случаев (11) и (12) имеет место соотношение

                                             (13)     

В соответствии с изложенным одинаково справедливо рассматривать в виде структурной схемы на рис. 2 с известным линейными операторами -  и G(p) или в виде формы Коши (10).

   Дополнительно отметим, что структурная интерпритация рассматриваемой системы на рис. 2 имеет еще одну структурную схему описания, приведенную на рис. 3.

                           |x|=c




 l                          g              y                z

 (-)    x         G(p)                           W(p)



                        Рисунок 3.

 
Это означает, что аналитической записи (10) соответствуют два структурных представления исследуемой СПС, причем второе позволяет рассматривать систему (10) как релейную систему с изменяемым ограничение, когда |x| - var.
   Далее перейдем к анализу нашего метода.

Согласно частотной теоремы (10), для абсолютной устойчивости системы на рис. 3 лостаточно, чтобы при всех w, изменяющихся от    - ¥ до + ¥, выполнялось соотношение:

            Re{[1+
w
)
]
[
1
+
W(j
w
)]}>0,

а гадографm
W(j
w
)+1 при  соответствовал критерию Найквиста.

  Для исследуемой системы условие (3) удобнее записать в виде

(4) и (5).

  На рис. 4 приведенны возможные нелинейные характеристики из класса М() и годографы W(jw
), расположенные таким образом, что согласно (4) и (5) возможна абсолютная устойчивость.

           y ^




                 y=g   ()   




                   |x|        y=g (при =0)           

                               >

                                                           0 
                                                              
            “а”                                         “б”




                                                           
            “в”                                         “г”

        

                     Рисунок 4.

 В рассматриваемом случае (10) при
               W(p)=, когда

         W(p)= W(p)G(p), G(p)=p+1,

 годограф W(jw
) системы на рис. 5.

                            j                         

                                      W(jw
)
        

                                    w=¥




                   >          <
                                      =

                        w=0

                                
                       Рисунок 5.
 В случае (10) справедливы графические формы на рис. 4 в,г, т.е. исследуемая система абсолютно устойчива в смысле кругового критерия (3) или (5) при

                    >                       (14)

 Интересно заметить, что достаточные условия абсолютной устойчивости по Ляпунову

         а > 0 , y
(t) > 0

                 и

                 a > c

для рассматриваемого случая совпадают с достаточными условиями абсолютной устойчивости, полученными для кругового критерия (14), если выполняется требование

                 y
(t) > 0                       (15)

поскольку, согласно (11) и (13)  a=a=.

    Докажем это, используя условия существования скользящего режима

       -k£y(t)=ck

т.е. подставим сюда вместо коэфициентов а,с, и k их выражения через

, , , тогда получим
       -£y(t)= £             (16)

Согласно рис. 5 и условия (16) получаем:

1) при  = , y(t)=0

2) при  > , y(t)>0

3) при  < , y(t)<0,

   что и требовалось доказать.

Теперь рассмотрим нашу систему с логическим алгоритмом управления, ее логическая схема приведена на рис. 6.
                             |x|=c




 l                      g            s                            z

 (-)    x         G(p)                    (p)        




                                                                                  



                        Рисунок 6.
В данном случае считаем что:

   - варьируемая величина,

=0.5,

=0.1 (анализ поведения системы при изменении данного параметра исследуется в работе ст-та Новикова, мы берем оптимальное значение),

=0.1,1 (коэффициент обратной связи),

=10,100.

 Рассмотрим теперь саму функцию:
             W(p)=G(p)W(p),

где G(p) - функция корректора, W(p)= (p)W(p), где

         

(p)=, а W(p) в свою очередь будет:
          W(p)=,

  где , соответственно вся функция имеет вид:
      W(p)=;

 Теперь заменяем p на jw и имеем вид:
      ;
Для построения гадогрофа выведем формулы для P(w), jQ(w) которые имеют вид:
 P(w)=;
 jQ(;

 Графики можно посмотреть в приложении N 2.

 Учитывая , что добротность x должна быть ³ 0.5¸0.7 мы можем определить добротность нашей системы, она примерно равна 0.5. Отсюдо видно, что из-за увеличения  и ,  x уменьшается, можно сделать вывод, что колебательность звена увеличиться. Это можно наблюдать на графиках 1.13 - 1.16 в приложении N 2.

Но это не подходит по требованию нашей задачи.  Так как > , то можно сделать вывод, что коректор будет влиять только на высоких частотах, а на низких будет преобладать , что можно наблюдать на графиках 1.1 - 1.4. На графиках 1.5 - 1.8 можно наблюдать минемальные значения , это значит что, при этих значениях будет максимальные значения полки нечувствительности релейного элемента.

   Минемальные значения полки нечуствительности можно наблюдать на графиках 1.9 - 1.12, особенно при минемальном значении  .
                   Приложение N 1.

   Программа для построения годографов на языке программирования

                         СИ ++.
#include <graphics.h>

#include <iostream.h>

#include <conio.h>

#include <dos.h>

#include <stdlib.h>

#include <stdio.h>

#include <math.h>

#include <string.h>
void Godograf(float Tpr, float Ko, float Kos, int Color,

                                   int Xc, int Yc, int x, int y, int z, int err);

void Osi(int Xc, int Yc, int kol);

int   xmax, ymax;

float Kos[]={0.1,1.0},

                        Ko[] ={10.0,100.0},

                        Tpr[]={0.01,0.09,0.2,0.5};
void main(void)

{

            float P_w, Q_w, w;

            int  driver, mode, err;

            driver = DETECT;

            initgraph(&driver,&mode,"");

            err = graphresult();

            if (err!=grOk) {cout<<"\n\t"<<grapherrormsg(err);

                                   getch();}

            else {

            xmax = getmaxx();

            ymax = getmaxy();

            int Xc=(int)(xmax/2), Yc=(int)(ymax/2);

            for(int i=0;i<=1;i++) for(int j=0;j<=1;j++) for(int k=0;k<=3;k++){

            cleardevice();

            setviewport(0,0,xmax,ymax,0);

            Osi((int)(xmax/2),(int)(ymax/2),i+j+k);

            Godograf(Tpr[k],Ko[j],Kos[i],15,(int)(xmax/2),(int)(ymax/2),k,j,i,1);

            setcolor(7);

            setlinestyle(1,0,1);

            rectangle(Xc-18,Yc-15,Xc+18,Yc+15);

            setlinestyle(0,0,1);

            rectangle(10,Yc+5,250,Yc+205);

            setcolor(15);

            setviewport(10,(int)(ymax/2)+5,250,(int)(ymax/2)+205,1);

            setfillstyle(1,0);

            floodfill(5,5,7);

            line(10,100,230,100);

            line(125,10,125,190);

            Godograf(Tpr[k],Ko[j],Kos[i],15,125,100,k,j,i,0);};

            closegraph();

            }

}
void Godograf(float Tpr, float Ko, float Kos, int Color,

                                   int Xc, int Yc, int x, int y, int z, int err)

{

            float P_w1=0.0, Q_w1=0.0,

             P_w, Q_w,

             To=0.5, Tg=0.1, P_w_min=0.0;

            for(float w=0;w<=100;w=w+0.05){

            if(((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+

                         (w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w))!=0){

                        P_w = (Ko*w*Tg*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)+

                         (Kos*Ko*Ko-(To+Tpr)*Ko*w*w))/

                         ((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+

                         (w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w));

                        Q_w = (Tg*(Kos*Ko*Ko*w-(To+Tpr)*Ko*w*w)-

                         Ko*(w+Tpr*Kos*Ko*Ko*w-Ko*To*Tpr*w*w*w))/

                         ((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+

                         (w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w));

                        if (abs(P_w)>abs(P_w1)) P_w1=P_w;

                        if (abs(Q_w)>abs(Q_w1)) Q_w1=Q_w;

                        if (P_w<P_w_min) P_w_min = P_w;

                        if (P_w1==0) P_w1=P_w1+0.01;

                        if (Q_w1==0) Q_w1=Q_w1+0.01;

                                                                                                                       };

                                                };

            float KmasX =(float)(xmax-Xc-100)/P_w1,

             KmasY =(float)(ymax-Yc-100)/Q_w1;

            if (KmasX<0) KmasX=-KmasX; if (KmasY<0) KmasY=-KmasY;

            if (KmasX>=220) KmasX=150;

            if (KmasY>=140) KmasY=100;

            if (err==0) {KmasX=KmasX*4; KmasY=KmasY*4;};

            w = 0;

            if(((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+

                         (w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w))!=0){

                        P_w =  KmasX*(Ko*w*Tg*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)+

                         (Kos*Ko*Ko-(To+Tpr)*Ko*w*w))/

                         ((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+

                         (w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w));

                        Q_w =  KmasY*(Tg*(Kos*Ko*Ko*w-(To+Tpr)*Ko*w*w)-

                         Ko*(w+Tpr*Kos*Ko*Ko*w-Ko*To*Tpr*w*w*w))/

                         ((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+

                         (w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w));

                        moveto(Xc+P_w,Yc-Q_w);  };

            setcolor(Color);

            setcolor(9);

            line(Xc+P_w_min*KmasX,10,Xc+P_w_min*KmasX,ymax-10);

            gotoxy(2,5);

            printf("K2=");

            printf("%f",(-1/P_w_min));

            setcolor(15);

            for(w=0;w<=700;w=w+0.05){

            if(((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+

                         (w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w))!=0){

                        P_w =  KmasX*(Ko*w*Tg*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)+

                         (Kos*Ko*Ko-(To+Tpr)*Ko*w*w))/

                         ((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+

                         (w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w));

                        Q_w =  KmasY*(Tg*(Kos*Ko*Ko*w-(To+Tpr)*Ko*w*w)-

                         Ko*(w+Tpr*Kos*Ko*Ko*w-Ko*To*Tpr*w*w*w))/

                         ((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+

                         (w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w));

                        lineto(Xc+P_w,Yc-Q_w);

                                                                                                                       };

                                                 };

            setcolor(13);

            circle(Xc-KmasX,Yc,2);

            circle(Xc-KmasX,Yc,1);

            putpixel(Xc-KmasX,Yc,13);

            outtextxy(Xc-KmasX-7,Yc-12,"-1");

            setcolor(15);

            if (err==1){

              if (x==0) outtextxy(10,10,"Tpr = 0.01");

              if (x==1) outtextxy(10,10,"Tpr = 0.09");

              if (x==2) outtextxy(10,10,"Tpr = 0.2");

              if (x==3) outtextxy(10,10,"Tpr = 0.5");

              if (y==0) outtextxy(10,30,"Ko = 10");

              if (y==1) outtextxy(10,30,"Ko = 100");

              if (z==0) outtextxy(10,50,"Koc = 0.1");

              if (z==1) outtextxy(10,50,"Koc = 1.0");}

             else {

            char ch=' ';

            while(ch!=27&&ch!=13)

                        if (kbhit()!=0) ch=getch();};

};
void Osi(int Xc, int Yc, int kol)

{

            setcolor(15);

            rectangle(0,0,xmax,ymax);

            line(Xc,10,Xc,ymax-10);

            line(10,Yc,xmax-10,Yc);

            line((int)(xmax/2)-3,15,(int)(xmax/2),10);

            line((int)(xmax/2),10,(int)(xmax/2)+3,15);

            line(xmax-15,(int)(ymax/2)-3,xmax-10,(int)(ymax/2));

            line(xmax-15,(int)(ymax/2)+3,xmax-10,(int)(ymax/2));

            settextstyle(2,0,5);

            outtextxy((int)(xmax/2)+7,10,"jQ(w)");

            outtextxy(xmax-35,(int)(ymax/2)+7,"P(w)");

            settextstyle(2,0,4);

            outtextxy((int)(xmax/2)-8,(int)(ymax/2)+1,"0");

            settextstyle(0,0,0);

            if (kol==5) outtextxy(5,ymax-15,"'Esc' - exit");

            else outtextxy(5,ymax-15,"'Enter' - next ");

            setcolor(15);

};
                   Приложение N 2.



                    Рисунок N 1.1      

                 Рисунок N 1.2



                    Рисунок 1.3



                      Рисунок 1.4



                      Рисунок 1.5



                 Рисунок 1.6



                    Рисунок 1.7



              Рисунок 1.8



                Рисунок 1.9



               Рисунок 1.10



                  Рисунок 1.11



               Рисунок 1.12



               Рисунок 1.13



              Рисунок 1.14



            Вставка 1.15



          Рисунок 1.16
       Литература:

1. Емильянов С.В., Системы автоматического управления с переменной структурой. - М.: Наука, 1967.

2. Воронов А.А.,Устойчивость управляемость наблюдаемость, Москва “Наука”, 1979.

3. Хабаров В.С. Сранительная оценка методов исследования абсолютной устойчивости СПС: Научн.-исслед. работа.

4. Хабаров В.С. Нелинейные САУ: Курс лекций/ Записал В.Л.Смык,-1997.
      
              Список постраничных ссылок:
 

1. Ла Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова.-М.: Мир, 1964.-168 с.

2. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. - Собр. соч.- М.: Изд-во АН СССР, 1956, т. 2, с. 7-271.