Курсовая Статистический анализ и оптимизация САР. Привод сопла ракеты носителя
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-25Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
от 25%
договор
Московский Государственный Авиационный Институт
(Технический университет)
Кафедра 704
Информационно-управляющие комплексы
Курсовая работа
Тема
: “Статистический анализ САР”
Выполнил: ст. гр. 07-403
Корнилов Д.М.
Руководитель
: Кудряшов С. В.
Москва 1998г.
1. Задание
Привод гибкого сопла ракеты-носителя:
|
Данные
:
Параметры воздействий на входах системы заданы в виде корреляционных функций:
где:
|
|
Усилительное звено
:
Kp=13 1/c
Параметры первой нелинейности
:
S=0.5;
K1=2.5
K2=1.9
Параметры второй нелинейности
:
S=27 °/c
Параметры третьей нелинейности
:
S=3 °
1. Промоделировать состояние системы в нелинейном виде.
2. Линеаризовать нелинейные элементы и промоделировать состояние системы в линеаризованном виде.
3. Построить эволюцию матрицы ковариаций
Содержание
1. Задание.............................................................................................................................................................
2. Теоретическая часть............................................................................................................................
2.1 Случайные процессы и их математическое описание............................................
2.2 Прохождение стационарного процесса через линейную динамическую систему
2.3 Формирующий фильтр......................................................................................................................
2.4 Априорный статистический анализ......................................................................................
2.5 Статистическая линеаризация................................................................................................
3. Реализация....................................................................................................................................................
3.1 Система дифференциальных уравнений............................................................................
3.2 Расчет системы в нелинейной форме....................................................................................
3.3 Расчет линеаризованной системы.........................................................................................
4. Заключение..................................................................................................................................................
5. Список литературы................................................................................................................................
2. Теоретическая часть
1 Случайные процессы и их математическое описание
Пусть t принадлежит T (допустимому множеству). Если t пробегает непрерывные значения на множестве T, то x(t) принято называть случайным процессом.
При каждом фиксированном t=t* возникает случайная величина x(t*) которую принято называть значением случайного процесса.
Случайный процесс характеризуется совокупностью плотностей распределения вероятностей с возрастающей размерностью k=1,2,...,n. Действительно величина
равна вероятности того, что
Поэтому чем больше n, тем более полной информацией о поведении x(t) в интересующем нас интервале времени мы располагаем. Практически ограничиваются рассмотрением только одномерных и двумерных плотностей распределения либо иных характеристик случайных процессов (главным образом моментов первого и второго порядков), которые определяются данными плотностями.
Примером случайного процесса, полностью характеризуемого одномерной и двумерной плотностями, является марковский случайный процесс. Зависимость между значениям x(ti) является простейшей, так как распространяется лишь на соседние значения x(ti-1) и x(ti). Наличие подобной зависимости приводит к тому, что вероятность нахождения x(ti) в интервале [xi, xi+dxi] в момент времени t=ti является условной и зависит от значения случайного процесса в предыдущий момент времени ti-1.Зависимость x(ti) от более ранних моментов времени t1, t2,
ti-2, (т. е. от более глубокой предыстории процесса) отсутствует. Это означает, что для марковского процесса условная (или переходная) плотность:
Отсюда:
Таким образом, начальная безусловная одномерная плотность и совокупность условных (переходных) плотностей полностью описывают марковский случайный процесс.
Абсолютно случайным процессом принято называть такой процесс, любые два значения которого суть независимые случайные величины. В этом случае плотность вероятности имеет следующий вид:
Случайный процесс называется стационарным, если все его плотности вероятностей не зависят от выбора начала отсчета времени, т. е. инвариантны к временному сдвигу t:
Из этого следует, что одномерная плотность распределения стационарного процесса вообще не зависит от времени.
Гауссовский процесс -это такой случайный процесс сколь угодно мерная плотность вероятности которого гауссовская.
n-размерность вектора X,
Kx-матрица ковариации
mx-математическое ожилание.
Гауссовский случайный процесс является стационарным и марковским.
К наиболее важным моментным характеристикам стационарного случайного процесса относятся математическое ожидание, дисперсия, корреляционная функция.
Математическое ожидание
характеризует среднее течение процесса x(t) по времени.
Дисперсия случайного процесса
Корреляционная функция
где , ;эта функция представляет собой среднее произведение центрированных значений случайного процесса в моменты времени t и t+t. Корреляционная функция характеризует степень линейной связи (корреляции) между значениями процесса, отстоящими друг от друга на время t. При t=0, корреляционная функция равна дисперсии.
Понятие корреляционной функции может быть использовано и для характеристики степени связи двух случайных процессов x(t) и y(t). В этом случае она называется взаимной корреляционной функцией:
В теории автоматического управления широко используются описания случайных процессов в частотной области или, по иному, спектральное представление случайных процессов.
Рассмотрим преобразование Фурье от корреляционной функции:
Полученная функция есть четная вещественная функция называемая спектральной плотностью стационарного случайного процесса.
Справедливо обратное:
Для стационарного случайного процесса n(t) (с нулевым математическим ожиданием) типа белого шума, корреляционная функция имеет вид:
где d(t)-дельта-функция Дирака, а N -интенсивность шума.
Спектральная плотность этого процесса будет:
что может быть принято в качестве определения белого шума. Выражение означает, что мощность парциальных составляющих случайного процесса n(t) для любых частот одна и та же. Поэтому белый шум является наиболее интенсивным видом помехи.
2 Прохождение стационарного процесса через линейную динамическую систему
Рассмотрим линейную динамическую систему с постоянными коэффициентами. На ее вход поступает стационарный случайный процесс x(t), на выходе имеет место процесс y(t). Теоретически выходной случайный процесс y(t) является стационарным только после затухания свободных колебаний в системе, то есть при
t®¥. Однако, в инженерных приложениях мы будем считать, что переходный процесс в системе заканчивается за время, определяемое в соответствие с правилами теории управления.
Иными словами мы будем считать процесс y(t) стационарным по истечении времени затухания.
Спектральная плотность выходного процесса имеет вид:
Дисперсия выходного процесса:
Корреляционная функция выходного процесса:
3 Формирующий фильтр
Как было показано выше белый шум имеет постоянную спектральную плотность во всем диапазоне частот.
Спектральная плотность всех физически существующих стационарных случайных процессов представляют собой дробно-рациональную функцию частоты:
Причем степень полинома в знаменателе выше степени полинома в числителе. Такие функции допускают факторизацию:
,
где квадрат модуля амплитудной характеристики некоей фиктивной минимально-фазовой динамической системы, которую в дальнейшем мы будем называть формирующем фильтром соответствующим спектральной плотности некоего случайного процесса.
4 Априорный статистический анализ
Под априорным статистическим анализом (или анализом точности) понимается определение статистических характеристик (математических ожиданий, дисперсий, спектральных плотностей, распределение вероятностей и т. п.) координат управляемого динамического объекта по известному его дифференциальному уравнению движения и статистическим характеристикам случайных факторов.
Пусть линеаризованные уравнения возмущенного движения управляемого объекта имеют вид:
|
где x(t)-вектор состояния (фазовый вектор), размерности nx1,
A(t)-матрица коэффициентов, размерности nxn.
B(t)- матрица коэффициентов ,белых шумов, размерности nxm.
n-вектор белых шумов, размерности mx1.
Тогда дифференциальные уравнения для вектора математических ожиданий и матрицы ковариаций имеют следующий вид:
|
|
Размерность матрицы ковариации nxn.
N-диагональная матрица интенсивностей белых шумов.
Дифференциальные уравнения (1)-(3) решаются одним из численных методов интегрирования. Таким образом, мы определяем вектор состояния и статистические характеристики системы в любой момент времени. Перед началом интегрирования, должны быть известны априорные значения вектора состояния, вектора математических ожиданий и матрицы ковариаций в начальный момент времени.
5 Статистическая линеаризация
Легко видеть, что для решения уравнений из пункта 2.4 необходимы линейные системы уравнений. Однако на практике системы управления могут содержать (и чаще всего содержат) нелинейные элементы, и уравнение для вектора состояний принимает вид:
|
В этом случае применяется метод статистической линеаризации, когда нелинейный элемент заменяется линейным в некотором смысле эквивалентным.
Пусть нелинейный элемент имеет следующий вид:
Введем
|
линейный элемент следующего вида:
|
,
|
Необходимо чтобы величина на выходе линейного элемента была эквивалентна, в некотором смысле, величине на выходе нелинейного элемента.
Существуют два подхода:
1. Критерий вида:
M{z}=M{h}
D{z}=D{h}
|
|
2. Второй способ заключается в выполнении критерия вида:
M{z}=M{h}
D{h-z}®min
Коэффициент b вычисляется по формуле
|
3. Реализация
Для решения поставленной задачи было написано программное обеспечение с помощью среды Microsoft Visual C++ 4.0 для матричных операций, численных методов интегрирования. Основная задача решается в двух программах, для расчета нелинейной системы и линеаризованной.
1 Система дифференциальных уравнений
Для того чтобы ввести в систему случайные возмущения с требуемыми корреляционными функциями воспользуемся понятием формирующего фильтра, динамического звена на вход которого поступает белый шум, а на выходе процесс с требуемыми параметрами.
Итак, спектральная плотность требуемого процесса имеет вид:
|
Согласно формуле передаточная функция формирующего фильтра имеет вид:
|
После несложных преобрахований получаем дифференциальные уравнения для формирующих фильтров двух входов.
Третьей фазовой координатой будет x, значение на входе в третью нелинейность. Его уравнение имеет вид:
|
Эти уравнения и составят систему дифференциальных уравнений:
|
2 Расчет системы в нелинейной форме
Для расчета данной системы в нелинейном виде была разработана соответствующая программа которая интегрировала систему уравнения методом Рунге-Кутта четвертого порядка.
Для решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта необходимо знать начальные условия, то есть значения вектора состояний в нулевой момент времени, в данном случае они нулевые.
После осуществления интегрирования результаты были записаны в файл, и затем построены. Графики имеют следующий вид:
Рисунок 1.
3 Расчет линеаризованной системы
Для расчета системы в линеаризованным виде по формулам, необходимо линеаризовать систему дифференциальных уравнений, т. е. заменить три нелинейных элемента линейными как это показано в 2.5. Для того чтобы получить коэффициенты статистической линеаризации нам необходимо знать параметры случайного процесса на входе в нелинейность (математическое ожидание и дисперсию). Параметр входа в третью нелинейность имеется в векторе состояний. Поэтому его дисперсия присутствует в матрице ковариации. Для нахождения дисперсий на входе в первую и вторую нелинейности произведем следующие действия. Преобразуем систему таким образом чтобы входом системы оставался один из входов в нашу систему, а выходом вход в нелинейность (два входа рассматриваются отдельно, а затем их дисперсии складываются).
Итак, посчитаем дисперсии от воздействий a и h, на входах первой и второй нелинейности:
Назовем сигнал на входе в первую нелинейность х, во вторую y тогда уравнение связывающие x и a будут иметь вид:
Здесь коэффициенты статистической линеаризации соответственно первой и второй нелинейностей, далее:
Следовательно передаточная функция будет иметь вид:
Спектральная плотность случайного процесса на входе a имеет вид:
Тогда дисперсия на входе первой нелинейности будет иметь вид:
В теории известно, что интегралы вида:
где:
В аналитической форме имеют вид:
, где
Рассмотрим отдельно знаменатель нашего интеграла, приведенный к виду:
Тогда:
Отсюда следует:
Откуда:
Рассуждая аналогичным образом получим остальные дисперсии:
Отсюда следует, что дисперсия на входе в первую нелинейность имеет вид:
На входе второй нелинейности:
Далее необходимо получить выражения для самих коэффициентов статистической линеаризации, воспользовавшись выведенными раньше соотношениями. Легко видеть, что все интегралы в этих формулах будут иметь один из трех, ниже перечисленных, видов:
Эти интегралы, считаются в численном виде и получаются с помощью функции ошибок и гауссовской плотности вероятности. Они реализованы в программе в виде функций, тогда коэффициенты статистической линеаризации для первого нелинейного элемента будут иметь вид:
K0=k2*J1(0,-s,m,D,-1)+l1*J0(0,-s,m,D,-1)+
k1*J1(-s,s,m,D,0)+k2*J1(s,0,m,D,1)+l2*J0(s,0,m,D,1);
K1=(k2*J2(0,-s,m,D,-1)+l1*J1(0,-s,m,D,-1)+k1*J1(-s,s,m,D,0)+
k2*J2(s,0,m,D,1)+l2*J1(s,0,m,D,1)-m*K0)/D;
Для второго:
K0=-s*J0(0,-s,m,D,-1)+J1(-s,s,m,D,0)+s*J0(s,0,m,D,1);
K1=(-s*J1(0,-s,m,D,-1)+J2(-s,s,m,D,0)+s*J1(s,0,m,D,1)+
s*m*J0(0,-s,m,D,-1)-m*J1(-s,s,m,D,0)-s*m*J0(s,0,m,D,1))/D;
Для третьего:
K0=-s*J0(0,-s,m,D,-1)+J1(-s,s,m,D,0)+s*J0(s,0,m,D,1);
K1=(-s*J1(0,-s,m,D,-1)+J2(-s,s,m,D,0)+s*J1(s,0,m,D,1)+
s*m*J0(0,-s,m,D,-1)-m*J1(-s,s,m,D,0)-s*m*J0(s,0,m,D,1))/D;
Линеаризованная система должна иметь вид:
Воспользовавшись уравнениями для нелинейной системы матрицы можно записать:
Легко видеть, что матрица A на каждом шаге интегрирования будет изменяться, в зависимости от коэффициентов линеаризации, которые в свою очередь зависят от дисперсий на входе нелинейных элементов, которые зависят от дисперсий на входе. Следовательно на каждом шаге интегрирования нашей системы мы должны интегрировать дифференциальное уравнение для матрицы ковариаций K:
Реализуя все вышесказанное получим график изменения вектора состояний линеаризованной системы:
Рисунок 2.
Эволюция матрицы ковариации по входным воздействиям имеет вид:
Рисунок 3
Дисперсия выходной координаты:
Рисунок 4
4. Заключение
Как видно из рисунков 1 и 2 статистическая линеаризация проведена правильно. Поведение системы в нелинейной и линеаризованной форме примерно одинаково. Из рисунков 3 и 4 следует, что дисперсии сходятся, т. е. через некоторый промежуток времени переходные процессы в системе заканчиваются и на выходе системы имеется стационарный случайный процесс.
5. Список литературы
1. Конспект лекций
2. Лебедев и др. Статистическая динамика и оптимизация управления ЛА.
3. Корн Г. и Т. Справочник по математике
4. Поляков Ю. В, Круглов И. Ю. Программирование в среде Турбо Паскаль 5.5
5. Бабак С. В., Васильев В. И. и др. Основы теории многосвязных систем автоматического управления ЛА.