Московский Энергетический Институт

(Технический Университет)
ЦП РГИ «МЭИ-Фесто»
Расчетное задание по курсу: «Основы теории автоматического управления»

Анализ линейных импульсных систем автоматического управления.

Вариант № 32
Студент:
Группа:
Преподаватель: Беседин В.М.
Москва

2010


Исходная структурная схема импульсной САУ:



Тип импульсного элемента:



  (время запаздывания); ;

Передаточные функции, входящие в САУ:







Преобразуем исходную структурную схему к типовому виду:

(W2(p)+W3(p)W1(p))

Согласно упрощенной схеме, выражение для непрерывной передаточной функции разомкнутой системы будет определяться следующим соотношением:



Так как , то .

Определим весовую функцию для приведенной непрерывной части САУ . Для этого представим  в виде суммы слагаемых:



Тогда:

.

Так как по условию расчетного задания в импульсной системе существует небольшое запаздывание (, но не равно нулю), то в выражении для дискретного преобразования Лапласа суммирование начинается не с нулевой дискреты (), а с первой дискреты (). Учитывая этот факт, получим передаточную функцию разомкнутой дискретной системы:



Построим АФХ (годограф) разомкнутой импульсной САУ, для чего запишем выражение для комплексного коэффициента усиления:

.

Выделим в выражении  действительную (Re) и мнимую (Im) части, для чего необходимо преобразовать знаменатель выражения ; умножить числитель и знаменатель на комплексно–сопряженное знаменателю число; и снова осуществить преобразование

.
Значения  и , полученные для разных , сведены в табл.1, а АФХ рассматриваемой импульсной САУ изображена на следующем рисунке.


Таблица 1

	50	100	200	450	700	900	1200	1800
	0.099	0.449	1.711	3.136	-2.149	-4.85	-6.432	-7.074
	-0.021	-0.107	-0.76	-6.696	-9.025	-7.332	-4.481	0

Построение годографа  по годографу  производится согласно выражению:

.

Тогда годограф, построенный по приближенной формуле, и значения:

Таблица 2

	50	100	200	450	700	900	1200	1800
	0.089	0.44	1.704	3.138	-2.144	-4.847	-6.432	-7.075
	-0.019	-0.104	-0.753	-6.688	-9.024	-7.333	-4.483	0

Как видно из рисунка годографы импульсной разомкнутой системы, построенные точным и приблизительным методом совпадают.

Определим устойчивость замкнутой импульсной системы и ее предельный коэффициент.

по критерию Найквиста:

Так как АФХ  охватывает точку с координатами (-1,j0), то рассматриваемая САУ в замкнутом состоянии является неустойчивой.

Предельный коэффициент определяем по соотношению:

,

где – коэффициент усиления разомкнутой САУ; – модуль комплексного коэффициента усиления при его аргументе равном –180 градусов. 

по критерию Гурвица:

Запишем передаточную функцию дискретной САУ в замкнутом состоянии через Z–преобразование:

.

Введем подстановку . Тогда характеристическое уравнение  принимает вид:

.

После преобразований, из последнего соотношения получим:

.

Так как характеристическое уравнение 2-го порядка имеет 2 отрицательных коэффициента, то рассматриваемая система является неустойчивой в замкнутом состоянии.

Определим . Для этого передаточную функцию разомкнутой импульсной САУ представим следующим образом:

.

Заметим, что коэффициент усиления  равен .

Тогда соответствующая передаточная функция САУ в замкнутом состоянии  примет вид:

.

Подставим  в характеристическое уравнение соответствующее передаточной функции , . Тогда:



Тогда:

.

На основе необходимого и достаточного условия устойчивости:

Возьмем  и для этого коэффициента усиления разомкнутой системы определим устойчивость замкнутой системы на основе корней характеристического уравнения.

Для  получим:

.

Откуда корни характеристического уравнения для замкнутой системы равны:

,

Т.к. один из корней характеристического уравнения больше нуля и выходит за радиус единичного круга, то замкнутая САУ является неустойчивой.


Построение переходного процесса для замкнутой импульсной САУ

Т.к. импульсная САУ при заданном коэффициенте усиления оказалась неустойчивой, то построение переходного процесса и определение статической и кинетической ошибок осуществляем для системы с коэффициентом усиления в 3 раза меньше предельного.

Тогда:



Численные значения переходного процесса в определенные моменты времени замкнутой ИСАУ

Номер шага	Момент времени	Значения переходного процесса
1	0,01	0,053
2	0,02	0,086
3	0,03	0,1666
4	0,04	0,443
5	0,05	0,82
6	0,06	0,987
7	0,07	1,23
8	0,08	1,27
9	0,09	1,21
10	0,10	1,2
11	0,11	0,983
12	0,12	0,87
13	0,13	0,81
14	0,14	0,76
15	0,15	0,705

Рассчитаем статическую и кинетическую ошибки замкнутой ИСАУ

Передаточная функция системы относительно ошибки :

.

Тогда статистическая ошибка при :



Кинетическая ошибка имеет место, когда входной является функция, изменяющаяся по линейному закону:

 или .

Дискретное преобразование Лапласа указанного сигнала



С учетом этого кинетическая ошибка равна: